上海市各区县2016届高三上学期期末考试数学理试题汇编：圆锥曲线

上海市各区县2016届高三上学期期末考试数学理试题汇编
圆锥曲线
一、填空题
1、（宝山区2016届高三上学期期末）抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形的面积等于 ．
2、（崇明县2016届高三上学期期末）在△ABC中，AN＝4，BC＝，∠CBA ＝，.若双曲线以 AB 为实轴，且过点C，则的焦距为　　　
3、（奉贤区2016届高三上学期期末）若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则________
4、（虹口区2016届高三上学期期末）如图，已知双曲线C的右焦点为F，过它的右顶点A 作实轴的垂线，与其一条渐近线相交于点B ；若双曲线C的焦距为4，为等边三角形（为坐标原点，即双曲线
C的中心），则双曲线C的方程为_________________.
5、（黄浦区2016届高三上学期期末）已知，若曲线与曲线无交点，则 ．
6、（金山区2016届高三上学期期末）以椭圆的中心为顶点，且以该椭圆的右焦点为焦点的抛物线方程是
7、（静安区2016届高三上学期期末）已知抛物线的准线方程是，则 .
8、（闵行区2016届高三上学期期末）点、均在椭圆上运动，是椭圆的左、右焦点，则的最大值为 .
9、（普陀区2016届高三上学期期末）设是双曲线上的动点，若到两条渐近线的距离分别为，则_________.
10、（松江区2016届高三上学期期末）已知抛物线的准线为，过且斜率为的直线与相交于点，与抛物线的一个交点为．若，则 ▲ ．
11、（杨浦区2016届高三上学期期末）抛物线的顶点为原点，焦点在轴正半轴，过焦点且倾斜角为的直线交抛物线于点，若AB中点的横坐标为3，则抛物线的方程为_______________.
填空题参考答案：
1、　　2、8　　3、　　4、　　5、
6、y2=12x　　7、1　　8、　　9、　　10、
11、　　12、　　13、　　14、　15、　　16、　　17、
二、选择题
1、（嘉定区2016届高三上学期期末）已知圆过定点，圆心在抛物线上运动，若轴截圆所得的弦为，则等于（ ）
A． B． C． D．
2、（青浦区2016届高三上学期期末）已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个交点，且轴，若为双曲线一、三象限的一条渐近线，则的倾斜角所在的区间可能是………………………（ ）.
（A） （B） （C） （D）
3、（松江区2016届高三上学期期末）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为
选择题参考答案：
1、A　　2、D　　3、A　　
三、解答题
1、（宝山区2016届高三上学期期末）已知椭圆上两个不同的点A,B关于直线对称．
（1）若已知，为椭圆上动点，证明：；
（2）求实数的取值范围；
（3）求面积的最大值（为坐标原点）．
2、（奉贤区2016届高三上学期期末）设三个数，2，成等差数列，其中对应点的曲线方程是．
(1)、求的标准方程；
(2)、直线与曲线C相交于不同两点，且满足为钝角，其中为直角坐标原点，求出的取值范围．
3、（虹口区2016届高三上学期期末）
已知椭圆的左焦点为 短轴的两个端点分别为且为等边三角形 .
(1) 求椭圆的方程；
(2) 如图，点M在椭圆C上且位于第一象
限内，它关于坐标原点O的对称点为N； 过点
M 作 轴的垂线，垂足为H，直线NH与椭圆
C交于另一点J，若，试求以线段NJ为直径的圆的方程；
（3）已知是过点的两条互相垂直的直线，直线与圆相交于两点，直线与椭圆交于另一点；求面积取最大值时，直线的方程.
4、（黄浦区2016届高三上学期期末）已知椭圆：（），过原点的两条直线和分别与交于点、和、，得到平行四边形．
（1）当为正方形时，求该正方形的面积．
（2）若直线和关于轴对称，上任意一点到和的距离分别为和，当为定值时，求此时直线和的斜率及该定值．
（3）当为菱形，且圆内切于菱形时，求，满足的关系式．
5、（嘉定区2016届高三上学期期末）在平面直角坐标系内，动点到定点的距离与到定直线的距离之比为．
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）若轨迹上的动点到定点（）的距离的最小值为，求的值．
（3）设点、是轨迹上两个动点，直线、与轨迹的另一交点分别为、，且直线、的斜率之积等于，问四边形的面积是否为定值？请说明理由．
6、（金山区2016届高三上学期期末）在平面直角坐标系中，已知椭圆，设点 是椭圆上一点，从原点向圆作两条切线，切点分别为．
(1) 若直线互相垂直，且点在第一象限内，求点的坐标；
(2) 若直线的斜率都存在，并记为，求证：．
7、（静安区2016届高三上学期期末）设P1和P2是双曲线上的两点，线段P1P2的中点为M，直线P1P2不经过坐标原点O.
(1)若直线P1P2和直线OM的斜率都存在且分别为k1和k2，求证:k1k2=；
(2)若双曲线的焦点分别为、，点P1的坐标为(2，1) ，直线OM的斜率为，求由四点P1、 F1、P2、F2所围成四边形P1 F1P2F2的面积.
8、（闵行区2016届高三上学期期末） 已知椭圆的中心在坐标原点，且经过点，它的一个焦点与抛物线的焦点重合．
（1）求椭圆的方程；
（2）斜率为的直线过点，且与抛物线交于两点，设点，的面积为，求的值；
（3）若直线过点（），且与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为，直线的纵截距为，证明：为定值.
9、（浦东新区2016届高三上学期期末）在平面直角坐标系中，对于点、直线，我们称为点到直线的方向距离。
（1）设椭圆上的任意一点到直线的方向距离分别为，求的取值范围。
（2）设点、到直线：的方向距离分别为、，试问是否存在实数，对任意的都有成立？若存在，求出的值；不存在，说明理由。
（3）已知直线：和椭圆：（），设椭圆的两个焦点到直线的方向距离分别为、满足，且直线与轴的交点为、与轴的交点为，试比较的长与的大小。
10、（普陀区2016届高三上学期期末）如图，椭圆的左、右两个焦点分别为，为椭圆的右顶点，点在椭圆上且.
（1）计算的值；
（2）求的面积.
11、（青浦区2016届高三上学期期末）已知椭圆的对称轴为坐标轴，且抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，以为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线与椭圆交于两点，且椭圆上存在点满足，求的值．
12、（松江区2016届高三上学期期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，C、D两点的坐标为, 曲线上的动点P满足．又曲线上的点A、B满足．
（1）求曲线的方程；
（2）若点A在第一象限，且，求点A的坐标；
（3）求证：原点到直线AB的距离为定值．
13、（徐汇区2016届高三上学期期末）已知直线、与曲线分别相交于点、和、，我们将四边形称为曲线的内接四边形．
若直线和将单位圆分成长度相等的四段弧，求的值；
若直线与圆分别交于点、和、，求证：四边形为正方形；
求证：椭圆的内接正方形有且只有一个，并求该内接正方形的面积．
14、（杨浦区2016届高三上学期期末）如图，曲线由两个椭圆：和椭圆：组成，当成等比数列时，称曲线为“猫眼曲线”.
（1）若猫眼曲线过点，且的公比为，求猫眼曲线的方程；
（2） 对于题（1）中的求猫眼曲线，任作斜率为且不过原点的直线与该曲线相交，交椭圆所得弦的中点为，交椭圆所得弦的中点为，求证：为与无关的定值；
（3） 若斜率为的直线为椭圆的切线，且交椭圆于点，为椭圆上的任意一点（点与点不重合），求面积的最大值.
解答题参考答案
1、解：（1）设则, 于是
=
--------------------------------------------------------2分
因,
所以，当时，.即 ----------------------------4分
（2）由题意知，可设直线的方程为. ------------------------------5分
由消去，得
. --------------------------------------------------------7分
因为直线与椭圆有两个不同的交点，
所以,，
即 ①----------------------------8分
将中点 --------------------------------------------------------9分
代入直线方程解得 ②
由①②得或 --------------------------------------------------------10分
（3）令，即，
则 --------------------------------------------11分
且到直线的距离为 -----------------------------------------------12分
设的面积为，所以
--------------------------14分
当且仅当时，等号成立.
故面积的最大值为. ---------------------------------------------------16分
2、（1）、依题意： 1分
所以点对应的曲线方程是椭圆 2分
． 3分
4分
5分
6分
（2）、联立方程组消去，得 7分
8分
9分
设
得 10分
方法一
可计算 11分
由为钝角，则，
12分
所以 13分
14分
方法二
或者 11分
12分
所以 13分
14分
3、解：（1）由题意，得 ……(2分)
故椭圆C的方程为 ……(4分)
（2）设则由条件，知
从而
于是由
再由点M在椭圆C上，得
所以 ……(6分)
进而求得直线NH的方程:
由 ……(8分)
进而
因此以线段NJ为直径的圆的方程为： ……(10分)
（3）当直线的斜率不存在时，直线与椭圆C相切于点A，不合题意；当直线的斜率为0时，可以求得 ……(12分)
当直线的斜率存在且不为0时，设其方程为则点O到直线的距离为从而由几何意义，得
由于故直线的方程为可求得它与椭圆C的交点R的坐标为于是
……(15分)
当且仅当 时，上式取等号.
因为故当时，；此时直线的方程为：
（也可写成 ） ……(18分)
4、[解]（1）因为为正方形，所以直线和的方程为和．（1分）
点、的坐标、为方程组的实数解，
将代入椭圆方程，解得．
根据对称性，可得正方形的面积．（4分）
（2）由题设，不妨设直线的方程为（），于是直线的方程为．
设，于是有，又，，（6分），将代入上式，
得，（8分）
对于任意，上式为定值，必有，即，（9分）
因此，直线和的斜率分别为和，此时．（10分）
（3）设与圆相切的切点坐标为，于是切线的方程为．
点、的坐标、为方程组的实数解．
① 当或时，均为正方形，椭圆均过点，于是有．（11分）
② 当且时，将代入，
整理得，于是，（13分）
同理可得．（15分）
因为为菱形，所以，得，即，（16分）
于是，整理得，由，
得，即．（18分）综上，，满足的关系式为．
5、（1）设，由题意，， ……………………………（2分）
化简得， ………………（3分）
所以，动点的轨迹的方程为． ………………………………（4分）
（2）设，则
，． ………………………………（2分）
①当，即时，当时，取最小值，
解得，，此时，故舍去． …………………（4分）
②当，即时，当时，取最小值，
解得，或（舍）． …………………………………………………（6分）
综上，．
（3）解法一：设，，则由，得，（1分）
，
因为点、在椭圆上，所以，，
所以，，化简得． …………（2分）
①当时，则四边形为矩形，，则，
由，得，解得，，
． ……………………………………（3分）
②当时，直线的方向向量为，直线的方程为
，原点到直线的距离为
所以，△的面积，
根据椭圆的对称性，四边形的面积，……（4分）
所以，
，所以．
所以，四边形的面积为定值． ……………………………………（6分）
解法二：设，，则，，
由，得， …………………………………………（1分）
因为点、在椭圆上，所以，，
所以，，化简得． …………（2分）
直线的方程为，点到直线的距离，
△的面积， ……………………（3分）
根据椭圆的对称性，四边形的面积，……（4分）
所以，
，所以．
所以，四边形的面积为定值． ………………………………（6分）
解法三：设，，则，
由，得， …………………………………………（1分）
因为点、在椭圆上，所以，，
所以，，化简得． …………（2分）
△的面积， ……………………（3分）
根据椭圆的对称性，四边形的面积，……（4分）
所以，所以，
，所以．
所以，四边形的面积为定值． ……………………………………（6分）
6、解：(1)由题意得：圆的半径为，因为直线互相垂直，且与圆相切，所以四边形OPRQ为正方形，故，即① ………………3分
又在椭圆C上，所以②…………………………………5分
由①②及在第一象限，解得,…………………………………………7分
(2)证明：因为直线OP：y=k1 x，OQ：y=k2x均与圆R相切，……………………8分
所以，化简得
同理有………………………………………………10分
所以k1、k2是方程的两个不相等的实数根，
所以，………………………………………………………………………11分
又因为在椭圆C上，所以，
即，所以，即2k1k2+1=0．………………………14分
7、(1)解法1：设不经过点O的直线P1P2方程为，代入双曲线方程得：.
设 P1坐标为，P2坐标为，中点坐标为M (x,y),则，，
，所以，，k1k2=。
另解：设P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，中点M (x,y),则 且
（1）-（2）得：。
因为,直线P1P2和直线OM的斜率都存在,所以(x1+x2)(x1-x2)0，
等式两边同除以(x1+x2)(x1-x2)，得：
即 k1k2=。…………6分
（2）由已知得,求得双曲线方程为，
直线P1 P2斜率为，
直线P1 P2方程为,
代入双曲线方程可解得 (中点M坐标为.
面积.
另解: 线段P1 P2中点M在直线上.所以由中点M((x,y),可得点P2的坐标为,代入双曲线方程可得,即，解得（），所以。面积.
8、[解]（1）设椭圆的方程为，由题设得，…2分
，椭圆的方程是 …………………………4分
（2）设直线，由得
与抛物线有两个交点，，，
则 …………………………6分
到的距离，又,
，故． ………………………10分
（3），点关于轴的对称点为，
则直线，设得
直线，设得14分
，又，，
．………………………16分
9、解答：（1）由点在椭圆上，所以
由题意、，于是………………2分
又得，即…………………………………………4分
（也可以先求出，再利用基本不等式易得）
（2）假设存在实数，满足题设，
由题意，
于是………………………………………………6分
对任意的都成立
只要即可，所以
故存在实数，，对任意的都有成立。……………………………9分
（学生通过联想，判断直线是椭圆的切线，又证明从而得到也给分）
（3）设的坐标分别为、，于是
、于是
又，即……………………………………………12分
所以
综上…………………………………………………………………………14分
10、
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11、解：（1）因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，即
又椭圆的对称轴为坐标轴，所以设椭圆方程为,且
又以为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切
即,所以椭圆的方程是
（2）设，
又， 即在椭圆上,即
12、解（1）由，知，曲线E是以C、D为焦点，长轴的椭圆， ……………… 1分
设其方程为，则有，
∴曲线E的方程为 ……………… 3分
（2）设直线OA的方程为，则直线OB的方程为
由 得，解得.………………4分
同理，由则 解得. ………………5分
由 知，
即 ………………6分
解得，因点A在第一象限，故， ………………7分
此时点A的坐标为 ………………8分
（3）设，，
当直线AB平行于坐标轴时，由知A、B两点之一为与椭圆的交点，
由解得 此时原点到直线AB的距离为…10分
当直线AB不平行于坐标轴时，设直线AB的方程，
由 得 ………………12分
由 得
即
因 ………………14分
代入得 即……15分
原点到直线AB的距离 ………………16分
13、解：（1）由于直线和将单位圆分成长度相等的四段弧，所以，在等腰直角中，圆心到直线的距离为，同理，------------------------------------4分
（2）由题知，直线关于原点对称，因为圆的圆心为原点，所以，故四边形为平行四边形.易知，点在对角线上.
联立解得，由得
，所以，
于是，因为，所以四边形为正方形.----------------9分
证明：假设椭圆存在内接正方形，其四个顶点为.
当直线的斜率不存在时，设直线、的方程为，因为在椭圆上，所以，由四边形为正方形，易知，，直线、的方程为，正方形的面积.---------------------12分
当直线的斜率存在时，设直线、的方程分别为，
显然.设，联立得
，所以
代人，得，同理可得
，因为为正方形，所以解得
因为，所以，因此，直线与直线关于原点对称，所以原点为正方形的中心（由知，四边形为平行四边形）
由为正方形知，
即
代人得，解得（注：此时四边形为菱形）
由为正方形知，因为直线与直线的距离为，故
但，由得
即，与矛盾.所以，这与矛盾.即当直线的斜率存在时，椭圆内不存在正方形.
综上所述，椭圆的内接正方形有且只有一个，且其面积为.--18分
14、（1），， （2分）
，； （2分）
（2）设斜率为的直线交椭圆于点，线段中点
由，得 （2分）
存在且，，且
，即 （2分）
同理，
得证 （2分）
（3）设直线的方程为
，
，
（2分）
，
，
（1分）
两平行线间距离： （1分）
（1分）
的面积最大值为 （1分）
注：若用第一小题结论，算得：
的面积最大值为 得3分