2024-2025学年四川省内江市威远中学高三（上）开学数学试卷（9月份）（含答案）

2024-2025学年四川省内江市威远中学高三（上）开学
数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，，则( )
A. B. C. D.
2.设为虚数单位，，则复数的虚部是( )
A. B. C. D.
3.已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边经过点，则( )
A. B. C. D.
4.已知，，且，则( )
A. B. C. D.
5.已知，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知是递增的等比数列的前项和，其中，，则( )
A. B. C. D.
7.记函数的最小正周期为若，且，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数，，若，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，下列结论中正确的是( )
A. 函数的周期是 B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数的最小值是 D. 函数的图象关于点对称
10.下列说法正确的有( )
A. 已知一组数据，，，，的方差为，则，，，，的方差也为
B. 统计学中用线性相关系数来衡量两个变量的线性相关性强弱，若越小，则两个变量之间的线性相关性越弱
C. 已知随机变量服从正态分布，若，则
D. 已知随机变量服从二项分布，若，则
11.已知函数，其中实数，，则下列结论正确的是( )
A. 必有两个极值点
B. 有且仅有个零点时，的范围是
C. 当时，点是曲线的对称中心
D. 当时，过点可以作曲线的条切线
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若的展开式中二项式系数之和为，则展开式中的系数为______．
13.中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊名航天员开展实验，其中天和核心舱安排人，问天实验舱与梦天实验舱各安排人甲、乙两人要在同一个舱内，则不同的安排方案共有______．
14.若定义在上的函数满足是奇函数，，，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，分别为的内角、、的对边，且．
求角；
若，求出边并求出的面积
16.本小题分
是技术驱动的自然语言处理工具，引领了人工智能的新一轮创新浪潮某数学兴趣小组为了解使用人群中年龄与是否喜欢该程序的关系，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了名居民进行调查整理如下列联表：
年龄因素 对该程序的态度 合计
不喜欢该程序 喜欢该程序
青少年
中老年
合计
注：本研究定义年龄不小于周岁为“中老年人”，其余的称为“青少年”．
请完成上面列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为年龄因素与是否喜欢该程序有关系；
在抽取的名居民中有人经常使用该程序辅助工作以样本频率估计概率若在全市范围内抽取位居民，经常使用该程序辅助工作的人数为，求的数学期望和方差；
在抽取的名居民中有名高中生，其中有名男生，名女生为进一步了解他们的对于的认知和看法，在名高中生中，随机抽取人进行访谈，设抽取的人中男生人数为，求的分布列和数学期望．
附：．
17.本小题分
已知函数．
若，，求曲线在处的切线的方程
讨论函数的单调性
若，对任意两个不同的，，不等式恒成立，求的最小值．
18.本小题分
夏日天气炎热，学校为高三备考的同学准备了绿豆汤和银耳羹两种凉饮，某同学每天都会在两种凉饮中选择一种，已知该同学第天选择绿豆汤的概率是，若在前一天选择绿豆汤的条件下，后一天继续选择绿豆汤的概率为，而在前一天选择银耳羹的条件下，后一天继续选择银耳羹的概率为，如此往复提示：设表示第天选择绿豆汤
求该同学第一天和第二天都选择绿豆汤的概率；
求该同学第天选择绿豆汤的概率；
记该同学第天选择绿豆汤的概率为，求出的通项公式．
19.本小题分
对于任意正整数，进行如下操作：若为偶数，则对不断地除以，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若为奇数，则对不断地除以，直到得出一个奇数，记这个奇数为若，则称正整数为“理想数”．
求以内的质数“理想数”；
已知求的值；
将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列，记的前项和为，证明：．
参考答案
1.
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13.种
14.
15.解：因为，
所以由正弦定理得，
因为，可得，
所以，可得，
因为，
所以；
在中，，
所以由余弦定理得，可得，整理得，
解得舍去，或，
可得的面积．
16.解：根据题意可得列联表如下：
年龄因素 对该程序的态度 合计
不喜欢该程序 喜欢该程序
青少年
中老年
合计
零假设：年龄因素与是否喜欢该程序无关，
由列联表的数据可得：，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即年龄因素与是否喜欢该程序有关，此推断犯错误的概率不超过；
由题易知，随机抽取一人为经常使用该程序辅助的概率为，则，
故，；
由题，的所有可能取值为，，，，
则，
，
，
，
故的分布列为：
则．
17.解：若，，则，
可得，所以，且，
所以曲线在处的切线的方程为，
即为；
，
当时，，在上单调递增；
当时，令，解得，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增．
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
因为，，所以，
故函数在上单调递增，
不妨设，则由，
可化为，
设，则，
所以为上的减函数，即在上恒成立，
等价于在上恒成立，即在上恒成立，
又，所以，所以，
而函数在上是增函数，
所以当且仅当，时等号成立．
所以即的最小值为．
18.解：该同学第一天和第二天都选择绿豆汤的概率为；
设表示第天选择绿豆汤，表示第天选择绿豆汤，则表示第天选择银耳羹，
根据题意得，，
所以．
设表示第天选择绿豆汤，则，
根据题意得，，
由全概率公式得，，
即，
整理得，，又，
所以是以为首项，为公比的等比数列．
所以，
所以．
19.解：易知，，，，，后续直到都不满足条件，
和为两个质数“理想数”；
由题设可知必为奇数，必为偶数，
存在正整数，使得，即：
，且，
，或，或，解得，或，
，或，即的值为或．
证明：显然偶数“理想数“必为形如的整数，
下面探究奇数“理想数“，不妨设置如下区间：，，，，，
若奇数，不妨设，
若为“理想数“，则，且，即，且，
当，且时，；
当时，；
，且，
又，即，
易知为上述不等式的唯一整数解，
区间存在唯一的奇数“理想数“，且，
显然为奇数“理想数“，所有的奇数“理想数“为，
所有的奇数“理想数“的倒数为，
，
，
即．
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