黑龙江省哈尔滨市道外区2015-2016学年九年级上期末数学试卷（解析版）
文档属性
| 名称 | 黑龙江省哈尔滨市道外区2015-2016学年九年级上期末数学试卷（解析版） |
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| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 202.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（五四学制） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-02-03 00:00:00 | ||
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文档简介
2015-2016学年黑龙江省哈尔滨市道外区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．下列函数关系式中，表示y是x的反比例函数的是（ ）
A．y= B．y=x C．y= D．y=
2．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
3．如图，△ABC∽△DEF，相似比为1：2．若BC=1，则EF的长是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如果将抛物线y=2x2向上平移1个单位，那么所得的抛物线的解析式是（ ）
A．y=2（x﹣1）2 B．y=2（x+1）2 C．y=2x2﹣1 D．y=2x2+1
5．如图所示几何体的左视图为（ ）
A． B． C． D．
6．下列事件中，是随机事件的是（ ）
A．通常加热到100℃时，水沸腾
B．度量三角形的外角和，结果是360°
C．明天太阳从西边升起
D．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中
7．若反比例函数y=经过点（2，6），则此图象也经过下列点（ ）
A．（﹣2，6） B．（5，7） C．（4，3） D．（﹣6，2）
8．已知Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，则sinB的值是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，若∠P=50°，则∠C的大小等于（ ）
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A．50° B．55° C．60° D．65°
10．已知反比例函数y=（ab≠0）的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx﹣2的大致图象是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）
11．平面直角坐标系中，一点P（﹣2，3）关于原点的对称点P′的坐标是 ．
12．函数y=中，自变量x的取值范围是 ．
13．在半径为5的⊙O中，弦AB的长为5，则∠AOB= ．
14．抛物线y=4（x﹣3）2+7的顶点坐标是 ．
15．一个不透明的箱子里共有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同，从箱子中随机摸出一个球是白球的概率是 ．
16．圆心角为120°的扇形的半径为3，则这个扇形的面积为 （结果保留π）．
17．如图，在△ABC中，DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，若DE=3，BC=9，则= ．
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18．以40m/s的速度将小球沿与地面成 ( http: / / www.21cnjy.com )30度角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位m）与飞行时间t（单位s）之间具有函数关系：h=20t﹣5t2，那么球从飞出到落地要用的时间是 ．
19．已知AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E．当AB=10，CD=8时，则AE= ．
20．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB上一点，BE⊥CD，垂足为点E，AF⊥CD，垂足为点F，若=，AC=6，则DE= ．
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三、解答题（共7小题，满分60分）
21．求下列各式的值：
（1）sin45°+
（2）sin60°+tan60°﹣2cos230°．
22．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图 ( http: / / www.21cnjy.com )所示，顶点坐标分别为A（﹣1，4），B（﹣4，1），C（﹣2，0），画出△ABC绕点A逆时针旋转90°后的△AB1C1，并直接写出点B旋转到点B1所经过的路线长度（结果保留π）．
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23．如图，一艘海轮位于灯塔P北偏东30° ( http: / / www.21cnjy.com )方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向的B处．
（1）求灯塔P到航线AB的距离；
（2）求灯塔P到B处的距离．（结果保留根号）
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24．如图，在⊙O中，D、E分别是半径OA、OB的中点，C是⊙O上一点，CD=CE．
（1）求证：=；
（2）若∠AOB=120°，CD=2，求半径OA的长．
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25．某商店购进一批单价为 ( http: / / www.21cnjy.com )8元的商品，如果每件按10元出售每天可销售100件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每天要少卖出10件，设每件售价为x元．
（1）请用含x的式子表示：①销售该商品每件的利润是 元；②每天的销量是 件；（直接写出结果）
（2）设销售该商品的日利润为y元，那么售价为多少元时，当天的销售利润最大，最大利润是多少？
26．已知，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为点D．
（1）如图1，求证：AC平分∠DAB；
（2）如图2，直线DC与AB的延长线交于点E，∠ACB的平分线交⊙O于点F，CF交AB于点G，求证：EC=EG；
（3）在（2）的条件下，如图3，若CB=3，AC=6，求FG的长．
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27．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与y轴交于点A（0，3），与x轴交于点B（4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AB，点C为线段AB上的一个 ( http: / / www.21cnjy.com )动点，过点C作y轴的平行线交抛物线于点D，设C点的横坐标为m，线段CD长度为d（d≠0）求d与m的函数关系式（不要求写出自变量m的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，连接AD，是否存在m值，使△ACD是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
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2015-2016学年黑龙江省哈尔滨市道外区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．下列函数关系式中，表示y是x的反比例函数的是（ ）
A．y= B．y=x C．y= D．y=
【考点】反比例函数的定义．
【分析】依据反比例函数的定义回答即可．
【解答】解；A、y是x2的反比例函数，故本选项错误；
B、y是x的正比例函数，故本选项错误；
C、符合反比例函数的定义，故本选项正确；
D、y是x的正比例函数，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的三种形式是解题的关键．
2．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
【考点】中心对称图形．
【分析】根据中心对称与轴对称的概念和各图形的特点即可求解．
【解答】解：中心对称图形，即把一个图形绕一个点旋转180°后能和原来的图形重合，A、B、D都是轴对称图形不符合要求；
是中心对称图形的只有C．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形的概 ( http: / / www.21cnjy.com )念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
3．如图，△ABC∽△DEF，相似比为1：2．若BC=1，则EF的长是（ ）
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A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】相似三角形的性质．
【分析】根据相似三角形对应边的比等于相似比即可求解．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为1：2，
∴=，
∴EF=2BC=2．
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形对应边的比等于相似比．
4．如果将抛物线y=2x2向上平移1个单位，那么所得的抛物线的解析式是（ ）
A．y=2（x﹣1）2 B．y=2（x+1）2 C．y=2x2﹣1 D．y=2x2+1
【考点】二次函数图象与几何变换．
【专题】几何变换．
【分析】先利用顶点式得到抛物线y= ( http: / / www.21cnjy.com )x2的顶点坐标为（0，0），再根据点利用的规律得到点（0，0）平移后所得对应点的坐标为（0，1），然后根据顶点式写出平移后抛物线的解析式．
【解答】解：抛物线y=2x2的顶点坐标为（0 ( http: / / www.21cnjy.com )，0），把（0，0）向上平移1个单位所得对应点的坐标为（0，1），所以平移后的抛物线解析式为y=2x2+1．
故选D．
【点评】本题考查了二次函数 ( http: / / www.21cnjy.com )图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
5．如图所示几何体的左视图为（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看第一层一个小正方形，第二层一个小正方形，第三层一个小正方形，
故选：A．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看看得到的图形是左视图．
6．下列事件中，是随机事件的是（ ）
A．通常加热到100℃时，水沸腾
B．度量三角形的外角和，结果是360°
C．明天太阳从西边升起
D．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中
【考点】随机事件．
【分析】根据随机事件的定义对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、通常加热到100℃时，水沸腾是必然事件，故本选项错误；
B、度量三角形的外角和，结果是360°是必然事件，故本选项错误；
C、明天太阳从西边升起是不可能事件，故本选项错误；
D、篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中是随机事件，故本选项正确；
故选D．
【点评】本题考查的是随机事件，事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，
①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）=1；
②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）=0；
③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．
7．若反比例函数y=经过点（2，6），则此图象也经过下列点（ ）
A．（﹣2，6） B．（5，7） C．（4，3） D．（﹣6，2）
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据题意得出k的值，再对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：∵反比例函数y=经过点（2，6），
∴k=2×6=12．
A、∵（﹣2）×6=﹣12≠12，∴此点不在函数图象上，故本选项错误；
B、∵5×7=35≠12，∴此点不在函数图象上，故本选项错误；
C、∵4×3=12，∴此点在函数图象上，故本选项正确；
D、∵（﹣6）×2=﹣12≠12，∴此点不在函数图象上，故本选项错误．
故选C．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数y=（k≠0）中k=xy为定值是解答此题的关键．
8．已知Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，则sinB的值是（ ）
A． B． C． D．
【考点】锐角三角函数的定义．
【分析】首先利用勾股定理求得AC的长，然后利用三角函数的定义求解．
【解答】解：AC===12，
则sinB==．
故选B．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
9．如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，若∠P=50°，则∠C的大小等于（ ）
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A．50° B．55° C．60° D．65°
【考点】切线的性质．
【分析】连接OA、OB， ( http: / / www.21cnjy.com )由已知的PA、PB与圆O分别相切于点A、B，根据切线的性质得到OA⊥AP，OB⊥PB，从而得到∠OAP=∠OBP=90°，然后由已知的∠P的度数，根据四边形的内角和为360°，求出∠AOB的度数，最后根据同弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半即可得到∠C的度数．
【解答】解：连接OA、OB，
∵PA、PB与圆O分别相切于点A、B，
∴OA⊥AP，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°，又∠P=50°，
∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣50°=130°，
又∵∠ACB和∠AOB分别是弧AB所对的圆周角和圆心角，
∴∠C=∠AOB=×130°=65°．
故选D．
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【点评】此题考查了切线的性质，以及圆周 ( http: / / www.21cnjy.com )角定理．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题，同时要求学生掌握同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半．
10．已知反比例函数y=（ab≠0）的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx﹣2的大致图象是（ ）
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A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
【考点】二次函数的图象；反比例函数的图象．
【分析】先根据反比例函数图象得到a、b同号，再根二次函数图象与系数的关系以及对称轴的位置判断正确选项．
【解答】解：∵反比例函数图象在一三象限，
∴ab＞0，
∴a、b同号，
∴抛物线对称轴x=﹣＜0，
∵二次函数y=ax2+bx﹣2
∴抛物线交y轴的负半轴，
∴只有选项B符号，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的图象：二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；当a＜0，抛物线开口向下．对称轴为直线x=﹣；与y轴的交点坐标为（0，c）．也考查了反比例函数的图象．
二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）
11．平面直角坐标系中，一点P（﹣2，3）关于原点的对称点P′的坐标是 （2，﹣3） ．
【考点】关于原点对称的点的坐标．
【专题】计算题．
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），从而可得出答案．
【解答】解：根据中心对称的性质，得点P（﹣2，﹣3）关于原点对称点P′的坐标是（2，﹣3）．
故答案为：（2，﹣3）．
【点评】本题考查关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．
12．函数y=中，自变量x的取值范围是 x≠2 ．
【考点】函数自变量的取值范围；分式有意义的条件．
【专题】计算题．
【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不为0．
【解答】解：要使分式有意义，即：x﹣2≠0，
解得：x≠2．
故答案为：x≠2．
【点评】本题主要考查函数自变量的取值范围，考查的知识点为：分式有意义，分母不为0．
13．在半径为5的⊙O中，弦AB的长为5，则∠AOB= 60°或300° ．
【考点】圆周角定理；等边三角形的判定与性质．
【专题】分类讨论．
【分析】根据题意画出图形，由等边三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：如图所示，
∵OA=OB=AB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°或∠AOB=360°﹣60°=300°．
故答案为：60°或300°．
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【点评】本题考查的是圆周角定理，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
14．抛物线y=4（x﹣3）2+7的顶点坐标是 （3，7） ．
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据二次函数的顶点式，直接得出二次函数的顶点坐标．
【解答】解：∵抛物线y=4（x﹣3）2+7，
∴顶点坐标为（3，7）．
故答案为：（3，7）．
【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数的图象为抛物线，若则其解析式为y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标为（h，k）．
15．一个不透明的箱子里共有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同，从箱子中随机摸出一个球是白球的概率是 ．
【考点】概率公式．
【分析】由一个不透明的箱子里共有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵一个不透明的箱子里共有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同，
∴从箱子中随机摸出一个球是白球的概率是：．
故答案为：．
【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
16．圆心角为120°的扇形的半径为3，则这个扇形的面积为 3π （结果保留π）．
【考点】扇形面积的计算．
【分析】根据扇形的面积公式即可求解．
【解答】解：扇形的面积==3π．
故答案是：3π．
【点评】本题主要考查了扇形的面积公式，正确理解公式是解题关键．
17．如图，在△ABC中，DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，若DE=3，BC=9，则= ．
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【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】计算题．
【分析】利用DE∥BC可判断△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的性质求解．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴===．
故答案为．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性 ( http: / / www.21cnjy.com )质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．在利用相似三角形的性质时，注意通过相似比计算相应线段的长或对应角线段．
18．以40m/s的速度将小球沿与 ( http: / / www.21cnjy.com )地面成30度角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位m）与飞行时间t（单位s）之间具有函数关系：h=20t﹣5t2，那么球从飞出到落地要用的时间是 4s ．
【考点】二次函数的应用．
【分析】根据函数关系式，当h=0时，0=20t﹣5t2，解方程即可解答．
【解答】解：当h=0时，0=20t﹣5t2，
解得：t1=0，t2=4，
则小球从飞出到落地需要4s．
故答案为：4s．
【点评】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，根据题意建立方程是解决问题的关键．
19．已知AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E．当AB=10，CD=8时，则AE= 2或8 ．
【考点】垂径定理；勾股定理．
【分析】由直径AB的长求出半径的长，再由 ( http: / / www.21cnjy.com )直径AB垂直于弦CD，利用垂径定理得到E为CD的中点，由CD的长求出CE的长，在直角三角形OCE中，利用勾股定理求出OE的长，分两种情况，即可得出AE的长．
【解答】解：连接OC，
∵直径AB=10，
∴OA=OC=OB=5，
∵AB⊥CD
∴E为CD的中点，又CD=8，
∴CE=DE=4，
在Rt△OCE中，根据勾股定理得：
OC2=CE2+OE2，
∴OE=3，
分两种情况：
①如图1所示：AE=OA﹣OE=5﹣3=2；
②如图2所示：AE=5+3=8；
故答案为：2或8．
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【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理；熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出OE是解本题的关键．
20．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB上一点，BE⊥CD，垂足为点E，AF⊥CD，垂足为点F，若=，AC=6，则DE= 2 ．
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【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【分析】先证明△BCE≌△CAF，得出CF=BE，AF=CE，由于AC已知，从而可算出CF、AF、CE，再加上BE∥AF，=，即可轻松求出DE．
【解答】解：∵BE⊥CD于E，
∴∠BCE+∠EBC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCE+∠FCA=90°，
∴∠EBC=∠FCA，
∵AF⊥CD于F，
∴BE∥AF，∠AFC=∠CEB=90°，
在△BCE和△CAF中，
，
∴△BCE≌△CAF（AAS），
∴CE=AF，BE=CF，
∵=，
∴，，
∵AC=6，
∴CF=6，AF=12，
∴CE=AF=12，EF=CE﹣CF=6，
∴DE==2．
故答案为2．
【点评】本题主要考查了等腰直角三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、平行线分线段成比例等知识点，难度适中．观察并证明△BCE≌△CAF是解决本题的突破口和关键．
三、解答题（共7小题，满分60分）
21．求下列各式的值：
（1）sin45°+
（2）sin60°+tan60°﹣2cos230°．
【考点】特殊角的三角函数值．
【分析】（1）将特殊角的三角函数值代入求解；
（2）将特殊角的三角函数值代入求解．
【解答】解：（1）原式=+
=；
（2）原式=×+﹣2×
=．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
22．△ABC在平面直角坐标系中的位置 ( http: / / www.21cnjy.com )如图所示，顶点坐标分别为A（﹣1，4），B（﹣4，1），C（﹣2，0），画出△ABC绕点A逆时针旋转90°后的△AB1C1，并直接写出点B旋转到点B1所经过的路线长度（结果保留π）．
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【考点】作图-旋转变换．
【分析】分别将点B、C绕点A逆时针旋转90°后得到点B1、C1，然后顺次连接，并根据弧长公式求出点B旋转到点B1所经过的路线长度．
【解答】解：所作图形如图所示：
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∵AB==3，
∴点B旋转到点B1所经过的路线长度l==π．
【点评】本题考查了根据旋转变换作图，解答本题的关键是根据网格结构作出对应点的位置，然后顺次连接，注意掌握弧长公式．
23．如图，一艘海轮位于灯塔P ( http: / / www.21cnjy.com )北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向的B处．
（1）求灯塔P到航线AB的距离；
（2）求灯塔P到B处的距离．（结果保留根号）
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【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．
【分析】（1）作PC⊥AB于C，解Rt△PAC，即可求得PC的长；
（2）在Rt△PBC中，PC=40，∠PBC=∠BPC=45°，则PB可求出．
【解答】解：（1）作PC⊥AB于C，
由题意可得出：∠A=30°，AP=80海里，
故CP=AP=40（海里）；
（2）∵在Rt△PBC中，PC=40，∠PBC=∠BPC=45°，
∴PB=PC=40（海里）．
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【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )方向角问题，直角三角形，锐角三角函数等知识．解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
24．如图，在⊙O中，D、E分别是半径OA、OB的中点，C是⊙O上一点，CD=CE．
（1）求证：=；
（2）若∠AOB=120°，CD=2，求半径OA的长．
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【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【分析】（1）连接OC，由SSS证明△OCD≌△OCE，得出对应角相等∠COD=∠COE，由圆心角，弧，弦的关系即可得出结论；
（2）连接AC，证明△AOC是等边三角形，得出CD⊥OA，由三角函数求出OC，即可得出OA．
【解答】解：（1）证明：连接OC，如图1所示：
∵D、E分别是半径OA、OB的中点，OA=OB，
∴OD=OE，
在△OCD和△OCE中，
，
∴△OCD≌△OCE（SSS），
∴∠COD=∠COE，
∴=；
（2）连接AC，如图2所示：
∵∠AOB=120°，
∴∠COD=∠COE=60°，
∵OC=OA，
∴△AOC是等边三角形，
∵D是OA的中点，
∴CD⊥OA，
∴OC===4，
∴OA=4．
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【点评】本题考查的是圆心角，弧，弦的关系、全等三角形的判定与性质、三角函数；证明三角形全等和等边三角形是解决问题的关键．
25．某商店购进一批单价为8元的商品，如果 ( http: / / www.21cnjy.com )每件按10元出售每天可销售100件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每天要少卖出10件，设每件售价为x元．
（1）请用含x的式子表示：①销售该商品每件的利润是 （x﹣8） 元；②每天的销量是 件；（直接写出结果）
（2）设销售该商品的日利润为y元，那么售价为多少元时，当天的销售利润最大，最大利润是多少？
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）每件的利润=售价﹣进价，根据每涨价1元，每天要少卖出10件可求得销售的数量；
（2）根据商品的利润=每件的利润×售出商品的数量列出函数关系式，然后利用配方法可求得最大值．
【解答】解：（1）商品每件的利润=x﹣8；每天的销量=100﹣10（x﹣10）=200﹣10x．
故答案为：（x﹣8）；200﹣10x．
（2）y= （x﹣8）
=﹣10x2+280x﹣1600
=﹣10（x﹣14）2+360．
所以将销售定价定为14元时，每天所获销售利润最大，且最大利润是360元．
【点评】本题主要考查的是二次函数的应用，列出利润y与售价x的函数关系式是解题的关键．
26．已知，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为点D．
（1）如图1，求证：AC平分∠DAB；
（2）如图2，直线DC与AB的延长线交于点E，∠ACB的平分线交⊙O于点F，CF交AB于点G，求证：EC=EG；
（3）在（2）的条件下，如图3，若CB=3，AC=6，求FG的长．
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【考点】切线的性质．
【分析】（1）连接OC，根据切线与圆的关系和直角三角形内角之间的关系，可以推出AC平分∠DAB；
（2）根据圆周角定理以及三角形的外角的性质定理证明∠ECG=∠EGC，根据等角对等边即可证得；
（3）证明△ECB∽△EAC，根据相似三角形的性质求得===，在直角△EOC中利用勾股定理列方程求得BE和CE，进而求得BG，然后根据△AGF∽△CGB，根据相似三角形的性质求得FG的长．
【解答】（1）证明：连接OC，如图1，
∴OC⊥DC，
∵AD⊥DC，
∴OC∥AD，
∴∠DAC=∠ACO，
∵∠OAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OAC，
即AC平分∠DAB；
（2）证明：如图2，∵DE是⊙O的切线，
∴∠BCE=∠BAC，
∵∠EGC=∠BAC+∠ACG，∠ECG=∠BCE+∠BCG，∠ACG=∠BCG，
∴∠EGC=∠ECG，
∴EC=EG；
（3）解：如图3，连接AF、BF、OC．
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴AB===3，
∴OA=OB=OC=，
∵∠ACF=∠BCF，
∴=，
∴AF=BF．
∵AB是直径，
∴∠AFB=90°．
∴AF=AB=×3=，
∵∠ECB=∠EAC，∠E=∠E，
∴△ECB∽△EAC．
∴===．
设EB=x，则EC=2x，在Rt△EOC中，（x+）2=（2x）2+（）2，
解得x1=0，x2=．
∵x＞0，∴x=，
∴EB=，EG=CE=2，
∴BG=，
∵∠FAG=∠BCG，∠AGF=∠CGB，
∴△AGF∽△CGB，
∴=，即=，
∴FG=．
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【点评】本题考查了圆的切线性 ( http: / / www.21cnjy.com )质、三角形相似的判定和性质、及勾股定理的应用等知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
27．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与y轴交于点A（0，3），与x轴交于点B（4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AB，点C为线段AB上的一个 ( http: / / www.21cnjy.com )动点，过点C作y轴的平行线交抛物线于点D，设C点的横坐标为m，线段CD长度为d（d≠0）求d与m的函数关系式（不要求写出自变量m的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，连接AD，是否存在m值，使△ACD是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
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【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得C、D点坐标，根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得答案；
（3）根据等腰三角形的定义，可得关于m的方程，根据因式分解法解方程，可得答案．
【解答】解：（1）将A、B点坐标代入，得
，
解得，
抛物线的解析式为y=﹣x2+x+3；
（2）如图：
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设AB的解析式为y=kx+b，将B、A的坐标代入，得
，
解得，
AB的解析式为y=﹣x+3，
C在直线AB上，C（m，﹣m+3），D（m，﹣m2+m+3）．
CD的长为﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+2m，
即d=﹣m2+2m；
（3）AC2=m2+（m）2，CD2=（﹣m2+2m）2，AD2=m2+（﹣m2+m）2，
①当AC=AD时，m2+（m）2=m2+（﹣m2+m）2，化简，得
（﹣m2+2m）（﹣m2+m）=0，
解得m=0（不符合题意，舍），m=4（不符合题意，舍），m=1；
②当AC=CD时，m2+（m）2=（﹣m2+2m）2，化简，得
（﹣m2+m）（﹣m2+m）=0，
解得m=0（不符合题意，舍），m=（不符合题意，舍），m=；
③当AD=CD时，m2+（﹣m2+m）2=（﹣m2+2m）2，
化简，得
﹣m2（m﹣）=0，解得m=．
综上所述：m的值为1、或．
【点评】本题考查了二次函数综合题，利用 ( http: / / www.21cnjy.com )待定系数法求函数解析式；利用平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标得出函数解析式；利用等腰三角形的定义得出关于m的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．
2016年2月3日
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．下列函数关系式中，表示y是x的反比例函数的是（ ）
A．y= B．y=x C．y= D．y=
2．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
3．如图，△ABC∽△DEF，相似比为1：2．若BC=1，则EF的长是（ ）
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A．1 B．2 C．3 D．4
4．如果将抛物线y=2x2向上平移1个单位，那么所得的抛物线的解析式是（ ）
A．y=2（x﹣1）2 B．y=2（x+1）2 C．y=2x2﹣1 D．y=2x2+1
5．如图所示几何体的左视图为（ ）
A． B． C． D．
6．下列事件中，是随机事件的是（ ）
A．通常加热到100℃时，水沸腾
B．度量三角形的外角和，结果是360°
C．明天太阳从西边升起
D．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中
7．若反比例函数y=经过点（2，6），则此图象也经过下列点（ ）
A．（﹣2，6） B．（5，7） C．（4，3） D．（﹣6，2）
8．已知Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，则sinB的值是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，若∠P=50°，则∠C的大小等于（ ）
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A．50° B．55° C．60° D．65°
10．已知反比例函数y=（ab≠0）的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx﹣2的大致图象是（ ）
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A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）
11．平面直角坐标系中，一点P（﹣2，3）关于原点的对称点P′的坐标是 ．
12．函数y=中，自变量x的取值范围是 ．
13．在半径为5的⊙O中，弦AB的长为5，则∠AOB= ．
14．抛物线y=4（x﹣3）2+7的顶点坐标是 ．
15．一个不透明的箱子里共有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同，从箱子中随机摸出一个球是白球的概率是 ．
16．圆心角为120°的扇形的半径为3，则这个扇形的面积为 （结果保留π）．
17．如图，在△ABC中，DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，若DE=3，BC=9，则= ．
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18．以40m/s的速度将小球沿与地面成 ( http: / / www.21cnjy.com )30度角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位m）与飞行时间t（单位s）之间具有函数关系：h=20t﹣5t2，那么球从飞出到落地要用的时间是 ．
19．已知AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E．当AB=10，CD=8时，则AE= ．
20．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB上一点，BE⊥CD，垂足为点E，AF⊥CD，垂足为点F，若=，AC=6，则DE= ．
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三、解答题（共7小题，满分60分）
21．求下列各式的值：
（1）sin45°+
（2）sin60°+tan60°﹣2cos230°．
22．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图 ( http: / / www.21cnjy.com )所示，顶点坐标分别为A（﹣1，4），B（﹣4，1），C（﹣2，0），画出△ABC绕点A逆时针旋转90°后的△AB1C1，并直接写出点B旋转到点B1所经过的路线长度（结果保留π）．
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23．如图，一艘海轮位于灯塔P北偏东30° ( http: / / www.21cnjy.com )方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向的B处．
（1）求灯塔P到航线AB的距离；
（2）求灯塔P到B处的距离．（结果保留根号）
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24．如图，在⊙O中，D、E分别是半径OA、OB的中点，C是⊙O上一点，CD=CE．
（1）求证：=；
（2）若∠AOB=120°，CD=2，求半径OA的长．
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25．某商店购进一批单价为 ( http: / / www.21cnjy.com )8元的商品，如果每件按10元出售每天可销售100件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每天要少卖出10件，设每件售价为x元．
（1）请用含x的式子表示：①销售该商品每件的利润是 元；②每天的销量是 件；（直接写出结果）
（2）设销售该商品的日利润为y元，那么售价为多少元时，当天的销售利润最大，最大利润是多少？
26．已知，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为点D．
（1）如图1，求证：AC平分∠DAB；
（2）如图2，直线DC与AB的延长线交于点E，∠ACB的平分线交⊙O于点F，CF交AB于点G，求证：EC=EG；
（3）在（2）的条件下，如图3，若CB=3，AC=6，求FG的长．
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27．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与y轴交于点A（0，3），与x轴交于点B（4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AB，点C为线段AB上的一个 ( http: / / www.21cnjy.com )动点，过点C作y轴的平行线交抛物线于点D，设C点的横坐标为m，线段CD长度为d（d≠0）求d与m的函数关系式（不要求写出自变量m的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，连接AD，是否存在m值，使△ACD是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
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2015-2016学年黑龙江省哈尔滨市道外区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．下列函数关系式中，表示y是x的反比例函数的是（ ）
A．y= B．y=x C．y= D．y=
【考点】反比例函数的定义．
【分析】依据反比例函数的定义回答即可．
【解答】解；A、y是x2的反比例函数，故本选项错误；
B、y是x的正比例函数，故本选项错误；
C、符合反比例函数的定义，故本选项正确；
D、y是x的正比例函数，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的三种形式是解题的关键．
2．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
【考点】中心对称图形．
【分析】根据中心对称与轴对称的概念和各图形的特点即可求解．
【解答】解：中心对称图形，即把一个图形绕一个点旋转180°后能和原来的图形重合，A、B、D都是轴对称图形不符合要求；
是中心对称图形的只有C．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形的概 ( http: / / www.21cnjy.com )念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
3．如图，△ABC∽△DEF，相似比为1：2．若BC=1，则EF的长是（ ）
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A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】相似三角形的性质．
【分析】根据相似三角形对应边的比等于相似比即可求解．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为1：2，
∴=，
∴EF=2BC=2．
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形对应边的比等于相似比．
4．如果将抛物线y=2x2向上平移1个单位，那么所得的抛物线的解析式是（ ）
A．y=2（x﹣1）2 B．y=2（x+1）2 C．y=2x2﹣1 D．y=2x2+1
【考点】二次函数图象与几何变换．
【专题】几何变换．
【分析】先利用顶点式得到抛物线y= ( http: / / www.21cnjy.com )x2的顶点坐标为（0，0），再根据点利用的规律得到点（0，0）平移后所得对应点的坐标为（0，1），然后根据顶点式写出平移后抛物线的解析式．
【解答】解：抛物线y=2x2的顶点坐标为（0 ( http: / / www.21cnjy.com )，0），把（0，0）向上平移1个单位所得对应点的坐标为（0，1），所以平移后的抛物线解析式为y=2x2+1．
故选D．
【点评】本题考查了二次函数 ( http: / / www.21cnjy.com )图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
5．如图所示几何体的左视图为（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看第一层一个小正方形，第二层一个小正方形，第三层一个小正方形，
故选：A．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看看得到的图形是左视图．
6．下列事件中，是随机事件的是（ ）
A．通常加热到100℃时，水沸腾
B．度量三角形的外角和，结果是360°
C．明天太阳从西边升起
D．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中
【考点】随机事件．
【分析】根据随机事件的定义对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、通常加热到100℃时，水沸腾是必然事件，故本选项错误；
B、度量三角形的外角和，结果是360°是必然事件，故本选项错误；
C、明天太阳从西边升起是不可能事件，故本选项错误；
D、篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中是随机事件，故本选项正确；
故选D．
【点评】本题考查的是随机事件，事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，
①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）=1；
②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）=0；
③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．
7．若反比例函数y=经过点（2，6），则此图象也经过下列点（ ）
A．（﹣2，6） B．（5，7） C．（4，3） D．（﹣6，2）
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据题意得出k的值，再对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：∵反比例函数y=经过点（2，6），
∴k=2×6=12．
A、∵（﹣2）×6=﹣12≠12，∴此点不在函数图象上，故本选项错误；
B、∵5×7=35≠12，∴此点不在函数图象上，故本选项错误；
C、∵4×3=12，∴此点在函数图象上，故本选项正确；
D、∵（﹣6）×2=﹣12≠12，∴此点不在函数图象上，故本选项错误．
故选C．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数y=（k≠0）中k=xy为定值是解答此题的关键．
8．已知Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，则sinB的值是（ ）
A． B． C． D．
【考点】锐角三角函数的定义．
【分析】首先利用勾股定理求得AC的长，然后利用三角函数的定义求解．
【解答】解：AC===12，
则sinB==．
故选B．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
9．如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，若∠P=50°，则∠C的大小等于（ ）
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A．50° B．55° C．60° D．65°
【考点】切线的性质．
【分析】连接OA、OB， ( http: / / www.21cnjy.com )由已知的PA、PB与圆O分别相切于点A、B，根据切线的性质得到OA⊥AP，OB⊥PB，从而得到∠OAP=∠OBP=90°，然后由已知的∠P的度数，根据四边形的内角和为360°，求出∠AOB的度数，最后根据同弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半即可得到∠C的度数．
【解答】解：连接OA、OB，
∵PA、PB与圆O分别相切于点A、B，
∴OA⊥AP，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°，又∠P=50°，
∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣50°=130°，
又∵∠ACB和∠AOB分别是弧AB所对的圆周角和圆心角，
∴∠C=∠AOB=×130°=65°．
故选D．
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【点评】此题考查了切线的性质，以及圆周 ( http: / / www.21cnjy.com )角定理．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题，同时要求学生掌握同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半．
10．已知反比例函数y=（ab≠0）的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx﹣2的大致图象是（ ）
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A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
【考点】二次函数的图象；反比例函数的图象．
【分析】先根据反比例函数图象得到a、b同号，再根二次函数图象与系数的关系以及对称轴的位置判断正确选项．
【解答】解：∵反比例函数图象在一三象限，
∴ab＞0，
∴a、b同号，
∴抛物线对称轴x=﹣＜0，
∵二次函数y=ax2+bx﹣2
∴抛物线交y轴的负半轴，
∴只有选项B符号，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的图象：二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；当a＜0，抛物线开口向下．对称轴为直线x=﹣；与y轴的交点坐标为（0，c）．也考查了反比例函数的图象．
二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）
11．平面直角坐标系中，一点P（﹣2，3）关于原点的对称点P′的坐标是 （2，﹣3） ．
【考点】关于原点对称的点的坐标．
【专题】计算题．
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），从而可得出答案．
【解答】解：根据中心对称的性质，得点P（﹣2，﹣3）关于原点对称点P′的坐标是（2，﹣3）．
故答案为：（2，﹣3）．
【点评】本题考查关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．
12．函数y=中，自变量x的取值范围是 x≠2 ．
【考点】函数自变量的取值范围；分式有意义的条件．
【专题】计算题．
【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不为0．
【解答】解：要使分式有意义，即：x﹣2≠0，
解得：x≠2．
故答案为：x≠2．
【点评】本题主要考查函数自变量的取值范围，考查的知识点为：分式有意义，分母不为0．
13．在半径为5的⊙O中，弦AB的长为5，则∠AOB= 60°或300° ．
【考点】圆周角定理；等边三角形的判定与性质．
【专题】分类讨论．
【分析】根据题意画出图形，由等边三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：如图所示，
∵OA=OB=AB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°或∠AOB=360°﹣60°=300°．
故答案为：60°或300°．
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【点评】本题考查的是圆周角定理，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
14．抛物线y=4（x﹣3）2+7的顶点坐标是 （3，7） ．
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据二次函数的顶点式，直接得出二次函数的顶点坐标．
【解答】解：∵抛物线y=4（x﹣3）2+7，
∴顶点坐标为（3，7）．
故答案为：（3，7）．
【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数的图象为抛物线，若则其解析式为y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标为（h，k）．
15．一个不透明的箱子里共有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同，从箱子中随机摸出一个球是白球的概率是 ．
【考点】概率公式．
【分析】由一个不透明的箱子里共有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵一个不透明的箱子里共有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同，
∴从箱子中随机摸出一个球是白球的概率是：．
故答案为：．
【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
16．圆心角为120°的扇形的半径为3，则这个扇形的面积为 3π （结果保留π）．
【考点】扇形面积的计算．
【分析】根据扇形的面积公式即可求解．
【解答】解：扇形的面积==3π．
故答案是：3π．
【点评】本题主要考查了扇形的面积公式，正确理解公式是解题关键．
17．如图，在△ABC中，DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，若DE=3，BC=9，则= ．
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【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】计算题．
【分析】利用DE∥BC可判断△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的性质求解．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴===．
故答案为．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性 ( http: / / www.21cnjy.com )质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．在利用相似三角形的性质时，注意通过相似比计算相应线段的长或对应角线段．
18．以40m/s的速度将小球沿与 ( http: / / www.21cnjy.com )地面成30度角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位m）与飞行时间t（单位s）之间具有函数关系：h=20t﹣5t2，那么球从飞出到落地要用的时间是 4s ．
【考点】二次函数的应用．
【分析】根据函数关系式，当h=0时，0=20t﹣5t2，解方程即可解答．
【解答】解：当h=0时，0=20t﹣5t2，
解得：t1=0，t2=4，
则小球从飞出到落地需要4s．
故答案为：4s．
【点评】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，根据题意建立方程是解决问题的关键．
19．已知AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E．当AB=10，CD=8时，则AE= 2或8 ．
【考点】垂径定理；勾股定理．
【分析】由直径AB的长求出半径的长，再由 ( http: / / www.21cnjy.com )直径AB垂直于弦CD，利用垂径定理得到E为CD的中点，由CD的长求出CE的长，在直角三角形OCE中，利用勾股定理求出OE的长，分两种情况，即可得出AE的长．
【解答】解：连接OC，
∵直径AB=10，
∴OA=OC=OB=5，
∵AB⊥CD
∴E为CD的中点，又CD=8，
∴CE=DE=4，
在Rt△OCE中，根据勾股定理得：
OC2=CE2+OE2，
∴OE=3，
分两种情况：
①如图1所示：AE=OA﹣OE=5﹣3=2；
②如图2所示：AE=5+3=8；
故答案为：2或8．
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【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理；熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出OE是解本题的关键．
20．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB上一点，BE⊥CD，垂足为点E，AF⊥CD，垂足为点F，若=，AC=6，则DE= 2 ．
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【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【分析】先证明△BCE≌△CAF，得出CF=BE，AF=CE，由于AC已知，从而可算出CF、AF、CE，再加上BE∥AF，=，即可轻松求出DE．
【解答】解：∵BE⊥CD于E，
∴∠BCE+∠EBC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCE+∠FCA=90°，
∴∠EBC=∠FCA，
∵AF⊥CD于F，
∴BE∥AF，∠AFC=∠CEB=90°，
在△BCE和△CAF中，
，
∴△BCE≌△CAF（AAS），
∴CE=AF，BE=CF，
∵=，
∴，，
∵AC=6，
∴CF=6，AF=12，
∴CE=AF=12，EF=CE﹣CF=6，
∴DE==2．
故答案为2．
【点评】本题主要考查了等腰直角三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、平行线分线段成比例等知识点，难度适中．观察并证明△BCE≌△CAF是解决本题的突破口和关键．
三、解答题（共7小题，满分60分）
21．求下列各式的值：
（1）sin45°+
（2）sin60°+tan60°﹣2cos230°．
【考点】特殊角的三角函数值．
【分析】（1）将特殊角的三角函数值代入求解；
（2）将特殊角的三角函数值代入求解．
【解答】解：（1）原式=+
=；
（2）原式=×+﹣2×
=．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
22．△ABC在平面直角坐标系中的位置 ( http: / / www.21cnjy.com )如图所示，顶点坐标分别为A（﹣1，4），B（﹣4，1），C（﹣2，0），画出△ABC绕点A逆时针旋转90°后的△AB1C1，并直接写出点B旋转到点B1所经过的路线长度（结果保留π）．
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【考点】作图-旋转变换．
【分析】分别将点B、C绕点A逆时针旋转90°后得到点B1、C1，然后顺次连接，并根据弧长公式求出点B旋转到点B1所经过的路线长度．
【解答】解：所作图形如图所示：
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∵AB==3，
∴点B旋转到点B1所经过的路线长度l==π．
【点评】本题考查了根据旋转变换作图，解答本题的关键是根据网格结构作出对应点的位置，然后顺次连接，注意掌握弧长公式．
23．如图，一艘海轮位于灯塔P ( http: / / www.21cnjy.com )北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向的B处．
（1）求灯塔P到航线AB的距离；
（2）求灯塔P到B处的距离．（结果保留根号）
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【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．
【分析】（1）作PC⊥AB于C，解Rt△PAC，即可求得PC的长；
（2）在Rt△PBC中，PC=40，∠PBC=∠BPC=45°，则PB可求出．
【解答】解：（1）作PC⊥AB于C，
由题意可得出：∠A=30°，AP=80海里，
故CP=AP=40（海里）；
（2）∵在Rt△PBC中，PC=40，∠PBC=∠BPC=45°，
∴PB=PC=40（海里）．
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【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )方向角问题，直角三角形，锐角三角函数等知识．解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
24．如图，在⊙O中，D、E分别是半径OA、OB的中点，C是⊙O上一点，CD=CE．
（1）求证：=；
（2）若∠AOB=120°，CD=2，求半径OA的长．
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【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【分析】（1）连接OC，由SSS证明△OCD≌△OCE，得出对应角相等∠COD=∠COE，由圆心角，弧，弦的关系即可得出结论；
（2）连接AC，证明△AOC是等边三角形，得出CD⊥OA，由三角函数求出OC，即可得出OA．
【解答】解：（1）证明：连接OC，如图1所示：
∵D、E分别是半径OA、OB的中点，OA=OB，
∴OD=OE，
在△OCD和△OCE中，
，
∴△OCD≌△OCE（SSS），
∴∠COD=∠COE，
∴=；
（2）连接AC，如图2所示：
∵∠AOB=120°，
∴∠COD=∠COE=60°，
∵OC=OA，
∴△AOC是等边三角形，
∵D是OA的中点，
∴CD⊥OA，
∴OC===4，
∴OA=4．
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【点评】本题考查的是圆心角，弧，弦的关系、全等三角形的判定与性质、三角函数；证明三角形全等和等边三角形是解决问题的关键．
25．某商店购进一批单价为8元的商品，如果 ( http: / / www.21cnjy.com )每件按10元出售每天可销售100件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每天要少卖出10件，设每件售价为x元．
（1）请用含x的式子表示：①销售该商品每件的利润是 （x﹣8） 元；②每天的销量是 件；（直接写出结果）
（2）设销售该商品的日利润为y元，那么售价为多少元时，当天的销售利润最大，最大利润是多少？
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）每件的利润=售价﹣进价，根据每涨价1元，每天要少卖出10件可求得销售的数量；
（2）根据商品的利润=每件的利润×售出商品的数量列出函数关系式，然后利用配方法可求得最大值．
【解答】解：（1）商品每件的利润=x﹣8；每天的销量=100﹣10（x﹣10）=200﹣10x．
故答案为：（x﹣8）；200﹣10x．
（2）y= （x﹣8）
=﹣10x2+280x﹣1600
=﹣10（x﹣14）2+360．
所以将销售定价定为14元时，每天所获销售利润最大，且最大利润是360元．
【点评】本题主要考查的是二次函数的应用，列出利润y与售价x的函数关系式是解题的关键．
26．已知，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为点D．
（1）如图1，求证：AC平分∠DAB；
（2）如图2，直线DC与AB的延长线交于点E，∠ACB的平分线交⊙O于点F，CF交AB于点G，求证：EC=EG；
（3）在（2）的条件下，如图3，若CB=3，AC=6，求FG的长．
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【考点】切线的性质．
【分析】（1）连接OC，根据切线与圆的关系和直角三角形内角之间的关系，可以推出AC平分∠DAB；
（2）根据圆周角定理以及三角形的外角的性质定理证明∠ECG=∠EGC，根据等角对等边即可证得；
（3）证明△ECB∽△EAC，根据相似三角形的性质求得===，在直角△EOC中利用勾股定理列方程求得BE和CE，进而求得BG，然后根据△AGF∽△CGB，根据相似三角形的性质求得FG的长．
【解答】（1）证明：连接OC，如图1，
∴OC⊥DC，
∵AD⊥DC，
∴OC∥AD，
∴∠DAC=∠ACO，
∵∠OAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OAC，
即AC平分∠DAB；
（2）证明：如图2，∵DE是⊙O的切线，
∴∠BCE=∠BAC，
∵∠EGC=∠BAC+∠ACG，∠ECG=∠BCE+∠BCG，∠ACG=∠BCG，
∴∠EGC=∠ECG，
∴EC=EG；
（3）解：如图3，连接AF、BF、OC．
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴AB===3，
∴OA=OB=OC=，
∵∠ACF=∠BCF，
∴=，
∴AF=BF．
∵AB是直径，
∴∠AFB=90°．
∴AF=AB=×3=，
∵∠ECB=∠EAC，∠E=∠E，
∴△ECB∽△EAC．
∴===．
设EB=x，则EC=2x，在Rt△EOC中，（x+）2=（2x）2+（）2，
解得x1=0，x2=．
∵x＞0，∴x=，
∴EB=，EG=CE=2，
∴BG=，
∵∠FAG=∠BCG，∠AGF=∠CGB，
∴△AGF∽△CGB，
∴=，即=，
∴FG=．
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【点评】本题考查了圆的切线性 ( http: / / www.21cnjy.com )质、三角形相似的判定和性质、及勾股定理的应用等知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
27．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与y轴交于点A（0，3），与x轴交于点B（4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AB，点C为线段AB上的一个 ( http: / / www.21cnjy.com )动点，过点C作y轴的平行线交抛物线于点D，设C点的横坐标为m，线段CD长度为d（d≠0）求d与m的函数关系式（不要求写出自变量m的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，连接AD，是否存在m值，使△ACD是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
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【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得C、D点坐标，根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得答案；
（3）根据等腰三角形的定义，可得关于m的方程，根据因式分解法解方程，可得答案．
【解答】解：（1）将A、B点坐标代入，得
，
解得，
抛物线的解析式为y=﹣x2+x+3；
（2）如图：
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设AB的解析式为y=kx+b，将B、A的坐标代入，得
，
解得，
AB的解析式为y=﹣x+3，
C在直线AB上，C（m，﹣m+3），D（m，﹣m2+m+3）．
CD的长为﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+2m，
即d=﹣m2+2m；
（3）AC2=m2+（m）2，CD2=（﹣m2+2m）2，AD2=m2+（﹣m2+m）2，
①当AC=AD时，m2+（m）2=m2+（﹣m2+m）2，化简，得
（﹣m2+2m）（﹣m2+m）=0，
解得m=0（不符合题意，舍），m=4（不符合题意，舍），m=1；
②当AC=CD时，m2+（m）2=（﹣m2+2m）2，化简，得
（﹣m2+m）（﹣m2+m）=0，
解得m=0（不符合题意，舍），m=（不符合题意，舍），m=；
③当AD=CD时，m2+（﹣m2+m）2=（﹣m2+2m）2，
化简，得
﹣m2（m﹣）=0，解得m=．
综上所述：m的值为1、或．
【点评】本题考查了二次函数综合题，利用 ( http: / / www.21cnjy.com )待定系数法求函数解析式；利用平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标得出函数解析式；利用等腰三角形的定义得出关于m的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．
2016年2月3日
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