2024-2025学年高一数学人教B版必修一课时作业：3.1.3 函数的奇偶性（含解析）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年高一数学人教B版必修一课时作业：3.1.3 函数的奇偶性（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.8MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-09-26 16:17:36 | ||
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
2024-2025学年高一数学人教B版必修一课时作业：3.1.3 函数的奇偶性
一、选择题
1．已知为奇函数，则( )
A. B.14 C. D.18
2．已知，是定义域为R的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
3．已知函数在上单调递减，且的图象关于直线对称，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
4．若直线经过曲线的对称中心，则的最大值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5．已知函数的定义域为R，且，，则下列选项不正确的是( )
A. B.为偶函数
C. D.在区间上单调递减
6．定义表示不超过x的最大整数.例如：，，则( )
A. B.，
C.是偶函数 D.是增函数
7．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，若函数的图象关于点成中心对称图形，则( )
A. B. C. D.
8．已知函数是定义为R，给出下列两个结论：①当时，都有，则函数是R上的增函数；②若函数满足，则该函数为奇函数或偶函数.则( )
A.①对②对 B.①对②错 C.①错②对 D.①错②错
二、多项选择题
9．设函数的定义域为R，则下列命题中正确的有( )
A.若存在常数M，使得对任意，有，则M是函数的最大值
B.若存在，使得对任意，且，有，则是函数的最大值
C.若存在，使得对任意，有，则是函数的最大值
D.若的最大值为2，则的最大值也为2
10．已知是奇函数,是偶函数,且,则( )
A.是奇函数 B.是奇函数
C.奇函数 D.是奇函数
11．若的定义域为R，满足对任意，都有，且，则下列说法正确的是( )
A.
B.为偶函数
C.为奇函数
D.
三、填空题
12．已知是定义域为的偶函数，且满足，，则_________.
13．已知偶函数和奇函数的定义域都是，它们在上的图像分别是图1和图2，则关于x的不等式的解集是_________.
14．已知定义在R上的偶函数满足，若，则实数a的取值范围是_________.
四、解答题
15．已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有.
（1）求函数的解析式；
（2）判断的单调性，并证明；
（3）解不等式.
16．判断下列函数的奇偶性：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
17．设函数（且）是定义域为R的奇函数.
（1）求实数k的值.
（2）若，判断函数的单调性，并证明.
（3）在（2）的条件下，若对任意的，存在使得不等式成立，求实数m的取值范围.
18．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，其中
(1)求函数的解析式；
(2)若函数在区间不单调，求出实数a的取值范围.
19．已知偶函数.
(1)求的表达式;
(2)设函数,,若对任意的,总存在,使成立,求实数a的取值范围.
参考答案
1．答案：D
解析：因为为奇函数，所以，
即，故的对称中心为，即，
所以，
又，即，
所以.
故选：D.
2．答案：D
解析：由题意可得，
因为是奇函数，是偶函数，
所以，
联立，解得，
又因为对于任意的，都有成立，
所以，
所以成立，
构造，
所以由上述过程可得在单调递增，
（1）若，则对称轴，解得；
（2）若，则在单调递增，满足题意；
（3）若，则对称轴恒成立；
综上，.
故选：D.
3．答案：D
解析：因为函数在上单调递减，且的图象关于直线对称，
所以函数在上单调递增，
因为，所以，
即；
故选：D.
4．答案：D
解析：记，因为
，所以的对称中心为
因为直线过的对称中心，
所以，即，
所以，当且仅当时取等号，即的最大值为4.
故选：D.
5．答案：D
解析：对于选项A：令，，得，故A正确；
对于选项B：令，得，
即，且，所以为偶函数，故B正确；
对于选项C：令，得，
x用代入即，
消去得：，x用代入得，
所以有，即，故C正确；
对于选项D：令，则有，
令，，则有，
令，，则有，
所以在区间上不是单调递减，故D错误.
故选：D.
6．答案：B
解析：A选项，取，，则，，显然，所以A不正确；
B选项，设表示不超过的最大整数，所以，
所以，所以，所以，即，
所以，所以，故B正确；
C选项，，因为，，
所以，所以不是偶函数，故C错误；
D选项，，所以，所以不是增函数，故D错误.
故选：B.
7．答案：B
解析：因为函数图象的对称中心为，
则
，
因为为奇函数，所以，
即
，
所以得，，
解得，.
故选：B.
8．答案：B
解析：任取两个变量，，，
若，则，与矛盾，
所以，
由增函数定义可得函数是R上的增函数，①正确；
由，可得，
所以不一定恒成立，也不一定恒成立，
例如，所以函数可能为非奇非偶函数，②错误；
故选：B.
9．答案：BCD
解析：由最大值的定义可知，仅满足对任意的都有，还不能确定M是的最大值，这是因为还必须在定义域中存在使，才能说明M是的最大值，故A错误.由函数最大值的定义可知B，C正确.在D中，由于的最大值为2，所以存在使得，且对任意的有.故对任意的实数x恒有，所以的最大值也为2，D正确.故选BCD.
10．答案：CD
解析：是奇函数,;
是偶函数,;
对于A,,
不是奇函数,A错误;
对于B,,
不是奇函数,B错误;
对于C,,是奇函数,C正确;
对于D,,是奇函数,D正确.
故选：CD.
11．答案：BCD
解析：A中：令，得，又，所以，故A不选；
B中：令得，，所以，而的定义域是全体实数，所以为偶函数，故B选；
C中：令，，得，所以，
又，而的定义域是全体实数，所以为奇函数，故C选；
D中：，所以，所以，
故4是的周期，又，，，所以，故D选.
故选：BCD.
12．答案：0
解析：由满足，则，即函数是周期为4的周期函数.
根据题意，是定义域为的偶函数，则有，
又由满足，则，所以，
由，可得，，，
则，所以.
故答案为：0.
13．答案：
解析：由偶函数的性质可知，，
或，
由奇函数的性质可知，，，
当，得，
当，得，
所以不等式的解集为.
故答案为：.
14．答案：
解析：因为的图象的对称轴为，且开口向上，
所以在上严格增，且在R上是偶函数，
所以，两边平方得，
所以.
故答案为：.
15．答案：（1）
（2）在为增函数，证明见解析
（3）
解析：（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，即，解得，
因为，所以，所以，
所以当时，，
当时，，
则，
综上所述，；
（2）函数在上为增函数.
证明：任取，，且，
则
，
，，，
，即，
故在上为增函数；
（3）因为函数是定义在上的奇函数，
所以，
又由（2）知在上为增函数，
所以，解得，
故原不等式的解集为.
16．答案：（1）奇函数
（2）既不是奇函数也不是偶函数
（3）既是奇函数又是偶函数
（4）奇函数
解析：（1）由，得，且，
所以的定义域为，关于原点对称，
所以.
又，所以是奇函数.
（2）因为的定义域为，不关于原点对称，所以既不是奇函数也不是偶函数.
（3）对于函数，，，其定义域为，关于原点对称.
因为对定义域内的每一个x，都有，所以，，
所以既是奇函数又是偶函数.
（4）函数的定义域为R，定义域关于原点对称.
①当时，，
所以，，所以；
②当时，，所以；
③当时，，所以.
综上，可知函数为奇函数.
17．答案：（1）；
（2）是R上单调增函数，证明见解析；
（3）.
解析：（1）由题意，函数是定义域为R的奇函数，
可得，即，解得，
此时函数，经检验是奇函数，所以.
（2）由（1）知函数，
因为，即，可得，
任意，且，
则
因为，且在R上单调增函数，所以
又因为，所以，即，
所以是R上单调增函数.
（3）由，可得，
因为函数为R上奇函数，所以，
又因为是R上单调增函数，所以，
即对任意的都成立，
只需
设函数，可得对称轴，
所以，所以，
因为存在，使得，只需，所以，
即实数m的取值范围.
18．答案：(1)；
(2)
解析：（1）由是定义在R上的奇函数，所以，
又时，，
所以时，，
所以，
所以函数的解析式为.
（2）当时，，
若，由知，在上递增，不合题意；
，，
所以在上先减再增，符合函数在上不单调，
综上，实数a的取值范围为.
19．答案：(1)
(2)
解析：(1)当时,,且为偶函数
故,
即.
(2)当,,
由对勾函数可知,时,,故此时,
当,,
且为偶函数,故当,,
函数,,
当,,
此时对任意的,总存在,使显然不成立;
当,,
若对任意的,总存在,使成立,
则,即,解得;
当,,
若对任意的,总存在,使成立,
则,即,解得;
综上,实数的取值范围是.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
2024-2025学年高一数学人教B版必修一课时作业：3.1.3 函数的奇偶性
一、选择题
1．已知为奇函数，则( )
A. B.14 C. D.18
2．已知，是定义域为R的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
3．已知函数在上单调递减，且的图象关于直线对称，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
4．若直线经过曲线的对称中心，则的最大值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5．已知函数的定义域为R，且，，则下列选项不正确的是( )
A. B.为偶函数
C. D.在区间上单调递减
6．定义表示不超过x的最大整数.例如：，，则( )
A. B.，
C.是偶函数 D.是增函数
7．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，若函数的图象关于点成中心对称图形，则( )
A. B. C. D.
8．已知函数是定义为R，给出下列两个结论：①当时，都有，则函数是R上的增函数；②若函数满足，则该函数为奇函数或偶函数.则( )
A.①对②对 B.①对②错 C.①错②对 D.①错②错
二、多项选择题
9．设函数的定义域为R，则下列命题中正确的有( )
A.若存在常数M，使得对任意，有，则M是函数的最大值
B.若存在，使得对任意，且，有，则是函数的最大值
C.若存在，使得对任意，有，则是函数的最大值
D.若的最大值为2，则的最大值也为2
10．已知是奇函数,是偶函数,且,则( )
A.是奇函数 B.是奇函数
C.奇函数 D.是奇函数
11．若的定义域为R，满足对任意，都有，且，则下列说法正确的是( )
A.
B.为偶函数
C.为奇函数
D.
三、填空题
12．已知是定义域为的偶函数，且满足，，则_________.
13．已知偶函数和奇函数的定义域都是，它们在上的图像分别是图1和图2，则关于x的不等式的解集是_________.
14．已知定义在R上的偶函数满足，若，则实数a的取值范围是_________.
四、解答题
15．已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有.
（1）求函数的解析式；
（2）判断的单调性，并证明；
（3）解不等式.
16．判断下列函数的奇偶性：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
17．设函数（且）是定义域为R的奇函数.
（1）求实数k的值.
（2）若，判断函数的单调性，并证明.
（3）在（2）的条件下，若对任意的，存在使得不等式成立，求实数m的取值范围.
18．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，其中
(1)求函数的解析式；
(2)若函数在区间不单调，求出实数a的取值范围.
19．已知偶函数.
(1)求的表达式;
(2)设函数,,若对任意的,总存在,使成立,求实数a的取值范围.
参考答案
1．答案：D
解析：因为为奇函数，所以，
即，故的对称中心为，即，
所以，
又，即，
所以.
故选：D.
2．答案：D
解析：由题意可得，
因为是奇函数，是偶函数，
所以，
联立，解得，
又因为对于任意的，都有成立，
所以，
所以成立，
构造，
所以由上述过程可得在单调递增，
（1）若，则对称轴，解得；
（2）若，则在单调递增，满足题意；
（3）若，则对称轴恒成立；
综上，.
故选：D.
3．答案：D
解析：因为函数在上单调递减，且的图象关于直线对称，
所以函数在上单调递增，
因为，所以，
即；
故选：D.
4．答案：D
解析：记，因为
，所以的对称中心为
因为直线过的对称中心，
所以，即，
所以，当且仅当时取等号，即的最大值为4.
故选：D.
5．答案：D
解析：对于选项A：令，，得，故A正确；
对于选项B：令，得，
即，且，所以为偶函数，故B正确；
对于选项C：令，得，
x用代入即，
消去得：，x用代入得，
所以有，即，故C正确；
对于选项D：令，则有，
令，，则有，
令，，则有，
所以在区间上不是单调递减，故D错误.
故选：D.
6．答案：B
解析：A选项，取，，则，，显然，所以A不正确；
B选项，设表示不超过的最大整数，所以，
所以，所以，所以，即，
所以，所以，故B正确；
C选项，，因为，，
所以，所以不是偶函数，故C错误；
D选项，，所以，所以不是增函数，故D错误.
故选：B.
7．答案：B
解析：因为函数图象的对称中心为，
则
，
因为为奇函数，所以，
即
，
所以得，，
解得，.
故选：B.
8．答案：B
解析：任取两个变量，，，
若，则，与矛盾，
所以，
由增函数定义可得函数是R上的增函数，①正确；
由，可得，
所以不一定恒成立，也不一定恒成立，
例如，所以函数可能为非奇非偶函数，②错误；
故选：B.
9．答案：BCD
解析：由最大值的定义可知，仅满足对任意的都有，还不能确定M是的最大值，这是因为还必须在定义域中存在使，才能说明M是的最大值，故A错误.由函数最大值的定义可知B，C正确.在D中，由于的最大值为2，所以存在使得，且对任意的有.故对任意的实数x恒有，所以的最大值也为2，D正确.故选BCD.
10．答案：CD
解析：是奇函数,;
是偶函数,;
对于A,,
不是奇函数,A错误;
对于B,,
不是奇函数,B错误;
对于C,,是奇函数,C正确;
对于D,,是奇函数,D正确.
故选：CD.
11．答案：BCD
解析：A中：令，得，又，所以，故A不选；
B中：令得，，所以，而的定义域是全体实数，所以为偶函数，故B选；
C中：令，，得，所以，
又，而的定义域是全体实数，所以为奇函数，故C选；
D中：，所以，所以，
故4是的周期，又，，，所以，故D选.
故选：BCD.
12．答案：0
解析：由满足，则，即函数是周期为4的周期函数.
根据题意，是定义域为的偶函数，则有，
又由满足，则，所以，
由，可得，，，
则，所以.
故答案为：0.
13．答案：
解析：由偶函数的性质可知，，
或，
由奇函数的性质可知，，，
当，得，
当，得，
所以不等式的解集为.
故答案为：.
14．答案：
解析：因为的图象的对称轴为，且开口向上，
所以在上严格增，且在R上是偶函数，
所以，两边平方得，
所以.
故答案为：.
15．答案：（1）
（2）在为增函数，证明见解析
（3）
解析：（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，即，解得，
因为，所以，所以，
所以当时，，
当时，，
则，
综上所述，；
（2）函数在上为增函数.
证明：任取，，且，
则
，
，，，
，即，
故在上为增函数；
（3）因为函数是定义在上的奇函数，
所以，
又由（2）知在上为增函数，
所以，解得，
故原不等式的解集为.
16．答案：（1）奇函数
（2）既不是奇函数也不是偶函数
（3）既是奇函数又是偶函数
（4）奇函数
解析：（1）由，得，且，
所以的定义域为，关于原点对称，
所以.
又，所以是奇函数.
（2）因为的定义域为，不关于原点对称，所以既不是奇函数也不是偶函数.
（3）对于函数，，，其定义域为，关于原点对称.
因为对定义域内的每一个x，都有，所以，，
所以既是奇函数又是偶函数.
（4）函数的定义域为R，定义域关于原点对称.
①当时，，
所以，，所以；
②当时，，所以；
③当时，，所以.
综上，可知函数为奇函数.
17．答案：（1）；
（2）是R上单调增函数，证明见解析；
（3）.
解析：（1）由题意，函数是定义域为R的奇函数，
可得，即，解得，
此时函数，经检验是奇函数，所以.
（2）由（1）知函数，
因为，即，可得，
任意，且，
则
因为，且在R上单调增函数，所以
又因为，所以，即，
所以是R上单调增函数.
（3）由，可得，
因为函数为R上奇函数，所以，
又因为是R上单调增函数，所以，
即对任意的都成立，
只需
设函数，可得对称轴，
所以，所以，
因为存在，使得，只需，所以，
即实数m的取值范围.
18．答案：(1)；
(2)
解析：（1）由是定义在R上的奇函数，所以，
又时，，
所以时，，
所以，
所以函数的解析式为.
（2）当时，，
若，由知，在上递增，不合题意；
，，
所以在上先减再增，符合函数在上不单调，
综上，实数a的取值范围为.
19．答案：(1)
(2)
解析：(1)当时,,且为偶函数
故,
即.
(2)当,,
由对勾函数可知,时,,故此时,
当,,
且为偶函数,故当,,
函数,,
当,,
此时对任意的,总存在,使显然不成立;
当,,
若对任意的,总存在,使成立,
则,即,解得;
当,,
若对任意的,总存在,使成立,
则,即,解得;
综上,实数的取值范围是.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)