人教九上培优练：第01课 一元二次方程（含解析）

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第01课 一元二次方程
题组A 基础过关练
1．若方程（m-1）x2+x=1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A．m≠1 B．m≠0
C．m≥0且m≠1 D．m为任意实数
2．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若n（n≠0）是关于的方程x2+mx+3n=0的一个根，则m+n的值是（ ）
A．-3 B．-1 C．1 D．3
4．若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为-1，则a-b+c的值是（ ）
A．-1 B．1 C．0 D．不能确定
5．已知x＝﹣1是一元二次方程x2+mx+3＝0的一个解，则m的值是（ ）
A．4 B．﹣4 C．﹣3 D．3
6．若是方程的根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．关于x的一元二次方程（a＋2）x2+x+a2-4=0的一个根为0，则a的值为（ ）
A．2 B．－2 C．±2 D．0
8．若a-b+c=0，则方程ax2+bx+c=0(a)必有一个根是（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．
9．方程2x2=1－3x化成一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．2，1，－3 B．2，3，－1 C．2，3，1 D．2，1，3
10．如果（m+2）x|m|+mx－1＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值为（ ）
A．2或－2 B．2 C．－2 D．0
11．下列说法正确的是（ ）
A．形如ax2＋bx＋c＝0的方程叫做一元二次方程
B．(x＋1)(x－1)＝0是一元二次方程
C．方程x2－2x＝1的常数项为0
D．一元二次方程中，二次项系数、一次项系数及常数项都不能为0
12．一元二次方程化成一般式后，二次项系数为1，一次项系数为﹣1，则的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
题组B 能力提升练
13．若关于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0有一个根是2，则m+n＝_____．
14．若关于x的方程有一个根是1，则_________．
15．若方程（m+2）x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m=_____．
16．若a是方程的解，计算：=______.
17．关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=－2，x2=1（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a(x+m+2)2+b=0的解是__________.
18．若关于x的一元二次方程有一个根为0，则a的值为_________．
19．某商品的原价为120元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是m，那么该商品现在的价格是_____元（结果用含m的代数式表示）．
20．若方程x2＋mx＋1＝0和x2＋x＋m＝0有公共根，则常数m的值是___．
21．已知是关于x的一元二次方程，则k为___________．
题组C 培优拔尖练
22．某中学数学兴趣小组对关于的方程提出了下列问题：
（1）是否存在的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出的值；
（2）是否存在的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出的值，并解此方程．
23．若m是一元二次方程的一个实数根．
（1）求a的值；
（2）不解方程，求代数式的值．
24．一元二次方程化为一般形式后为，试求的值．
25．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1，且，
求的值.
26．试证明关于x的方程，无论a取何值，该方程都是一元二次方程.
题组A 基础过关练
1．若方程（m-1）x2+x=1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A．m≠1 B．m≠0
C．m≥0且m≠1 D．m为任意实数
【答案】C
【解析】
解：根据题意得：
解得：m≥0且m≠1．
故选C．
2．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
A选项：时，方程就不是二次方程，故A错误；
B选项：x在分母上，不满足方程左右两边均为整式的条件，故B错误；
C选项：整理得：，符合一元二次方程的定义，故C正确；
D选项：整理得：，故D错误．
综上所述．
故选：C．
3．若是关于的方程的一个根，则的值是（ ）
A．-3 B．-1 C．1 D．3
【答案】A
【解析】
解：把x=n代入x2+mx+3n=0得n2+mn+3n=0，
∵n≠0，
∴n+m+3=0，
即m+n=-3．
故选A．
4．若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为-1，则a-b+c的值是( )
A．-1 B．1 C．0 D．不能确定
【答案】C
【解析】
解：将x=-1代入方程得， a-b+c=0
故答案为C
5．已知x＝﹣1是一元二次方程x2+mx+3＝0的一个解，则m的值是（　　）
A．4 B．﹣4 C．﹣3 D．3
【答案】A
【解析】
解：把x＝﹣1代入x2+mx+3＝0得1﹣m+3＝0，解得m＝4．
故选：A．
6．若是方程的根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
是方程的根，
，
故选：C．
7．关于x的一元二次方程（a＋2）x2+x+a2-4=0的一个根为0，则a的值为（ ）
A．2 B．－2 C．±2 D．0
【答案】A
【解析】
把x=0代入原方程得a2-4=0，即a= ±2,
又∵a＋20，∴a=2，选A.
8．若a-b+c=0，则方程ax2+bx+c=0(a)必有一个根是（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．
【答案】C
【解析】
∵x=-1时，代入方程得a×（-1）2+b×（-1）+c=0，即a-b+c=0
故方程有一个根是x=-1
故选C.
9．方程2x 2 =1－3x化成一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为( )
A．2，1，－3 B．2，3，－1 C．2，3，1 D．2，1，3
【答案】B
【解析】
2x2＝1-3x化成一元二次方程一般形式是2x2+3x-1＝0，
它的二次项系数是2，一次项系数是3，常数项是-1．
故选B．
10．如果（m+2）x|m|+mx－1＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值为（　　）
A．2或－2 B．2 C．－2 D．0
【答案】B
【解析】
解：由题意得：|m|=2，且m+2≠0，
解得：m=2．
故选：B．
11．下列说法正确的是（ ）
A．形如ax2＋bx＋c＝0的方程叫做一元二次方程
B．(x＋1)(x－1)＝0是一元二次方程
C．方程x2－2x＝1的常数项为0
D．一元二次方程中，二次项系数、一次项系数及常数项都不能为0
【答案】B
【解析】
A.一元二次方程的一般形式规定a、b、c为常数且a≠0，故此选项错误；
B.(x＋1)(x－1)＝0变形后为x2-1=0，是一元二次方程，故此选项正确；
C.该方程的常数项是－1，故此选项错误；
D.一元二次方程中，二次项系数不能为0，一次项系数可以为0，故此选项错误；
故选B.
12．一元二次方程化成一般式后，二次项系数为1，一次项系数为﹣1，则的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
【答案】B
【解析】
方程整理得：x2﹣ax+1=0．
∵结果一次项系数为﹣1，∴﹣a=﹣1，即a=1．
故选B．
题组B 能力提升练
13．若关于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0有一个根是2，则m+n＝_____．
【答案】﹣2
【解析】
∵2是关于x的一元二次方程的一个根，
∴，
∴n＋m＝ 2，
故答案为 2．
14．若关于x的方程有一个根是1，则_________．
【答案】1
【解析】
解：把x=1代入方程得1+a-2=0，
解得a=1．
故答案是：1．
15．若方程（m+2）x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m=_____．
【答案】2
【解析】
解：由题意得，，解得，
16．若a是方程的解，计算：=______.
【答案】0
【解析】
∵a是方程x2﹣3x+1=0的一根，
∴a2﹣3a+1=0，即a2﹣3a=﹣1，a2+1=3a
∴
故答案为0．
17．关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=－2，x2=1（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a(x+m+2)2+b=0 的解是__________.
【答案】x=-4,x=-1
【解析】
解：∵关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=-2，x2=1，（a，m，b均为常数，a≠0），
∴方程a（x+m+2）2+b=0变形为a[（x+2）+m]2+b=0，即此方程中x+2=-2或x+2=1，
解得x=-4或x=-1．
故方程a（x+m+2）2+b=0的解为x1=-4，x2=-1．
故答案为x1=-4，x2=-1．
18．若关于x的一元二次方程有一个根为0，则a的值为_________．
【答案】-2
【解析】
解：把x=0代入方程得：a2-4=0，
（a-2）（a+2）=0，
可得a-2=0或a+2=0，
解得：a=2或a=-2，
当a=2时，a-2=0，此时方程不是一元二次方程，舍去；
则a的值为-2．
故答案为：-2．
19．某商品的原价为120元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是m，那么该商品现在的价格是_____元（结果用含m的代数式表示）．
【答案】100（1﹣m）2
【解析】
第一次降价后价格为100（1-m）元，第二次降价是在第一次降价后完成的，所以应为100（1-m）（1-m）元，
即100（1-m）2元．
故答案为100（1-m）2．
20．若方程x2＋mx＋1＝0和x2＋x＋m＝0有公共根，则常数m的值是___．
【答案】-2．
【解析】
设方程x2+mx+1=0和x2+x+m=0的公共根为t，
则t2+mt+1=0①，
t2+t+m=0②，
①-②得（m-1）t=m-1，
如果m=1，那么两个方程均为x2+x+1=0无解，不符合题意；
如果m≠1，那么t=1，
把t=1代入①，得1+m+1=0，解得m=-2．
故常数m的值为-2．
故答案为-2．
21．已知=0 是关于 x 的一元二次方程，则 k 为___________．
【答案】-2
【解析】
已知=0 是关于 x 的一元二次方程，可得，1-k≥0，解得k=-2.
题组C 培优拔尖练
22．某中学数学兴趣小组对关于的方程提出了下列问题：
（1）是否存在的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出的值；
（2）是否存在的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出的值，并解此方程．
【答案】（1）1 （2），；，
【解析】
解：（1）根据一元二次方程的定义，得
解得．
（2）由题可知，当即时，方程为一元一次方程．
此时方程为，解得；
当即时，方程为一元一次方程，
此时方程为，解得．
23．若m是一元二次方程的一个实数根．
（1）求a的值；
（2）不解方程，求代数式的值．
【答案】（1）；（2）4
【解析】
（1）由于是关于的一元二次方程，
所以，
解得；
（2）由（1）知，该方程为，
把代入，得，
所以，①
由，得，
所以，②
把①和②代入，
得，
即．
24．一元二次方程化为一般形式后为，试求的值．
【答案】
【解析】
解：原方程可化为： ax2 （2a b）x＋a b＋c＝0，
由题意得，a＝2，2a b＝3，a b＋c＝ 1，
解得：a＝2，b＝1，c＝ 2，
∴．
25．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1，且a＝＋－2，求的值.
【答案】0
【解析】
∵a＝＋－2，
∴c－4≥0且4－c≥0，即c＝4，则a＝－2.
又∵－1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，
∴a－b＋c＝0，
∴b＝a＋c＝－2＋4＝2.
∴原式＝＝0.
26．试证明关于的方程无论取何值，该方程都是一元二次方程；
【答案】证明见解析.
【解析】
∵a2 8a+20=(a 4)2+4 4，
∴无论a取何值，a2 8a+20 4，即无论a取何值，原方程的二次项系数都不会等于0，
∴关于x的方程(a2 8a+20)x2+2ax+1=0，无论a取何值，该方程都是一元二次方程．
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