北京市中国人民大学附属中学2023-2024学年高一上学期期中练习数学试题（无答案）

人大附中2023~2024学年度第一学期高一年级数学期中练习
2023年11月1日
说明：本试卷分Ⅰ卷和Ⅱ卷，Ⅰ卷18道题，共100分；Ⅱ卷8道题，共50分．
Ⅰ卷、Ⅱ卷共26题，合计150分，考试时间120分钟．
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效
Ⅰ卷（共18道题，满分100分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知命题，，则是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3. 下列函数中，在定义域上单调递减的是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知x，，若，则（ ）
A. xy的最大值为1 B. xy的最大值为2 C. xy的最小值为1 D. xy的最小值为2
5. 已知关于x的方程的两个实根为，，且，则a的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 已知函数，，下表列出了时各函数的取值，则（ ）
x
m 8 4 n
A. ， B. ，
C. ， D. ，
7. “函数在区间上不是增函数”的一个充要条件是（ ）
A. “存在a，，使得且”
B. “存在a，，使得且”
C. “存在，使得”
D. “存在，使得”
8. 如图，数轴上给出了表示实数a，b，c的三个点，下列判断正确的是（ ）
A B. C. D.
9. 已知，若对任意，均有，则函数可以是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，给定菱形ABCD，点P从A出发，沿在菱形的边上运动，运动到C停止，点P关于AC的对称点为Q，PQ与AC相交于点M，R为菱形ABCD边上的动点（不与P，Q重合），当时，面积的最大值为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A. B.
C D.
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将结果填在答题纸上的相应位置）
11. 函数的定义域是________．
12. 不等式的解集是________．
13. ，，，则实数a取值集合是________．
14. 若存在，使得，则实数a的取值集合是________．
15. 对集合，定义
①若的元素个数为4，则可以为：________，________（写出一组即可）
②若集合满足：存在的子集，使得的元素个数不小于100，且对任意，均有，则集合的元素个数的最小值是________．
三、解答题（本大题共3小题，共35分．解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）
16. 已知集合，，其中．
（1）若，求m的取值集合；
（2）若，求m的取值集合．
17. 已知函数的定义域为，与的图象相交于点，．
（1）求的解析式；
（2）判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明．
18. 已知函数．
（1）若关于x的不等式的解集为，求a的值；
（2）若关于x的方程有两个不相等的实数根，，求的取值范围；
（3）若当时，恒成立，求a的取值范围．
Ⅱ卷（共8道题，满分50分）
一．选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）
19. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
20. 若，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
21. 若，则称是关于x，y方程的整数解．关于该方程，下列判断错误的是（ ）
A. ，方程有无限组整数解
B. ，方程有且只有两组整数解
C ，方程至少有一组整数解
D. ，方程至多有有限组整数解
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将结果填在答题纸上的相应位置．）
22. 函数的最小值为________．
23. 若，，使得，则实数________．
24. 若是方程组的一组解，则代数式的值为________．
25. 设，函数，给出下列四个结论：
①当时，在上单调递增；
②当时，存在最大值；
③设，，则；
④若，的函数图象有三个公共点，则a的取值范围是．
其中所有正确结论的序号是________．
三、解答题（本大题共1小题，共12分．解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）
26. 对非空数集T，给出如下定义，
定义1：若，，当时，，则称T为强和差集；
定义2：若，，当时，，则称T为弱和差集．
（1）分别判断是否为强和差集，是否是弱和差集，并说明理由；
（2）若集合是弱和差集，求A；
（3）若强和差集B的元素个数为12，且，求满足条件的集合B的个数．