北京市第十二中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（无答案）

北京十二中2023-2024学年第一学期高二年级期中考试数学
2023.11
本试卷共4页，满分150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题纸交回.
第一部分 选择题（共60分）
一、选择题.本题共12小题，每题5分，共60分.在每题给的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 直线的一个方向向量是（ ）
A. B. C. D.
2. 以为圆心且过原点的圆的方程为
A. B.
C. D.
3. 在正方体中，点E为上底面A1C1的中心，若，则x，y的
值是
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4. 如图在长方体中，设，，则等于（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D.
5. “”是“直线与直线垂直”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 下面结论正确的个数是（ ）
①已知是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底；
②任意向量满足，则；
③已知向量，若与共线，则.
A. B. C. D.
7. 已知圆方程为，过直线上任意一点作圆的切线，则切线长的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知，直线过点且与射线相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A 或 B. C. D. 或
9. 已知直线：过定点，直线：过定点，与相交于点，则（ ）
A. 10 B. 12 C. 13 D. 20
10. 已知空间直角坐标系中，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
11. 已知，动点满足，则最小值是（ ）
A. B. C. D.
12. 在空间直角坐标系中，若有且只有一个平面，使点到的距离为，且点到的距离为，则的值为（ ）
A. B. 或
C. 或 D. 或
第二部分 非选择题（共90分）
二、填空题.本题共6小题，每题5分，共30分.
13. 直线与之间的距离是________.
14. 下面三条直线不能构成三角形，请给出一个符合题意的的值________.
15. 如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，，∠BAD＝∠BAA1＝120°，∠DAA1＝60°，则线段AC1的长度是_______．
16. 已知空间向量.
（1）若，则________；
（2）若共面，则________.
17. 已知空间中三点、、，那么点到直线的距离为________.
18. 已知点和圆上两个不同的点，满足，是弦的中点，给出下列三个结论：
①的最小值为；
②点的轨迹是一个圆；
③若点，点，则存在点，使得.
其中所有正确结论序号是________.
三、解答题.本题共5小题，共60分.
19. 已知三边所在直线方程分别为.
（1）求点坐标；
（2）求与点关于直线对称的点的坐标；
（3）求在平面内，过点且与直线无公共点的直线方程.
20. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，如图，已知在正方体中，为的中点，为的中点，.
（1）证明：四棱锥为阳马；
（2）求点到平面的距离.
21. 已知点及圆.
（1）求圆心的坐标及半径的大小；
（2）设过点的直线与圆交于两点，当时，求以线段为直径的圆的方程；
（3）设直线与圆交于两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.
22. 如图，在三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，侧面是菱形，平面平面分别是棱的中点，是棱上靠近点的三等分点.
（1）证明：平面；
（2）从①三棱锥的体积为1；
②直线与底面所成的角为；
③异面直线与所成角为.
这三个条件中选择一个作为已知.
（ⅰ）判断点A是否在平面内，并说明理由；
（ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值.
23. 记集合，对于，定义：为由点确定的广义向量，为广义向量的绝对长度，
（1）已知，计算；
（2）设，证明：；
（3）对于给定，若满足且，则称为中关于的绝对共线整点，已知，
①求中关于的绝对共线整点的个数；
②若从中关于的绝对共线整点中任取个，其中必存在4个点，满足，求的最小值.