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第2章 轴对称图形 单元培优测试卷
一．选择题（共8小题）
1．（2024 徐州）古汉字“雷”的下列四种写法，可以看作轴对称图形的是
A． B．
C． D．
2．（2024 宿迁二模）等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的底角为
A．或 B． C． D．或
3．（2023秋 锡山区校级月考）在联欢会上，有、、三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的
A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边中垂线的交点 D．三边上高的交点
4．（2024秋 吴中区校级月考）如图，在中，，平分交于点，，，，若点是上的动点，则线段的最小值是
A．3 B．2.4 C．4 D．5
5．（2023秋 鼓楼区校级月考）如图，内一点，，分别是关于、的对称点，交于点，交于点．若的周长是，则的长为
A． B． C． D．
6．（2023秋 高新区校级月考）如图是一个经过改造的规格为的台球桌面示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过台球边缘多次反弹），那么球最后将落入的球袋是
A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋
7．（2024春 姜堰区期末）如图，已知长方形纸片，点、在边上，点、在边上，分别沿、折叠，使点和点都落在点处，若，则的度数为
A． B． C． D．
8．（2024春 锡山区校级期中）如图，△中，，，将△绕点逆时针旋转，得到△，连结，则的长是
A． B． C． D．3
二．填空题（共8小题）
9．（2023秋 宝应县月考）正方形、平行四边形、三角形、圆中，其中轴对称图形有 个．
10．（2023秋 新吴区期中）小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，此时的时间应是 ．
11．（2023秋 新北区校级月考）如图，在一个池塘旁有一条笔直小路，为小路端点）和一棵小树为小树位置），测得的相关数据为：，，米，则 米．
12．（2023秋 丹阳市期末）如图， 在的正方形网格中， 点、在格点上， 要找一个格点，使是以为腰的等腰三角形， 则图中符合条件的格点有 个 ．
13．（2021秋 海陵区校级月考）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是 ．
14．（2023秋 邗江区期末）如图，在中，的垂直平分线与的垂直平分线交于点，垂足分别为，，连接，，，若，则 ．
15．（2023秋 姑苏区月考）已知如图等腰，，，于点，点是延长线上一点，点是线段上一点，，下面的结论：
①；②；③是等边三角形．其中正确的是 ．（填序号）
16．（2022秋 亭湖区校级期末）如图所示，，是延长线上的一点，，动点从点出发沿以的速度移动，动点从点出发沿以的速度移动，如果点、同时出发，用表示移动的时间，当 时，是等腰三角形．
三．解答题（共11小题）
17．（2023秋 丹阳市校级月考）如图，是由三个阴影的小正方形组成的图形，请你在三个网格图中，各补画出一个有阴影的小正方形，使补画后的图形为轴对称图形．
18．（2022秋 宝应县校级月考）如图，将沿某条直线折叠，使斜边的两个端点与重合，折痕为．
（1）如果，，试求的周长；
（2）如果，求的度数．
19．（2023秋 宁安市期末）作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹）
如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点，表示大学，，表示公路）．现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．你能确定仓库应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案．
20．（2023秋 淮安区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1．的顶点坐标分别为，，．
（1）画出关于轴对称的△；
（2）将点先向上平移3个单位长度，再向左平移5个单位长度得到点，则点的坐标为 ；
（3）的面积为 ；
21．（2023秋 南京期中）在设计轴对称图形的课堂上，老师要求学生用如图所示的等腰三角形纸片和正方形纸片拼成新的轴对称图形．已知△底边长与正方形边长相等，要求拼成的新图形满足△顶点、在正方形的边上或顶点上．小凌同学的画法如图2所示．
（1）画出所有其它不同类型的示意图，并标上对应字母；
（2）若要将两个轴对称图形通过拼图的方式组成一个新的轴对称图形，原来两个纸片的对称轴满足的条件是 ．
22．（2023秋 仪征市期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，连接．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）过点作，垂足为点，若的周长是10，求的长．
23．（2023秋 江都区期末）已知：如图，锐角中，、分别是边、上的高，、分别是线段、的中点．
（1）求证：；
（2）连接、，猜想与之间的关系，并说明理由．
24．（2023秋 盐都区校级期中）如图，在中，，点、、分别在、、边上，且，．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）当时，求的度数．
25．（2021秋 武进区校级月考）如图，、、三点在同一直线上，分别以、为边，在直线的同侧作等边和等边，连接交于点，连接交于点，连接得．
（1）求证：．
（2）试判断的形状，并说明理由．
26．（2023秋 海安市期中）已知，，点在边上，点是边上一动点，．以线段为边在上方作等边，连接、，再以线段为边作等边（点、在的同侧），作于点．
（1）如图1，．①依题意补全图形；②求的度数；
（2）如图2，当点在射线上运动时，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．
27．（2023秋 工业园区校级月考）已知在中，，点是边上一点，．
（1）如图1，试说明的理由；
（2）如图2，过点作，垂足为点，与相交于点．
①试说明的理由；
②如果是等腰三角形，求的度数．
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第2章 轴对称图形 单元培优测试卷
一．选择题（共8小题）
1．（2024 徐州）古汉字“雷”的下列四种写法，可以看作轴对称图形的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】，，不可以看作轴对称图形，可以看作轴对称图形．
故选．
2．（2024 宿迁二模）等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的底角为
A．或 B． C． D．或
【答案】
【解析】分两种情况：
①当的角为等腰三角形的顶角时，
底角的度数；
②当的角为等腰三角形的底角时，其底角为，
故它的底角度数是或．
故选．
3．（2023秋 锡山区校级月考）在联欢会上，有、、三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的
A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边中垂线的交点 D．三边上高的交点
【答案】
【解析】三角形的三条垂直平分线的交点到三角形各顶点的距离相等，
凳子应放在的三条垂直平分线的交点最适当．
故选．
4．（2024秋 吴中区校级月考）如图，在中，，平分交于点，，，，若点是上的动点，则线段的最小值是
A．3 B．2.4 C．4 D．5
【答案】
【解析】当时，的值最小，
平分，
当时，
，
，
的最小值是3，
故选．
5．（2023秋 鼓楼区校级月考）如图，内一点，，分别是关于、的对称点，交于点，交于点．若的周长是，则的长为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】点关于、的对称点、，
，，
的周长，
的周长是，
．
故选．
6．（2023秋 高新区校级月考）如图是一个经过改造的规格为的台球桌面示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过台球边缘多次反弹），那么球最后将落入的球袋是
A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋
【答案】
【解析】根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为：
所以球最后将落入的球袋是1号袋，
故选．
7．（2024春 姜堰区期末）如图，已知长方形纸片，点、在边上，点、在边上，分别沿、折叠，使点和点都落在点处，若，则的度数为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】如图：
，
，，
由折叠得：，，
，，
，
，
故选．
8．（2024春 锡山区校级期中）如图，△中，，，将△绕点逆时针旋转，得到△，连结，则的长是
A． B． C． D．3
【答案】
【解析】如图，连接，
由题意得：，，
△为等边三角形，
，；
，，
，
，，
垂直平分，
，，
，，
．
故选．
二．填空题（共8小题）
9．（2023秋 宝应县月考）正方形、平行四边形、三角形、圆中，其中轴对称图形有 2 个．
【答案】2．
【解析】正方形，圆均为轴对称图形．
故答案为：2．
10．（2023秋 新吴区期中）小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，此时的时间应是 ．
【答案】．
【解析】根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与成轴对称，所以此时实际时刻为．
故答案为：．
11．（2023秋 新北区校级月考）如图，在一个池塘旁有一条笔直小路，为小路端点）和一棵小树为小树位置），测得的相关数据为：，，米，则 58 米．
【答案】58．
【解析】，，
，
是等边三角形，
米，
米．
故答案为：58．
12．（2023秋 丹阳市期末）如图， 在的正方形网格中， 点、在格点上， 要找一个格点，使是以为腰的等腰三角形， 则图中符合条件的格点有 5 个 ．
【答案】5．
【解析】 如图，
，
①若，则符合要求的有：，，共 4 个点；
②若，则符合要求的有：，共 2 个点；
若，则不存在这样格点 ．
这样的点有 5 个 ．
故答案为： 5 ．
13．（2021秋 海陵区校级月考）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是 15 ．
【答案】15．
【解析】如图，作于，
由基本尺规作图可知，是的角平分线，
，，
，
的面积，
故答案为：15．
14．（2023秋 邗江区期末）如图，在中，的垂直平分线与的垂直平分线交于点，垂足分别为，，连接，，，若，则 45 ．
【答案】45．
【解析】的垂直平分线与的垂直平分线交于点，
，
，，，
，
，
，
，
故答案为：45．
15．（2023秋 姑苏区月考）已知如图等腰，，，于点，点是延长线上一点，点是线段上一点，，下面的结论：
①；②；③是等边三角形．其中正确的是 ①③ ．（填序号）
【答案】①③．
【解析】①连接，如图1所示：
，，
，，
，
，
，，
，
，
，，
，
故①选项正确；
②由①可知，，，
点是线段上一点，
与不一定相等，
与不一定相等，
故②选项不正确；
③，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
故③选项正确，
故答案为：①③．
16．（2022秋 亭湖区校级期末）如图所示，，是延长线上的一点，，动点从点出发沿以的速度移动，动点从点出发沿以的速度移动，如果点、同时出发，用表示移动的时间，当 或12 时，是等腰三角形．
【答案】或12．
【解析】分两种情况：（1）当点在线段上时，
设时后是等腰三角形，
有，
即，
解得，；
（2）当点在的延长线上时，此时经过时的时间已用，
当是等腰三角形时，，
是等边三角形，
，
即，
解得，
故答案为或12．
三．解答题（共11小题）
17．（2023秋 丹阳市校级月考）如图，是由三个阴影的小正方形组成的图形，请你在三个网格图中，各补画出一个有阴影的小正方形，使补画后的图形为轴对称图形．
【解析】所补画的图形如下所示：
18．（2022秋 宝应县校级月考）如图，将沿某条直线折叠，使斜边的两个端点与重合，折痕为．
（1）如果，，试求的周长；
（2）如果，求的度数．
【解析】（1）由折叠的性质可知，垂直平分线段，
根据垂直平分线的性质可得：，
所以，；
（2）设，则，
，
，
在中，，
即：，，
．
19．（2023秋 宁安市期末）作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹）
如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点，表示大学，，表示公路）．现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．你能确定仓库应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案．
【解析】如图所示：
（1）连接，分别以、为圆心，以大于为半径画圆，两圆相交于，连接，则即为线段的垂直平分线；
（2）以为圆心，以任意长为半径画圆，分别交、于、，再分别以、为圆心，以大于为半径画圆，两圆相交于，连接，则即为的平分线（或的外角平分线）；
（3）与相交于点，则点即为所求．
20．（2023秋 淮安区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1．的顶点坐标分别为，，．
（1）画出关于轴对称的△；
（2）将点先向上平移3个单位长度，再向左平移5个单位长度得到点，则点的坐标为 ；
（3）的面积为 ；
【解析】（1）由题意知，，，的点坐标分别为，，，在坐标系中描点，然后依次连接，如图，△即为所求；
（2）如图，点即为所求；点的坐标为；
故答案为：；
（3）如图所示，作出矩形，
则，
即，
故答案为：8；
21．（2023秋 南京期中）在设计轴对称图形的课堂上，老师要求学生用如图所示的等腰三角形纸片和正方形纸片拼成新的轴对称图形．已知△底边长与正方形边长相等，要求拼成的新图形满足△顶点、在正方形的边上或顶点上．小凌同学的画法如图2所示．
（1）画出所有其它不同类型的示意图，并标上对应字母；
（2）若要将两个轴对称图形通过拼图的方式组成一个新的轴对称图形，原来两个纸片的对称轴满足的条件是 重合 ．
【解析】（1）如图所示：
（2）若要将两个轴对称图形通过拼图的方式组成一个新的轴对称图形，原来两个纸片的对称轴满足的条件是重合．
故答案为：重合．
22．（2023秋 仪征市期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，连接．
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）过点作，垂足为点，若的周长是10，求的长．
【解析】（1）为等腰三角形，
理由：的垂直平分线交于点，
，
，
，
，
，
，
为等腰三角形；
（2），
，
的周长是10，
，
．
23．（2023秋 江都区期末）已知：如图，锐角中，、分别是边、上的高，、分别是线段、的中点．
（1）求证：；
（2）连接、，猜想与之间的关系，并说明理由．
【解析】（1）证明：如图，连接，，
、分别是、边上的高，是的中点，
，，
，
又为中点，
；
（2）解：，理由如下：
在中，，
，
，
．
24．（2023秋 盐都区校级期中）如图，在中，，点、、分别在、、边上，且，．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）当时，求的度数．
【解析】证明：，
，
在和中
，
，
，
是等腰三角形；
（2），
，，
，
25．（2021秋 武进区校级月考）如图，、、三点在同一直线上，分别以、为边，在直线的同侧作等边和等边，连接交于点，连接交于点，连接得．
（1）求证：．
（2）试判断的形状，并说明理由．
【解析】（1）证明：等边和等边，
，，，
，
在和中，
，
；
（2）为等边三角形，理由为：
证明：，
，
又，
，
即，
在和中，
，
，
，，
则为等边三角形．
26．（2023秋 海安市期中）已知，，点在边上，点是边上一动点，．以线段为边在上方作等边，连接、，再以线段为边作等边（点、在的同侧），作于点．
（1）如图1，．①依题意补全图形；②求的度数；
（2）如图2，当点在射线上运动时，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．
【解析】（1）①如图所示，即为所求；
②是等边三角形，
，
，
，
；
（2），证明如下：
如图，连接，，
由（2）可知，是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
．
27．（2023秋 工业园区校级月考）已知在中，，点是边上一点，．
（1）如图1，试说明的理由；
（2）如图2，过点作，垂足为点，与相交于点．
①试说明的理由；
②如果是等腰三角形，求的度数．
【解析】（1），
，
是的一个外角，
，
，，
，
．
；
（2）①，
，
，
设，则，
，
，
；
②是的一个外角，
，
分三种情况：
当时，
，
，
，
，
；
当时，
，
，
，
，
；
当时，
，
，
不存在，
综上所述：如果是等腰三角形，的度数为或．
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