2024-2025学年浙江省名校协作体高三（上）适应性数学试卷（含答案）

2024-2025学年浙江省名校协作体高三（上）适应性数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.数据，，，，，的上四分位数是( )
A. B. C. D.
2.设随机变量服从二项分布，若，则( )
A. B. C. D.
3.设集合，，，则下列选项中一定成立的是( )
A. B. C. D.
4.方程的实数解有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
5.已知抛物线与斜率为的直线恰有一个公共点，则点的纵坐标为( )
A. B. C. D.
6.如图，在下列四个正方体中，是顶点，，，是棱的中点，则三棱锥体积最大的是( )
A. B.
C. D.
7.已知函数，若恰有三个不同实根，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.空间中一个静止的物体用三根绳子悬挂起来，已知三根绳子上的拉力大小分别为，，，且三根绳子中任意两根绳子的夹角均为，则该物体的重力大小为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设双曲线：，则( )
A. 的实轴长为 B. 的焦距为
C. 的离心率为 D. 的渐近线方程为
10.在复平面内，复数，对应的点分别是，已知，，则( )
A. B.
C. D.
11.已知数列为公差为的等差数列，为公比为的正项等比数列记，，，，则( )
参考公式：
A. 当时， B. 当时，
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，若与的夹角为锐角，则的取值范围是______．
13.设，且，则 ______．
14.四个村庄，，，之间建有四条道路，，，在某个月的天中，每逢单数日道路，开放，，封闭维护，每逢双数日道路，开放，，封闭维护一位游客起初住在村庄，在该月的第天，他以的概率沿当天开放的道路去往相邻村庄投宿，以的概率留在当前村庄，并且他在这天里的选择是相互独立的则第天结束时该游客住在村庄的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数，其中．
若，，求的最小值；
证明：至少有两个零点．
16.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
求；
求的取值范围．
17.本小题分
已知是棱长为的正四面体，设的四个顶点到平面的距离所构成的集合为，若中元素的个数为，则称为的阶等距平面，为的阶等距集．
若为的阶等距平面且阶等距集为，求的所有可能值以及相应的的个数；
已知为的阶等距平面，且点与点，，分别位于的两侧若的阶等距集为，其中点到的距离为，求平面与夹角的余弦值．
18.本小题分
设数列的前项和为，已知，，令．
求的通项公式；
当时，，求正整数；
数列中是否存在相等的两项？若存在，求所有的正实数，使得中至少有两项等于；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
在直角坐标系中，过椭圆的右焦点的直线与截得的线段长的取值范围是．
求的方程；
已知曲线：的切线被坐标轴所截的线段长为定值．
求与截得的线段长；
求与截得的线段长的取值范围．
参考答案
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15.解：若，，则，
，
令，得，
所以在上，单调递减，
在上，单调递增，
所以．
证明：因为，不全为，不妨设，
，
，，
由零点的存在定理可得在，上至少有一个零点．
16.解：由，根据正弦定理得，
结合，
代入式并整理得，
因为中，，所以，两边平方得，
即，整理得，
所以不符合题意，舍去．
因此，舍负，可得；
在中，，所以，
由此可得，
因为，所以，当且仅当时，取等号．
因此，，可知的取值范围是
17.解：情形一：分别取，，的中点，，，
由中位线性质可知，
此时平面为的一个阶等距平面，
为正四面体高的一半，等于，
由于正四面体有个面，这样的阶等距平面平行于其中一个面，有种情况；
情形二：分别取，，，的中点，，，，
将此正四面体放置到棱长为的正方体中，
则为正方体棱长的一半，等于，
由于正四面体的六条棱中有组对棱互为异面直线，
这样的阶等距平面平行于其中一组异面直线，有种情况，
综上，当的值为时，有个；当的值为时，有个．
在线段，，上分别取一点，，，
使得：：，：：，：：，则平面即为平面，
如图，取中点，连接，以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，过点且与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，
则，
设，
，
设平面法向量为，
所以，即，
所以，
又平面的法向量为，
设平面与夹角为，
所以，
所以平面与夹角余弦值为．
18.解：，解得，
当时，，即．
将换成，有．
上述两式相减得，即，，
为等差数列．由，，得．
，，
当时，由
，
，即，亦即，
从而可得，
故的最大项是第项，．
由知，，，
又对，，
若中有两项相等，只可能是或，
且这样的，若存在，则必唯一．
由题意得，，，则仅有两项相等，
．
19.解：设椭圆的焦距为，直线与椭圆交于，，
当直线与轴重合时，，
当直线与轴重合时，设直线的方程为，
联立直线与椭圆的方程可得，
整理得，
则，
所以，
则有 ，
所以，，
解得，，
所以椭圆的方程为．
设为椭圆上任意一点，
由条件，则有，
，
则直线的方程为，
设直线交，轴分别于，，
代入，得，
则有为定值，
则只能有，，
解得，
否则有，均为定值，则其解有限，矛盾，
此时有．
设切线与椭圆交于，
此时令，则切线，
将切线与椭圆联立得，
所以
．
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