人教九上培优练：第18课 弧、弦、圆心角、圆周角（含解析）

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第18课 弧、弦、圆心角、圆周角
题组A 基础过关练
1．圆的一条弦把圆分为度数比为的两条弧，则弦心距与弦长的比为（ ）
A． B． C． D．
2．下列命题：①三点确定一个圆；②直径是圆的对称轴；③平分弦的直径垂直于弦；④三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑤相等的圆心角所对的弧相等，正确命题的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC=140°，点B是的中点，则∠D的度数是（ ）
A．70° B．60° C．40° D．35°
4．如图，在⊙O中，弦AB与直径CD垂直，垂足为E，则下列结论中错误的是（ ）
A．AE=BE B．CE=DE C．AC=BC D．AD=BD
5．如图，AB是⊙O的弦，点C是的中点，OC交AB于点D．若，⊙O的半径为5，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，已知AB和CD是⊙O的两条等弦，OM⊥AB、ON⊥CD，垂足分别为M、N，BA、DC的延长线交于点P，连接OP．下列四个说法：①=；②OM=ON；③PA=PC；④∠BPO=∠DPO；正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图，在⊙O中，弧AB＝弧BC＝弧CD，连接AC，CD，则AC______2CD（填“＞”、“＜”或“＝”）
8．如图，在⊙O中，，∠1＝45°，则的度数为 ___．
9．已知，如图，A、B、C、D是⊙O上的点，∠AOB＝∠COD，求证：AC＝BD
10．如图，在RtΔABC中，∠BAC=90°，以点A为圆心，AC长为半径作圆，交BC于点D，交AB于点E，连接DE．
（1）若∠ABC=20°，求∠DEA的度数；
（2）若AC=3，AB=4，求CD的长．
题组B 能力提升练
1．如图，BD是的直径，弦AC交BD于点G．连接OC，若，，则的度数为（ ）
A．98° B．103° C．108° D．113°
2．将一张正方形的透明纸片ABCD和按如图位置叠放，顶点A、D在上，边AB、BC、CD分别与相交于点E、F、G、H，则下列弧长关系中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，点A，B，C，D是⊙O上的四个点，且，OE⊥AB，OF⊥CD，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列命题是真命题的是（ ）
A．相等的弦所对的弧相等
B．圆心角相等，其所对的弦相等
C．在同圆或等圆中，圆心角不等，所对的弦不相等
D．弦相等，它所对的圆心角相等
5．如图，AB 为⊙O 的直径，点 D 是弧 AC 的中点，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，延长 DE 交⊙O 于点 F，若 AC＝12，AE＝3，则⊙O 的直径长为（ ）
A．7.5 B．15
C．16 D．18
6．如图，是的直径，且，点，在上，，，点是线段的中点，则（ ）
A．1 B． C．3 D．
7．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠BAC=42°，OD⊥BC于点E，则∠BDE为_____°．
8．如图，⊙O的半径为，四边形ABCD内接于⊙O，AC⊥BD，垂足为E，且BC=2AD，则AD+BC的值为_______．
9．如图，已知C，D是以AB为直径的⊙O上的两点，连接BC，OC，OD，若OD//BC，求证：D为的中点．
10．如图，已知AB、AC是⊙O的两条弦，且AO平分∠BAC．点M、N分别在弦AB、AC上，满足AM＝CN．
（1）求证：AB＝AC；
（2）联结OM、ON、MN，求证：．
题组C 培优拔尖练
1．如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（ ）
A．30° B．25° C．20° D．10°
2．有一直径为的圆，且圆上有、、、四点，其位置如图所示．若，，，，，则下列弧长关系何者正确？（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．如图，A，B是⊙O上的点，∠AOB＝120°，C是的中点，若⊙O的半径为5，则四边形ACBO的面积为（ ）
A．25 B．25 C． D．
4．如图，在半径为5的中，弦BC，DE所对的圆心角分别是，．若，，则弦BC的弦心距为（ ）
A． B． C．4 D．3
5．如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点，以点C为圆心，CB长为半径画弧，与前弧交于点D（不与点B重合），连接AC，AD ，BC，CD，其中AD交l2于点E．若∠ECA＝40°，则下列结论错误的是（ ）
A．∠ABC =70° B．∠BAD =80° C．CE =CD D．CE =AE
6．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，OB＝5，，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：①的长度是；②∠CED＝∠DOB；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10，上述结论中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，点A、B、C、D、E都是圆O上的点，，∠B＝116°，则∠D的度数为______度．
8．如图，在扇形BOC中，，OD平分交弧BC于点D．点E为半径OB上一动点，若，则长的最小值为______．
9．如图，上依次有，，，四个点，弧弧，连接，，，延长到点，使，连接，是的中点，连接，求证：．
10．已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，D为弧BC的中点．
（1）如图①，连接AC，AD，OD，求证：ODAC；
（2）如图②，过点D作DE⊥AB交⊙O于点E，直径EF交AC于点G，若G为AC的中点，⊙O的半径为2，求AC的长．
题组A 基础过关练
1．圆的一条弦把圆分为度数比为的两条弧，则弦心距与弦长的比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】∵弦AB把⊙O分成度数比为1：3两条弧，
∴弦所对的圆心角∠AOB=，
∴△AOB是等腰直角三角形，
过点O做OC⊥AB于C，
∴,
∴弦心距与弦长的比为1：2．
故选：D．
2．下列命题：①三点确定一个圆；②直径是圆的对称轴；③平分弦的直径垂直于弦；④三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑤相等的圆心角所对的弧相等，正确命题的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】A
【详解】解：①不在同一条直线上的三个点确定一个圆，故本小题错误；
②直径所在的直线为圆的对称轴，故本小题错误；
③平分弦的直径垂直于弦（非直径），故本小题错误；
④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故本小题错误；
⑤在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本小题错误．
∴正确命题的个数为0个．
故选：A．
3．如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠AOC=140°，点B是的中点，则∠D的度数是（　　）
A．70° B．60° C．40° D．35°
【答案】D
【详解】解：连接OB，如图所示，
∵点B是的中点，∠AOC=140°，
∴∠AOB=∠AOC=70°，
由圆周角定理得，∠D=∠AOB=35°，
故选：D．
4．如图，在⊙O中，弦AB与直径CD垂直，垂足为E，则下列结论中错误的是（ ）
A．AE=BE B．CE=DE C．AC=BC D．AD=BD
【答案】B
【详解】∵CD⊥AB，CD为直径，
∴AE=BE，弧AD=弧BD，弧AC=弧BC，CE＞DE，
AD=BD,AC=BC,
故选:B．
5．如图，AB是⊙O的弦，点C是的中点，OC交AB于点D．若，⊙O的半径为5，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】解：如图，连接OA，OB，
∵C是的中点，
∴=，
∴∠AOC=∠BOC，
又∵OA=OB=5，AB=8，
∴OC⊥AB，AD=BD=AB=4（等腰三角形的三线合一），
在Rt△AOD中
由勾股定理得：OD=，
∴CD=OC-OD=5-3=2．
故选：B．
6．如图，已知AB和CD是⊙O的两条等弦，OM⊥AB、ON⊥CD，垂足分别为M、N，BA、DC的延长线交于点P，连接OP．下列四个说法：①=；②OM=ON；③PA=PC；④∠BPO=∠DPO；正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【详解】解：如图连接OB、OD；
∵AB=CD，
∴=，故①正确；
∵OM⊥AB，ON⊥CD，
∴AM=MB，CN=ND，
∴BM=DN，
∵OB=OD，
∴Rt△OMB≌Rt△OND，
∴OM=ON，故②正确；
∵OP=OP，
∴Rt△OPM≌Rt△OPN，
∴PM=PN，∠OPB=∠OPD，故④正确；
∵AM=CN，
∴PA=PC，故③正确，
综上，四个选项都正确，
故选：D．
7．如图，在⊙O中，弧AB＝弧BC＝弧CD，连接AC，CD，则AC______2CD（填“＞”、“＜”或“＝”）
【答案】
【详解】解：如图，连接AB、BC，
∵弧AB＝弧BC＝弧CD，
∴AB=BC=CD，
∵ ，
∴．
故答案为：
8．如图，在⊙O中，，∠1＝45°，则的度数为 ___．
【答案】
【详解】解：∵，
∴∠2=∠1=45°，
，
故答案为：．
9．已知，如图，A、B、C、D是⊙O上的点，∠AOB＝∠COD，求证：AC＝BD
【答案】见解析
【详解】证：∵
∴
∴
10．如图，在RtΔABC中，∠BAC=90°，以点A为圆心，AC长为半径作圆，交BC于点D，交AB于点E，连接DE．
（1）若∠ABC=20°，求∠DEA的度数；
（2）若AC=3，AB=4，求CD的长．
【答案】（1）65°；（2）．
【详解】解：（1）如图，连接AD．
∵∠BAC=90°，∠ABC=20°，
∴∠ACD=70°．
∵AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC=70°，
∴∠CAD=180°-70°-70°=40°，
∴∠DAE=90°-40°=50°．
又∵AD=AE，
∴∠DEA=∠ADE= (180° 50°) =65°；
（2）如图，过点A作AF⊥CD，垂足为F．
∵∠BAC=90°，AC=3，AB=4，
∴BC=5．
又∵ AF BC= AC AB，
∴AF=，
∴CF=．
∵AC=AD，AF⊥CD，
∴CD=2CF=．
题组B 能力提升练
1．如图，BD是的直径，弦AC交BD于点G．连接OC，若，，则的度数为（ ）
A．98° B．103° C．108° D．113°
【答案】C
【详解】解：∵∠COD=126°，
∴∠COB=54°，
∴，
∵BD是圆O的直径，
∴∠BAD=90°，
∵，
∴AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∴∠AGB=180°-∠BAG-∠ABG=108°，
故选C．
2．将一张正方形的透明纸片ABCD和按如图位置叠放，顶点A、D在上，边AB、BC、CD分别与相交于点E、F、G、H，则下列弧长关系中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】如图，连接，过点作，交于，交于，则，
四边形是正方形，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
A. ，，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，，故该选项正确，符合题意；
D.，，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C.
3．如图，点A，B，C，D是⊙O上的四个点，且，OE⊥AB，OF⊥CD，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：在⊙O中，
∵
∴，
故A、C选项正确，不符合题意；
∵，OA=OD，OB=OC
∴
∴
∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴
∴OE=OF
故B选项正确，不符合题意．
故选D
4．下列命题是真命题的是（　　）
A．相等的弦所对的弧相等
B．圆心角相等，其所对的弦相等
C．在同圆或等圆中，圆心角不等，所对的弦不相等
D．弦相等，它所对的圆心角相等
【答案】C
【详解】解：A、B、D结论若成立，都必须以“在同圆或等圆中”为前提条件，所以A、B、D错误；
故选：C．
5．如图，AB 为⊙O 的直径，点 D 是弧 AC 的中点，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，延长 DE 交⊙O 于点 F，若 AC＝12，AE＝3，则⊙O 的直径长为（ ）
A．7.5 B．15
C．16 D．18
【答案】B
【详解】解：如图，连接OF．
∵DE⊥AB，
∴DE=EF，，
∵点D是弧AC的中点，
∴，
∴，
∴AC=DF=12，
∴EF=DF=6，
设OA=OF=x，
在Rt△OEF中，则有x2=62+（x-3）2，
解得x=，
∴AB=2x=15，
故选：B．
6．如图，是的直径，且，点，在上，，，点是线段的中点，则（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】B
【详解】∵，，
∴，
∴，
∵，为中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故选B．
7．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠BAC=42°，OD⊥BC于点E，则∠BDE为_____°．
【答案】69
【详解】解：如图，连接CD，
∵A，B，C，D是⊙O上的四个点，
∴∠BDC+∠BAC=180°，
∵∠BAC=42°，
∴∠BDC =180°-42°=138°，
∵OD⊥BC，
∴，
∴BD=CD，
∴∠BDE=∠BDC=，
故答案为：69．
8．如图，⊙O的半径为，四边形ABCD内接于⊙O，AC⊥BD，垂足为E，且BC=2AD，则AD+BC的值为_______．
【答案】12
【详解】解：如图，作直径BF，连接DF，FC．
∵BF是直径，
∴∠BDF=∠BCF=90°，
∴BD⊥DF，
∵AC⊥BD，
∴DF∥AC
∴DFAC，
∴∠CDF=∠ACD，
∴，
∴AD=FC，
∵BC=2AD，
∴BC=2FC，
∴可以假设FC=k，BC=2k，
∴k2+（2k）2=（4）2，
∴k=4或-4（舍弃），
∴BC=8，FC=4，
∴AD=FC=4，
∴AD+BC=4+8=12，
故答案为：12．
9．如图，已知C，D是以AB为直径的⊙O上的两点，连接BC，OC，OD，若OD//BC，求证：D为的中点．
【答案】见解析
【详解】，
，.
，
，
.
.
∴D为的中点．
10．如图，已知AB、AC是⊙O的两条弦，且AO平分∠BAC．点M、N分别在弦AB、AC上，满足AM＝CN．
（1）求证：AB＝AC；
（2）联结OM、ON、MN，求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【详解】证明：（1）过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，如图所示：
∵AO平分∠BAC．
∴OD＝OE．
，
．
，
，
∴AB＝AC；
（2）联结OB，OM，ON，MN，如图所示，
∵AM＝CN，AB＝AC
∴BM＝AN．
∵OA＝OB，
∴∠B＝∠BAO．
∵∠BAO＝∠OAN，
∴∠B＝∠OAN，
∴△BOM≌△AON（SAS），
∴∠BOM＝∠AON，OM＝ON，
∴∠AOB＝∠MON，
∴△NOM∽△BOA，
∴．
题组C 培优拔尖练
1．如图，AB，CD是的弦，延长AB，CD相交于点P．已知，，则的度数是（ ）
A．30° B．25° C．20° D．10°
【答案】C
【详解】解：如图，连接OB，OD，AC，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
∴的度数20°．
故选：C．
2．有一直径为的圆，且圆上有、、、四点，其位置如图所示．若，，，，，则下列弧长关系何者正确？（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【详解】解：连接，，
直径，，，
，
，
，
，
，
直径，，，
，
，
，
，
所以B符合题意，
故选：B．
3．如图，A，B是⊙O上的点，∠AOB＝120°，C是的中点，若⊙O的半径为5，则四边形ACBO的面积为（ ）
A．25 B．25 C． D．
【答案】D
【详解】解：连OC，如图，
∵C是的中点，∠AOB=120°，
∴∠AOC=∠BOC=60°，
又∵OA=OC=OB，
∴△OAC和△OBC都是等边三角形，
∴S四边形AOBC=．
故选：D．
4．如图，在半径为5的中，弦BC，DE所对的圆心角分别是，．若，，则弦BC的弦心距为（ ）.
A． B． C．4 D．3
【答案】D
【详解】作AH⊥BC于H，作直径CF，连接BF，如图，
∵∠BAC+∠EAD=180°，
而∠BAC+∠BAF=180°，
∴∠DAE=∠BAF，
∴，
∴DE=BF=6，
∵AH⊥BC，
∴CH=BH，
而CA=AF，
∴AH为△CBF的中位线，
∴AH=BF=3,
故选：D.
5．如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点，以点C为圆心，CB长为半径画弧，与前弧交于点D（不与点B重合），连接AC，AD ，BC，CD，其中AD交l2于点E．若∠ECA＝40°，则下列结论错误的是（ ）
A．∠ABC =70° B．∠BAD =80° C．CE =CD D．CE =AE
【答案】C
【详解】A.∵直线l1∥l2，
∴∠ECA＝∠CAB＝40°，
∵以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点，
∴BA＝AC＝AD，
∴∠ABC＝＝70°，故A正确，不符合题意；
B.∵以点C为圆心，CB长为半径画弧，与前弧交于点D（不与点B重合），
∴CB＝CD，
∴∠CAB＝∠DAC＝40°，
∴∠BAD＝40°＋40°＝80°，故B正确，不符合题意；
C.∵∠ECA＝∠BAC＝40°，
∴∠CAD＝40°，
∴∠BAD＝∠CED＝80°，
∵∠CDA＝∠ABC＝70°，
∴CE≠CD，故C错误，符合题意；
D.∵∠ECA＝40°，∠DAC＝40°，
∴∠ECA=∠DAC，
∴CE＝AE，故D正确，不符合题意．
6．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，OB＝5，，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：①的长度是；②∠CED＝∠DOB；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10，上述结论中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解：，点是点关于的对称点，
，
，
的长度是，
①正确；
，
②正确；
的度数是，
的度数是，
只有当和重合时，，
，
只有和重合时，，
③错误；
作关于的对称点，连接，交于，连接交于，此时的值最短，等于长，
连接，
，并且弧的度数都是，
，，
，
是的直径，
即，
的最小值是10，
④正确；
综上所述，正确的个数是3个．
故选：．
7．如图，点A、B、C、D、E都是圆O上的点，，∠B＝116°，则∠D的度数为______度．
【答案】128
【详解】解：连接AD．
∵，
∴∠ADC=∠ADE，
∵∠B+∠ADC=180°，
∴∠ADC=180°-116°=64°，
∴∠CDE=2×64°=128°，
故选：128．
8．如图，在扇形BOC中，，OD平分交弧BC于点D．点E为半径OB上一动点，若，则长的最小值为______．
【答案】
【详解】如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接OD′，
此时E′C+E′D最小，即：E′C+E′D=CD′，
由题意得，∠COD=∠DOB=∠BOD′=30°，
∴∠COD′=90°，
∴CD′=，
故答案为．
9．如图，上依次有，，，四个点，弧弧，连接，，，延长到点，使，连接，是的中点，连接，求证：．
【答案】证明见解析
【详解】证明：连接AC，
∵AB=BE，
∴点B为AE的中点，
∵F是EC的中点，
∴BF为△EAC的中位线，
∴BF=，
∵，
∴ ，
∴BD=AC，
∴BF=．
10．已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，D为弧BC的中点．
（1）如图①，连接AC，AD，OD，求证：ODAC；
（2）如图②，过点D作DE⊥AB交⊙O于点E，直径EF交AC于点G，若G为AC的中点，⊙O的半径为2，求AC的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【详解】（1）证明：为的中点，
，
∴，
，
∴，
∴，
；
（2）解：为中点，
，
由（1）得：，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
．
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