2024-2025学年高一数学人教B版必修一课时作业：3.1.2 函数的单调性（含解析）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年高一数学人教B版必修一课时作业：3.1.2 函数的单调性（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-09-26 16:16:06 | ||
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文档简介
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2024-2025学年高一数学人教B版必修一课时作业：3.1.2 函数的单调性
一、选择题
1．已知函数是R上的增函数，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
2．已知:对于任意的正数x，y，，若满足，则恒成立，那么k的最大值是( )
A. B. C. D.
3．已知函数在R上单调递增，则实数m的取值范围为( )
A. B. C. D.
4．已知函数，则关于x的不等式的解集为( )
A. B. C. D.
5．已知函数在R上单调递增，则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
6．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.我们记一个正整数经过次上述运算法则后首次得到1（若n经过有限次上述运算法则均无法得到1，则记），以下说法正确的是( )
A.可看作一个定义域和值域均为的函数
B.在其定义域上不单调，有最小值，有最大值
C.对任意正整数，都有
D.
7．下列结论正确的是( )
A.函数的单调增区间是
B.函数在定义域内单调递减
C.函数的单调递增区间是，
D.函数的单调递减区间是
8．已知函数，，，若对于任意，总存在，使得成立，则实数m的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．下列函数中在上单调递增的是( )
A. B. C. D.
10．设函数在区间A上有意义，任意两个不相等的实数，下列各式中，能够确定函数在区间A上单调的是( )
A. B.
C. D.
11．下列说法正确的是( )
A.已知是定义在上的函数，且，所以在上单调递减
B.函数的单调减区间是
C.函数的单调减区间是
D.已知在R上是增函数，若，则有
三、填空题
12．对于定义域为R的函数，下述判断正确的是_________.（填序号）
①若函数是偶函数，则；②若，则函数是偶函数；③若，则函数不是偶函数.
13．设函数的最大值为M，最小值为m，则_________.
14．函数在上的最大值为________.
四、解答题
15．对于定义域分别为，的函数，，规定：函数.
（1）若，其中，，其中，求；
（2）对（1）中的，求的值域.
16．函数的最大（小）值
最大值 最小值
一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足
（1），都有___________（2），使得___________ （1），都有___________（2），使得___________
那么，我们称M是函数的___________ 那么，我们称M是函数的___________
17．已知函数是定义在上的奇函数,且.
（1）求函数的解析式;
（2）判断函数在上的单调性并用定义证明;
（3）解关于x不等式.
18．已知定义在上函数同时满足如下三个条件：
①对任意都有；
②当时，；
③.
(1)计算，的值；
(2)证明在上为减函数；
(3)有集合，问：是否存在点使？
19．已知的定义域为R,对任意都有,当时,,.
(1)求,;
(2)证明:在R上是减函数;
(3)解不等式:.
参考答案
1．答案：D
解析：因为函数是R上的增函数，
所以，解得，即a的取值范围是.
故选：D.
2．答案：A
解析：正数x，y，满足，则，
得，当且仅当时等号成立，可得，
，当且仅当时等号成立，
，
又，即，由二次函数的性质可知，时，有最大值3，
则当，时，最小值为，
由恒成立，
所以k的最大值为.
故选：A.
3．答案：B
解析：因为函数，在R上单调递增，
当时，由于和均在单调递增函数，
故在上单调递增，
所以，解得，
当时，根据对勾函数的性质可知，若在上单调递增，
则，解得，
当时，，此时，显然满足在R上单调递增，
综上，.
故选：B.
4．答案：A
解析：由，故在R上单调递增，
由，有，即.
故选：A.
5．答案：B
解析：因为函数在R上单调递增，
当，即时，需满足，解得，
所以；
当，即时，需满足，
即，解得，又，所以,
综上，实数a的取值范围为.
故选：B.
6．答案：C
解析：对于A：依题意，的定义域是大于1的正整数集，A错误；
对于B：由，，，得在其定义域上不单调，
而，，则有最小值1，
由n经过有限次角谷运算均无法得到1，记，得无最大值，B错误；
对于C：对任意正整数，，而，
因此，C正确；
对于D：由，，知不正确，D错误.
故选：C.
7．答案：C
解析：对A，由，解得或，
则函数的定义域为或，如图，
所以函数的单调增区间为，故A错误；
对B，，
函数的定义域为，所以在和上分别为减函数，
但不能说定义域内单调递减，故B错误；
对C，函数，如图，
所以函数的单调增区间为，，单调减区间为，，故C正确；
对D，当时，函数的图象开口向下，对称轴为，
所以的单调减区间为，
又当时，为减函数，但中间不能用“”这个符号，故D错误.
故选：C.
8．答案：D
解析：，，
，，
设，则，则函数等价为，
由对勾函数的单调性可得，
时，单调递减，
时，单调递增，
当时，函数取得最小值，，
当时，，当时，，
设函数的值域为M，则函数的值域；
由，在上是减函数，
则最大值为，最小值，，
设的值域为N，则，
若对于任意，总存在，使得成立，
则等价为，即，解得，
所以实数m的取值范围是.
故选：D.
9．答案：ACD
解析：
A √ 是一次函数，在R上单调递增，故在上单调递增.
B × 是反比例函数，故在上单调递减.
C √ 是二次函数，其图象开口向上、对称轴为直线，故在上单调递增.
D √ 在上单调递增，在上单调递减，故在上单调递增.
10．答案：BC
解析：若函数在区间A上单调递增，则对任意两个不相等的实数，都有与同号，若函数在区间A上单调递减，则对任意两个不相等的实数，都有与异号，故B，C正确，A，D错误.
11．答案：CD
解析：对于A，设，，则，但是在上单调递增，A错误；
对于B，，所以函数的单调递减区间是，，故B错误：
令，解得，所的定义域为，又的单调减区间是，所以的单调递减区间是，故C正确；
在R上是增函数，若，即，，所以，，所以，即，故D正确.
故选：CD.
12．答案：①③
解析：①若函数是偶函数，则，则，故①正确；
②令，为定义在R上的函数，且满足，但函数不是偶函数，故②错误；
③对于定义域为R的函数，若，根据偶函数定义，则函数不是偶函数，故③正确，
故答案为：①③.
13．答案：2
解析：因为，
令，定义域为.
且，所以为奇函数.
因为，所以的最大值为，的最小值为.
所以，所以.
故答案为：2.
14．答案：1
解析：令，所以，
则可化为，
当时，，
当时，，
当时，，
当且仅当时取等，此时解得（负根舍去），
故此时，则此时最大值为1，
当时，因为函数在上单调递减，
得到，所以
故，即，
综上函数在上的最大值为1.
故答案为：1.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）由函数的定义域为，函数的定义域为R，
所以当时，；
当时，，
综上所述：.
（2）由（1）得当，，
设，则，，
当时，，当且仅当，即时等号成立，
当时，，即，即，
当且仅当，即时，等号成立，
即当时，；
当时，，
综上所述.
16．答案：；；；；最大值；最小值
解析：
17．答案：（1）
（2）单调递增,证明见解析
（3）
解析：（1）由奇函数的性质可知,,
,
.
,.
经验证,满足题设.
（2）函数在上单调递增,
证明:令,
,
,,,,,
即,
函数在上单调递增.
（3）由已知:,
由（2）知在上单调递增,
,
不等式的解集为.
18．答案：(1)，；
(2)证明见解析；
(3)不存在
解析：（1）由，
，
得.
（2）对任意，有.根据条件②有.
所以.
所以在上为减函数.
（3）联立，
将，，代入上式得，
因为在上是减函数，
所以消去c得.
因为，所以d无实数解.所以不存在满足题设的点.
19．答案：(1),
(2)证明见解析
(3)
解析：(1)根据,
令,得,解得,
再令,,则有,解得.
(2)设,,,则,
所以,即,
因为所以,所以,
即,,都有,
所以在R上单调递减.
(3)由题可知,
所以,
所以由得,
即,即,
又因为,所以,
由(2)知在R上单调递减,所以,
即,即,解得.
所以,解集为.
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2024-2025学年高一数学人教B版必修一课时作业：3.1.2 函数的单调性
一、选择题
1．已知函数是R上的增函数，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
2．已知:对于任意的正数x，y，，若满足，则恒成立，那么k的最大值是( )
A. B. C. D.
3．已知函数在R上单调递增，则实数m的取值范围为( )
A. B. C. D.
4．已知函数，则关于x的不等式的解集为( )
A. B. C. D.
5．已知函数在R上单调递增，则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
6．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.我们记一个正整数经过次上述运算法则后首次得到1（若n经过有限次上述运算法则均无法得到1，则记），以下说法正确的是( )
A.可看作一个定义域和值域均为的函数
B.在其定义域上不单调，有最小值，有最大值
C.对任意正整数，都有
D.
7．下列结论正确的是( )
A.函数的单调增区间是
B.函数在定义域内单调递减
C.函数的单调递增区间是，
D.函数的单调递减区间是
8．已知函数，，，若对于任意，总存在，使得成立，则实数m的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．下列函数中在上单调递增的是( )
A. B. C. D.
10．设函数在区间A上有意义，任意两个不相等的实数，下列各式中，能够确定函数在区间A上单调的是( )
A. B.
C. D.
11．下列说法正确的是( )
A.已知是定义在上的函数，且，所以在上单调递减
B.函数的单调减区间是
C.函数的单调减区间是
D.已知在R上是增函数，若，则有
三、填空题
12．对于定义域为R的函数，下述判断正确的是_________.（填序号）
①若函数是偶函数，则；②若，则函数是偶函数；③若，则函数不是偶函数.
13．设函数的最大值为M，最小值为m，则_________.
14．函数在上的最大值为________.
四、解答题
15．对于定义域分别为，的函数，，规定：函数.
（1）若，其中，，其中，求；
（2）对（1）中的，求的值域.
16．函数的最大（小）值
最大值 最小值
一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足
（1），都有___________（2），使得___________ （1），都有___________（2），使得___________
那么，我们称M是函数的___________ 那么，我们称M是函数的___________
17．已知函数是定义在上的奇函数,且.
（1）求函数的解析式;
（2）判断函数在上的单调性并用定义证明;
（3）解关于x不等式.
18．已知定义在上函数同时满足如下三个条件：
①对任意都有；
②当时，；
③.
(1)计算，的值；
(2)证明在上为减函数；
(3)有集合，问：是否存在点使？
19．已知的定义域为R,对任意都有,当时,,.
(1)求,;
(2)证明:在R上是减函数;
(3)解不等式:.
参考答案
1．答案：D
解析：因为函数是R上的增函数，
所以，解得，即a的取值范围是.
故选：D.
2．答案：A
解析：正数x，y，满足，则，
得，当且仅当时等号成立，可得，
，当且仅当时等号成立，
，
又，即，由二次函数的性质可知，时，有最大值3，
则当，时，最小值为，
由恒成立，
所以k的最大值为.
故选：A.
3．答案：B
解析：因为函数，在R上单调递增，
当时，由于和均在单调递增函数，
故在上单调递增，
所以，解得，
当时，根据对勾函数的性质可知，若在上单调递增，
则，解得，
当时，，此时，显然满足在R上单调递增，
综上，.
故选：B.
4．答案：A
解析：由，故在R上单调递增，
由，有，即.
故选：A.
5．答案：B
解析：因为函数在R上单调递增，
当，即时，需满足，解得，
所以；
当，即时，需满足，
即，解得，又，所以,
综上，实数a的取值范围为.
故选：B.
6．答案：C
解析：对于A：依题意，的定义域是大于1的正整数集，A错误；
对于B：由，，，得在其定义域上不单调，
而，，则有最小值1，
由n经过有限次角谷运算均无法得到1，记，得无最大值，B错误；
对于C：对任意正整数，，而，
因此，C正确；
对于D：由，，知不正确，D错误.
故选：C.
7．答案：C
解析：对A，由，解得或，
则函数的定义域为或，如图，
所以函数的单调增区间为，故A错误；
对B，，
函数的定义域为，所以在和上分别为减函数，
但不能说定义域内单调递减，故B错误；
对C，函数，如图，
所以函数的单调增区间为，，单调减区间为，，故C正确；
对D，当时，函数的图象开口向下，对称轴为，
所以的单调减区间为，
又当时，为减函数，但中间不能用“”这个符号，故D错误.
故选：C.
8．答案：D
解析：，，
，，
设，则，则函数等价为，
由对勾函数的单调性可得，
时，单调递减，
时，单调递增，
当时，函数取得最小值，，
当时，，当时，，
设函数的值域为M，则函数的值域；
由，在上是减函数，
则最大值为，最小值，，
设的值域为N，则，
若对于任意，总存在，使得成立，
则等价为，即，解得，
所以实数m的取值范围是.
故选：D.
9．答案：ACD
解析：
A √ 是一次函数，在R上单调递增，故在上单调递增.
B × 是反比例函数，故在上单调递减.
C √ 是二次函数，其图象开口向上、对称轴为直线，故在上单调递增.
D √ 在上单调递增，在上单调递减，故在上单调递增.
10．答案：BC
解析：若函数在区间A上单调递增，则对任意两个不相等的实数，都有与同号，若函数在区间A上单调递减，则对任意两个不相等的实数，都有与异号，故B，C正确，A，D错误.
11．答案：CD
解析：对于A，设，，则，但是在上单调递增，A错误；
对于B，，所以函数的单调递减区间是，，故B错误：
令，解得，所的定义域为，又的单调减区间是，所以的单调递减区间是，故C正确；
在R上是增函数，若，即，，所以，，所以，即，故D正确.
故选：CD.
12．答案：①③
解析：①若函数是偶函数，则，则，故①正确；
②令，为定义在R上的函数，且满足，但函数不是偶函数，故②错误；
③对于定义域为R的函数，若，根据偶函数定义，则函数不是偶函数，故③正确，
故答案为：①③.
13．答案：2
解析：因为，
令，定义域为.
且，所以为奇函数.
因为，所以的最大值为，的最小值为.
所以，所以.
故答案为：2.
14．答案：1
解析：令，所以，
则可化为，
当时，，
当时，，
当时，，
当且仅当时取等，此时解得（负根舍去），
故此时，则此时最大值为1，
当时，因为函数在上单调递减，
得到，所以
故，即，
综上函数在上的最大值为1.
故答案为：1.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）由函数的定义域为，函数的定义域为R，
所以当时，；
当时，，
综上所述：.
（2）由（1）得当，，
设，则，，
当时，，当且仅当，即时等号成立，
当时，，即，即，
当且仅当，即时，等号成立，
即当时，；
当时，，
综上所述.
16．答案：；；；；最大值；最小值
解析：
17．答案：（1）
（2）单调递增,证明见解析
（3）
解析：（1）由奇函数的性质可知,,
,
.
,.
经验证,满足题设.
（2）函数在上单调递增,
证明:令,
,
,,,,,
即,
函数在上单调递增.
（3）由已知:,
由（2）知在上单调递增,
,
不等式的解集为.
18．答案：(1)，；
(2)证明见解析；
(3)不存在
解析：（1）由，
，
得.
（2）对任意，有.根据条件②有.
所以.
所以在上为减函数.
（3）联立，
将，，代入上式得，
因为在上是减函数，
所以消去c得.
因为，所以d无实数解.所以不存在满足题设的点.
19．答案：(1),
(2)证明见解析
(3)
解析：(1)根据,
令,得,解得,
再令,,则有,解得.
(2)设,,,则,
所以,即,
因为所以,所以,
即,,都有,
所以在R上单调递减.
(3)由题可知,
所以,
所以由得,
即,即,
又因为,所以,
由(2)知在R上单调递减,所以,
即,即,解得.
所以,解集为.
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