人教九上培优练：第02课 配方法解一元二次方程（含解析）

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第02课 配方法解一元二次方程
题组A 基础过关练
1．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x＋a2﹣1＝0有一个根为x＝0，则a＝___．
2．一元二次方程（x+1）2＝4的解为_____．
3．若2x+1与2x-1互为倒数，则实数x为（ ）
A．x= B．x＝±1 C． D．
4．用适当的正数填空：
（1）_____=(x-_____)2； （2）x2-______x+16=(x-____)2；
（3）(x＋____)2； （4）______=(x-____)2．
5．一元二次方程配方后可变形为（ ）
A． B． C． D．
6．将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（ ）
A．，21 B．，11 C．4，21 D．，69
7．解下列方程．
（1） （2）
8．解方程：2x2﹣4x﹣1＝0．
题组B 能力提升练
1．关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=-3，x2=2，则方程m（x+h-3）2+k=0的解是（ ）
A．x1=-6，x2=-1 B．x1=0，x2=5 C．x1=-3，x2=5 D．x1=-6，x2=2
2．已知三角形三边长为a、b、c，且满足，，，则此三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．无法确定
3．已知,,（m为任意实数），则P、Q的大小关系为（ ）
A．P＞Q B．P=Q C．P＜Q D．不能确定
4．代数式的最小值是（ ）
A．10 B．9 C．19 D．11
5．若把代数式化为的形式，其中m、k为常数，则______．
6．解方程：
题组C 培优拔尖练
1．我们知道，一元二次方程x2=﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1．若我们规定一个新数“i”，使其满足i2=﹣1（即方程x2=﹣1有一个根为i）．并且进一步规定：
一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i1=i，
i2=﹣1，i3=i2 i=（﹣1） i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1，从而对于任意正整数n，我们可以得到i4n+1=i4n i=（i4）n i=i，同理可得i4n+2=﹣1，i4n+3=﹣i，i4n=1．那么i+i2+i3+i4+…+i2012+i2013的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．i
2．关于代数式，有以下几种说法，
①当时，则的值为-4.
②若值为2，则.
③若，则存在最小值且最小值为0.
在上述说法中正确的是（ ）
A．① B．①② C．①③ D．①②③
3．阅读材料:若，求m、n的值.
解:，
，
，
.
根据你的观察，探究下面的问题:
（1）已知，求x-y的值.
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求边c的最大值.
（3）若已知，求的值.
4．“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．
例如：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1
∵（x+2）2≥0
∴（x+2）2+1≥1
∴x2+4x+5≥1．
试利用“配方法”解决下列问题：
（1）填空：x2﹣4x+5＝（x　 　）2+　 　；
（2）已知x2﹣4x+y2+2y+5＝0，求x+y的值；
（3）比较代数式：x2﹣1与2x﹣3的大小．
题组A 基础过关练
1．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x＋a2﹣1＝0有一个根为x＝0，则a＝___．
【答案】 1
【解析】
解：把x＝0代入（a 1）x2 2x＋a2 1＝0得a2 1＝0，
解得a＝±1，
∵a 1≠0，
∴a＝ 1．
故答案为： 1．
2．一元二次方程（x+1）2＝4的解为_____．
【答案】x1=1，x2=-3
【解析】
解：（x+1）2＝4，
x+1＝±2，
解得：x1=1，x2=-3，
故答案为x1=1，x2=-3.
3．若2x+1与2x-1互为倒数，则实数x为( )
A．x= B．x＝±1 C．. D．
【答案】C
【解析】
解：根据2x+1与2x﹣1互为倒数，列方程得：（2x+1）（2x﹣1）=1；
整理得：4x2﹣1=1，移项得：4x2=2，系数化为1得：x2=；
开方得：x=±．
故选C．
4．用适当的正数填空：
（1）_____=(x-_____)2；
（2）x2-______x+16=(x-____)2；
（3）(x＋____)2；
（4）______=(x-____)2．
【答案】（1）4；2；（2）8；4；（3）；（4）；
【解析】
解：（1）
故答案为：4；2；
（2）x2-8x+16=(x-4)2
故答案为：8；4；
（3）(x＋)2
故答案为：；
（4）=(x-)2
故答案为：；．
5．一元二次方程配方后可变形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
，
，
，
，
故选C．
6．将一元二次方程化成（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（ ）
A．，21 B．，11 C．4，21 D．，69
【答案】A
【解析】
解：
移项得，
配方得，
即，
∴a=-4，b=21．
故选：A
7．解下列方程．
（1）
（2）
【答案】（1），；（2），
【解析】
（1）∵，，
∴
∴方程有两个不相等的实数根．
∴
∴，．
（2）∵
∴
∴
∴；
即：，．
8．解方程：2x2﹣4x﹣1＝0．
【答案】x1=，x2=．
【解析】
解：∵2x2﹣4x﹣1=0，
∴2x2﹣4x=1，
则x2﹣2x=，
∴x2﹣2x+1=，即（x﹣1）2=，
则x﹣1=±，
∴x1=，x2=．
题组B 能力提升练
1．关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=-3，x2=2，则方程m（x+h-3）2+k=0的解是（ ）
A．x1=-6，x2=-1 B．x1=0，x2=5 C．x1=-3，x2=5 D．x1=-6，x2=2
【答案】B
【解析】
解：解方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）得x=-h±，
而关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=-3，x2=2，
所以-h-=-3，-h+=2，
方程m（x+h-3）2+k=0的解为x=3-h±，
所以x1=3-3=0，x2=3+2=5．
故选：B．
2．已知三角形三边长为a、b、c，且满足， ， ，则此三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．无法确定
【答案】A
【解析】
解：∵a2﹣4b=7，b2﹣4c=﹣6，c2﹣6a=﹣18，∴a2﹣4b+b2﹣4c+c2﹣6a=7﹣6﹣18，整理得：a2﹣6a+9+b2﹣4b+4+c2﹣4c+4=0，即（a﹣3）2+（b﹣2）2+（c﹣2）2=0，∴a=3，b=2，c=2，∴此三角形为等腰三角形．故选A．
3．已知,,（m为任意实数），则P、Q的大小关系为（ ）
A．P＞Q B．P=Q C．P＜Q D．不能确定
【答案】C
【解析】
解：∵
=
=
=
∴
故选：C．
4．代数式的最小值是（ ）
A．10 B．9 C．19 D．11
【答案】A
【解析】
解：
∵
∴代数式的最小值是10．
故选：A．
5．若把代数式化为的形式，其中、为常数，则______．
【答案】-7
【解析】
x 4x 5=x 4x+4 4 5
=(x 2) 9，
所以m=2，k= 9，
所以m+k=2 9= 7.
故答案为-7
6．
【答案】
【解析】
两边开方得：2（x﹣1）＝±（x+2），∴2（x﹣1）＝x+2，2（x﹣1）＝-（x+2），∴x1=4，x2=0．
题组C 培优拔尖练
1．我们知道，一元二次方程x2=﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1．若我们规定一个新数“i”，使其满足i2=﹣1（即方程x2=﹣1有一个根为i）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i1=i，i2=﹣1，i3=i2 i=（﹣1） i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1，从而对于任意正整数n，我们可以得到i4n+1=i4n i=（i4）n i=i，同理可得i4n+2=﹣1，i4n+3=﹣i，i4n=1．那么i+i2+i3+i4+…+i2012+i2013的值为【 】
A．0 B．1 C．﹣1 D．i
【答案】D
【解析】
由题意得，i1=i，i2=﹣1，i3=i2 i=（﹣1） i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1，i5=i4 i=i，i6=i5 i=﹣1，
可发现4次一循环，一个循环内的和为0，
∵2013÷4=503…1，∴i+i2+i3+i4+…+i2012+i2013=i．
故选D．
2．关于代数式，有以下几种说法，
①当时，则的值为-4.
②若值为2，则.
③若，则存在最小值且最小值为0.
在上述说法中正确的是（　　）
A．① B．①② C．①③ D．①②③
【答案】C
【解析】
解：①当时，
．
故①正确；
②若值为2，
则，
∴a2+2a+1=2a+4，
∴a2=3，
∴．
故②错误；
③若a＞-2，则a+2＞0，
∴=
=
=≥0．
∴若a＞-2，则存在最小值且最小值为0．
故③正确．
综上，正确的有①③．
故选：C．
3．阅读材料:若，求m、n的值.
解:，
，
，
.
根据你的观察，探究下面的问题:
（1）已知，求的值.
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求边c的最大值.
（3）若已知，求的值.
【答案】（1）2（2）6（3）7
【解析】
（1）∵x2+2xy+2y2+2y+1=0
∴（x2+2xy+y2）+（y2+2y+1）=0
∴（x+y）2+（y+1）2=0
∴x+y=0y+1=0
解得：x=1，y=﹣1
∴x﹣y=2；
（2）∵a2+b2﹣6a﹣8b+25=0
∴（a2﹣6a+9）+（b2﹣8b+16）=0
∴（a﹣3）2+（b﹣4）2=0
∴a﹣3=0，b﹣4=0
解得：a=3，b=4
∵三角形两边之和＞第三边
∴c＜a+b，c＜3+4，∴c＜7．又∵c是正整数，∴△ABC的最大边c的值为4，5，6，∴c的最大值为6；
（3）∵a﹣b=4，即a=b+4，代入得：（b+4）b+c2﹣6c+13=0，整理得：（b2+4b+4）+（c2﹣6c+9）=（b+2）2+（c﹣3）2=0，∴b+2=0，且c﹣3=0，即b=﹣2，c=3，a=2，则a﹣b+c=2﹣（﹣2）+3=7．
故答案为7．
4．“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1，∴x2+4x+5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：
（1）填空：x2﹣4x+5＝（x　 　）2+　 　；
（2）已知x2﹣4x+y2+2y+5＝0，求x+y的值；
（3）比较代数式：x2﹣1与2x﹣3的大小．
【答案】（1）﹣2，1；（2）1；（3）x2﹣1＞2x﹣3
【解析】
解：（1）x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，
故答案为：-2，1；
（2）x2﹣4x+y2+2y+5＝0，
（x﹣2）2+（y+1）2＝0，
则x﹣2＝0，y+1＝0，
解得x＝2，y＝﹣1，
则x+y＝2﹣1＝1；
（3）x2﹣1﹣（2x﹣3）
=x2﹣2x+2
=（x﹣1）2+1，
∵（x﹣1）2≥0，
∴（x﹣1）2+1＞0，
∴x2﹣1＞2x﹣3．
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