2024-2025学年广东省惠州一中高二（上）段考数学试卷（9月份）（含答案）

2024-2025学年广东省惠州一中高二（上）段考数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，，若，则的值为( )
A. B. C. D.
2.已知复数，则复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.设，为两条直线，，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是( )
A. 若，，则 B. 若，，，则
C. 若，，，则 D. 若，，，则
4.已知事件，互斥，它们都不发生的概率为，且，则( )
A. B. C. D.
5.如图，甲站在水库底面上的点处，乙站在水坝斜面上的点处，已知库底与水坝所成的二面角为，测得从，到库底与水坝的交线的距离分别为，，又已知，则甲、乙两人相距( )
A. B. C. D.
6.的内角，，的对边分别为，，，若，，的面积为，则( )
A. B. C. D.
7.已知圆锥的底面圆周在球的球面上，顶点为球心，圆锥的高为，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球的表面积为( )
A. B. C. D.
8.某工业园区有、、共个厂区，其中，，，现计划在工业园区内选择处建一仓库，若，则的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.给定一组数，，，，，，，，，，则( )
A. 平均数为 B. 标准差为 C. 众数为 D. 分位数为
10.有个相同的小球，分别标有数字，，，，，，从中有放回地随机取两次，每次取个球用表示第一次取到的小球的标号，用表示第二次取到的小球的标号，记事件：为偶数，：为偶数，：，则( )
A. B. 与相互独立 C. 与相互独立 D. 与相互独立
11.如图，点是棱长为的正方体的表面上一个动点，则( )
A. 当在平面上运动时，四棱锥的体积不变
B. 当在线段上运动时，与所成角的取值范围是
C. 使直线与平面所成的角为的点的轨迹长度为
D. 若是的中点，当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，则在方向上的投影向量坐标是____．
13.如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______．
14.已知向量均为单位向量，且，向量满足，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，四面体，，，，，，分别为棱，，，，，的中点．
设，，，用向量，，分别表示、、；
若，求证，，．
16.本小题分
在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，连接．
证明：；
连接，求与底面所成角的正切值；
求二面角的平面角的正切值．
17.本小题分
为了估计一批产品的质量状况，现对个产品的相关数据进行综合评分满分分，并制成如图所示的频率分布直方图记综合评分为分及以上的产品为一等品．
求图中的值，并求综合评分的平均数；
用样本估计总体，以频率作为概率，按分层随机抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取个产品，再从这个产品中随机抽取个产品记录有关数据，求这个产品中最多有个一等品的概率；
已知落在的平均综合评分是，方差是，落在的平均综合评分为，方差是，求落在的总平均综合评分和总方差．
18.本小题分
设三个内角，，的对边分别为，，，且．
求的值；
设，为锐角三角形，是边的中点，求的取值范围．
19.本小题分
由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点对于凸多面体，有著名的欧拉公式：，其中为顶点数，为棱数，为面数．
我们可以通过欧拉公式计算立体图形的顶点、棱、面之间的一些数量关系例如，每个面都是四边形的凸六面体，我们可以确定它的顶点数和棱数一方面，每个面有条边，六个面相加共条边；另一方面，每条棱出现在两个相邻的面中，因此每条棱恰好被计算了两次，即共有条棱；再根据欧拉公式，，，可以得到顶点数．
已知足球是凸三十二面体，每个面均为正五边形或者正六边形，每个顶点与三条棱相邻，试确定足球的棱数；
证明：个顶点的凸多面体，至多有条棱；
已知正多面体的各个表面均为全等的正多边形，且与每个顶点相邻的棱数均相同试利用欧拉公式，讨论正多面体棱数的所有可能值．
参考答案
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15.解：由题意四面体，，，，，，分别为棱，，，，，的中点．
设，，，
，
，
．
因为，所以，
故即，
故，
得，
故，，，
即，，，
故AB，，．
16.解：证明：底面，底面
．
底面为正方形，，平面．
平面，．
为的中点，，．
又，平面．
因为平面，．
解：作于点，
则是的中点，，且，平面．
连接，则是与底面所成角．
设，在中，，，
与底面所成角的正切值为：
．
解：作，垂足为，则为的中点，
连接，则，所以为所求二面角的平面角．
在中，，，，
二面角的平面角的正切值为．
17.解：由频率分布直方图可得：，
解得，
则综合评分的平均数为；
由题意，抽取个产品，其中一等品有个，非一等品有个，
一等品记为、、，非一等品记为、，
从这个产品中随机抽取个，试验的样本空间、、、、、、、、、，共个样本点，
记事件“抽取的这个产品中最多有个一等品”，则、、、、、、，共个样本点，
所以所求的概率为；
，
．
18.解：因为，
所以利用正弦定理可得，
又为三角形内角，，
所以，可得，
因为，
所以；
，为锐角三角形，；
可知，即
，
，
即，
二次函数的开口向下，对称轴为，的取值范围，
即
19.解：证明：设足球有个正五边形，则有个正六边形，
足球的顶点，棱数，
由欧拉公式得，
解得，即此足球中有个面为正五边形，
所以此足球的棱数．
由个顶点的凸多面体，其面数尽可能多，那么相当于每一个面尽可能均为三角形，
当棱数最多时，该凸多面体每一个面均为三角形，此时，即，
又，即，解得，
故个顶点的凸多面体，至多有条棱．
设正多面体每个顶点有条棱，每个面都是正边形，
则此多面体棱数，即，
由欧拉公式，得，
所以，即，即，
所以，
当时，，所以，，，，，，，，；
当时，，所以，，；
当时，，所以，，；
综上：棱数可能为，，．
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