2023-2024学年上海市嘉定区育才中学高一（下）期中数学试卷（含答案）

2023-2024学年上海市嘉定区育才中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列函数中是偶函数的是( )
A. B. C. D.
2.已知非零向量、、，则“”是“”的条件．
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
3.对于函数，下列命题：
函数图象关于直线对称；
函数图象关于点对称；
函数图象可看作是把的图象向左平移个单位而得到；
函数图象可看作是把的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍．
纵坐标不变而得到；其中正确的命题的个数是( )
A. B. C. D.
4.有下面两个命题：
若是周期函数，则是周期函数；
若是周期函数，则是周期函数，
则下列说法中正确的是( )
A. 都正确 B. 正确错误 C. 错误正确 D. 都错误
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.函数的最小正周期为______．
6.已知扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的面积为 ．
7.已知，则 ______．
8.设角的终边经过点，那么______．
9.化简： ______．
10.已知，，，，则 ______．
11.将化成其中，的形式为______．
12.函数的值域为______．
13.已知函数，若函数在上单调递减，则的取值范围为______．
14.记的内角，，的对边分别为，，，已知，若，则 ______．
15.已知函数若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是______．
16.为了研究问题方便，有时候余弦定理会写成：，利这个结构解决如下问题，如果三个正实数、、满足：，，，则______
三、解答题：本题共6小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知，，．
求向量，的夹角；
求
18.本小题分
在中，角、、所对的边分别为、、，．
求的值；
若，求的最大值．
19.本小题分
已知函数．
设，函数是奇函数，求的值；
若在区间上恰有三条对称轴，求实数的取值范围．
20.本小题分
已知函数为奇函数．
求的值；
判断函数的单调性，并加以证明；
若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
21.本小题分
如图，某公园有一块扇形人工湖，其中，千米，为了增加人工湖的观赏性，政府计划在人工湖上建造两个观景区，其中荷花池观景区的形状为矩形，喷泉观景区的形状为，且在上，在上，在上，记．
试用分别表示矩形和的面积；
若在的位置架起一座观景桥，已知建造观景桥的费用为每千米万元包含桥的宽度费用，建造喷泉观景区的费用为每平方千米万元，建造荷花池的总费用为万元求当为多少时，建造该观景区总费用最低，并求出其最低费用．
22.本小题分
对于函数，若存在正常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“同比不减函数”．
判断函数是否为“同比不减函数”？并说明理由；
若函数是“同比不减函数”，求实数的取值范围；
是否存在正常数，使得函数为“同比不减函数”？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．
参考答案
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17.解：，，
，，
解得，
由平面向量数量积的夹角公式得，
，；
因为，
所以，
．
18.解：因为，
所以；
根据余弦定理可知：，
，
又，即，
，当且仅当时，，
故的最大值是．
19.解：，
，
函数是奇函数，即函数为奇函数，
，，
，，
又，
或；
，
，且在区间上恰有三条对称轴，
，解得，
的取值范围为：．
20.解：对任意的，，则函数的定义域为，
则，解得，此时，，
所以，，
所以，当时，函数为奇函数．
解：由知：，
则函数在定义域上单调递增，证明如下：
设任意的，则
因为，则，则，
又，，所以，，即，
所以，函数在定义域上单调递增．
解：因为不等式对任意的恒成立，
所以，对任意的恒成立，
因为函数为上的奇函数，且为增函数，则，
则对任意的恒成立，所以，，解得．
因此，实数的取值范围是．
21.解：由题意，所以，，
所以矩形的面积为，，
的面积为，；
由题意，可得建造观景区所需总费用为：
，，
设，则，
又由
所以，
当，即时，有，
所以万元，
即当时，建造该观景区总费用最低，且最低费用为：万元．
22.解：依题意，
函数不是“同比不减函数”，理由如下：
，
不恒大于零，
所以不恒成立，
所以函数不是“同比不减函数”；
函数是“同比不减函数”，
恒成立，
即：，
，，
由于，
所以．
所以的取值范围是；
存在，理由如下：
，
画出的图象如下图所示，
的图象是由的图象向左平移个单位所得，
由图可知，当时，对任意的，都有成立，
所以存在正常数，使得函数为“同比不减函数”，且．
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