人教九上培优练：第05课 根与系数的关系（含解析）

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第05课 根与系数的关系
题组A 基础过关练
1．已知一元二次方程2x2+x﹣5=0的两根分别是x1，x2，则x12+x22的值是（ ）
A． B．- C．- D．
2．设是一元二次方程的两根，则_______________________．
3．已知一元二次方程x2﹣3x﹣3=0的两根为α与β，则的值为_______．
4．若x1，x2是一元二次方程2x2﹣3x﹣6＝0的两个根，则x1x2的值是_____，x1+x2的值是_____．
5．已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有实数根，求实数的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为x1，x2，且满足，求实数的值．
6．如果一元二次方程的两实数根分别为，，不解方程，求下列代数式的值．
（1）； ．
7．已知关于的方程
（1）取何值时，①方程有实数根？②方程没有实数根？
（2）若方程的两个实数根为，，且，试求的值．
题组B 能力提升练
1．设a，b是方程x2＋x－2009＝0的两个实数根，则a2＋2a＋b的值为（ ）
A．2006 B．2007 C．2008 D．2009
2．已知是关于x的一元二次方程x2-5x+a=0的两个实数根，且，则a=_________.
3．一元二次方程的两根为x1，x2，则________．
4．若m，n是方程x2＋3x﹣2＝0的根，则2m2＋8m＋2n﹣5的值是_____．
5．已知关于x的一元二次方程．
（1）请判断该方程实数根的情况；
（2）若原方程的两实数根为x1，x2，且满足，求p的值．
6．阅读材料：一元二次方程ax2+bx+C＝0（a≠0），当△≥0时，设两根为x1，x2，则两根与系数的关系为：x1+x2＝；x1 x2＝．
应用：（1）方程x2﹣2x+1＝0的两实数根分别为x1，x2，则x1+x2＝　 　，x1 x2＝　 　．
（2）若关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2＝0的有两个实数根x1，x2，求m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若满足|x1|＝x2，求实数m的值．
7．已知关于x的方程．
（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值，并求出此时方程的根；
（2）是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于224．若存在，求出满足条件的m的值；若不存在，请说明理由．
8．关于的方程有两个不相等的实数根，．
（1）求的取值范围．
（2）若，试说明此方程有两个负根．
（3）在（2）的条件下，若，求的值．
9．已知x1、x2是方程x2－4x＋2＝0的两根，求：
（1）＋； （2）(x1－x2)2的值．
题组C 培优拔尖练
1．已知实数，满足条件，，则________．
2．已知a2+1＝3a，b2+1＝3b，且a≠b，则＝_____．
3．关于x的一元二次方程x2+3x﹣k=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）若x1+2x2=3，求|x1﹣x2|的值．
题组A 基础过关练
1．已知一元二次方程2x2+x﹣5=0的两根分别是x1，x2，则x12+x22的值是（　　）
A． B．- C．- D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系得到x1+x2，x1x2，再利用完全平方公式变形得到x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】
根据题意得：x1+x2，x1x2，所以x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（）2﹣2×（．
故选D．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．
2．设是一元二次方程的两根，则_______________________．
【答案】
【解析】
【分析】
由根与系数的关系得到两根和与两根积，代入所求的式子中即可得到结果．
【详解】
解：∵x1，x2是一元二次方程的两根，
∴x1+x2=2，x1x2=-1，
∴x1+x2+x1x2=2+（-1）=1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查一元二次方程根与系数关系，熟记一元二次方程根与系数关系的内容是解题的关键．
3．已知一元二次方程x2﹣3x﹣3=0的两根为α与β，则的值为_______．
【答案】-1
【解析】
【分析】
先把变型为，然后利用根与系数的关系求得α+β与αβ的值，最后代入到中，即可求解．
【详解】
解：根据题意，一元二次方程x2﹣3x﹣3=0的两根为α与β，
利用根与系数的关系得α+β＝3；αβ=－3，
原式==，
故答案为－1．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系：若一元二次方程的两个根分别为，，则，，掌握一元二次方程根与系数的关系，是解答本题的关键．
4．若x1，x2是一元二次方程2x2﹣3x﹣6＝0的两个根，则x1x2的值是_____，x1+x2的值是_____．
【答案】 -3；
【解析】
【分析】
由根与系数的关系可求得（x1+x2）与x1x2的值．
【详解】
∵x1，x2是一元二次方程2x2﹣3x﹣6＝0的两个根，
∴x1x2的值是，x1+x2的值是．
故答案为：-3；．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根与系数的关系，若x1，x2为方程的两个根，则x1，x2与系数的关系式：，．
5．已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有实数根，求实数的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为，，且满足，求实数的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据方程有实数根的条件，即Δ≥0求解即可；
（2）由韦达定理把x1+x2和x1x2分别用含m的式子表达出来，然后根据完全平方公式将变形，即可求解．
【详解】
（1）∵方程有实数根，
∴，
∴，
解得：；
（2）∵方程两实数根分别为，，
∴，，
∵，
∴，
，
解得：，，
∵，
∴．
【点睛】
本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记（1）“当△≥0时，方程有实数根”；（2）掌握根与系数的关系即韦达定理，是解题的关键．
6．如果一元二次方程的两实数根分别为，，不解方程，求下列代数式的值．
（1）； ．
【答案】(1)；(2)-1.
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系找出x1+x2＝3、x1 x2＝1．
（1）将代数式x12+x22变形为只含x1+x2、x1 x2的代数式，代入数据即可得出结论；
（2）将代数式（x1﹣2）（x2﹣2）展开后代入数据即可得出结论．
【详解】
∵方程x2﹣3x+1＝0的两实数根分别为x1，x2，∴x1+x2＝3，x1 x2＝1．
（1）x12+x222x1 x2＝32﹣2×1＝7；
（2）（x1﹣2）（x2﹣2）＝x1 x2﹣2（x1+x2）+4＝1﹣2×3+4＝﹣1．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系找出x1+x2＝3，x1 x2＝1是解题的关键．
7．已知关于的方程
（1）取何值时，①方程有实数根？②方程没有实数根？
（2）若方程的两个实数根为，，且，试求的值．
【答案】（1）①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程没有实数根；（2）．
【解析】
【分析】
(1)首先利用根的判別式得出关于x的方程的判别式,再根据①当△≥0,方程有实数根;②当△<0,方程没有实数根;
(2)根据根与系数的关系得到，,代入得出关于k的方程,解方程即可.
【详解】
解：．
①当，时，方程有两个不相等的实数根；
②当，时，方程没有实数根；
（2）∵方程的两个实数根为，，
∴，，
依题意，得，
解得：，（不合题意，舍去），
∴ ．
题组B 能力提升练
1．设a，b是方程x2＋x－2009＝0的两个实数根，则a2＋2a＋b的值为( )
A．2006 B．2007 C．2008 D．2009
【答案】C
【解析】
【分析】
由于a2+2a+b=（a2+a）+（a+b），故根据方程的解的意义，求得（a2+a）的值，由根与系数的关系得到（a+b）的值，即可求解．
【详解】
解：∵a是方程x2+x-2009=0的根，
∴a2+a=2009；
由根与系数的关系得：a+b=-1，
∴a2+2a+b
=（a2+a）+（a+b）
=2009-1=2008．
故选C．
2．已知是关于x的一元二次方程x2-5x+a=0的两个实数根，且，则a=_________.
【答案】5
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系用a表示出x1+x2和x1x2，代入已知条件可得到关于a的方程，则可求得a的值．
【详解】
∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣5x+a＝0的两个实数根，∴x1+x2＝﹣5，x1x2＝a，∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝（﹣5）2﹣4a＝25﹣4a．
∵|x1﹣x2|＝，∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝5，∴25﹣4a＝5，解得：a＝5．
故答案为5．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系，掌握一元二次方程两根之和等于、两根之积等于是解题的关键．
3．一元二次方程的两根为和，则________．
【答案】2025
【解析】
【分析】
由题意可知-3+1=0,则=3-1,则+3+2017=3-1+3+2017=3(+)-1+2017,根据一元二次方程根与系数的关系,可得结果.
【详解】
由题意-3+1=0,
则=3-1.
原式=3-1+3+2017
=3(+)-1+2017
=-1+2017
=2025
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系,将转化为3-1是解决本题目的关键.
4．若m，n是方程x2＋3x﹣2＝0的根，则2m2＋8m＋2n﹣5的值是_____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据韦达定理得到m+n=﹣=﹣3，mn==﹣2，将原式变形为2m2＋6m＋2（m＋n）﹣5，代入mn和m+n即可求解．
【详解】
∵m，n是方程x2＋3x﹣2＝0的解，
∴m2＋3m＝2，m+n=﹣=﹣3，mn==﹣2
∵2m2＋8m＋2n﹣5=2m2＋6m＋2m＋2n﹣5=2（m2＋3m）＋2（m＋n）﹣5，
∴原式=2×2+2（﹣3）-5= -7，
故答案为-7．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理，代数式的值等，解题的关键是要记住和会应用一元二次方程两根和与两根积与系数的关系.
5．已知关于x的一元二次方程．
（1）请判断该方程实数根的情况；
（2）若原方程的两实数根为，，且满足，求p的值．
【答案】（1）总有两个实数根；（2）p＝﹣2或4．
【解析】
【分析】
（1）将一元二次方程转化为一般形式，计算根的判别式，变形，判断符合即可；
（2）根据一元二次方程根与系数关系，得到两根之和，两根之积，代入，解关于p的方程即可．
【详解】
（1）证明：原方程可变形为x2﹣5x+6﹣p2﹣p＝0．
∵△＝（﹣5）2﹣4（6﹣p2﹣p）
＝25﹣24+4p2+4p＝4p2+4p+1＝（2p+1）2
∵无论p取何值，（2p+1）2≥0，
∴此方程总有两个实数根．
（2）由一元二次方程根与系数关系知：x1+x2＝5，x1x2＝6﹣p2﹣p
∵x12+x22＝3p2+5，∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝3p2+5，
即52﹣2（6﹣p2﹣p）＝3p2+5，∴p2﹣2p﹣8 =0
解得：p＝﹣2或4．
∴p＝﹣2或4．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系．熟记根的判别式符号与方程根的个数关系，根与系数关系是解题关键．
6．阅读材料：一元二次方程ax2+bx+C＝0（a≠0），当△≥0时，设两根为x1，x2，则两根与系数的关系为：x1+x2＝；x1 x2＝．
应用：（1）方程x2﹣2x+1＝0的两实数根分别为x1，x2，则x1+x2＝　 　，x1 x2＝　 　．
（2）若关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2＝0的有两个实数根x1，x2，求m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若满足|x1|＝x2，求实数m的值．
【答案】（1）2，1；（2）m≥﹣；（3）m的值为﹣
【解析】
【分析】
（1）根据韦达定理求解；
（2）根据求解；
（3）x1＝x2或x1＝﹣x2．
【详解】
（1）x1+x2＝2，x1 x2＝1；
故答案为2，1；
（2）∵关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2＝0有两个实数根x1、x2，
∴△＝4（m+1）2﹣4m2≥0，
解得m≥﹣；
（3）∵|x1|＝x2，
∴x1＝x2或x1＝﹣x2，
当x1＝x2，则△＝0，所以m＝﹣，
当x1＝﹣x2，即x1+x2＝2（m+1）＝0，
解得m＝﹣1，
而m≥﹣，∴m＝﹣1舍去．
∴m的值为﹣．
7．已知关于x的方程．
（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值，并求出此时方程的根；
（2）是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于224．若存在，求出满足条件的m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），,；（2）不存在正数使方程的两个实数根的平方和等于，理由详见解析.
【解析】
【分析】
（1）方程有两相等的实数根，利用△=0求出m的值．化简原方程求得方程的根．
（2）利用根与系数的关系x1+x2=﹣=4m﹣8，x1x2==4m2，x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2，代入即可得到关于m的方程，求出m的值，再根据△来判断所求的m的值是否满足原方程．
【详解】
解：（1）∵a=，b=﹣（m﹣2），c=m2，方程有两个相等的实数根，∴△=0，即△=b2﹣4ac=[﹣（m﹣2）]2﹣4××m2=﹣4m+4=0，∴m=1．
原方程化为：x2+x+1=0，x2+4x+4=0，（x+2）2=0，∴x1=x2=﹣2．
（2）不存在正数m使方程的两个实数根的平方和等于224．理由如下：
∵x1+x2=﹣=4m﹣8，x1x2==4m2
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（4m﹣8）2﹣2×4m2=8m2﹣64m+64=224，即：8m2﹣64m﹣160=0，解得：m1=10，m2=﹣2（不合题意，舍去）．
又∵m1=10时，△=﹣4m+4=﹣36＜0，此时方程无实数根，∴不存在正数m使方程的两个实数根的平方和等于224．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系．总结：（1）一元二次方程根的情况与判别式△的关系：①△＞0 方程有两个不相等的实数根；②△=0 方程有两个相等的实数根；③△＜0 方程没有实数根．
（2）△≥0时，根与系数的关系为：．
8．关于的方程有两个不相等的实数根，．
求的取值范围．
若，试说明此方程有两个负根．
在的条件下，若，求的值．
【答案】（1）；（2）详见解析；（3）．
【解析】
【分析】
（1）根据判别式的意义得到△=4（k-1）2-4k2＞0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=2（k-1），x1 x2=k2，由于k＜，k≠0，所以x1+x2=2（k-1）＜0，x1 x2=k2＞0，然后根据有理数乘法的运算性质得到x1，x2都为负数；
（3）先根据x1，x2都为负数，去绝对值得到-x1+x2=4，两边平方后变形得到（x1+x2）2-4x1x2=16，则4（k-1）2-4k2=16，然后解方程即可．
【详解】
（1）根据题意得，
解得；
（2）∵，，
∴，，
∴，都为负数，即此方程有两个负根；
（3）∵，都为负数，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac以及一元二次方程的根与系数的关系，当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
9．已知x1、x2是方程x2－4x＋2＝0的两根，求：
(1)＋；
(2)(x1－x2)2的值．
【答案】（1）2；（2）8.
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系可得x1＋x2＝4，x1x2＝2，代入（1）（2）式
可得结果.
【详解】
解：由题意，得x1＋x2＝4，x1x2＝2，
(1)＋＝＝＝2；
(2)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝42－4×2＝8.
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根与系数，解决本题的关键是把所求的代数式整理成与根与系数有关的形式. 易得到两根之和与两根之积的具体数值, 把所求代数式整理成与之有关的式子而求解.
题组C 培优拔尖练
1．已知实数，满足条件，，则________．
【答案】
【解析】
【分析】
由实数a，b满足条件a2﹣7a+2＝0，b2﹣7b+2＝0，且a≠b，可把a，b看成是方程x2﹣7x+2＝0的两个根，再利用根与系数的关系即可求解．
【详解】
由实数a，b满足条件a2﹣7a+2＝0，b2﹣7b+2＝0，且a≠b，∴可把a，b看成是方程x2﹣7x+2＝0的两个根，∴a+b＝7，ab＝2，∴．
故答案为．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是把a，b看成方程的两个根后再根据根与系数的关系解题．
2．已知a2+1＝3a，b2+1＝3b，且a≠b，则＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根的定义得到a、b是一元二次方程的两根，得到a和b的和与积，再把两根和与两根积求出，代入所求的式子中即可求出结果．
【详解】
解：∵a2+1＝3a，b2+1＝3b，且a≠b
∴a，b是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根，
∴由韦达定理得：a+b＝3，ab＝1，
∴．
故答案为：3．
【点睛】
本题考查一元二次方程根与系数关系、一元二次方程根的定义、分式的通分，对一元二次方程根的定义的理解是解题的关键．
3．关于x的一元二次方程x2+3x﹣k=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）若x1+2x2=3，求|x1﹣x2|的值．
【答案】（1）；（2）15．
【解析】
【分析】
（1）由关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，可得判别式△，则可求得的取值范围；
（2）利用根与系数的关系可求出、的值，进而可求出求的值
【详解】
（1）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
△，
，
即的取值范围为：；
（2）、是一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
，
，，
．
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