2024年北京市清华附中高三（上）统练三数学（PDF版，含答案）

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统练 3
一、选择题 共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项
中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合 A ={x 1 x 1}， B ={x 0≤ x ≤2}，则 A B =
（A）{x 1 x 2} （B）{x 1 x≤2}
（C）{x 0≤ x 1} （D）{x 0≤ x ≤2}
（2）若复数 z 满足 (1 i) z = 2 ，则 z =
（A） 1 i （B） 1+ i
（C）1 i （D）1+ i
（3）已知实数 a,b满足 a b，则下列不等式中正确的是
（A） | a | b （B） 2 2a | b | （C） a ab （D） ab b
1
1 1
（4）已知 a = 2 3，b = log2 ，c = log 1 ，则( )
3 3
2
（A） a b c （B） a c b （C） c a b （D）c b a
（5）已知函数 f (x) = log x x2 + 2x 1，则不等式 f (x) 0 的解集为
2
(A) (1,4) (B) (0,1) (4,+ )
(C) (1,2) (D) (0,1) (2,+ )
（6）若 P 是△ABC内部或边上的一个动点，且 AP = xAB + y AC ，则 xy的最大值
是
1 1
（A） （B） （C）1 （D）2
4 2
（7）无穷等差数列{an}的前 n项和为 Sn ，公差为 d ，则“ Sn 有最大值”是“ d 0 ”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
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（8）已知函数 y = Asin( x + )的部分图象如图所示，将该函数的图象向左平移
t(t 0)个单位长度，得到函数 y = f (x)的图象.若函数 y = f (x)为奇函数，则
t的最小值是
π π
（A） （B）
12 6
π π
（C） （D）
4 3
（9）我们可以用下面的方法在线段上构造出一个特殊的点集：如图，取一条长
度为 1 的线段，第 1 次操作，将该线段三等分，去掉中间一段，留下两
段；第 2 次操作，将留下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留下四段；
按照这种规律一直操作下去. 若经过 n次这样的操作后，去掉的所有线段
99
的长度总和大于 ，则 n的最小值为
100
（参考数据： lg2 0.301， lg3 0.477）
第1次操作
第2次操作
（A）9 （B）10 第3次操作
（C）11 （D）12
xe x , x 0 1
（10）若函数 f (x)= 2 的值域为 [ ,+ ) ，则实数 a 的取值范围是
ax 2x , x 0 e
（ ）
（A） (0, e) （B） (e, + ) （C） (0, e] （D）[e, + )
二、填空题 共 5 道小题，每小题 5 分，共 25 分.

（11 ）已知 tan( ) = 2，则 tan = ______ 3
4
（12）在平面直角坐标系 xOy 中，角 与角 均以 Ox 为始边，它们的终边关于
3 3
直线 y = x 对称，若 sin = , 则 cos = _______．
5 5
（13）已知向量 a, b, c 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的
边长为1，则 (a+ b) c = ___0____；
a b = ___3____．
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（14）若函数 2f (x) = sin( x+ )( 0)和 g(x) = cos (x + ) sin2 (x + ) 的图象的对称
6

中心完全重合，则 =____2_____； g( ) =_____±1_______．
6
（15）已知各项均不为零的数列{an}，其前 n 项和是 Sn ， a1 = a ，且 Sn = anan+1
（ n =1,2, ）. 给出如下结论：
① a2 =1；
②{an}为递增数列；
③若 n N*， an+1 an ，则 a的取值范围是 (0,1)；
a
④ m N*，使得当 k m 时，总有 2k 1+ e 10 .
a2k 1
其中，所有正确结论的序号是 ．①③④
三、解答题 共 6 道小题，共 85 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过
程。
(16) (本小题 14 分) 已知{an}是等差数列，满足 a1 = 3, a4 =12，数列{bn}满足
b1 = 4, b4 = 20 ，且{bn an}为等比数列．
（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{b2n}的前 n项和．
解：（Ⅰ）设等差数列{a 的公差为 ，由题意得 n} d
a a 12 3
d = 4 1 = = 3．
3 3
所以 an = a1 + (n 1)d = 3n (n =1,2, ) ．
设等比数列{b a }的公比为 q，由题意得 n n
3 b4 a4 20 12q = = = 8，解得 q = 2．
b1 a1 4 3
所以b a = (b a )qn 1n n 1 1 = 2
n 1 ．
从而b n 1n = 3n + 2 (n =1,2, ) ． 8 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b2n = 6n + 2
2n 1 (n =1,2, )．
4n 1 2
数列{6n}的前 n项和为3n(n +1) ，数列{22n 1}的前 n 项和为2 = (4n 1)．
4 1 3
2
所以，数列{b2n}的前 n项和为3n(n +1) + (4
n 1)． 6 分
3
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π
(17) (本小题 14 分) 已知函数 f (x) = sin xcos + cos xsin ( 0, | | ) 在区间
2
π 2π 2π
[ , ]上单调递增， f ( ) =1，请从条件 ①、条件 ②、条件 ③ 这三个条件中选择一个
3 3 3
作为已知，使函数 f (x) 唯一确定．
π
条件 ①： f ( ) = 2 ；
3
π
条件 ②： f ( ) = 1；
3
π π
条件 ③： f (x)在区间 [ , ] 上单调递减．
2 3
（Ⅰ）求 , 的值；
（Ⅱ）若函数 ( )在区间(0, )内有且仅有1个极大值点，求 的取值范围．
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件
分别解答，按第一个解答计分．
π
解：（Ⅰ）选择条件 ②： f ( ) = 1．
3
因为 f (x) = sin( x + )，所以 f (x) 的最小值为 1，最大值为1，
π 2π π 2π
又因为 f (x) 在区间[ , ]上单调递增，且 f ( ) = 1， f ( ) =1，
3 3 3 3
T 2π π
所以由三角函数的性质得 = + = π，故T = 2π．
2 3 3
2π
因为 0 ，所以 = =1， f (x) = sin(x + ) ．
T
π π
由 sin( + ) = 1，得 = 2kπ (k Z) ．
3 6
π π
又因为 | | ，所以 = ． 10 分
2 6
π π
选择条件 ③： f (x)在区间[ , ] 上单调递减．
2 3
因为 f (x) = sin( x + )，所以 f (x) 的最小值为 1，最大值为1．
π π 2π 2π
由题意得 f ( ) = 1，又因为 f (x) 在区间[ , ]上单调递增，且 f ( ) =1，
3 3 3 3
T 2π π
所以由三角函数的性质得 = + = π，故T = 2π．
2 3 3
2π
因为 0 ，所以 = =1， f (x) = sin(x + ) ．
T
π π
由 sin( + ) = 1，得 = 2kπ (k Z) ．
3 6
π π
又因为 | | ，所以 = ． 10 分
2 6
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（Ⅱ）因为 ∈ (0, )，所以 ∈ ( , ),
6 6 6
5 2 8
由题意可得 ∈ ( , ]，所以 的取值范围是( , ]. 4 分
6 2 2 3 3
(18) (本小题 14 分)
21
如图，△ ABD为正三角形， AC / /DB ， AC = 4， cos ABC = .
7
（Ⅰ）求 sin ACB 的值；
（Ⅱ）求 AB ，CD的长.

解：（Ⅰ）因为△ ABD为正三角形，AC / /DB ，所以在△ ABC 中， BAC = ，
3

所以 ACB = ( + ABC) .
3

所以 sin ACB = sin( + ABC) = sin cos ABC + cos sin ABC)
3 3 3
21
因为在△ ABC 中， cos ABC = ， ABC (0, )
7
2 7
所以 sin ABC = .
7
3 21 1 2 7 5 7
所以 sin ACB = + = . 7分
2 7 2 7 14
AB AC
（Ⅱ）在△ ABC 中， AC = 4，由正弦定理得： = ，
sin ACB sin ABC
5 7
4
AC sin ACB
所以 AB = =
14 = 5
sin ABC 2 7
7

又在正△ ABD中， AB = AD ， DAB = ，
3
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所以在△ ADC 中， DAC = ，
3
2 2 2
由余弦定理得：CD = AC + AD 2AC AD cos DAC

=16+ 25 2 4 5 cos = 61
3
所以CD 的长为 61 . 7 分
3 2x
(19) (本小题 14 分) 已知函数 f (x) = ．
x2 + a
（Ⅰ）若 a = 4，求 f (x) 的单调区间；
（Ⅱ）若 f (x) 在 x = 1处取得极值，求 f (x) 的单调区间，并求其最大值与最小值．
3 7
2 2(x )
2 +
3 2x 2x 6x + 8
解：（Ⅰ） f (x) = ， f (x) = = 2 2 ，
x2 4 (x
2 4)2 (x2 4)2
所以 f (x) 0恒成立．
所以 f (x) 的递增区间为 ( , 2), ( 2,2), (2,+ )，无递减区间. 5 分
3 2x 2(x2 + a) 2x(3 2x) 2(x2 3x a)
（Ⅱ）由 f (x) = 得 f (x) = = ．
x2 + a (x2 + a)2 (x2 + a)2
由题意知 f ( 1) = 0，所以 ( 1)2 3 ( 1) a = 0 ．故 a = 4 ．
3 2x 2(x +1)(x 4)
当 a = 4时， f (x) = ， f (x) = ．
x2 + 4 (x
2 + 4)2
f (x) 与 f (x) 的情况如下：
x ( , 1) 1 ( 1, 4) 4 (4, + )
f (x) + 0 0 +
1
f (x) ↗ 1 ↘ ↗
4
因此，f (x) 的单调递增区间是 ( , 1)和 (4, + ) ，单调递减区间是 ( 1,4)．
所以 f (x) 在区间 ( , 4]上的最大值是 f ( 1) =1．
又因为当 x (4, + )时， f (x) 0 ，所以 f ( 1) =1是 f (x) 的最大值．
1
同理可知， f (4) = 是 f (x) 的最小值． 9 分
4
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(20) (本小题 14 分) x 设 l 为曲线C ： y = (x 2)e 在 x = 1处的切线．
（Ⅰ）求 l 的方程；
（Ⅱ）判断曲线C 与直线 l 的公共点个数，并证明．
2 3
解：（Ⅰ）设 ( ) = ( 2) , ′( ) = ( 1) , ′( 1) = , ( 1) =

2 5
所以切线 l 为 = 5 分

2 5 2 5
（Ⅱ）设 ( ) = ( ) ( ) = ( 2) + +

2
′( ) = ( 1) + , ′′( ) = ,令 ′′( ) = 0, = 0

( ∞, 0) 0 (0, +∞)
′′( ) 0 +
′( ) ↓ 极小 ↑
′( )最小= ′(0) < 0, ′( 1) = 0， ′( )在( ∞, 0)有且仅有一个变号零点 1
2
′( )最小= ′(0) < 0, ′(1) = > 0， ′( )在(0, +∞)有且仅有一个变号零点
0
∈ (0,1)
( ∞, 1) 1 ( 1, 0) 0 ( 0, +∞)
′( ) + 0 0
( ) ↑ 极大 ↓ 极小 ↑
9
( 1) = 0， ( 0)< ( 1) = 0， (2) = > 0
因此 ( )在( ∞, 1)和( 1, 0)无零点，在( 0, +∞)恰有一个变号零点 1 ∈( 0, 2)，
综上， ( )恰有 2 个零点 1与 1. 9 分
(21) (本小题 15 分)
设 m为正整数，数列 a1,a2 , ,a4m+2 是公差不为 0 的等差数列，若从中删去两项
ai 和 a j (i j )后剩余的 4m项可被平均分为m 组，且每组的 4 个数都能构成等差
数列，则称数列 a1,a2 , ,a4m+2 是 (i, j ) 可分数列．
（Ⅰ）写出所有的 (i, j )，1 i j 6，使数列a i, j 1,a2 , ,a6是 ( ) 可分数列；
（Ⅱ）当m 3时，证明：数列 a1,a2 , ,a 2,13 4m+2 是 ( ) 可分数列；
（Ⅲ）证明：使数列a1,a2 , ,a4m+2 是 (i, j ) 可分数列的有序数对 (i, j )至少有
m2 +m+1个.
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【解】（Ⅰ）不失一般性，可设ak = k (k =1,2, ,4m+ 2)，
相当于从1,2,3,4,5,6中取出两个数 i 和 j (i j )，使得剩下四个数是等差数列.
那么剩下四个数只可能是1,2,3,4，或2,3,4,5，或3,4,5,6 .
所以所有可能的 (i, j )是 (1,2) ,(1,6) ,(5,6) . 4 分 （每个 1 分；若有错误，至多给 3 分）
（Ⅱ）从数列1,2, ,4m+ 2 中取出 2和13后，剩余的4m 个数可分为以下两个部分：
1,4,7,10 , 3,6,9,12 , 5,8,11,14 ，共3组； 3 分
15,16,17,18 , 19,20,21,22 ,..., 4m 1,4m, 4m+1,4m+ 2 ，共m 3组. 2 分
共m 组，易知每组都成等差数列，故数列a ,a , ,a 是(2,13) 1 2 4m+2 可分数列.
（Ⅲ）首先证明引理：数列a1,a2 , ,a (2,4k +1) 4m+2 是 可分数列（2 k m ）.
先考虑a1 ~ a4k+2 ，当 k = 2时，去掉 a2 ,a9 后，分为两组 (a1,a3,a5,a7 ), (a4 ,a6 ,a8,a10) ；
当 k 3时，将这4k + 2项去掉a2 ,a4k+1后，分为如下k 组：
(a1,ak+1,a2k+1,a3k+1), (a3,ak+3,a2k+3,a3k+3), (a4 ,ak+4 ,a2k+4 ,a3k+4), , (ak ,a2k ,a3k ,a4k )及
(ak+2 ,a2k+2 ,a3k+2 ,a4k+2)；
再将a4k+3 ~ a4m+2 按角标从小到大每连续四项分为一组，共m k 组.
经检验，上述m 组，每组的四项都成等差数列。引理证毕.
一方面，由引理可得，原数列是 (4l + 2,4k +1) 可分数列，其中 k l 2 ，只需将
a1 ~ a4l 按角标从小到大每连续四项分为一组，其余同引理。 3 分
另一方面，原数列必是 (4k +1,4l + 2) 可分数列（0 k l m ），因为去掉
a4k 1,a4l 2后，还剩下三部分a1 ~ a4k ,a4k+2 ~ a4l+1,a4l+3 ~ a4m+2 ，由于每部分的项数均为
4 的倍数，所以每部分都可以按角标从小到大，连续四项分为一组即可。 2 分
2 2
综上所述，有序数对 (i, j)至少有 A +m+1 m = m +m+1 . 1 分
m+1
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