2024-2025学年福建省龙岩市长汀二中高二（上）第一次质检数学试卷（含答案）

2024-2025学年福建省龙岩市长汀二中高二（上）第一次质检数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列的通项公式为，则根据题意，该数列的前项和( )
A. B. C. D.
2.如果，，，，成等比数列，那么( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.等差数列的前项和为，若，，则等于 ( )
A. B. C. D.
4.九章算术是我国古代第一部数学专著，全书收集了个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为升，下面三节的容积之和为升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中第节，第节，第节竹子的容积之和为( )
A. 升 B. 升 C. 升 D. 升
5.数列中，，对于所有的，都有，则等于( )
A. B. C. D.
6.已知数列为等差数列，其前项和为，，则为( )
A. B. C. D. 不能确定
7.已知数列满足，若，则( )
A. B. C. D.
8.已知数列满足：，，则数列的前项的和为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知正项等比数列满足，，若设其公比为，前项和为，则( )
A. B. C. D.
10.设数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是( )
A.
B. 数列为等比数列
C.
D. 若，则数列的前项和为
11.设等差数列的前项的和为，公差为，已知，，，则( )
A. B.
C. D. 时，的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.等比数列满足，且，则______．
13.已知数列，均为等差数列，且其前项和分别为和若，则 ______．
14.如果数列的前项和，
若为等差数列，则 ______；
若，则的通项公式为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记为等差数列的前项和，已知，．
求等差数列的通项公式；
求的最小值及对应的值．
16.本小题分
已知数列的前项和满足．
Ⅰ求证：数列是等比数列；
Ⅱ设，求数列的前项和．
17.本小题分
已知数列满足，且．
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和．
18.本小题分
设正项数列为等比数列，它的前项和为，，且．
Ⅰ求数列的通项公式；
Ⅱ已知是首项为，公差为的等差数列，求数列的前项和．
19.本小题分
已知数列满足，，且构成等比数列．
求数列的通项公式；
为数列的前项和，记，求证：．
参考答案
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15.解：等差数列中，，，则的公差，
所以等差数列的通项公式；
由知，等差数列单调递增，由，得，解得，
因此数列前项均为负数，从第项起均为正数，
所以当时，取得最小值．
16.解：Ⅰ证明：数列的前项和满足，
可得，解得；
时，，又，
相减可得，
即，可得数列是首项、公比均为的等比数列；
Ⅱ由Ⅰ可得，
，
数列的前项和．
17.解：根据题意，数列满足，
即，
所以数列为以为公差的等差数列，
又，则，
所以；
根据题意，，
所以数列的前项和为．
18.解：Ⅰ设在等比数列中，公比为，
，，，
，
即，分
解得或舍分
所以分
Ⅱ是首项为，公差为的等差数列，
，
，
分
分
分
，得
分
19.解：数列满足，，且构成等比数列．
故，
整理得，
所以数列是等差数列；
设数列的公差为，
故，解得．
故．
证明：由得：，
所以，
设，
所以．
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