选择必修 第二章 2.5.1 直线与圆的位置关系（第2课时） 课件(共20张PPT)

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选择必修
第二章 直线和圆的方程
2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
2.5.1 直线与圆的位置关系（第2课时）
教学目标
学习目标 数学素养
1.能够利用代数法与几何法判断直线与圆的位置关系掌握直线与圆的三种位置关系． 1.逻辑推理素养、直观想象素养和数学运算素养.
2.掌握用直线与圆的位置关系解有关实际应用问题，掌握用坐标法解决平面几何问题的方法. 2.直观想象素养、逻辑推理素养和数学运算素养.
温故知新
直线与圆的位置关系及判断：
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 2个 1个 0个
判 定 方 法 几何法：设圆心到直线的距离
代数法：由 消元得到一元二次方程的判别式
知新探究
【例1】图中是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度AB＝20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度（精确到0.01）.
解：
建立如图所示的直角坐标系，使线段AB所在直线为x轴，O为坐标原点，圆心在y轴上.
由题意，点P、B的坐标分别为(0,4),(10,0),
.
因为P、B都是圆上的点，所以它们的坐标(0,4),(10,0)都满足圆的方程.于是，得到方程组
设圆心坐标是(0,b),圆的半径是r,那么圆的方程是
分析：建立如图所示的直角坐标系，要得到A2P2的高度，只需要求出点P2的纵坐标.
.
点是圆拱所在圆的圆心吗？
知新探究
【例1】图中是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度AB＝20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度（精确到0.01）.
解：
解得b=-10.5,r2=14.52.
∴圆的方程是,
.
所以.
把点P2的横坐标x=-2代入圆的方程，得
.
即(P2的纵坐标y>0，平方根取正值），
答：支柱A2P2的高度约为3.86m.
知新探究
1.建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，如点，直线，圆，将平面几何问题转化为代数问题；
2.通过代数运算，解决代数问题；
3.将代数运算结果“翻译”成几何结论．
坐标法解决有关直线与圆的位置关系的实际问题的步骤：
如果不建立平面直角坐标系，你能解决这个问题吗？由此比较综合法和坐标法的特点.
初试身手
1.如图，一座圆拱桥，当水面在l位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽多少米？
解：
如图，以圆拱桥拱顶为坐标原点，以过原点作圆的切线为x轴，过拱顶的竖直直线为y轴，建立直角坐标系．
设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则由已知得A(6，-2)．
∴圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100.②
将点A的坐标(6，－2)代入方程①，得36＋(r－2)2＝r2，解得r=10,
当水面下降1米后，可设点A′的坐标为(x0，－3)(x0>0)，
设圆的半径为r，则C(0，－r)，即圆的方程为
x2＋(y＋r)2＝r2. ①
将A′的坐标(x0，－3)代入方程②，得x0＝.
∴水面下降1米后，水面宽为2x0＝2 米．
知新探究
【例2】一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20 km的圆形区域内，已知小岛中心位于轮船正西40 km处，港口位于小岛中心正北30 km处.如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？
解：
以小岛的中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系.为了运算的简便，我们取10 km为单位长度，则港口所在位置的坐标为（0，3)，轮船所在位置的坐标为（4，0).
这样，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为
x2＋y2=4.
分析：先画出示意图，了解小岛中心、轮船、港口的方位和距离.根据题意，建立适当的平面直港口角坐标系，求出暗礁所在区域的边缘圆的方程，以及轮船返港直线的方程，利用方程判断直线与圆的位置关系，进轮船而确定轮船是否有触礁危险.
=1,即3x＋4y－12=0.
轮船航线所在直线l的方程为
知新探究
【例2】一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20 km的圆形区域内，已知小岛中心位于轮船正西40 km处，港口位于小岛中心正北30 km处.如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？
解：
联立直线l与圆O的方程，得
,
所以直线l与圆O相离，轮船沿直线返航不会有触礁危险.
由Δ=(－72)2－4×25×80＜0，可知方程组无解.
消去y，得25x2－72x＋80=0.
知新探究
解：
如图，建立直角坐标系，则圆心坐标为(0,0)，半径为2；
与方法1相同，轮船航线所在直线l的方程为
3x＋4y－12=0.
圆心到直线的距离d=>r=2，
你还能用其他方法上述问题吗？
例2方法2.
所以直线l与圆O相离，轮船沿直线返航不会有触礁危险.
知新探究
用坐标法解决平面几何问题时，先用坐标和方程表示几何元素：点、直线、圆，将几何问题转化为代数问题；然后通过代数运算解决代数问题；最后解释代数运算结果的几何含义，得到几何问题的结论.这就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：
第一步：建立适当的坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.
比较坐标法与向量法，它们在解决几何问题时，有什么异同点？
初试身手
以A为原点建立如图所示的平面直角坐标系，
直线l：y=x, 圆B：,
2.一个台风中心从A地以20km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30km内的地区为危险区，城市B在A地正东40km处，则城市B处于危险区的时间为多长？.
圆心B到直线l的距离，
由弦长公式可得MN=2=20.
解：
①建系
所需时间为20÷20=1（h).
②代数计算
③还原为实际问题
因此城市B处于危险区的时间为1小时.
知新探究
【例3】已知实数满足方程.
⑴求的最大值和最小值；
解：
原方程可化为，表示以为圆心，为半径的圆.
⑴的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设，
即.
所以的最大值为，最小值为.
此时，解得(如图).
当直线与圆相切时，斜率取得最大值或最小值，
知新探究
【例3】已知实数满足方程.
⑵求的最大值和最小值.
解：
原方程可化为，表示以为圆心，为半径的圆.
⑵可看作是直线
轴上的截距，
所以的最大值为，最小值为.
此时，解得(如图).
当直线y=x+b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，
初试身手
解：
∵圆C方程可化为(x－2)2＋(y－2)2＝1，
∴圆C关于x轴对称的圆C′为(x－2)2＋(y＋2)2＝1.（如图）
则光线l所在直线的方程为3x＋4y－3＝0或4x＋3y＋3＝0.
令l为y－3＝k(x＋3)，则kx－y＋3＋3k＝0,
3.自点A(－3,3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在的直线与圆C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光线l所在直线的方程．.
∴圆心C′到直线l的距离＝1，
解得k=或k=,
知新探究
坐标法解决有关直线与圆的位置关系的实际问题的步骤
第1步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中几何要素，如点、直线、圆，把平面几何问题转化为代数问题
第2步：通过代数计算，解决代数问题
第3步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论
第0步：审题，从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知.
第1步：几何—代数
实际问题—数学问题
第2步：解决代数问题
第3步: 还原为实际结论
作业布置
作业： P95 练习 第1,2，3题
P98 习题2.5 第4，5,6题.
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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