北师大版八年级数学上册试题 第3章 位置与坐标 单元培优卷（含解析）

第3章《位置与坐标》（单元培优卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．已知点A(1，2a-1)，B(-a，a-3)，若线段AB//x轴，则三角形AOB的面积为(　　)
A．21 B．28 C．14 D．10.5
2．已知点P（x，y）到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，且x+y＞0，xy＜0，则点P的坐标为（　　）
A．（﹣2，3） B．（2，3） C．（3，﹣2） D．（3，2）
3．若点到两坐标轴的距离相等，则点的坐标（ ）
A． B． C．或 D．或
4．对平面上任意一点(a，b)，定义f，g两种变换：f(a，b)＝(﹣a，b)，如f(1，2)＝(﹣1，2)；g(a，b)＝(b，a)，如g(1，2)＝(2，1)，据此得g[f(5，﹣9)]＝（　　）
A．(5，﹣9) B．(﹣5，﹣9) C．(﹣9，﹣5) D．(﹣9，5)
5．在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），B（a，0），C（m，n），其中m＞a，a＜1，n＞0，若△ABC是等腰直角三角形，且AB＝BC，则m的取值范围是（　　）
A．0＜m＜2 B．2＜m＜3 C．m＜3 D．m＞3
6．已知点A(3a，2b)在x轴上方，在y轴左侧，则点A到x轴、y的距离分别为(　　)
A．3a，-2b B．-3a，2b C．2b，-3a D．-2b，3a
7．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，，则的值为(　　)
A．8 B．9 C．12 D．11
8．如图，点P从（0，2）出发，沿所示的方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2019次碰到矩形的边时点P的坐标为（　　）
A．（ 2，4 ） B．（ 2，0 ） C．（ 8，2） D．（ 6，0 ）
9．如图，点M在等边△ABC的边BC上，BM＝8，射线CD⊥BC垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点N是线段AB上一动点，当MP+NP的值最小时，BN＝9，则AC的长为（ ）
A．15 B．12 C．13 D．10
10．如图，等边的顶点，，规定把“先沿轴翻折，再向右平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2022次变换后，等边的顶点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，已知△OAB是等腰直角三角形，且∠OAB＝90°，若点A的坐标（3，1），则点B的坐标为______．
12．已知点A，B的坐标分别为(2，0)，(2，4)，以A，B，P为顶点的三角形与全等，点P与点O不重合，写出符合条件的点P的坐标：___________．
13．A，B，C 三点是同一个平面直角坐标系内不同的三点，A 点在坐标轴上，点 A 向上平移三个单位长度，再向左平移 4 个单位长度就到了 B 点；直线 BC∥y 轴，且 B 和 C 点到 x 轴的距离相等；C 点的横坐标、纵坐标互为相反数；则 A 点的坐标是_____.
14．已知点M在y轴上，点P(3，-2)，若线段MP的长为5，则点M的坐标是_______.
15．如图，△ABC 中，点 A（0，1），点 C（4，3），如果要使△ABD 与△ABC 全等，那么符合条件的点 D 的坐标为___________.
16．如图，点的坐标为，点的坐标为，分别以，为直角边在第三、第四象限作等腰，等腰，连接交轴于点，点的坐标是______．
17．如图，已知点在轴正半轴上，点在轴的正半轴上，为等腰直角三角形，为斜边上的中点.若，则________.
18．如图，题型ABCD中，AD∥BC，AD=CD=AB=2，∠B=60°，AH⊥BC于点H，且AH=，直线MN是梯形的对称轴，P为直线MN上的一动点，则PC＋PD的最小值为______.
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）如图所示，一束光线从y轴上的点A (0，1)出发，经过x 轴上的点C 反射后 经过点B (3，3)，求光线从点A 到点B 经过的路径长．
20．（8分）如图，已知点P(2m－1，6m－5)在第一象限的角平分线OC 上，AP⊥BP，点A在x轴上，点 B在y轴正半轴上．
(1)求点P 的坐标；
(2)当∠APB绕点P旋转时，OA+OB的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求出这个定值．
21．（10分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点A（8，6）分别作x轴、y轴的平行线，交y轴于点B，交x轴于点C，点P是从点B出发，沿B→A→C以2个单位长度/秒的速度向终点C运动的一个动点，运动时间为t（秒）．
(1) 直接写出点B和点C的坐标．
(2) 当点P运动时，用含t的式子表示线段AP的长，
(3) 点D（2，0），连接PD、AD，在（2）条件下是否存在这样的t值，使，若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由．
22．（10分）如图，的顶点A，B分别在x轴，y轴上，；
(1)若，且点B（0，2），C（-2，-1），
①点C关于y轴对称点的坐标为______；
②求点A的坐标；
(2)若点B与原点重合，时，存在第三象限的点E和y轴上的点F，使，且A（3，0），C（0，m），F（0，n），线段EF的长度为，求AE的长．
23．（10分）如图，在直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（b，c）三点，其中a、b、c满足关系式，
（1）求a、b、c的值；
（2）如果在第二象限内有一点P（m，），请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；
（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形ABOP的面积为△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（12分）已知，△ABC满足BC＝AB，∠ABC＝90°，A点在x轴的负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方．
（1）如图1所示，若A的坐标是（－3，0），点B与原点重合，则点C的坐标是_________；
（2）如图2，过点C作CD⊥y轴于D，请判断线段OA、OD、CD之间的数量关系并说明理由；
（3）如图3，若x轴恰好平分∠BAC，BC与x轴交于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，问CF与AE有怎样的数量关系？并说明理由．
参考答案
一、单选题
1．D
【分析】根据线段AB∥x轴求得a的值后即可确定点A和点B的坐标，从而求得线段AB的长，利用三角形的面积公式求得三角形的面积即可．
解：∵AB∥x轴，∴2a+1=a-3．解得a=-4．
∴A（1，-7），B（4，-7）．
∴AB=3．
过点O作OC⊥AB交BA的延长线于点C，
则OC=7．
∴△ABC的面积为：．
故答案为：D.
2．C
【分析】由点P（x，y）到X轴距离为2，到Y轴距离为3，可得x，y的可能的值，由x+y＞0，xy＜0，可得两数异号，且正数的绝对值较大；根据前面得到的结论即可判断点P的坐标．
解：∵点P（x，y）到x轴距离为2，到y轴距离为3，
∴|x|＝3，|y|＝2，
∴x＝±3，y＝±2；
∵x+y＞0，xy＜0，
∴x＝3，y＝﹣2，
∴P的坐标为（3，﹣2），
故选：C．
3．D
【分析】根据点到两坐标轴的距离相等列出绝对值方程，然后求解即可．
解：点到两坐标轴的距离相等，
，
或，
解得或，
点的坐标为或；
故选：．
4．C
【分析】根据f，g两种变换的定义自内而外进行解答即可．
解：由题意得，f（5，﹣9）]＝（﹣5，﹣9），
∴g[f（5，﹣9）]＝g（﹣5，﹣9）＝（﹣9，﹣5），
故选：C．
5．B
【分析】过点C作CD⊥x轴于D，由“AAS”可证△AOB≌△BDC，可得AO＝BD＝2，BO＝CD＝n＝a，即可求解．
解：如图，过点C作CD⊥x轴于D，
∵点A（0，2），
∴AO＝2，
∵△ABC是等腰直角三角形，且AB＝BC，
∴∠ABC＝90°＝∠AOB＝∠BDC，
∴∠ABO+∠CBD＝90°
∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠BAO＝∠CBD，
在△AOB和△BDC中，
，
∴△AOB≌△BDC（AAS），
∴AO＝BD＝2，BO＝CD＝n＝a，
∴0＜a＜1，
∵OD＝OB+BD＝2+a＝m，
∴2＜m＜3，
故选：B．
6．C
【分析】应先判断出点A的横纵坐标的符号，进而判断点A到x轴、y轴的距离．
解：∵点A（3a，2b）在x轴上方，
∴点A的纵坐标大于0，得到2b＞0，
∴点A到x轴的距离是2b；
∵点A（3a，2b）在y轴的左边，
∴点A的横坐标小于0，即3a＜0，
∴点A到y轴的距离是-3a；
故答案为C．
7．C
【分析】利用中点坐标公式，构建方程求出a，b的值即可．
解：如图，连接AC、BD交于点F，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AF=CF，BF=DF，
∵，，，，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
8．C
【分析】动点的反弹与光的反射入射是一个道理，根据反射角与入射角的定义可以在格点中作出图形，可以发现，在经过6次反射后，动点回到起始的位置，将2019除以6得到336，且余数为3，说明点P第2019次碰到矩形的边时为第337个循环组的第3次反弹，因此点P的坐标为（8，2）.
解：如图，根据反射角与入射角的定义作出图形，
第6次反弹时回到出发点，每6次碰到矩形的边为一个循环组依次循环，
∵2019÷6=336……3，
∴点P第2019次碰到矩形的边时是第336个循环组的第3次碰边，坐标为（8，2）.
故选C.
9．C
【分析】由AC=BC，，作点M关于直线CD的对称点G，过G作于点，交CD于P，则此时MP+PN的值最小，再由直角三角形即可求出答案
解：如图：
是等边三角形
，
作点M关于直线CD的对称点G，过G作于点 ，交CD于P，
为最小值
，
故答案选C
10．C
【分析】先利用等边三角形的性质求得点C的坐标，然后根据轴对称变换和轴对称变换的性质求得第一次变换，第二次变换，第三次变换后点C的坐标，按此找出规律即可求解 ．
解：如图所示，过点作，
∵△ABC是等边三角形，，，
∴，，轴，D的坐标为(2，1)，
∴
∴点C到轴的距离为：，点的横坐标为，
∴，
由题意得，
第一次变换后点的坐标为，即；
第二次变换后点的坐标为，即；
第三次变换后点的坐标为，即；
……
由此可以发现点的横坐标总是比次数大，而纵坐标，当奇次变换时是，偶次变换时是，故连续经过2022次变换后，等边的顶点的坐标为，
故选：
二、填空题
11．（2，4）或（4，﹣2）
【分析】分两种情况讨论：当点B在第一象限时，过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥AC于D；当点B'在第四象限时，过A作AE⊥y轴于E，过B'作B'F⊥AE于F，分别依据全等三角形的对应边相等，即可得到点B的坐标．
解：如图，当点B在第一象限时，过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥AC于D，则AC=1，OC=3，
易得△ABD≌△OAC（AAS），
∴AC=BD=1，AD=OC=3，
∴B（2，4）；
当点B'在第四象限时，过A作AE⊥y轴于E，过B'作B'F⊥AE于F，则OE=1，AE=3，
易得△AOE≌△B'AF（AAS），
∴AF=OE=1，B'F=AE=3，
∴B'（4，-2），
故答案为（2，4）或（4，-2）．
12．或或
【分析】分和两种情况，再分别利用全等三角形的性质求解即可得．
解：设点P的坐标为，
，
，
由题意，分以下两种情况：
（1）如图1，当时，
，
轴，
，
又，
，
解得或，
则此时点P的坐标为或；
（2）如图2，当时，
，
点P在x轴上，且，
则此时点P的坐标为；
综上，符合条件的点P的坐标为或或，
故答案为：或或．
13．（7,0）或（0,-7）
【分析】设C点坐标为（a，-a），根据题意和平移逆向推出B、A的坐标，然后讨论A点在哪个坐标轴上， 即可完成解答.
解：设C点坐标为（a，-a），则B的坐标为（a，a）,A点坐标为（a+4，a-3）；
当A在x轴上，即a-3=0，即a=3，则坐标为（7,0）
当A在y轴上，即a+4=0，即a=-4，则坐标为（0,-7）
综上，本题答案为：（7,0）或（0,-7）
14．(0，2)或(0，-6)
【分析】如图，以点P为圆心，5为半径画弧，交y轴于M1、M2两点，过P点作y轴的垂线，垂足为N，在Rt△PM1N和Rt△PM2N中，由勾股定理得M1N=M2N=4，再由N（0，-2）即可得点M的坐标．
解：如图，以点P为圆心，5为半径画弧，交y轴于M1、M2两点，过P点作y轴的垂线，垂足为N．
∴在Rt△PM1N和Rt△PM2N中，M1N=M2N==4，
又∵N（0，-2），
∴M（0，2）或（0，-6）．
故答案为：（0，2）或（0，-6）．
15．或或（-1,3）
【分析】因为与有一条公共边，故应该分情况讨论D点的坐标.
解：因为与的一条边重合
当点在的下方时，满足条件的坐标有和；
当点在的上方时，满足条件的坐标是.
故满足条件的为或或（-1,3）
16．
【分析】作轴于，求出，证，得BN=AO，再由，证，推出=2，由点的坐标为即可得出点的坐标为．
解：如图，作轴于，
，
，，
，
在和中，
，
，OA=BN
，
在和中，
，
，
，
又因为点的坐标为，
，
，
又∵点的坐标为，
∴点的坐标为．
故答案为：．
17．2
【分析】根据等腰直角三角形的性质，可得AP与BC的关系，根据垂线的性质，可得答案
解：如图：作CP⊥x轴于点P，由余角的性质，得∠OBA=∠PAC，
在Rt△OBA和Rt△PAC中，
，
Rt△OBA≌Rt△PAC（AAS），
∴AP=OB=b，PC=OA=a．
由线段的和差，得OP=OA+AP=a+b，即C点坐标是（a+b，a），
由B（0，b），C（a+b，a），D是BC的中点，得D（，），
∴OD=
∴=，
∴a+b=2.
故答案为2.
18．
解：连接AC交直线MN于P点，P点即为所求．
∵直线MN为梯形ABCD的对称轴，
∴AP=DP，
∴当A、P、C三点位于一条直线时，PC+PD=AC，为最小值，
∵AD=DC=AB，AD∥BC，
∴∠DCB=∠B=60°，
∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠DAC，
∵AD=CD，
∴∠DAC=∠DCA，
∴∠DAC=∠DCA=∠ACB
∵∠ACB+∠DCA=60°，
∴∠DAC=∠DCA=∠ACB=30°，
∴∠BAC=90°，
∵AB=2，∠B=60°
∴AC=tan60°×AB=×2=2．
∴PC+PD的最小值为2．
三、解答题
19．
解：如图，作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于点C，过点B′作B′D⊥y轴于点D.
因为点 A(0，1)，点 B(3，3)，所以 B′(3，－3)，D(0，－3)．
在 Rt△ADB′中， AD＝1－(－3)＝4，DB′＝3，
所以 AB′2＝AD2＋DB′2＝42＋32＝25，所以 AB′＝5，
所以 AC＋CB＝5，
光线从 A 点到 B 点的路径长为 5.
20．
解：(1)由题意，得 2m－1＝6m－5.解得 m＝1，
∴点 P 的坐标为(1，1)
(2)作 PD⊥x 轴于点 D，PE⊥y 轴于点 E，
则△PAD≌△PBE，
∴AD＝BE，
∴OA＋OB＝OD＋AD＋OB＝OD＋BE＋OB＝OD＋OE＝2，为定值，
故 OA＋OB 的值不发生变化，其值为 2.
21．
解：（1）B（0，6），C（8，0），
（2）当点P在线段BA上时，
由A（8，6），B（0，6），C（8，0）可得：AB=8，AC=6
∵AP=AB-BP，BP=2t，
∴AP=8-2t（0≤t＜4）；
当点P在线段AC上时，
∴AP=点P走过的路程-AB=2t-8（4≤t≤7）．
（3）存在两个符合条件的t值，
当点P在线段BA上时
∵，
∴，
解得：t＝3，
当点P在线段AC上时，
∵ CD＝8－2＝6
∴，
解得：t＝5，
综上所述：当t为3秒和5秒时．
22．
解：（1）①由关于y轴对称的点纵坐标不变、横坐标变为原来的相反数，则点C（-2，-1）关于y轴对称点的坐标为（2，-1）；
故答案是（2，-1）；
②设A点坐标为（a，0）
∵B（0，2），C（-2，-1），
∴BC=
∴AB=BC=
∴，解得a=3.
∴点A的坐标为（3,0）．
(2)解：（2）作点F关于x轴的对称点H（0，-n），则AF=AH、OF=OH，过点H作HN⊥AC于点N，过点F作FM⊥AE于点M，
∵C（0，m），H（0，-n），m<0，n>0，
∴HC=OC-OH=-m-n，
∵EF=-m-n，
∴HC=EF，
∵∠AEF=∠ACO=30°，
∴∠FME=∠HNC，
∴△FEM≌△HCN（AAS），
∴FM=HN，EM=CN，
在Rt△AFM和Rt△AHN中，
AF=AH，FM=HN
∴Rt△AFM≌Rt△AHN（HL），
∴AM=AN，
∴EM+AM=CN+AN，
∴AE=AC，
∵∠ACO=30°，A（3，0），
∴OA=3，
∴AC=2OA=6，
∴AE=6．
23．
解：（1）由已知，
可得：a＝2，b＝3，c＝4；
故答案为：a＝2，b＝3，c＝4．
（2）∵S△ABO＝×2×3＝3，
S△APO＝×2×（﹣m）＝﹣m，
∴S四边形ABOP＝S△ABO+S△APO＝3+（﹣m）＝3﹣m，
即S四边形ABOP＝3﹣m；
故答案为：S四边形ABOP＝3﹣m．
（3）因为S△ABC＝×4×3＝6，
∵S四边形ABOP＝S△ABC
∴3﹣m＝6，
则m＝﹣3，
所以存在点P（﹣3，）使S四边形ABOP＝S△ABC．
故答案为：存在，P（﹣3，）．
24．
解：(1)∵BC=AB,且A的坐标是( 3,0)，
∴BC=BA=3，
∴点C的坐标为(0,3)，
故答案为(0,3)；
(2)OA=OD+CD；
∵CD⊥y轴，
∴∠ABO=∠DCB，
在△ABO和△BCD中，
∴BO=CD，OA=DB，
∵BD=OB+OD，
∴OA=CD+OD.
(3)AE=2CF，
如图3，延长CF，AB相交于G，
∵x轴恰好平分∠BAC，
∴∠CAF=∠GAF，
∵CF⊥x轴，
∴∠AFE=∠AFG=90 ，
在△AFC和△AFG中，
∵
∴CF=GF，
∴∠BAE=∠BCG，
在△ABE和△CBG中，
∵
∴AE=CG，
∴AE=CF+GF=2CF