人教九上培优练：第20课 切线长定理（含解析）

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第20课 切线长定理
题组A 基础过关练
1．如图，从⊙O外一点P引圆的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，若∠APB＝60°，
PA＝5，则弦AB的长是（ ）
A． B． C．5 D．5
2．下列直线是圆的切线的是（ ）
A．与圆有公共点的直线 B．到圆心的距离等于半径的直线
C．到圆心的距离大于半径的直线 D．到圆心的距离小于半径的直线
3．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，BE，CE，若∠CBD=32°，则∠BEC的度数为（ ）
A．128° B．126° C．122° D．120°
4．下列命题：①平 四边形是中 对称图形，也是轴对称图形；②直径是最长的弦，半径是最短的弦；③过切点的直线是圆的切线；④三角形的外 是三条边垂直平分线的交点；⑤三角形的内 是三条内角平分线的交点；其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．已知三角形的周长为12，面积为6，则该三角形内切圆的半径为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．如图，AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线．已知AD＝3，BC＝6，则AB＋CD的值是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
7．如图，PA、PB是⊙O的切线，若∠APO＝25°，则∠BPA＝_____．
8．如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O切于A、B，C是弧AB上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA、PB于D、E，若△PDE的周长为20cm，则PA长为__________．
9．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，
且CD＝CB、连接DO并延长交CB的延长线于点E．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并证明；
（2）若BE＝8，DE＝16，求⊙O的半径．
10．如图，在△ABC中，已知∠ABC＝90o，在AB上取一点E，以BE为直径的⊙O恰与AC相切于点D，若AE＝2cm，AD＝4cm．
（1）求⊙O的直径BE的长；
（2）计算△ABC的面积．
题组B 能力提升练
1．下列命题中：①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③垂直于半径的直线是圆的切线；④E，F是∠AOB的两边OA，OB上的两点，则不同的E，O，F三点确定一个圆：其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．0个
2．如图，是的切线，是切点，若，则（ ）
A． B． C． D．都不对
3．如图：切于，切于，交于，下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．是的中点
4．小明同学用一把直尺和一个直角三角板（有一个锐角为60°）测量一张光盘的直径，他把直尺、三角板和光盘按如图的方式放置，点A是60°角顶点，B是光盘与直尺的公共点，测得AB＝3，则此光盘的直径为（ ）
A．3 B． C． D．
5．如图，在中，点为的内心，点在边上，且，若，，则的度数为（ ）
A．111° B．130° C．172° D．170°
6．如图，在△ABC中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P；连结AP并延长交BC于点D．则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．一定经过△ABC的内心 D．AD一定经过△ABC的外心
7．如图，中，，它的周长为16．若与三边分别切于E，F，D点，则DF的长为____________
8．如图，若△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝5，
BC＝13，CA＝12，则阴影部分的周长是_____．
9．如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E，点F为BD延长线上一点，∠DAF＝∠B．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，AD是AEF的中线，且AD＝6，求AE的长．
10．已知，，分别与相切于，，三点，，．
（1）如图1，求的长；
（2）如图2，当，时，连接，，求，的长．
题组C 培优拔尖练
1．如图，AB是的直径，PA与相切于点A，交于点C．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，AB为的直径，延长AB到点P，过点P作的切线PC，PD，切点分别为C，D，连接CD交AP于点M，连接BD，AD．若，，则AD的长为（ ）
A． B． C．2 D．
3．如图，BC是⊙O的直径，点A是⊙O上的一点，点D是△ABC的内心，若BC＝5，
AC＝3，则BD的长度为（ ）
A．2 B．3 C． D．
4．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝8，则△PCD的周长为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
5．如图，若等边△ABC的内切圆的半径是2，则△ABC的面积是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点C作CF∥AB，在CF上取一点E，使DE＝DC，连接BE．对于下列结论：
①BD＝DC；②△CAB∽△CDE；③＝；④BE为⊙O的切线，
其中一定正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．①④ D．①②④
7．如图，为的直径，、为上的点，连接、、、，为延长线上一点，连接，且，．若的半径为，则点到的距离为________．
8．如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D．若⊙O的半径为2，∠P＝60°，则△PCD的周长等于 _____．
9．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接OC，PB，已知PB=6，DB=8，∠EDB=∠EPB．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）求⊙O的半径；
（3）连接BE，求BE的长．
10．如图，PA、PB、CD是的切线，点A、B、E为切点．
（1）如果的周长为10，求PA的长；
（2）如果，
①求；
②连AE，BE，求．
题组A 基础过关练
1．如图，从⊙O外一点P引圆的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，若∠APB＝60°，PA＝5，则弦AB的长是（　　）
A． B． C．5 D．5
【答案】C
【详解】解：∵PA，PB为⊙O的切线，
∴PA=PB，
∵∠APB=60°，
∴△APB为等边三角形，
∴AB=PA=5．
故选：C．
2．下列直线是圆的切线的是（ ）
A．与圆有公共点的直线 B．到圆心的距离等于半径的直线
C．到圆心的距离大于半径的直线 D．到圆心的距离小于半径的直线
【答案】B
【详解】A、与圆只有一个交点的直线是圆的切线,故本选项错误;
B、到圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线,故本选项正确;
C、经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线,故本选项错误;
D、经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线,故本选项错误.
故选B.
3．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，BE，CE，若∠CBD=32°，则∠BEC的度数为（ ）
A．128° B．126° C．122° D．120°
【答案】C
【详解】在⊙O中，
∵∠CBD=32°，
∵∠CAD=32°，
∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAC=64°，
∴∠EBC+∠ECB=（180°-64°）÷2=58°，
∴∠BEC=180°-58°=122°．
故选：C．
4．下列命题：①平 四边形是中 对称图形，也是轴对称图形；②直径是最长的弦，半径是最短的弦；③过切点的直线是圆的切线；④三角形的外 是三条边垂直平分线的交点；⑤三角形的内 是三条内角平分线的交点；其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】解：①平 四边形是中 对称图形，也是轴对称图形，错误，平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形；②直径是最长的弦，正确，半径是最短的弦，错误，半径不是弦；③过切点的直线是圆的切线，错误；④三角形的外 是三条边垂直平分线的交点，正确；⑤三角形的内 是三条内角平分线的交点，正确．
故选：B．
5．已知三角形的周长为12，面积为6，则该三角形内切圆的半径为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
6．如图，AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线．已知AD＝3，BC＝6，则AB＋CD的值是( )
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】C
【详解】解：∵AB、BC、CD、DA都是的切线，
∴可以假设切点分别为E、H、G、F，如图所示：
∴AE=AF，BE=BH，DF=DG，CG=CH，
∴AB+CD=AE+BE+DG+CG=AF+BH+DF+CH=AD+BC
∵AD=3，BC=6
∴AB+CD=3+6=9
故选C．
．
7．如图，PA、PB是⊙O的切线，若∠APO＝25°，则∠BPA＝_____．
【答案】50°
【详解】解：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠BPO＝∠APO＝25°，
∴∠BPA＝50°，
故答案为：50°．
8．如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O切于A、B，C是弧AB上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA、PB于D、E，若△PDE的周长为20cm，则PA长为__________．
【答案】10cm
【详解】解：根据切线长定理得：
AD＝CD，CE＝BE，PA＝PB，
则△PDE的周长＝
2PA＝20，
PA＝10．
故答案为：
9．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD＝CB、连接DO并延长交CB的延长线于点E．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并证明；
（2）若BE＝8，DE＝16，求⊙O的半径．
【答案】（1）相切，理由见解析；（2）⊙O的半径为6
【详解】解：（1）相切，理由如下，
如图，连接OC，
在△OCB与△OCD中，
，
∴△OCB≌△OCD（SSS），
∴∠ODC＝∠OBC＝90°，
∴OD⊥DC，
∴DC是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为r，
在Rt△OBE中，∵OE2＝EB2+OB2，
∴（16﹣r）2＝r2+82，
∴r＝6，
∴⊙O的半径为6．
10．如图，在△ABC中，已知∠ABC＝90o，在AB上取一点E，以BE为直径的⊙O恰与AC相切于点D，若AE＝2cm，AD＝4cm．
(1)求⊙O的直径BE的长；
(2)计算△ABC的面积．
【答案】（1）BE＝6；(2) S△ABC＝24..
【详解】（1）连接OD，
∴OD⊥AC
∴△ODA是直角三角形
设半径为r
∴AO＝r＋2
∴
解之得：r＝3
∴BE＝6
(2)∵∠ABC＝900
∴OB⊥BC
∴BC是⊙O的切线
∵CD切⊙O于D
∴CB＝CD
令CB＝x
∴AC＝x＋4， CB＝x，AB＝8
∵
∴x＝6.
∴S△ABC＝24（cm2）.
故答案为（1）BE＝6；(2) S△ABC＝24..
题组B 能力提升练
1．下列命题中：①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③垂直于半径的直线是圆的切线；④E，F是∠AOB的两边OA，OB上的两点，则不同的E，O，F三点确定一个圆：其中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．0个
【答案】D
【详解】解：①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；故错误；
②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦；故错误；
③垂直于半径且过半径的外端点的直线是圆的切线；故错误；
④E、F是∠AOB（∠AOB≠180°）的两边OA、OB上的两点，则E、O、F三点确定一个圆；故错误；
故选：D．
2．如图，是的切线，是切点，若，则（ ）
A． B． C． D．都不对
【答案】A
【详解】解：PA，PB是⊙O的切线，
，
，
，
，
，
，
．
故选：A．
3．如图：切于，切于，交于，下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．是的中点
【答案】D
【详解】、是的切线，切点是、，
，，
选项A、B错误；
，，
，
选项C错误；
根据已知不能得出是的中点，
故选项D正确；
故选D．
4．小明同学用一把直尺和一个直角三角板（有一个锐角为60°）测量一张光盘的直径，他把直尺、三角板和光盘按如图的方式放置，点A是60°角顶点，B是光盘与直尺的公共点，测得AB＝3，则此光盘的直径为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【详解】如图，设光盘的圆心为,直角三角板与的切点为，连接，
是的切线，
，，
此光盘的直径为
故选D
5．如图，在中，点为的内心，点在边上，且，若，，则的度数为（ ）
A．111° B．130° C．172° D．170°
【答案】C
【详解】解：在中，，
BAC＝180－42－58＝80
点为的内心，
CAI＝BAI＝＝40
四边形AIDC的内角和180（4－2）＝360，且
＝360－－－CAI＝360－90－40－58＝172
故选C．
6．如图，在△ABC中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P；连结AP并延长交BC于点D．则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．一定经过△ABC的内心 D．AD一定经过△ABC的外心
【答案】C
【详解】根据作图步骤得：AD是∠BAC的角平分线
A、在△ABD中，AD+BD＞AB，故选项A错误，不符合题意；
B、由角平分线得，而不一定成立，选项B错误，不符合题意；
C、△ABC的内心是三条角平分线的交点，故选项C正确，符合题意；
D、△ABC的外心是三边中垂线的交点，故选项D错误，不符合题意；
故选：C．
7．如图，中，，它的周长为16．若与三边分别切于E，F，D点，则DF的长为____________
【答案】2
【详解】解：∵⊙O与BC，AC，AB三边分别切于E，F，D点，
∴AD=AF，BE=BD，CE=CF，
∵BC=BE+CE=6，
∴BD+CF=6，
∵AD=AF，∠A=60°，
∴△ADF是等边三角形，
∴AD=AF=DF，
∵AB+AC+BC=16，BC=6，
∴AB+AC=10，
∵BD+CF=6，
∴AD+AF=4，
∵AD=AF=DF，
∴DF=AF=AD=，
故答案为：2．
8．如图，若△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分的周长是 _____．
【答案】8
【详解】∵AB＝5，BC＝13，CA＝12，
∴，
∴△ABC为直角三角形，∠A＝90°，
∵AB、AC与⊙O分别相切于点E、F，
∴OF⊥AB，OE⊥AC，
∴四边形OFAE为矩形，
∵OE=OF
∴四边形OFAE为正方形，
设OE＝r，
则AE＝AF＝r，
∵△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，
∴BD＝BF＝5﹣r，CD＝CE＝12﹣r，
∴5﹣r+12﹣r＝13，
∴r＝2，
∴阴影部分（即四边形AEOF）的面积是2×4＝8．
故阴影部分的周长是：8．
9．如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E，点F为BD延长线上一点，∠DAF＝∠B．
(1)求证：AF是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为5，AD是AEF的中线，且AD＝6，求AE的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【详解】（1）证明：∵AC是直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠DAC=90°，
∵∠ACD=∠B，∠B=∠DAF，
∴∠DAF=∠ACD，
∴∠DAF+∠DAC=90°，
∴，
∵AC是直径，
∴AF是⊙O的切线；
（2）解：作于点H，
∵⊙O的半径为5，
∴AC=10，
∵∠AHD=∠ADC=90°，∠DAH=∠CAD，
∴△ADH～△ACD，
∴，
∴，
∵AD＝6，
∴，
∵AD是△AEF的中线，∠EAF=90°，
∴AD=ED，
．
10．已知，，分别与相切于，，三点，，．
（Ⅰ）如图1，求的长；
（Ⅱ）如图2，当，时，连接，，求，的长．
【答案】（Ⅰ）4；（Ⅱ），．
【详解】解：（Ⅰ）∵AB，BC，CD都是圆O的切线，
∴BM=BA=1，CM=CD=3，
∴BC=BM+CM=4；
（Ⅱ）如图所示，连接OD，OM，OA，
∵BC，DC都是圆O的切线，
∴∠ODC=∠OMC=∠OMB=90°，CM=CD，
又∵OC=OC，
∴Rt△OCD≌Rt△OCM（HL），
∴∠OCD=∠OCM，
同理可得∠OBA=∠OBM，
∵∠DCB=60°，AB∥CD，
∴∠OCM=30°，∠ABM=120°
∴OC=2OM，∠OBM=60°，
∴，
∴，
∴．
题组C 培优拔尖练
1．如图，AB是的直径，PA与相切于点A，交于点C．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
如图，连接OC，
因为OB=OC，
所以∠OCB=∠OBC=70°，
所以∠BOC=180°-70°-70°=40°，
又因为，
所以∠AOP=∠B=70°，
∴∠POC=180°-∠AOP-∠BOC=70°，
所以在△PAO和△PCO中，
，
所以△PAO≌△PCO（SAS），
所以∠OCP=∠OAP
因为PA与相切于点A，
所以∠OCP=∠OAP=90°，
所以∠OPC=180°-∠POC-∠OCP=20°，
故选：B．
2．如图，AB为的直径，延长AB到点P，过点P作的切线PC，PD，切点分别为C，D，连接CD交AP于点M，连接BD，AD．若，，则AD的长为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【详解】解：连接，如图所示，
∵PC，PD是的切线，
∴
设
∵
∴
∴
设的半径为
∴
在中，，
解得，
在中，
∵是的切线，
∴
在中，
∵
∵
∴
整理得，
∴
解得，或（舍去）
∴
∴
在中，，故A正确．
故选：A．
3．如图，BC是⊙O的直径，点A是⊙O上的一点，点D是△ABC的内心，若BC＝5，AC＝3，则BD的长度为（　　）
A．2 B．3 C． D．
【答案】C
【详解】解： 如下图，过点D分别作DE⊥AB于E，DF ⊥BC于F， DH⊥AC于H， 连接AD， CD，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC= 90°，
∵BC＝5，AC＝3，
∴ ，
∵点D是△ABC的内心，
∴ DE= DF= DH，AE= АН，BE= BF，CF= CH，
设BE= x，则BF= x，AE=4- x，CF=5-x，CH=5-x，AН=4-x，
∵AC=3，
∴4-x+5-x=3，
解得：x=3
∴BE=3，
设DE= r，
∵S△ABC = S△ABD + S△BDC + S△ADC，
∴ ，
解得：r= 1，
∴ DE= 1，
在Rt△BDE中， ，
故选：C．
4．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝8，则△PCD的周长为( )
A．8 B．12 C．16 D．20
【答案】C
【详解】解：∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，
∴PA=PB=6，AC=EC，BD=ED，
∴PC+CD+PD=PC+CE+DE+PD=PA+AC+PD+BD=PA+PB=8+8=16，
即△PCD的周长为16．
故选：C．
5．如图，若等边△ABC的内切圆的半径是2，则△ABC的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：连接，，并延长交于点，
是等边的内切圆，
，，
，
由勾股定理得：，
同理，
，
是等边三角形，，，三点共线，
，
．
故选：D．
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点C作CF∥AB，在CF上取一点E，使DE＝DC，连接BE．对于下列结论：
①BD＝DC；②△CAB∽△CDE；③＝；④BE为⊙O的切线，
其中一定正确的是（　　）
A．①② B．①②③ C．①④ D．①②④
【答案】D
【详解】解：∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
而AB＝CA，
∴BD＝DC，所以①正确；
∵AB＝CA，
∴∠ABC＝∠ACB，
而CD＝ED，
∴∠DCE＝∠DEC，
∵CF∥AB，
∴∠ABC＝∠DCE，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠DCE＝∠DEC，
∴△CBA∽△CED，所以②正确；
∵△ABC不能确定为直角三角形，
∴∠ABC不能确定等于45°，
∴与不能确定相等，所以③不一定正确；
∵DB＝DC＝DE，
∴点E在以BC为直径的圆上，
∴∠BEC＝90°，
∴CE⊥BE，
而CF∥AB，
∴AB⊥BE，
∴BE为⊙O的切线，所以④正确；
综上所述①②④正确，
故选： D．
7．如图，为的直径，、为上的点，连接、、、，为延长线上一点，连接，且，．若的半径为，则点到的距离为________．
【答案】##
【详解】解：连接OC，
∵AB是圆的直径，
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴，即OC⊥CD
∵的半径为
∴
在Rt△OCD中，
∴
∴
过点A作AF⊥DC，交DC延长线于点F，过点C作CG⊥AD于点G，
∵
∴，解得，
同理：
∴
∴
故答案为：
8．如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D．若⊙O的半径为2，∠P＝60°，则△PCD的周长等于 _____．
【答案】
【详解】解：如图，连接OA，OB，OP，
∵PA，PB切⊙O于A，B两点，OA，OB是半径，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，且OA＝OB，
∴PO是∠APB的平分线，
∵∠APB＝60°，
∴∠APO＝30°，
∴OP＝2OA＝4，
在Rt△APO中，由勾股定理得AP＝，
∵PA，PB切⊙O于A，B两点，
∴PA＝PB＝，
∵CD切⊙O于点E，
∴AC＝CE，BD＝DE，
∴△PCD的周长＝PC+PD+CD＝PC+CA+PD+DB＝PA+PB＝，
故答案为：．
9．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接OC，PB，已知PB=6，DB=8，∠EDB=∠EPB．
(1)求证：PB是⊙O的切线；
(2)求⊙O的半径；
(3)连接BE，求BE的长．
【答案】(1)见解析
(2)3
(3)
【详解】（1）证明：，
，
，，，
，
，
为的切线；
（2）解：在中，，，
根据勾股定理得：，
与都为的切线，
，
；
在中，设，则有，
根据勾股定理得：，
解得：，
则圆的半径为3．
（3）延长、相交于点，
与都为的切线，
平分，
，
，
，
又，
，
，，
，
在中，，
．
10．如图，PA、PB、CD是的切线，点A、B、E为切点．
(1)如果的周长为10，求PA的长；
(2)如果，
①求；
②连AE，BE，求．
【答案】(1)5
(2)①70°；②110°
【详解】(1)∵分别切于点
∴
∴△的周长
∴
(2)①
∵分别切于点
②连接OA，OB
∵PA，PB是切线,
∴
∵
∴
∴
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