5.3.4 频率与概率 教学设计

教学设计
课时教学内容
频率与概率
课时教学目标
1、知识与技能目标：
（1）进一步认识随机现象，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性；
（2）正确理解概率的统计定义，明确概率与频率的区别和联系，掌握利用频率估计概率的思想方法；
（3）通过抛硬币试验，获取数据，归纳总结试验结果，体会随机事件发生的随机性和规律性，使学生对对立统一的辨证关系有进一步的认识。
2、过程与方法目标：
（1）通过动手试验，体会随机事件发生的随机性和规律性；
（2）在试验、探究和讨论过程中，学会利用频率估计概率的思想方法。
3、情感态度与价值观目标：
（1）通过学生自己动手、动脑和亲身试验来理解知识，体会数学知识与现实世界的联系；
（2）通过随机事件的发生既有随机性，又存在着统计规律性的发现，体会偶然性与必然性的对立统一；
（3）通过本节课浓厚的生活背景，指导学生形成正确的价值观和人生观。
教学重点与难点
重点：通过抛掷硬币试验了解概率的统计定义、明确其与频率的区别和联系；
难点：利用频率估计概率，体会随机事件发生的随机性和规律性。
教学过程设计
1.创设情境
导入语：我们生活的世界充满着不确定性，从抛硬币、玩扑克等简单的游戏，到复 杂的社会现象；从体育比赛，到大自然的千变万化，我们无时无刻不面临着不确定性，正因为不确定性的存在，而让我们的生活变得丰富多彩。
生活实例 1：张梦雪里约奥运夺首金
生活实例 2：女排逆转夺冠
设计意图：从刚刚过去的里约奥运会的实例引入，一方面奥运会是备受关注的社会热点话题，可以增强学生的国家自豪感和荣誉感，尤其是女排精神，可以激发学生永不服输，坚持到底的学习动力；另一方面可以激发学生的听课兴趣，通过身边的生活实例，让学生体会学习随机事件及其概率的必要性。
思考一：
（1）在张梦雪射击前，你能知道她会获得冠军吗？
（2）在比赛前，你能猜到中国女排能再次夺得金牌吗？
设计意图：抓住生活实例中包含的数学思维部分进行提问，引导学生用数学的眼光 观察、认识我们生活的世界，对生活中的现象和感性认识进行理性思考，并且这两个问题在学生看来是很容易回答的，这恰恰说明概率的雏形在生活实践中已经产生。
思考二：
（1）既然能否夺冠是随机事件，为什么派张梦雪参加奥运会，而不是派其他射击运动员参加？
（2）张梦雪“击中靶心的可能性比其他射击运动员大”这一生活经验是如何得到的呢
学生：根据以往的射击数据，统计其击中靶心的频率．
教师：张梦雪击中靶心的频率是怎么计算的呢？
击中靶心的频率= 击中靶心的次数/射击总次数 ，射击一次相当于做一次试验，在生活中我们通常用射击试验命中的频率来估计命中的概率，那么这种方法是否具有普遍性？
设计意图：基于初中的学习，有些学生已经具备了用试验频率来估计概率的经验，但对于“为什么可以这样做”，缺乏思考。因此从学生熟悉的命中率入手，为接下来探讨随机事件的概率做准备。
2.探究新知
（1）动手试验，探究随机事件的可能性大小
试验目的：探究随机事件“抛掷一枚硬币，正面朝上”发生的可能性大小。
试验要求：①从约 30cm 的高度下抛硬币，让其自由下落在桌面上； ②小组成员两两结合，一人抛掷硬币时另一人帮其记录，相应得到60，120，180，240，300，360，420，480次实验数据，认真记录 “正面向上”出现的次数，组长汇总本组的总次数。
学生活动：由学生自己动手做试验，亲身体验随机事件发生的随机性及其频率的稳定性，经历动手试验——分析数据——观察规律——总结结论的探究过程．
设计意图：分组试验是本节课最重要的环节，不能忽略，这也是本节课教学中最难控制的一个环节——必须把试验的自主权交给学生，让同学们亲历抛掷硬币的随机过程，唯有如此，才能建构起正确的随机观，才能辩证的理解随机性中的规律性。
（2）汇总数据，观察频率的特征
次数 60 120 180 240 300 360 420 480
正面向上的频数
频率
设置问题：对比研究，探讨正面朝上的规律性（教师引导、学生归纳）
学生活动：同学们先独立思考下面几个问题，然后小组讨论交流，举手发言。
①仔细观察上表，频率呈现出什么样的特征？举手发言。
生：频率基本上在常数 0.5 附近摆动，个别偏离常数较大.
②请同学们小组讨论频率偏离常数较大的原因，派代表发言。
生：没有在相同条件下做试验；由于随机事件本身的不确定性，当试验次数较少时，个别偏离较大是正常情况。
③增加试验次数，继续观察频率有什么变化？
生：随着试验次数的增加，频率摆动的幅度具有减小的趋势，并逐渐稳定于常数 0.5。
设计意图：设置“问题串”，层层深入，步步递进，让学生在动手试验和数据分析中总结频率的随机性与稳定性，以及要注意的两个条件“相同条件下”、“大量重复试验”，最终得出频率在大量重复试验下的规律性，符合学生的认知规律。
（3）观察分析，猜想频率的规律性
借助计算机模拟抛 10000 次的试验，通过对比寻找在大量重复试验下的频率呈现出的规律性：随着试验次数的增加，频率摆动的幅度有减小的趋势，并逐渐稳定于常数 0.5。
教师：有没有人亲手做过这么多次试验呢？
历史上一些抛掷硬币的试验结果：（借机德育教育：这些数学家们正因为专注于一件事，在平凡的事情中创造了不平凡的业绩，这种持之以恒，科学严谨的探究精神也是我们所要学习的）
实验者 次数 正面向上的频数 正面向上的频率
棣莫夫 2048 1061 0.518
布丰 4040 2048 0.5069
费勒 10000 4979 0.4979
皮尔逊 12000 6019 0.5016
皮尔逊 24000 12012 0.5005
学生活动：先独立思考下面两个问题，然后小组讨论交流，小组代表举手发言。
①能不能用某次试验的频率作为硬币正面向上的概率？为什么
②用哪个量作为硬币正面向上的概率比较合适呢？
结论：在相同条件下，大量重复抛掷硬币试验时，出现正面向上的频率在常数 0.5 附近摆动，随着试验次数的增加，正面向上的频率稳定于常数 0.5，这个常数 0.5 就是硬币正面向上的概率。
设计意图：学生亲历随机试验过程，更能理解试验的随机性，并体会出大量重复试验后的规律性，结合历史上数学家所做的努力，及电脑模拟，加深对频率的稳定性的认识，并意识到概率概念的雏形．频率稳定在 0.5 附近，这个 0.5 即抛掷一枚硬币“正面朝上”的概率，引出概率定义。
（4）感知升华，概括结论
学生活动：请同学们根据试验结论，尝试自己概括出概率的统计定义。
①概率的统计定义
在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件 A 发生的频率会在某一个常数附近摆动，即随机事件 A 发生的频率具有稳定性．我们把这个常数叫做随机事件 A 的概率，记作 P(A)．
思考：随机事件A的概率 P(A)的取值范围是多少？随机事件的概率可以为0或1吗？
你能举例说明吗？
如：在区间(0,1)内随机取一个实数，所取实数恰为 0.5 这是随机事件吗？它发生的概率是多少呢？
设计意图：充分的发挥学生的主体地位，让学生学会分析问题，体验合作精神，通过教师的补充使学生对概念更清晰、理解更透彻．通过计算机模拟试验，再次让学生体会用大量重复试验下的频率估计概率的思想方法.
②求随机事件概率的方法
生：大量重复试验下的频率估计概率
③频率和概率有何联系和区别？
学生活动：讨论交流后，找学生代表阐述自己的观点，教师做一补充。
联系：频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会稳定在概率附近；
区别：频率反映了随机事件出现的频繁程度，是随机的，试验前不能确定；概率是确定的，是客观存在的，与试验无关.
设计意图：通过投影思考问题，引导学生结合试验过程得出结论，锻炼学生的发现、合作、归纳的能力；通过投影结论，规范数学语言.教师结合实验过程对频率与概率的区别与联系以及求随机事件的概率的方法进行再探讨，突出本节课重点，突破难点。
3.自主练习
例 1：判断下列说法的对错：
（1）在对一批种子进行的发芽试验中，抽取的 10 粒种子全部发芽，所以该种子的发芽率为 100%；
（2）乒乓球比赛中，小李比小王获胜的概率大，若两人打一局比赛，小李一定获胜；
（3）因为抛掷一枚硬币出现正面的概率是 0.5，所以抛掷 12000 次时，出现正面的次数很有可能接近 6000 次。
设计意图：通过种子发芽、体育比赛、抛掷硬币等随机事件，让学生对生活中的随机事件的概率有了重新的认识，进一步了解了概率的定义及频率与概率的区别与联系。
例2：在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑白两种颜色的球共有20只。某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把球放回袋中，不断重复，下表是活动进行中一组统计数据。
摸球的次数 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数 58 96 116 295 484 601
摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601
（1） 请估计，当n很大时，摸到白球的频率将接近 。
（2） 假如你去摸一次，你摸到白球的概率是 ，摸到黑球的概率是 。
（3） 试估算口袋中黑白两种颜色的球各有多少只 。
（4） 解决了上面的问题，小强同学猛然顿悟，过去一个悬而未决的问题有办法了，这个问题是：在一个不透明的口袋中装有若干个白球，在不允许将球倒出来的情况下，如何估计白球的个数（可以借助其他工具和用品）？请你运用今天所学的知识解决这个问题。写出这个问题的主要步骤和估算方法。
（学生以小组为单位，积极探索，相互帮助，最后看看哪个小组提供的方案最合理，最有效。）
设计意图：该题的设计具有梯度，既很好的考察了频率和概率之间的关系，又提出了更高的要求，即学会运用频率估计概率来解决某些实际问题，体现了数学来源于生活，又运用于生活的理念。
4.课堂小结
（1）这节课你都学到了哪些知识？
（2）这节课你都掌握了什么思想方法？
（3）通过本节课的学习，对你的人生观、价值观有什么影响？
设计意图：引导学生总结本节课所学内容，并分享自己的一些体会，对本节课知识 进行再回顾，再梳理，再理解（鼓励同学们自由发言）。
5.课后作业
必做题：课后习题A组
电脑在今天已走进了千家万户，大大提高了人们的学习和工作效率。当你的指尖敲打着电脑键盘时，你是否想过，键盘上的字母为什么不按顺序排列？
我们不妨一起来做一次统计，先选取一篇英文文章，然后统计总的字母数，每个字母出现的频数与频率，你能发现什么？
目标检测设计
1．对某班60名同学的一次数学成绩进行统计，如果80-90这一组的频数是18，那么这个班的学生这次数学测验，成绩在80-90分之间的频率是（ ）
A．18 B．0.4 C．0.35 D．0.3
2．某种彩票中奖的概率为，有以下理解：
①买10000张彩票一定能中奖；
②买10000张彩票只能中奖1次；
③若买9999张彩票未中奖，则第10000张必中奖；
④买一张彩票中奖的可能性是。
其中正确理解的序号为 。
3．对一批西装进行了多次抽检，并记录结果如下表：
抽取件数 50 100 200 300 400 500
检出次品的件数 5 6 5 6 8 10
检出次品的频率 0.1
(1)根据表中数据，计算并填写每次抽检中检出次品的频率；
(2)从这批西装中任抽一件，抽到次品的经验概率是多少？
(3)如果要销售2000件西装，至少需额外准备多少件正品西装供买到次品的顾客调换？
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