2024-2025学年上海市杨浦区复旦大学附中高三（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年上海市杨浦区复旦大学附中高三（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设、为向量，则“”是“、的夹角是锐角”的 条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要
2.从装有红球、白球和黑球各个的口袋内一次取出个球，给出以下事件：
两球都不是白球；
两球中恰有一白球；
两球中至少有一个白球．
其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是( )
A. B. C. D.
3.如图，正方体中，是的中点，则( )
A. 直线与直线相交，直线平面
B. 直线与直线平行，直线平面
C. 直线与直线异面，直线平面
D. 直线与直线垂直，直线平面
4.已知是定义在上的函数，其图像是一条连续不断的曲线，设函数，下列说法正确的是( )
A. 若在上单调递增，则存在实数，使得在上单调递增
B. 对于任意实数，若在上单调递增，则在上单调递增
C. 对于任意实数，若存在实数，使得，则存在实数，使得
D. 若函数满足：当时，，当时，，则为的最小值
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.直线的倾斜角是______．
6.已知复数满足是虚数单位，则______
7.已知随机变量的方差，则随机变量的方差 ______．
8.已知为第二象限角，，则______．
9.在中，若，，，则的面积是______．
10.已知向量、满足，且在上的数量投影为，则 ______．
11.设若是函数的最小值，则实数的取值范围为______．
12.设是定义在上的函数，且满足若是奇函数，是偶函数，则的值为______．
13.已知关于的不等式的解集为，则的取值范围为______．
14.已知，，若曲线上存在点满足，则的取值范围是______．
15.已知全集，，若集合，且对任意，均存在，使得：，则称集合为“对称对点集”给出如下集合：
，；
；
，；
，，．
其中是“对称对点集”的序号为______写出所有正确的序号
16.关于的方程有实根，则的最小值为______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
某公司今年初用万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为万元同时，公司每年需要付出设备的维修和工人工资等费用，第一年各种费用万元，第二年各种费用万元，以后每年各种费用都增加万元．
引进这种设备后，求该公司使用这种设备后第年后所获利润；
这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大？
18.本小题分
已知圆锥母线长为，底面圆半径长为，点是母线的中点，是底面圆的直径，底面半径与母线所成的角的大小等于．
当时，求异面直线与所成的角；
当三棱锥的体积最大时，求的值．
19.本小题分
为了缓解高三学生学业压力，学校开展健美操活动，高三某班文艺委员调查班级学生是否愿意参加健美操，得到如下的列联表．
性别 愿意 不愿意
男生
女生
根据该列联表，并依据显著水平的独立性检验，判断能否认为“学生性别与是否愿意参加健美操有关”；
在愿意参加的所有学生中，根据性别，分层抽样选取位学生组织班级健美操队，并从中随机选取人作为领队，记这人中女生人数为随机变量，求的分布及期望．
附：．
20.本小题分
已知椭圆的左右焦点分别为，，离心率，点，分别是椭圆的右顶点和上顶点，的边上的中线长为．
求椭圆的标准方程；
过点的直线交椭圆于，两点，若，求直线的方程；
直线，过右焦点，且它们的斜率乘积为，设，分别与椭圆交于点，和，若，分别是线段和的中点，求面积的最大值．
21.本小题分
若函数满足：对任意正数，，都有，则称函数为“函数”．
试判断函数与是否为“函数”，并说明理由；
若函数是“函数”，求实数的取值范围；
若函数为“函数”，，对任意正数、，都有，，证明：对任意，都有．
参考答案
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17.解：由题意知，每年各种费用等差数列，设纯收入与年数的关系为，
则，
由得，解得，
又因为，所以，，，，
即从第年该公司开始获利；
年平均收入为，
当且仅当时，等号成立，即年平均收益最大．
所以这种设备使用年，该公司的年平均获利最大．
18.分 解：连，过作交于点，连．
又，又，．
又，等于异面直线与所成的角或其补角．
，或分
当时，．
，
当时，，
综上异面直线与所成的角等于或分
三棱锥的高为且长为，要使得三棱锥的体积最大只要底面积的面积最大．而当时，的面积最大．分
又，此时平面，，分
19.解：零假设：学生性别与是否愿意参加健美操无关，
由题意可知，，
依据的独立性检验，我们推断不成立，即认为“学生性别与是否愿意参加健美操有关”；
因为愿意参加的所有学生中，男生与女生之比为：，
所以选取的位学生中有名男生，名女生，
由题意可知，的所有可能取值为，，，
则，，，
所以的分布列为：


所以．
20.解：由题意，因为，，为直角三角形，所以．
又，所以，所以椭圆的标准方程为．
由知，，显然直线的斜率存在，
设直线的方程为，，，
联立，消去得，，
所以，即．
且，
因为，所以，
所以，即，
所以，
整理得，
即，
化简得，即满足条件，
所以直线的方程为或，
即直线的方程为或．
由题意，，
设直线的方程为，，，
则直线的方程为，，，
联立消去得，
所以，
所以，，
所以，
同理联立，消去得，
所以，
所以，，
所以，
即的中点．
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的面积最大值为．

21.解：对于任意，，，，
所以，
即成立，
故是“函数”；
对于，
取，则，．
因为，故不是“函数”；
因为函数是“函数”，
所以对于任意的，，有恒成立，
即恒成立，
所以恒成立，
又，，故，，则，
则，即，即实数的取值范围为；
证明：由函数为“函数”，可知对于任意正数，，
都有，，且，
令，可知，即，
故对于自然数与正数，
都有，
对任意，可得，又，
所以，
同理，
故．
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