第二十一章 一元二次方程 单元 检测试题（含答案） 2024--2025学年人教版九年级数学上册

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第二十一章《一元二次方程》单元检测题
一．选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1、关于x的方程（m﹣1）x2+2mx﹣3＝0是一元二次方程，则m的取值是（　　）
A．任意实数 B．m≠1 C．m≠﹣1 D．m＞1
2、若关于x的一元二次方程（a+1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．0
3、已知一元二次方程，若，则该方程一定有一个根为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．-1
4、已知a、b、c是的三边长，且方程的两根相等，则为（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．任意三角形
5．若方程x2﹣5x﹣1＝0的两根为x1、x2，则+的值为（　　）
A．5 B． C．﹣5 D．
6. 已知(m2＋n2)(m2＋n2＋2)－8＝0，则m2＋n2的值为(　　)
A. －4或2 B .－2或4 C. 4 D. 2
7．已知三角形的两边长为4和5，第三边的长是方程x2﹣5x+6＝0的一个根，则这个三角形的周长是（　　）
A．11 B．12 C．11或12 D．15
8．如果一个三角形两边的长分别等于一元二次方程的两个实数根，那么这个三角形的周长可能是（ ）
A．13 B．18 C．22 D．26
9．若关于x的一元二次方程有实数根，则c的值不可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：）（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(每题3分，共24分)
11．若关于的方程是一元二次方程，则　 　．
12．若方程经配方法转化成，则的值是　 　．
13．若一元二次方程的根的判别式的值为8，则　 　．
14．已知一元二次方程x2+x﹣2021＝0两根分别为m，n，则+值为 　．
15．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根为x1，x2，使得x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16成立，则k的值　 　．
16、已知α，β是关于x的一元二次方程x2＋(2m＋3)x＋m2＝0的两个不相等的实数根，且满足＋＝－1，则m的值是　 　．
17、已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的系数满足a＋b＋c＝0.我们把这样的方程称为“凤凰方程”．已知凤凰方程ax2＋bx＋c＝0的一个根是另一个根的两倍，则这个方程的两个根是　 　．
18、某药品经两次降价后，从原来每箱元降为每箱元，则平均每次的降价率为________．
三.解答题(共46分,19题6分，20 ---24题8分)
19．解方程：
（1）x2+2x﹣3＝0； （2）2（5x﹣1）2＝5（5x﹣1）；
（3）（x+3）2﹣（2x﹣3）2＝0； （4）3x2﹣4x﹣1＝0．
20．已知关于x的方程x2+mx﹣6＝0的一个根为2，求方程的另一个根．
21． 已知实数是的根，不解方程，求的值．
22．已知关于x的一元二次方程
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若是上述方程的两个实数根，且满足，请求出k的值及相应的实数根．
23．如图，某学校有一块长，宽的长方形空地，计划在其中修建两块相同的长方形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．
（1）若设计人行通道的宽度为，则两块长方形绿地的面积共多少平方米
（2）若两块长方形绿地的面积共，求人行通道的宽度．
24．为建设宜居宜业美丽乡村，某县年投入资金万元，年投入资金万元，现假定年到年每年投入资金的增长率相同．
（1）求该县投入资金的年平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计该县年投入资金为多少万元？
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D D C C B B C A D
二．填空题（共8小题）
11．
12．-6
13．2
14．解：∵一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两根分别为m，n，
∴m+n＝﹣1，mn＝﹣2021，
∴+＝＝＝，
故答案为：．
15．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根，
∴△＝（2k+1）2﹣4（k2+2k）≥0，
解得k≤，
由根与系数的关系得x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2+2k，
∵x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16．
∴x1x2﹣[（x1+x2）2﹣2x1x2]＝﹣16，
即﹣（x1+x2）2+3x1 x2＝﹣16，
∴﹣（2k+1）2+3（k2+2k）＝﹣16，
整理得k2﹣2k﹣15＝0，
解得k1＝5（舍去），k2＝﹣3．
∴k＝﹣3，
故答案为﹣3．
16、3； 17、1，2或1，； 18、10；三．解答题（共7小题）
19．解：（1）分解因式得：（x+3）（x﹣1）＝0，
可得x+3＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝1；
（2）方程整理得：2（5x﹣1）2﹣5（5x﹣1）＝0，
分解因式得：（5x﹣1）[2（5x﹣1）﹣5]＝0，
可得5x﹣1＝0或10x﹣7＝0，
解得：x1＝0.2，x2＝0.7；
（3）分解因式得：（x+3+2x﹣3）（x+3﹣2x+3）＝0，
可得3x＝0或﹣x+6＝0，
解得：x1＝0，x2＝6；
（4）这里a＝3，b＝﹣4，c＝﹣1，
∵△＝16+12＝28＞0，
∴x＝＝，
解得：x1＝，x2＝．
20．解：设方程另一个根为x1，
根据题意得2x1＝﹣6，解得x1＝﹣3，
即方程的另一个根是﹣3．
21．
【分析】本题主要考查一元二次方程的解，多项式乘以多项式，完全平方公式和合并同类项，根据方程的解的概念求得，根据多项式乘以多项式，完全平方公式和合并同类项法则化简代数式，然后整体代入即可，熟练掌握运算法则和正确理解整体代入思想是解题的关键．
【详解】解：∵实数是的根，
∴，即，
由
，
，
，
∵，
∴原式，
．
22．(1)见解析
(2)当时，或，当时，或
【分析】（1）计算其判别式，判断其为正数，即可证得结论；
（2）由根与系数的关系可求得和的值，代入已知等式可得到关于k的方程，可求得k的值，再代入方程求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：∵是上述方程的两个实数根，
∴，
∵，
∴，即，解得或，
当时，方程为，解得或，
当时，方程为，解得或．
【点睛】本题主要考查方程根与系数的关系及根的判别式，利用根与系数的关系表示出两根积与两根和是解题的关键．
23．（1）解：（30-3×2）（10-2×2）=24×6=144m2
答：两块长方形绿地的面积共144平方米。
（2）解：设 人行通道的宽度为xm，
（30-3x）（10-2x）=216
300-90x+6x2=216
x2-15x+14=0
x1=1，x2=14（舍去）
答：人行通道的宽度为1m
24．（1）解：设该县投入资金的年平均增长率为，
依题得：，
解得，（不合题意，舍去），
故该县投入资金的年平均增长率为．
（2）解：由得：该县投入资金的年平均增长率为，
年投入资金万元，增长率保持不变，
预计该县年投入资金为万元．
答：该县年投入资金为万元．