（12）实际问题与二次函数—九年级数学人教版上册课前导学（含解析）

（12）实际问题与二次函数—九年级数学人教版上册课前导学
一、知识预习
1.对于某些实际问题，如果其中的变量之间的关系可以用二次函数模型来刻画，那么我们就可以利用二次函数的图象和性质来研究.用二次函数解决实际问题的一般步骤：
（1）审：仔细审题，理清题意；
（2）设：找出问题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数；
（3）列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式；
（4）解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题；
（5）检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论.
2.用二次函数求解实际问题的常见类型
（1）图形面积的最值问题
在日常生活中，经常遇到求某种图形的最大面积问题，这类问题可以利用二次函数的图象和性质解决，也就是把最大面积问题转化为二次函数的最大值问题.
求图形的面积时常会涉及线段与线段之间的关系，通常是根据图形中线段的关系，找到相应线段与面积之间的函数关系，将其转化为二次函数问题，就可以用二次函数的图象与性质来解决.
（2）最大利润问题
求解最大利润问题时，要熟练掌握利润为题中相关数量的意义以及常用的数量关系.审清题意，根据具体问题，建立函数关系式，解决实际问题.常见销售问题中的数量关系：，，.
【提示】求函数的最值时，要注意实际问题中自变量的取值限制对最值的影响.若对称轴的取值不在自变量的取值范围内，则最值在自变量取值的端点处取得.
（3）抛物线形建筑问题
利用二次函数解决抛物线形建筑物问题的一般步骤：
①建立适当的平面直角坐标系，将抛物线形的图形放在坐标系中；
②设出函数解析式，结合图形和已知条件，用待定系数法求函数解析式；
③利用二次函数的图象与性质求解实际问题
【注意】同一个问题中，建立平面直角坐标系的方法有多种，建立适当的平面直角坐标系能简化解析式，通常应使已知点在坐标轴上.
二、自我检测
1.廊桥是我国古老的文化遗产，抛物线形的廊桥示意图如图所示.已知抛物线的函数表达式为，为增加安全性，在该抛物线上同一高度且水平距离为8米的C，D两处安装警示灯，则警示灯D距离水面的距离为( )
A.米 B.米 C.米 D.米
2.某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获利润y（元）与降价x（元）之间的关系是，则所获利润最多为( )
A.15元 B.400元 C.800元 D.1250元
3.如图1是莲花山景区一座抛物线形拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽为，当水位上升时水面宽为( )
A. B. C. D.
4.某超市销售一种饮料，每瓶进价为4元，经市场调查表明：每瓶售价每增加1元，日均销售量减少80瓶；当售价为每瓶7元时，日均销售量为400瓶，若要日均毛利润最大，每瓶饮料的售价应是( )
A.6元 B.7元 C.8元 D.9元
5.在投掷铅球项目中，铅球脱手后的飞行路线可以看做如图所示抛物线的一部分.设铅球落地点离投掷者的距离为，则s的范围为( )
A. B. C. D.
6.2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚,健康,可爱,活泼,某零售店“冰墩墩”的销售日益火爆,销售期间发现,每天的销售利润y(元)与售价x(元)之间的函数解析式是,且售价x的范围是,则销售“冰墩墩”每天的最大利润是________.
7.如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园，已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是__________平方米.
8.有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为12m.现将它的图形放在如图所示的直角坐标系中.
(1)求这条抛物线的解析式.
(2)一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能否从桥下通过？
答案以及解析
二、自我检测
1.答案：B
解析：依题意，D的横坐标为4，
令，即，
故选B.
2.答案：D
解析：，
因为，所以当时，y有最大值，最大值为1250，即所获利润最多为1250元.
3.答案：C
解析：依题意得：
当时，，
当水位上升时，则此时，
则：，
解得：或，
水面宽为：，
故选：C.
4.答案：C
解析：设每瓶的售价为x元，日均利润为y元，由题意得；
；
；
；
当时，y有最大值；
故选：C.
5.答案：B
解析：根据题意，设抛物线的解析式为，
将点代入得：，
解得：，
抛物线的解析式为，
令，则，
解得：，
由图可知，
，
，
，
故选：B.
6.答案：900元
解析：∵,且,
又∵售价x的范围是,
∴当时,y有最大值,最大值为900,
∴最大利润是900元.
故答案为：900元.
7.答案：450
解析：由题意，设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米，
又墙长为40米，
.
.
菜园的面积，
当时，可围成的菜园的最大面积是450，即垂直于墙的边长为15米时，可围成的菜园的最大面积是450平方米.
故答案为：450.
8.答案：(1)
(2)一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能从桥下通过，理由见解析.
解析：（1）根据题意抛物线经过了原点，设抛物线为：
把代入抛物线的解析式得：
解得：
所以抛物线为：
（2）因为一艘宽为4米，高出水面3米的货船行驶时航线在正中间，
所以当时，
而
所以一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能从桥下通过.