2024-2025学年天津市西青区津衡高级中学高三（上）质检数学试卷（9月份）（含答案）

2024-2025学年天津市西青区津衡高级中学高三（上）质检
数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共12小题，每小题4分，共48分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.“”是“”成立的( )
A. 充分条件 B. 必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
3.第届亚运会于年月日至月日在浙江省杭州市举行，本届亚运会会徽“潮涌”的主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素组成，其中扇面造型反映江南人文意蕴已知扇面呈扇环形，内环半径为，外环半径为，扇环所对圆心角为，则该扇面的面积为( )
A. B. C. D.
4.已知，则的值是( )
A. B. C. D.
5.函数的大致图象为( )
A. B.
C. D.
6.设，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
7.已知的内角，，的对边分别为，，，，下面使得有两组解的的值可以为( )
A. B. C. D.
8.在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，则的面积最大值为( )
A. B. C. D.
9.已知，，则的值域为( )
A. B. C. D.
10.已知外接圆的半径为，且，，，则的面积为( )
A. B. C. D.
11.设函数，则不等式的解集是( )
A. B. C. D.
12.已知函数的部分图象如图所示，下列不正确的个数有( )
函数的图象关于点中心对称
函数的单调增区间为
函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
函数在上有个零点，则实数的取值范围为
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
13.函数的定义域是______．
14.求值： ______．
15.已知，，其中，则 ______．
16.已知幂函数在上单调递增，则实数 ；函数的单调递增区间为 ．
17.设，，已知函数是奇函数，则 ______；若函数是上的增函数，则的取值范围是______．
18.已知函数，若方程有个实数根，则的取值范围是______．
三、解答题：本题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
已知二次函数满足，且．
求的解析式；
若函数在区间上不单调，求的取值范围；
若两个不相等的正数，满足，求的最小值．
20.本小题分
在中，角、、的对边分别为、、，且，，．
Ⅰ求的面积；
Ⅱ求边的值和的值；
Ⅲ求的值．
21.本小题分
已知函数．
求的单调递增区间；
求图象的对称中心的坐标；
若，求的值．
22.本小题分
已知函数，．
Ⅰ求的单调区间和极值；
Ⅱ若在单调递增，求实数的取值范围；
Ⅲ当时，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围．
23.本小题分
已知函数，其中且．
，恒成立，求实数的取值范围；
求当时，函数在区间上的最小值；
记函数的图象为曲线，设点、是曲线上两个不同点，如果曲线上存在点，满足：；曲线在点处的切线平行于直线，则称函数存在“中值相依切线”试问：函数是否存在“中值相依切线”，请说明理由．
参考答案
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19.解：设，
由，得，
又，
则，解得，
所以；
，，
若函数在区间上不单调，
由函数，其对称轴为，
要使得函数在区间上不单调，
则满足，解得，
故实数的取值范围为；
因为，则的对称轴为，
函数在单调递增，则函数在单调递减，
若，，，且有，
则，
，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为．
20.解：Ⅰ因为，且，
所以，
所以；
Ⅱ由余弦定理有，，则，
又由正弦定理，
得；
Ⅲ由知，，所以，
由余弦定理有，，所以，
所以，，
所以．
21.解：因为
，
由，
得，
所以的单调递增区间为．
令，得，
所以图象的对称中心的坐标为．
由，得，则．
因为，所以，所以．
所以
．
22.解：Ⅰ因为，
所以，
令，得，
所以在上，单调递减，
在上，单调递增，
所以在处取得极小值，且极小值为，无极大值．
Ⅱ，，
则，，
因为在上单调递增，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，
所以只需，，
设，，
，
所以在上，单调递增，
所以，
所以，
所以的取值范围为．
Ⅲ若对任意的，总存在，使得，
则当时，，
因为在上单调递增，
所以当时，，
因为，，
所以，，
因为，
所以当时，，单调递减，
所以当时，，
所以，
所以，
所以的取值范围为
23.解：，，
而函数在上单调递增，恒成立，则，
所以实数的取值范围是．
当时，函数，
求导得，
当，即时，，函数在上单调递减，；
当，即时，由，得，由，得，
即函数在上单调递减，在上单调递增，；
当，即时，函数在上单调递增，，
所以．
假设函数存在“中值相依切线”，设，是曲线上不同两点，，
则，，
直线的斜率，
由知，，由，
得，
于是，即，
令，令，求导得，
因此函数在上单调递增，则，
从而方程在上无解，即不成立，则假设不成立，
所以函数不存在“中值相依切线”．
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