第二十一章 一元二次方程 单元检测试题（含答案） 2024--2025学年人教版九年级数学上册

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第二十一章《一元二次方程》单元检测题
一．选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．5（x+1）2=2（x+3） B． C．ax2+bx+c=0 D．2m2+x=3
2．一元二次方程的根是（ ）
A． B． C． D．
3．用配方法将方程化成的形式，则的值是（ ）
A． B． C． D．
4．若关于的一元二次方程的两个实数根之积为负数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．若方程x2﹣5x﹣1＝0的两根为x1、x2，则+的值为（　　）
A．5 B． C．﹣5 D．
6．已知、是方程的两个根，则（　　）
A． B． C． D．
7．一个直角三角形的两条直角边的长是方程 的两个根，则此直角三角形的面积为（　　）
A．6 B．12 C．7 D．无法确定
8．关于 的一元二次方程 的两个实数根分别为 ， ，且 ，则 的取值范围是（　　）
A． B． 且 C． D． 且
9．有若干个好朋友除夕夜晚打电话互相问候，两个朋友之间都通话交流一次，一共通话21次，设这些朋友一共x人，则下列方程符合题意的是（ ）
A． B． C． D．
10．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
二、填空题(每题3分，共24分)
11．若一元二次方程的两个根为，，则＝　 　．
12．已知m，n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，则mn+m+n＝　 　．
13．如果关于的一元二次方程有两个相等的实数根，那么　 　．
14．若两个不同的实数m、n满足，，则 ．
15．等腰三角形的一边长为1，另两边的长是关于x的方程的两根，那么其周长是 ．
16．如果m、n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2021＝　 　．
17．某市年月的工业产值达亿元，第一季度的总产值是亿元．若设后两个月的平均月增长率为，则根据题意可列出的方程是 ．
18．用一块长、宽的长方形铁皮，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为的无盖长方体盒子，设小正方形的边长为x，则可列出方程 ．
三.解答题(共46分,19题6分，20 ---24题8分)
19．解方程：
（1）x2﹣7＝0； （2）4x2﹣4x+1＝0
（3）4x2﹣3x+1＝0； （4）（3x+2）2﹣4x2＝0
20．若关于x的一元二次方程x2﹣2（2﹣k）x+k2+12=0有实数根α、β．
（1）求实数k的取值范围；
（2）设 ，求t的最小值．
21．已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0.
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根.
（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的面积.
22．已知等腰三角形的三边长分别为a，b，4，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，求m的值．
23.“绿化校园，书香开州”，今年三月份，开州区某校计划购买梧桐树苗和杉树苗共棵，其中梧桐树苗每棵元，杉树苗每棵元，经预算，此次购买两种树苗一共至少需要元．
(1)计划购买梧桐树苗最少是多少棵？
(2)在实际购买中，因受树苗积压以及市场影响，为此商家降低了两种树苗的售价，且降价相同，但降价金额不得高于元/棵，经统计发现，两种树苗的售价每降低元，梧桐树苗的销售量会增加棵，杉树苗的销售量会增加棵．若该校实际购进这两种树苗一共所需费用比计划购买的最低费用多了元，则两种树苗都降低多少元？
24.如图，在矩形中，，，动点，分别从点、同时出发，点以厘米秒的速度向终点移动，点以厘米秒的速度向移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为秒，问：
(1)当为何值时，点和点距离是？
(2)当为何值时，以点、、为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C C B C B B C A D
二．填空题（共8小题）
11．【答案】
12．【答案】-7
【解析】【解答】解：∵m，n是方程x2+2x﹣5＝0的两个实数根，
∴m+n==-2，mn==-5，
∴mn+m+n=（-5）+（-2）=-7，
故答案为：-7.
【分析】一元二次方程根与系数的关系：为一元二次方程（a≠0）的两个实数根，那么.
13．【答案】9
14．解：∵一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两根分别为m，n，
∴m+n＝﹣1，mn＝﹣2021，
∴+＝＝＝，
故答案为：．
15．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根，
∴△＝（2k+1）2﹣4（k2+2k）≥0，
解得k≤，
由根与系数的关系得x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2+2k，
∵x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16．
∴x1x2﹣[（x1+x2）2﹣2x1x2]＝﹣16，
即﹣（x1+x2）2+3x1 x2＝﹣16，
∴﹣（2k+1）2+3（k2+2k）＝﹣16，
整理得k2﹣2k﹣15＝0，
解得k1＝5（舍去），k2＝﹣3．
∴k＝﹣3，
故答案为﹣3．
16．解：由题意可知：m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，
所以m，n是x2﹣x﹣3＝0的两个不相等的实数根，
则根据根与系数的关系可知：m+n＝1，mn＝﹣3，
又n2＝n+3，
则2n2﹣mn+2m+2021
＝2（n+3）﹣mn+2m+2021
＝2n+6﹣mn+2m+2021
＝2（m+n）﹣mn+2027
＝2×1﹣（﹣3）+2027
＝2+3+2027
＝2032．
故答案为：2032．
17．
18．
三．解答题（共7小题）
19．（1），；（2）；（3）无实数根；（4），．
20．【答案】（1）解：∵一元二次方程x2﹣2（2﹣k）x+k2+12=0有实数根a，β，
∴△≥0，
即4（2﹣k）2﹣4（k2+12）≥0，
4（4﹣4k+k2）﹣4k2﹣48≥0，
16﹣16k﹣48≥0，即16k≤﹣32，
解得k≤﹣2
（2）解：由根与系数的关系得：a+β=﹣[﹣2（2﹣k）]=4﹣2k，
∴ ，
∵k≤﹣2，
∴﹣2≤ ＜0，
∴ ，
即t的最小值为﹣4．
【解析】【分析】（1）由于一元二次方程存在两实根，令△≥0求得k的取值范围；（2）将α+β换为k的表达式，根据k的取值范围得出t的取值范围，求得最小值．
21．【答案】（1）证明：，
其中：，，，
∴，
∴在实数范围内，m无论取何值，，
即，
∴关于x的方程恒有两个不相等的实数根；
（2）解：根据题意得：将代入方程可得：
，
解得，
∴方程为，
解得：或，
∴方程的另一个根为；
①当该直角三角形的两直角边是1、3时，
该直角三角形的面积为：；
②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，
由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为，
则该直角三角形的面积为；
综上可得，该直角三角形的面积为或.
22．解：当a＝4时，
∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，
∴4+b＝12，
∴b＝8，
而4+4≠0，不符合题意；
当b＝4时，
∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，
∴4+a＝12，
而4+4＝8，不符合题意；
当a＝b时，
∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，
∴12＝a+b，解得a＝b＝6，
∴m+2＝36，
∴m＝34．
23．(1)计划购买梧桐树苗最少是棵
(2)两种树苗都降低元
【分析】（1）可设计划购买梧桐树苗是棵，根据题意可列出相应的一元一次不等式，求解即可；
（2）设两种树苗都降低元，从而可列出相应的一元二次方程，求解即可．
【详解】（1）解：设计划购买梧桐树苗是棵，依题意得：
，
解得：，
答：计划购买梧桐树苗最少是棵；
（2）两种树苗都降低a元，依题意得：
，
整理得：，
解得：或（不符合题意舍去），
答：两种树苗都降低元．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，解答的关键是理解清楚题意找到等量关系．
24．(1)，；
(2)，，．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，矩形的性质；
（1）作于E，则四边形是矩形，在中，由勾股定理，得，解方程，即可求解；
（2）当时，作于E，在中，由勾股定理，得，解方程，即可求解．当时，作于E，可得，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：如图1，作于E，
∴，∵
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，
在中，由勾股定理，得，
解得：，，
当时，图（1）满足，
当时，图（2）满足，
综上所述：，；
（2）如图3，当时，作于E，
∴∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，，
∵，
∴，
在中，由勾股定理，得，
解得：，，
如图4，当时，作于E，
∴，．
∵，
∴四边形是矩形，
∴
∵，
∴．
∴，解得：；
综上所述：，，．