人教九上培优练：第04课 因式分解法解一元二次方程（含解析）

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第04课 因式分解法解一元二次方程
题组A 基础过关练
1．方程x2﹣9x＋18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（ ）
A．12 B．15 C．12或15 D．不能确定
2．若关于x的一元二次方程有一个根是0，那么m的值为（ ）
A．2 B．3 C．3或2 D．
3．一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）
A．12 B．9 C．13 D．12或9
4．若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2﹣10x+24＝0的一个根，则该菱形ABCD的周长为（ ）
A．16 B．24 C．16或24 D．48
5．一元二次方程的两根为、，那么二次三项式可分解为（ ）
A． B． C． D．
6．若关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的两个实根分别为5，﹣6，则二次三项式x2+mx+n可分解为（ ）
A．（x+5）（x﹣6） B．（x﹣5）（x+6） C．（x+5）（x+6） D．（x﹣5）（x﹣6）
7．一个等腰三角形的腰和底边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是________．
8．已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣4x+3=0的根，则该三角形的周长是_____．
9．解下列方程
（1）（用配方法） （2）（因式分解法）
（3）（公式法） （4）（直接开平方法）
10．解下列一元二次方程：
（1）5x﹣2=（2﹣5x）（3x+4） （2）4（x+3）2=25（x﹣2）2
11．已知关于x的方程x2-(m+1)x+2(m-1)=0，
（1）求证：无论m取何值时，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形腰长为4，另两边恰好是此方程的根，求此三角形的另外两条边长.
题组B 能力提升练
1．在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（ ）
A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0
2．如图，在一次函数的图象上取一点P，作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，且矩形PBOA的面积为5，则在x轴的上方满足上述条件的点P共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．已知，则y：x等于（ ）
A．或 B．6或1 C．或1 D．2或3
4．方程的解是（ ）
A．2或0 B．±2或0 C．2 D．－2或0
5．已知2是关于x的方程x2﹣（5+m）x+5m＝0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，则△ABC的周长为（ ）
A．9 B．12 C．9或12 D．6或12或15
6．已知，则的值是_____________．
7．解方程：.
题组C 培优拔尖练
1．阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：
x3﹣（n2+1）x+n
＝x3﹣n2x﹣x+n
＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）
＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）
＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．
理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，
即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，
因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．
解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为_____．
2．已知，，，求值．
3．已知，，为有理数，且多项式能够写成的形式．
（1）求的值．
（2）求的值．
（3）若，，为整数，且，试求，，的值．
4．解方程：(x－2013)(x－2014)＝2015×2016．
5．解方程：(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)＝48.
6．解方程：6x4－35x3＋62x2－35x＋6＝0.
题组A 基础过关练
1．方程x2﹣9x＋18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（　　）
A．12 B．15 C．12或15 D．不能确定
【答案】B
【解析】
解：方程变形得：，
解得：，，
当3为腰，6为底时，三角形三边为3，3，6，不能构成三角形，舍去；
当3为底，6为腰时，三角形三边为6，6，3，周长为6＋6＋3＝15，
故选：B．
2．若关于x的一元二次方程有一个根是0，那么m的值为（ ）
A．2 B．3 C．3或2 D．
【答案】A
【解析】
解：由一元二次方程的定义得：
解得
关于x的一元二次方程有一个根为0，
∴，
解得或（与不符，舍去），
故选A．
3．一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）
A．12 B．9 C．13 D．12或9
【答案】A
【解析】
解：因式分解可得：(x－2)(x－5)=0
解得：，
当2为底，5为腰时，则三角形的周长为2+5+5=12；
当5为底，2为腰时，则无法构成三角形，
故选：A
4．若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程x2﹣10x+24＝0的一个根，则该菱形ABCD的周长为（　　）
A．16 B．24 C．16或24 D．48
【答案】B
【解析】
解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵x2﹣10x+24＝0，
因式分解得：（x﹣4）（x﹣6）＝0，
解得：x＝4或x＝6，
分两种情况：
①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形；
②当AB＝AD＝6时，6+6＞8，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝24．
故选：B．
5．一元二次方程的两根为、，那么二次三项式可分解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
若一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根为3、4，
那么有：(x－3)(x－4)＝0，
∴x2＋px＋q＝(x－3)(x－4)．
故选C.
6．若关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的两个实根分别为5，﹣6，则二次三项式x2+mx+n可分解为（　　）
A．（x+5）（x﹣6） B．（x﹣5）（x+6） C．（x+5）（x+6） D．（x﹣5）（x﹣6）
【答案】B
【解析】
根据题意可得
解得
所以二次三项式为x2+x-30
因式分解为x2+x-30=（x﹣5）（x+6）
故选B.
7．一个等腰三角形的腰和底边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是________．
【答案】14
【解析】
解：，
（x-2）（x-6）=0，
x1=2，x2=6，
当腰长为2时，三角形的三边为2，2，6，不符合三角形的三角关系，舍去；
当腰长为6时，三角形的三边关系为6，6，2，符合三角形的三角关系，
则周长为：6+6+2=14，
故答案为：14．
8．已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣4x+3=0的根，则该三角形的周长是_____．
【答案】7
【解析】
x2﹣4x+3=0，（x﹣3）（x﹣1）=0，x﹣3=0或x﹣1=0，所以x1=3，x2=1．
①当三角形的腰为3，底为1时，三角形的周长为3+3+1=7；
②当三角形的腰为1，底为3时不符合三角形三边的关系，舍去．
所以三角形的周长为7．
故答案为7．
9．解下列方程
（1）（用配方法）
（2）（因式分解法）
（3）（公式法）
（4）（直接开平方法）
【答案】（1），；（2），；（3），；（4）
【解析】
解：（1），
，
，
，
所以，；
，
或，
所以，；
（3），
，
所以，；
（4），
所以．
10．解下列一元二次方程：
（1）5x﹣2=（2﹣5x）（3x+4）
（2）4（x+3）2=25（x﹣2）2
【答案】（1）x1= x2=﹣ ；（2）= 或=.
【解析】
（1）解：原式=（2﹣5x）+（2﹣5x）（3x+4）=0
∴（2﹣5x）（1+3x+4）=0
解得：x1= x2=﹣
（2）解：4（x+3）2﹣25（x﹣2）2=0，
[2（x+3）+5（x﹣2）][2（x+3）﹣5（x﹣2）]=0，
∴（7x﹣4）（-3x+16）=0
∴= 或=.
11．已知关于x的方程x2 -(m+1)x+2(m-1)=0，
（1）求证：无论m取何值时，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形腰长为4，另两边恰好是此方程的根，求此三角形的另外两条边长.
【答案】证明见解析 4和2
【解析】
（1）证明：∵△=[﹣（m+1）]2﹣4×2（m﹣1）=m2﹣6m+9=（m﹣3）2≥0，
∴无论m取何值，这个方程总有实数根；
（2）等腰三角形的腰长为4，将x=4代入原方程，得：16﹣4（m+1）+2（m﹣1）=0，
解得：m=5，
∴原方程为x2﹣6x+8=0，
解得：x1=2，x2=4．
组成三角形的三边长度为2、4、4；
所以三角形另外两边长度为4和2．
题组B 能力提升练
1．在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（　　）
A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0
【答案】B
【解析】
解： 小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1，
所以此时方程为： 即：
小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，
所以此时方程为： 即：
从而正确的方程是：
故选：
2．如图，在一次函数的图象上取一点P，作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，且矩形PBOA的面积为5，则在x轴的上方满足上述条件的点P共有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
解：①当0＜x＜6时，设点P（x，﹣x+6），
∴矩形PBOA的面积为5，
∴x（﹣x+6）=5，化简，
解得，，
∴P1（1，5），P2（5，1），
②当x＜0时，设点P（x，﹣x+6），
∴矩形PBOA的面积为5，
∴﹣x（﹣x+6）=5，
化简，
解得，（舍去），
∴P3（，），
∴在x轴的上方满足上述条件的点P的个数共有3个．
故选：C．
3．已知，则等于（ ）
A．或 B．6或1 C．或1 D．2或3
【答案】A
【解析】
∵
∴
∴
∴=或.
故选A.
4．方程的解是（ ）
A．2或0 B．±2或0 C．2 D．－2或0
【答案】B
【解析】
解：∵，
∴，
∴或或，
故选：B．
5．已知2是关于x的方程x2﹣（5+m）x+5m＝0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，则△ABC的周长为（　　）
A．9 B．12 C．9或12 D．6或12或15
【答案】B
【解析】
把x＝2代入方程x2 （5＋m）x＋5m＝0得4 2（5＋m）＋5m＝0，解得m＝2，
方程化为x2 7x＋10＝0，解得x1＝2，x2＝5，
因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，
所以等腰△ABC的腰长为5，底边长为2，
所以△ABC的周长为5＋5＋2＝12．
故选B．
6．已知，则的值是_____________．
【答案】5或10
【解析】
解：同时除以：
或
∴ ，
7．解方程：.
【答案】
【解析】
解：移项得：，
两边平方得：，
整理得：，
解得：，，
经检验不是原方程的解，舍去，
∴是原方程的解.
题组C 培优拔尖练
1．阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：
x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．
理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，
因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．
解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为_____．
【答案】x＝2或x＝﹣1+或x＝﹣1﹣．
【解析】
解：∵x3﹣5x+2＝0，
∴x3﹣4x﹣x+2＝0，
∴x（x2﹣4）﹣（x﹣2）＝0，
∴x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
则（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，即（x﹣2）（x2+2x﹣1）＝0，
∴x﹣2＝0或x2+2x﹣1＝0，
解得x＝2或x＝﹣1，
故答案为：x＝2或x＝﹣1+或x＝﹣1﹣．
2．已知，，，求值．
【答案】5或13或10
【解析】
∵
∴
∴或
∵
∴
∴或
∵
∴当时，；当时，或
∴或13或10．
3．已知，，为有理数，且多项式能够写成的形式．
（1）求的值．
（2）求的值．
（3）若，，为整数，且，试求，，的值．
【答案】（1）；（2）；（3），，．
【解析】
（1）是的一个因式，
，即，是方程的解，
，
得：③，
．
（2）由③得：④，
④代入①得：⑤，
．
（3），
，
，
解得：，
又，均为大于的整数，
可取的值有，，，，，
又为正整数，
，，
则，
，，．
4．解方程：(x－2 013)(x－2 014)＝2 015×2 016．
【答案】原方程的解为x1＝4 029，x2＝－2．
【解析】
解：由题意得：
方程组 的解一定是原方程的解，解得x＝4 029，
方程组的解也一定是原方程的解，解得x＝－2，
∵原方程最多有两个实数解，
∴原方程的解为x1＝4 029，x2＝－2．
5．解方程：(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)＝48.
【答案】x1＝，x2＝.
【解析】
原方程即[(x－1)(x－4)][(x－2)(x－3)]＝48，
即(x2－5x＋4)(x2－5x＋6)＝48.
设y＝x2－5x＋5，则原方程变为(y－1)(y＋1)＝48.
解得y1＝7，y2＝－7.
当x2－5x＋5＝7时，解得x1＝，x2＝；
当x2－5x＋5＝－7时，Δ＝(－5)2－4×1×12＝－23<0，方程无实数根．
∴原方程的根为x1＝，x2＝.
6．解方程：6x4－35x3＋62x2－35x＋6＝0.
【答案】原方程的解为x1＝2，x2＝，x3＝3，x4＝.
【解析】
本题主要考查利用整体换元法解高次方程,先将方程两边同时除以x2，得6x2－35x＋62－＋＝0,然后分组提公因式可得: 6－35 ＋62＝0,此时设
y＝, 则＝y2－2,原方程可化为: 6(y2－2)－35y＋62＝0,解方程求出y,然后把求出的y值代入y＝,得到关于x的方程,然后解方程即可求解.
经验证x＝0不是方程的根，原方程两边同除以x2，得6x2－35x＋62－＋＝0，
即6－35 ＋62＝0.
设y＝，则＝y2－2，
原方程可变为6(y2－2)－35y＋62＝0.
解得y1＝，y2＝.
当＝时，解得x1＝2，x2＝；
当＝时，解得x3＝3，x4＝.
经检验，均符合题意．
原方程的解为x1＝2，x2＝，x3＝3，x4＝.
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