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第3章 勾股定理 单元培优测试卷
一．选择题（共8小题）
1．（2023秋 淮安校级月考）在下列四组数中，属于勾股数的是（ ）
A．0.3，0.4，0.5 B．
C．3，5，7 D．5，12，13
【答案】D
【解析】A、0.3，0.4，0.5不是整数，故不是勾股数，不符合题意；
B、1，，不是整数，故不是勾股数，不符合题意；
C、32+52＝9+25＝34≠72，故不是勾股数，不符合题意；
D、52+122＝25+144＝169＝132，故是勾股数，符合题意；
故选D．
2．（2023秋 工业园区校级月考）在中，斜边，则的值为
A．15 B．25 C．50 D．无法计算
【答案】
【解析】在中，斜边，
，
，
故选．
3．（2024春 海安市期中）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c．下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B＝90° B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
C．a：b：c＝3：4：5 D．a＝b＝1，c＝
【答案】B
【解析】A、∵∠A+∠B＝90°，
∴∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°×＝75°，
∴△ABC不是直角三角形，
故B符合题意；
C、∵a：b：c＝3：4：5，
∴设a＝3k，b＝4k，c＝5k，
∴a2+b2＝（3k）2+（4k）2＝25k2，c2＝（5k）2＝25k2，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵a2+b2＝12+12＝2，c2＝（）2＝2，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，
故D不符合题意；
故选B．
4．（2024春 启东市校级月考）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为，，．若．则图中阴影部分的面积为
A．6 B． C．5 D．
【答案】
【解析】在中，由勾股定理得：，
即，
，
，
由图形可知，阴影部分的面积，
阴影部分的面积，
故选．
5．（2024秋 吴中区校级月考）已知△中，，点在边的延长线上，，则
A．16 B．15 C．13 D．12
【答案】
【解析】证明：过点作于，如图所示：
，
（三线合一），
在△中，，
在△中，，
即，
；
故选．
6．（2022春 海安市校级月考）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为
A．2.2米 B．2.3米 C．2.4米 D．2.5米
【答案】
【解析】在中，，米，米，
（米．
在△中，，米，，
，
，
，
米，
（米．
故选．
7．（2023秋 如皋市期末）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，，将四个直角三角形中边长为2的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】如图，标上必要的字母，
，，将四个直角三角形中边长为2的直角边分别向外延长一倍，
，，
在中，
由勾股定理，得，
所以，
所以“数学风车”的外围周长是：．
故选．
8．（2023秋 宜兴市月考）如图，点是射线外一点，连接，若，点到的距离为，动点从点出发沿射线以的速度运动．设运动的时间为秒，当为直角三角形时，的值为
A． B．2 C．2或 D．2或
【答案】
【解析】过点作，
点到的距离为，
，
，
根据勾股定理，得，
当时，如图所示：
此时点与点重合，则
根据题意，得，
解得；
当时，如图所示：
，，，，
，
根据勾股定理，得，，
，
解得；
综上所述，当为直角三角形时，的值为2或，
故选．
二．填空题（共8小题）
9．（2023秋 秦淮区期中）三角形的三边长为、、，且满足等式，则此三角形是 直角 三角形（直角、锐角、钝角）．
【答案】直角．
【解析】，
，
，
三角形是直角三角形．
故答案为直角．
10．（2023秋 泗阳县期中）一个三角形的三边长分别为、、，则最大边上的中线长为 5 ．
【答案】．
【解析】，
三边长分别为、、的三角形是直角三角形，最大边是斜边为．
最大边上的中线长为．
11．（2023秋 天宁区校级期中）如图，，，，则 7 ．
【答案】7．
【解析】，，，
；
同理，，
．
故答案为：7．
12．（2023秋 沭阳县校级月考）在△中，，，，则△的面积是 84 ．
【答案】84．
【解析】如下图，过点作于点，
设，
，
，
在△和△中，，，
由勾股定理可得，
即，解得，
，
，
．
故答案为：84．
13．（2023秋 姑苏区校级月考）如图，在正方形网格中，点，，，，是格点，则的度数为 ．
【答案】．
【解析】如图，作，连接，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
．
故答案为：．
14．（2023秋 兴化市月考）如图，某自动感应门的正上方处装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时米），感应门自动打开，则 1.5 米．
【答案】1.5．
【解析】如图，过点作于点，
米，米，米，则（米．
在中，由勾股定理得到：（米
故答案为：1.5．
15．（2023 南通）勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数，，，其中，均小于，，，是大于1的奇数，则 （用含的式子表示）．
【答案】．
【解析】，，是勾股数，其中，均小于，，，
，
是大于1的奇数，
．
故答案为：．
16．（2023秋 玄武区期末）如图，在四边形中，，，分别是，的中点，，，则 ．
【答案】．
【解析】如图，连接、，
，，
，
，是的中点，
，，
，，，
，
，，
，
，
，是的中点，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
三．解答题（共11小题）
17．（2024春 肇庆期末）在中，
①若，，求
②若，，求．
【解析】（1）在中，，
由勾股定理得，，
则；
（2）在中，，
由勾股定理得，，
则．
18．（2023秋 锡山区期中）如图在四边形中，，，，且，求的度数．
【解析】如图所示，连接，
，，
，，
又，，
，，
，
△是直角三角形，
，
．
故的度数为．
19．（2023秋 邗江区期末）如图，在中，，，，，垂足为，
求：（1）的长；
（2）的长．
【解析】（1）在中，，，，
，
故的长为5；
（2）于点，
，
，
，
故的长为．
20．（2023秋 宿迁期末）如图，在四边形中，，对角线与相交于点．，分别是边、的中点．
（1）求证：；
（2）当，时，求的长．
【解析】（1）证明：如图，连接，，
，是边的中点，
，，
，
又点是边上的中点，
；
（2）解：，，点是边上的中点，
，
在△中，由勾股定理得，
由（1）知，
．
21．（2023秋 吴江区月考）将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，使点、、在同一条直线上．利用此图的面积表示式证明勾股定理．
【解析】证明：由已知可得，
，
，
，
，
，
是直角三角形，
，
，
，
．
22．（2023秋 宿城区期末）图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即，通过计算说明该车是否符合安全标准．
【解析】在中，，
在中，，
，
，
．
故该车符合安全标准．
23．（2023秋 吴江区月考）如图，在中，，，，点为内一点，且，．
（1）求的长；
（2）求图中阴影部分（四边形的面积．
【解析】（1）在中，，
；
（2），，，
，
为直角三角形，且，
．
，
．
24．（2023秋 苏州期中）如图，中，为边上的一点，连接并延长，过点作，垂足为，若，，，．
（1）试说明为直角；
（2）记的面积为，的面积为，则的值为 66 ．
【解析】（1），
，
，，
，
，，，
，
是直角三角形，且为直角；
（2），，
，，
，
，，
，
故答案为：66．
25．（2023秋 亭湖区校级月考）在一条东西走向河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点、、在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．
（1）问是否为从村庄到河边的最近路？（即问：与是否垂直？请通过计算加以说明；
（2）求原来的路线的长．
【解析】（1）是，
理由是：在中，
，
所以是从村庄到河边的最近路
（2）设
在中，由已知得，，
由勾股定理得：
解这个方程，得，
答：原来的路线的长为2.5千米．
26．（2023秋 鼓楼区期末）在中，，，．
（1）若，则、、满足的数量关系为 ；
（2）若为钝角三角形，，，直接写出的取值范围；
（3）如图，若为锐角三角形，为最长边．求证．
【解析】（1）解：在中，，，．
若，则、、满足的数量关系为，
故答案为：；
（2）解：如图，过点作交的延长线于点，
则，
在中，，
在中，，
，
，
，
，，
，
当为钝角时，，
即；
当为钝角时，，
即，
综上所述，的取值范围为或；
（3）证明：如图，过点作于点，设，
在中，，
在中，，
，
，，
，
，
若为锐角三角形，为最长边．．
27．（2023秋 镇江期末）【材料阅读】我国古人对勾股定理的研究非常深邃．如图1，已知直角三角形三边长为，，为斜边），由勾股定理：，得，则，得到：．
从而得到了勾股定理的推论：已知直角三角形三边长为，，为斜边），则
【问题解决】如图2，已知的三边长分别为，如何计算的面积？据记载，古人是这样计算的：作边上的高．以，的长为斜边和直角边作（如图，其中，．
（1）用古人的方法计算的值，完成下面的填空：
．
（2）试直接利用阅读材料中勾股定理的推论继续完成面积的计算过程；
（3）你还有其他计算的面积的方法吗？写出解答过程．
【解析】（1）
，
故答案为：，，，，16；
（2）在中，
由勾股定理的推论，可知：．
，，
，
，
在中，，
，
；
（3）如图2，设，，
由勾股定理，得，
，
解得，
，
，
．
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第3章 勾股定理 单元培优测试卷
一．选择题（共8小题）
1．（2023秋 淮安校级月考）在下列四组数中，属于勾股数的是（ ）
A．0.3，0.4，0.5 B．
C．3，5，7 D．5，12，13
2．（2023秋 工业园区校级月考）在中，斜边，则的值为
A．15 B．25 C．50 D．无法计算
3．（2024春 海安市期中）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c．下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B＝90° B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
C．a：b：c＝3：4：5 D．a＝b＝1，c＝
4．（2024春 启东市校级月考）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为，，．若．则图中阴影部分的面积为
A．6 B． C．5 D．
5．（2024秋 吴中区校级月考）已知△中，，点在边的延长线上，，则
A．16 B．15 C．13 D．12
6．（2022春 海安市校级月考）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为
A．2.2米 B．2.3米 C．2.4米 D．2.5米
7．（2023秋 如皋市期末）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，，将四个直角三角形中边长为2的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是
A． B． C． D．
8．（2023秋 宜兴市月考）如图，点是射线外一点，连接，若，点到的距离为，动点从点出发沿射线以的速度运动．设运动的时间为秒，当为直角三角形时，的值为
A． B．2 C．2或 D．2或
二．填空题（共8小题）
9．（2023秋 秦淮区期中）三角形的三边长为、、，且满足等式，则此三角形是
三角形（直角、锐角、钝角）．
10．（2023秋 泗阳县期中）一个三角形的三边长分别为、、，则最大边上的中线长为 ．
11．（2023秋 天宁区校级期中）如图，，，，则 ．
12．（2023秋 沭阳县校级月考）在△中，，，，则△的面积是 ．
13．（2023秋 姑苏区校级月考）如图，在正方形网格中，点，，，，是格点，则的度数为 ．
14．（2023秋 兴化市月考）如图，某自动感应门的正上方处装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时米），感应门自动打开，则 米．
15．（2023 南通）勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数，，，其中，均小于，，，是大于1的奇数，则 （用含的式子表示）．
16．（2023秋 玄武区期末）如图，在四边形中，，，分别是，的中点，，，则 ．
三．解答题（共11小题）
17．（2024春 肇庆期末）在中，
①若，，求
②若，，求．
18．（2023秋 锡山区期中）如图在四边形中，，，，且，求的度数．
19．（2023秋 邗江区期末）如图，在中，，，，，垂足为，
求：（1）的长；
（2）的长．
20．（2023秋 宿迁期末）如图，在四边形中，，对角线与相交于点．，分别是边、的中点．
（1）求证：；
（2）当，时，求的长．
21．（2023秋 吴江区月考）将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，使点、、在同一条直线上．利用此图的面积表示式证明勾股定理．
22．（2023秋 宿城区期末）图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即，通过计算说明该车是否符合安全标准．
23．（2023秋 吴江区月考）如图，在中，，，，点为内一点，且，．
（1）求的长；
（2）求图中阴影部分（四边形的面积．
24．（2023秋 苏州期中）如图，中，为边上的一点，连接并延长，过点作，垂足为，若，，，．
（1）试说明为直角；
（2）记的面积为，的面积为，则的值为 ．
25．（2023秋 亭湖区校级月考）在一条东西走向河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点、、在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．
（1）问是否为从村庄到河边的最近路？（即问：与是否垂直？请通过计算加以说明；
（2）求原来的路线的长．
26．（2023秋 鼓楼区期末）在中，，，．
（1）若，则、、满足的数量关系为 ；
（2）若为钝角三角形，，，直接写出的取值范围；
（3）如图，若为锐角三角形，为最长边．求证．
27．（2023秋 镇江期末）【材料阅读】我国古人对勾股定理的研究非常深邃．如图1，已知直角三角形三边长为，，为斜边），由勾股定理：，得，则，得到：．
从而得到了勾股定理的推论：已知直角三角形三边长为，，为斜边），则
【问题解决】如图2，已知的三边长分别为，如何计算的面积？据记载，古人是这样计算的：作边上的高．以，的长为斜边和直角边作（如图，其中，．
（1）用古人的方法计算的值，完成下面的填空：
．
（2）试直接利用阅读材料中勾股定理的推论继续完成面积的计算过程；
（3）你还有其他计算的面积的方法吗？写出解答过程．
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