2024-2025学年广西北京八中北海实验学校高二（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年广西北京八中北海实验学校高二（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.数据，，，，，，，的百分位数为( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，若，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
4.有两条不同的直线，，以及两个不同的平面，，下列说法正确是( )
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，则
D. 若，，，则
5.抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件表示“小于的偶数点出现”，事件表示“不小于的点数出现”，则一次试验中，事件或事件至少有一个发生的概率为( )
A. B. C. D.
6.某地年第一季度应聘和招聘人数排行榜前个行业的情况列表如下( )
行业名称 计算机 机械 营销 物流 贸易
应聘人数
行业名称 计算机 营销 机械 建筑 化工
招聘人数
若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是
A. 计算机行业好于化工行业； B. 建筑行业好于物流行业；
C. 机械行业最紧张； D. 营销行业比贸易行业紧张．
7.棱长为的正四面体与正三棱锥的底面重合，若由它们构成的多面体的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥的表面积为( )
A. B. C. D.
8.已知正三棱台的体积为，，，则与平面所成角的正切值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共9分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知某样本的容量为，平均数为，方差为现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将记录为，另一个错将记录为在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则( )
A. B. C. D.
10.如图所示，在棱长为的正方体中，，分别为线段，上的动点不包括端点，则下列说法正确的是( )
A. 存在点，使得
B. 三棱锥的体积不变
C. 直线和直线异面
D. 周长的最小值为
11.如图，在三棱柱中，，分别是线段，上的点，且，设，且均为单位向量，若，，则下列说法中正确的是( )
A. 与的夹角为 B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分。
12.口袋里装有红，白，黄共个形状相同的小球，从中取出球，事件“取出的两球同色”，“取出的球中至少有一个黄球”，“取出的球至少有一个白球”，“取出的两球不同色”，“取出的球中至多有一个白球”下列判断中正确的序号为______．
与为对立事件；与是互斥事件；与是对立事件：；．
13.在对某中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，若只知道抽取了男生人，其平均数和方差分别为和，抽取了女生人，其平均数和方差分别为和，则据此可得高一年级全体学生的身高方差的估计值为______．
14.设动点在棱长为的正方体的对角线上，记当为锐角时，的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
成都七中为了解班级卫生教育系列活动的成效，对全校个班级进行了一次突击班级卫生量化打分检查满分分，最低分分根据检查结果：得分在评定为“优”，奖励面小红旗；得分在评定为“良”，奖励面小红旗；得分在评定为“中”，奖励面小红旗；得分在评定为“差”，不奖励小红旗．已知统计结果的部分频率分布直方图如图：
依据统计结果的部分频率分布直方图，求班级卫生量化打分检查得分的中位数；
学校用分层抽样的方法，从评定等级为“良”、“中”的班级中抽取个班级，再从这个班级中随机抽取个班级进行抽样复核，求所抽取的个班级获得的奖励小红旗面数和不少于的概率．
16.本小题分
某地家庭有甲、乙、丙三位小孩，他们是否需要照顾相互之间没有影响已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为，甲、丙都需要照顾的概率为，乙、丙都需要照顾的概率为．
分别求甲、乙、丙在这一小时内需要照顾的概率；
求这一小时内至少有两位小孩需要照顾的概率．
17.本小题分
如图，在三棱柱中，底面，，，，，点，分别为与的中点．
证明：平面；
求二面角的平面角的正切值．
18.本小题分
如图，在正四棱锥中，底面边长为，点在线段上，且的面积为．
若点是的中点，求证：平面平面；
是否存在点，使得直线与平面所成角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由．
19.本小题分
著名的费马问题是法国数学家皮埃尔德费马于年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，则使得的点即为费马点，在中，角，，的对边分别为，，，且若是的“费马点”，，．
求角；
若，求的值；
在的条件下，设，若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：得分的频率为；得分的频率为；
得分的频率为；
所以得分的频率为．
设班级得分的中位数为分，于是，解得．
所以班级卫生量化打分检查得分的中位数为分．
由知题意“良”、“中”的频率分别为，又班级总数为．
于是“良”、“中”的班级个数分别为，．
分层抽样的方法抽取的“良”、“中”的班级个数分别为，．
因为评定为“良”，奖励面小红旗，评定为“中”，奖励面小红旗．
所以抽取的个班级获得的奖励小红旗面数和不少于为两个评定为“良”的班级或一个评定为“良”与一个评定为“中”的班级．
记这个事件为．
则为两个评定为“中”的班级．
把个评定为“良”的班级标记为，，，，个评定为“中”的班级标记为，．
从这个班级中随机抽取个班级用点表示，其中．
这些点恰好为方格格点上半部分不含对角线上的点，于是有种．
事件仅有一个基本事件．所以．
所抽取的个班级获得的奖励小红旗面数和不少于的概率为．
16.解：设甲、乙、丙三位小孩在这一小时内需要照顾的概率分别为，，，
则由题意得，解得，
甲、乙、丙在这一小时内需要照顾的概率分别为，，．
设事件表示这一小时内至少有两位小孩子需要照顾，
这一小时内恰好有两位小孩需要照顾的概率为：
，
这一小时内三位小孩子都需要照顾的概率为：
，
这一小时内至少有两位小孩需要照顾的概率为：
．
17.证明：在三棱柱中，因为底面，
所以三棱柱是直三棱柱，故四边形是矩形，
又因为点是的中点，连接，则点是的中点，
连接，因为是的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面；
解：因为平面平面交于，平面，
所以平面，又平面，
所以，
过在平面内，作交于点，连接，
因为，，平面，
所以平面，又平面，
所以，
因此为二面角的平面角，
又因为，所以，
故平面平面，
由可知，四边形是矩形，
取的中点，连接，
因为为的中点，所以，
因为，所以，
又因为，，是的中点，
所以在矩形内，利用等面积法可得，
，
又，
因此，
在中，，
因此二面角的平面角的正切值为．
18.解：证明：如图，连接交于点，连接，
则，且平面，，
，
，
又点是的中点，
，，又，，平面，
平面，又平面，
平面平面；
假设存在，
如图，以为原点建立空间直角坐标系，
则，，，，
设，，
，，，，
，
设平面的法向量为，
则，取，
，
直线与平面所成角的正弦值为，
直线与平面所成角的余弦值为：
，又，
解得，
当点位于靠近点的三等分点，满足题意．
19.解：由可得，，
由正弦定理，，即，
因代入可得：，
因，则，故，得；
设，则由可得，
，整理得，，
又由可得，，
整理得，；
在中，由余弦定理，，即，
分别在，，中，由余弦定理，，
将三个等式左右分别相加，，
将，代入整理得，，于是，
从而，，
依题意，当时，不等式恒成立，即在上恒成立，
因，当且仅当时等号成立，
故有，即实数的取值范围为．
第1页，共1页