2024-2025学年山西省朔州市怀仁一中高三（上）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年山西省朔州市怀仁一中高三（上）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
3.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
4.函数的一个零点所在的区间是( )
A. B. C. D.
5.已知函数是定义域为的奇函数，当时，若，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.已知条件：，条件：，若是的必要而不充分条件，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间分钟后的温度满足，称为半衰期，其中是环境温度．若，现有一杯的热水降至大约用时分钟，那么水温从降至，大约还需要参考数据：，
A. 分钟 B. 分钟 C. 分钟 D. 分钟
8.设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数在定义域内不是单调函数的是( )
A. B.
C. D.
10.已知正实数，满足，则下列说法正确的是( )
A. 的最小值是 B. 的最大值是
C. 的最大值是 D. 的最大值是
11.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 若有两个零点，则
B. 若无零点，则
C. 若有两个零点，，则
D. 若有两个零点，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，其中是其导函数，则 ______．
13.若，，，则的最小值为______．
14.已知函数，若存在实数，，，满足，且，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
若关于的不等式的解集为，求实数，的值；
若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知命题：“，”为假命题，设实数的所有取值构成的集合为．
求集合；
设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知函数为实常数．
若函数为奇函数，求的值；
在的条件下，对任意，不等式恒成立，求实数的最大值．
18.本小题分
已知函数．
讨论函数的单调性；
若函数有两个零点，，且证明：．
19.本小题分
已知函数．
求函数在区间上的值域；
曲线在点处的切线也是曲线的切线，求实数的取值范围．
参考答案
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14.
15.解：不等式的解集为，
则对应方程的两个根为和，
则，得，，
所以实数，；
函数在区间上单调递增，则，得．
所以实数的取值范围．
16.解：命题：“，”为假命题，
方程无解，，解得，
；
是的必要不充分条件，
，
时，，解得；
时，，解得，
综上得，的取值范围为．
17.解：因为，，
又因为为奇函数，
所以，
所以．
经检验满足题意，
所以；
由知，从而，
由不等式恒成立，得，
令因为，
故，
由于函数在单调递增，
所以，
因此当不等式在上恒成立时，实数的最大值为．
18.解：由题意得的定义域为，
当时，恒成立，即在上单调递增，
当时，由得，
当时，，当时，．
函数在上单调递减，在上单调递增，
综上所述，当时，在上单调递增，
当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
证明：由题可得，
两式相减得，
要证，即证，
即证，即证，
令，则，即证，
令，则，
在上单调递增，即，
，故原命题成立．
19.解：因为，所以，
令，可得，
令，可得或，
所以函数在，上单调递增，在上单调递减，
所以函数在区间上单调递增，在上单调递减，
由，
故函数在上的值域为．
由，
所以曲线在点处的切线斜率为：，此时，
所以曲线在点处的切线方程为：，
整理得：
联立方程消去整理得：，
由题意得：，
整理得：，
令，
则，
令，可得或，
令，可得或，
所以函数的增区间为，减区间为，
由，可得，
有，可得，即的取值范围是．
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