上海市各区县2016届高三上学期期末考试数学理试题汇编：立体几何

上海市各区县2016届高三上学期期末考试数学理试题汇编
立体几何
一、填空题
1、（宝山区2016届高三上学期期末）等腰直角三角形的直角边长为1，则绕斜边旋转一周所形成的几何体的体积为
2、（崇明县2016届高三上学期期末）已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为15cm2，则此圆锥的体积是____________ cm3 .
3、（虹口区2016届高三上学期期末）如图所示，半径的球O中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差等于__________
4、（黄浦区2016届高三上学期期末）若将两个半径为的铁球熔化后铸成一个球，则该球的半径为 ．
5、（嘉定区2016届高三上学期期末）在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成的角的大小为__________________（结果用反三角函数值表示）．
6、（嘉定区2016届高三上学期期末）在若圆锥的底面周长为，侧面积也为，则该圆锥的体积为______________．
7、（静安区2016届高三上学期期末）已 ( http: / / www.21cnjy.com )知球的半径为24cm，一个圆锥的高等于这个球的直径，而且球的表面积等于圆锥的表面积，则这个圆锥的体积是 cm3.
8、（闵行区2016届高三上学期期末）若一圆锥的底面半径为，体积是，则该圆锥的侧面积等于 .
9、（浦东新区2016届高三上学期期末）如图，已知正方体，，为棱的中点，则与平面所成的角为 （结果用反三角表示）
10、（普陀区2016届高三上学期期末）若正六棱柱的底面边长为10，侧面积为180，则这个棱柱的体积为_________
11、（青浦区2016届高三上学期期末）平面直角坐标系中，方程的曲线围成的封闭图形绕轴旋转一周所形成的几何体的体积为
12、（松江区2016届高三上学期期末）若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为、则有 ▲
13、（徐汇区2016届高三上学期期末）已知四面体的外接球球心在棱上，，，则、两点在四面体的外接球上的球面距离是________________．
14、（闸北区2016届高三上学期期末）一 ( http: / / www.21cnjy.com )个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是
填空题参考答案：
1、　　2、12　　3、　　4、　　5、
6、　　7、 12288 　　8、　　9、．（，）
10、450 11、　　12、　　13、　　14、
二、选择题
1、（宝山区2016届高三上学期期末）若是异面直线，则下列命题中的假命题为--------- （　　）
（A）过直线可以作一个平面并且只可以作一个平面与直线平行；
（B）过直线至多可以作一个平面与直线垂直；
（C）唯一存在一个平面与直线等距；
（D）可能存在平面与直线都垂直。
2、（嘉定区2016届高三上学期期末）下列四个命题：
①任意两条直线都可以确定一个平面；
②若两个平面有个不同的公共点，则这两个平面重合；
③直线，，，若与共面，与共面，则与共面；
④若直线上有一点在平面外，则在平面外．
其中错误命题的个数是（ ）
A． B． C． D．
3、（静安区2016届高三上学期期末）下列四个命题中，真命题是 ( )
A．和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线;
B．和两条异面直线都垂直的直线是异面直线的公垂线;
C．和两条异面直线都相交于不同点的两条直线是异面直线;
D．若a、b是异面直线, b、c是异面直线,则a、c是异面直线.
4、（普陀区2016届高三上学期期末）如图，在四面体中，AB⊥BD，CD⊥DB，若与所成的角的大小为，则二面角C-BD-A的大小为（ ）
A. 或
B. 或
C. 或 　　
D. 或
5、（徐汇区2016届高三上学期期末）在正方体中，、分别是棱、的中点，、分别是线段与上的点，则与平面平行的直线有
0条
1条
2条
无数条
6、（杨浦区2016届高三上学期期末）对于两个平面和两条直线, 下列命题中真命题是 ( )
A.若, , 则
B.若, , 则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
7、（闸北区2016届高三上学期期末）已知是两条不同直线，是两个不同平面，给出下列四个命题：
① 若垂直于同一平面，则与平行；
② 若平行于同一平面，则与平行；
③ 若不平行，则在内不存在与平行的直线；
④ 若不平行，则与不可能垂直于同一平面
其中真命题的个数为（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
选择题参考答案：
1、D　　2、C　　3、C　　4、C　　5、D 6、D　　7、D　
三、解答题
1、（宝山区2016届高三上学期期末）在三棱锥中，已知PA，PB，PC两两垂直，PB=5，PC=6，三棱锥的体积为20，Q是BC的中点，求异面直线PB，AQ所成角的大小（结果用反三角函数值表示）。
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2、（崇明县2016届高三上学期期末）如图，四棱锥S ABCD中，底面 ABCD 为正方形，SA ⊥平面 ABCD，AB=3，SA=4
（1）求异面直线SC 与AD 所成角；
（2）求点B 到平面SCD 的距离.
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3、（奉贤区2016届高三上学期期末）如图，已知四边形是矩形，，，平面，且，
的中点，求异面直线与所成角的大小．(用反三角表示)
4、（虹口区2016届高三上学期期末）如图，在正三棱柱 中，已知它的底面边长为10，
高为20 .
求正三棱柱的表面积与体积；
若分别是的中点，求异面直线所
成角的大小（结果用反三角函数表示）.
5、（黄浦区2016届高三上学期期末） 已知三棱柱的底面为直角三角形，两条直角边和的长分别为4和3，侧棱的长为10．
（1）若侧棱垂直于底面，求该三棱柱的表面积．
（2）若侧棱与底面所成的角为，求该三棱柱的体积．
6、（嘉定区2016届高三上学期期末）如图①，有一个长方体形状的敞口玻璃容器，底面是边长为的正方形，高为，内有深的溶液．现将此容器倾斜一定角度（图②），且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上（图①、②均为容器的纵截面）．
（1）要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，角的最大值是多少；
（2）现需要倒出不少于的溶液，当时，能实现要求吗？请说明理由．
7、（金山区2016届高三上学期期末）在直三棱柱中，，，且异面直线与所成的角等于，设.
(1) 求的值；
(2) 求三棱锥的体积．
8、（静安区2016届高三上学期期末） 如图，在棱长为1的正方体中，E为AB的中点. 求：
(1)异面直线BD1与CE所成角的余弦值；
(2)点A到平面的距离.
9、（闵行区2016届高三上学期期末）
如图，三棱柱中，侧棱底面，，,，为棱中点，证明异面直线与所成角为，并求三棱柱的体积．
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10、（浦东新区2016届高三上学期期末）
已知交与点，，分别为的中点.
求证：平面．
11、（普陀区2016届高三上学期期末）某种“笼其”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为，高为，圆锥的母线长为.
（1）求这种“笼其”的体积（结果精确到0.1）；
（2）现要使用一种纱网材料制作50个“笼其”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？
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12、（青浦区2016届高三上学期期末）
如图所示，在四棱锥中，，∥且，，点为线段的中点,若，与平面所成角的大小为.
（1）证明：平面；
（2）求四棱锥的体积.
13、（松江区2016届高三上学期期末）
如图，在三棱锥中，平面，，，,分别是的中点．
（1）求三棱锥的体积；
（2）若异面直线与所成的角为，求的值.
14、（徐汇区2016届高三上学期期末）
在三棱锥中，且 .
求证并求三棱锥的体积．
15、（杨浦区2016届高三上学期期末） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，某人打算做一个正四棱锥形的金字塔模型，先用木料搭边框，再用其他材料填充。已知金字塔的每一条棱和边都相等
（1） 求证：直线垂直于直线.
若搭边框共使用木料24米，则需要多少立方米的填充材料才能将整个金字塔内部填满？
解答题参考答案
1、解：，所以，-------------------3分
取PC的中点为D，连结AD，DQ，
则为异面直线PB，AQ所成的角，--------------------------------5分
，，------------------------------------7分
因为，所以----------------------9分
所以
异面直线PB，AQ所成的角为。-----------------------12分
2、
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3、取的中点，连接、
、是中点，是的中位线
∥
（或者其补角）为异面直线与所成角 3分
在中， 5分
6分
，， 7分
由余弦定理可知
10分
11分
异面直线与所成角的大小． 12分
4、解：（1） ……(3分)
……(6分)
（2）连结则又
故等于异面直线所成角. ……(8分)
易得，故
于是异面直线所成角的大小为……(12分)
5、[解]（1）因为侧棱底面，所以三棱柱的高等于侧棱的长，
而底面三角形的面积，（2分）
周长，（4分）
于是三棱柱的表面积．（6分）
（2）如图，过作平面的垂线，垂足为，为三棱柱的高．（8分）
因为侧棱与底面所成的角为，所以，可计算得．（9分）
又底面三角形的面积，故三棱柱的体积．（12分）
6、（1）如图③，当倾斜至上液面经过点时，容器内溶液恰好不会溢出，
此时最大． …………………………………………………………………（2分）
解法一：此时，梯形的面积等于（）， ………………（3分）
因为，所以，，
即，解得，． ………………（5分）
所以，要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，的最大值是． ……………（6分）
解法二：此时，△的面积等于图①中没有液体部分的面积，
即（）， ……………………………………………………（3分）
因为，所以，即，
解得，． …………………………………………（5分）
所以，要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，的最大值是． …………（6分）
（2）如图④，当时，设上液面为，因为，
所以点在线段上， ………………………………………………………（1分）
此时，，
（）， ………………………………………（3分）
剩余溶液的体积为（）， …………………………（4分）
由题意，原来溶液的体积为，
因为，所以倒出的溶液不满． …………（5分）
所以，要倒出不少于的溶液，当时，不能实现要求．……（6分）
7、解(1)∵BC∥B1C1，∴∠A1BC就是异面直线A1B与B1C1所成的角，
即∠A1BC =60，…………………………………………………………………………2分
又AA1⊥平面ABC，AB=AC，则A1B=A1C，∴△A1BC为等边三角形，…………4分
由，，
∴；……………………………………………6分
(2)连接B1C，则三棱锥B1–A1BC的体积等于三棱锥C–A1B1B的体积，
即：，………………………………………………………………9分
△的面积，……………………………………………………………11分
又平面，
所以，所以．………………………………14分
8、解（1）延长DC至G，使CG= DC,连结BG、
，∴四边形EBGC是平行四边形.
∴BG∥EC. ∴
在
即异面直线与CE所成角的余弦值是
（2）过 作 交CE的延长线于H.连结AH. 底面ABCD如图所示.
由于∠AHE=∠B=90°，∠AEH=∠CEB，则△AHE∽△CBE
设点A到平面的距离为，则由三棱锥体积公式可得：，即。所以，
即点A到平面的距离为。
9、[证明]在三棱柱中，侧棱底面，，或它的补角即为异面直线与所成角，…………………………2分
由，,以及正弦定理得，即，…………4分
又，，…………6分
………………8分
所以异面直线与所成角的为．…………………… 10分
三棱柱的体积为． …………12分
10、证明：在中，因为分别为的中点，所以……………………………………………………………………………2分
又因为，所以由平行公理和等量代换知，，
所以四边形是平行四边形……………………………………………………4分
所以…………………………………………………………………………6分
又因为平面，所以平面…………………………………8分
11、
( http: / / www.21cnjy.com )
12、解：（1）证明：，，
又中， ，点为线段的中点，
（2），又，，
连结，可得是与平面所成角，又与平面所成角的大小为，， 在中，，
.分
13、解： (1)由已知得， ……………………2分
所以 ，体积 ……………………5分
(2)取中点，连接，则，
所以就 是异面直线与所成的角. ……………………8分
由已知，，
. ……………………10分
在中，，
所以，. ……………………12分
14、解：因为，,所以平面,所以.又.所以平面.故.--------6分
在中，,所以.----8分
又在中，,所以.---10分
又因为平面,所以.----------12分
15、解：（1）如图，连接交于点，则为线段中点，
在正方形中，对角线 （2分）
在中，，
，平面 （2分）
（2分）
（2）边长为3米 （2分）
棱锥的高 （2分）
立方米 （2分）
答：需要立方米填充材料.
①
②
A
B
C
A1
B1
C1
A
B
D
C
H
P
第19题图