人教九上培优练：第08课 二次函数的定义（含解析）

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第08课 二次函数的定义
题组A 基础过关练
1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A．y=3x-1 B．y=ax2+bx+c C．s=2t2-2t+1 D．y=x2+
2．二次函数y=3x2﹣2x﹣4的二次项系数与常数项的和是（ ）
A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣6
3．若y=（a﹣1）x2﹣ax+6是关于x的二次函数，则a的取值范围是（ ）
A．a≠1 B．a≠0 C．无法确定 D．a≠1且a≠0
4．下列具有二次函数关系的是（ ）
A．正方形的周长y与边长x B．速度一定时，路程s与时间t
C．三角形的高一定时，面积y与底边长x D．正方形的面积y与边长x
5．已知函数．
（1）若这个函数是一次函数，求的值
（2）若这个函数是二次函数，求的取值范围．
题组B 能力提升练
6．如果函数是二次函数，那么k的值一定是________．
7．某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此贺卡的日销售单价x（元）与日销售量y（个）之间有如下关系：
日销售单价x（元） … 3 4 5 6 …
日销售量y（个） … 20 15 12 10 …
则y与x之间的函数关系式为________．
8．如图所示，是等腰直角三角形，，直角边与正方形的边长均为2，且与在同一直线上，开始时点与点重合，让沿这条直线向右平移，直到点A与点重合为止．设的长为，与正方形重合部分（图中阴影部分）的面积为，则与之间的函数关系是______．
题组C 培优拔尖练
9．手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60cm，菱形的面积S(单位：cm2)随其中一条对角线的长x(单位：cm)的变化而变化．
（1）请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；
（2）当x是多少时，菱形风筝面积S最大？最大面积是多少？
10．某服装店在销售中发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌服装平均每天可售出20件．现服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件，设每件衣服降价x元．
（1）现在每天卖出 　 　件，每件盈利 　 　元（用含x的代数式表示）；
（2）求当x为何值时，平均每天销售这种服装能盈利1200元，同时又要使顾客得到较多的实惠；
（3）要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由．
11．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形的苗圃圆．其中一边靠墙，另外三边用长为40m的篱笆围成．已知墙长为18m（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边为xm，若苗圃园的面积为192m2，求的长度．
12．如图所示，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题：
（1）在第n个图形中，每一横行有 块瓷砖，每一竖列有 块瓷砖（均用含n的代数式表示）；
（2）设铺设地面所用瓷砖的总块数为y，请写出与（1）中的的函数表达式（不要求写出自变量n的取值范围）；
（3）按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值；
（4）若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题（3）中，共需花多少元购买瓷砖？
（5）是否存在黑瓷砖与白瓷砖的块数相等的情形？请通过计算说明为什么．
题组A 基础过关练
1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A． y=3x-1 B．y=ax2+bx+c C．s=2t2-2t+1 D．y=x2+
【答案】C
【解析】
解：A、y=3x-1是一次函数，不是二次函数，不符合题意；
B、y=ax2+bx+c，当时，不是二次函数，不符合题意；
C、s=2t2-2t+1是二次函数，符合题意；
D、y=x2+ 中不是整式，故y=x2+ 不是二次函数，不符合题意．
故选：C．
2．二次函数y=3x2﹣2x﹣4的二次项系数与常数项的和是（　　）
A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣6
【答案】B
【解析】
二次函数y=3x2﹣2x﹣4的二次项系数为3，常数项为﹣4，两个数的和为3﹣4=﹣1，故选B．
3．若y=（a﹣1）x2﹣ax+6是关于x的二次函数，则a的取值范围是（　　）
A．a≠1 B．a≠0 C．无法确定 D．a≠1且a≠0
【答案】A
【解析】
∵y=（a﹣1）x2﹣ax+6是关于x的二次函数，
∴a-1≠0，
∴a≠1，
故选A.
4．下列具有二次函数关系的是( )
A．正方形的周长y与边长x B．速度一定时，路程s与时间t
C．三角形的高一定时，面积y与底边长x D．正方形的面积y与边长x
【答案】D
【解析】
A、y=4x，是一次函数，错误；
B、s=vt，v一定，是一次函数，错误；
C、y=hx，h一定，是一次函数，错误
D、y=x2，是二次函数，正确．
故选D．
5．已知函数．
（1）若这个函数是一次函数，求的值
（2）若这个函数是二次函数，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】
解：（1）由题意得，解得；
（2）由题意得，，解得且．
题组B 能力提升练
6．如果函数 是二次函数，那么k的值一定是________．
【答案】-3
【解析】
∵函数是二次函数，
∴k2-7＝2，k-3≠0
解得k=-3．
故答案为：-3．
7．某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此贺卡的日销售单价x（元）与日销售量y（个）之间有如下关系：
日销售单价x（元） … 3 4 5 6 …
日销售量y（个） … 20 15 12 10 …
则y与x之间的函数关系式为　________ 　．
【答案】y=
【解析】
因为x与y的乘积是相同的，所以可知y与x成反比例，设y，将（3，20）代入可得：20，解得：k=60．
则y与x之间的函数关系式为y．
故答案为y．
8．如图所示，是等腰直角三角形，，直角边与正方形的边长均为2，且与在同一直线上，开始时点与点重合，让沿这条直线向右平移，直到点A与点重合为止．设的长为，与正方形重合部分（图中阴影部分）的面积为，则与之间的函数关系是______．
【答案】
【解析】
解：由题意可知：当点C到点E时，x=2；当点A到点E时，x=4；
当0＜x≤2时，如下图所示，此时阴影部分为梯形，设AB与DG交于点H
∵AC=DE=BC=2，=x，是等腰直角三角形，
∴∠A=45°，AD=AC－CD=2－x
∴△ADH为等腰直角三角形
∴DH=AD=2－x
∴y=；
当2＜x≤4，如下图所示，此时阴影部分为三角形，设AB与EF交于点H
∵AC=DE= 2，=x，是等腰直角三角形，
∴∠HAE=45°，AE=DE＋AC－CD=4－x
∴△AEH为等腰直角三角形
∴HE= AE=4－x
∴y=．
综上所述：
故答案为：．
题组C 培优拔尖练
9．手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60 cm，菱形的面积S(单位：cm2)随其中一条对角线的长x(单位：cm)的变化而变化．
(1)请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；
(2)当x是多少时，菱形风筝面积S最大？最大面积是多少？
【答案】(1)；(2) 450cm2
【解析】
（1）解：∵其中一条对角线的长x，则另一对角线=60-x．
∴S=x(60-x)，
整理得．
（2）所以时，菱形风筝面积S最大，
最大面积是．
10．某服装店在销售中发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌服装平均每天可售出20件．现服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件，设每件衣服降价x元．
（1）现在每天卖出 　 　件，每件盈利 　 　元（用含x的代数式表示）；
（2）求当x为何值时，平均每天销售这种服装能盈利1200元，同时又要使顾客得到较多的实惠；
（3）要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由．
【答案】（1）（20+2x），（40﹣x）；（2）20；（3）不可能，见解析
【解析】
解：（1）由题意得：每天卖出衣服的数量为：（20+2x）件，
每件的盈利为：（90﹣x）﹣50＝（40﹣x）元，
故答案为：（20+2x），（40﹣x）；
（2）由题意得：
（90﹣x﹣50）（20+2x）＝1200，
解得：x1＝20，x2＝10，
为使顾客得到较多的实惠，应取x＝20；
（3）不可能，理由如下：
依题意得：
（90﹣x﹣50）（20+2x）＝2000，
整理得：x2﹣30x+600＝0，
Δ＝（﹣30）2﹣4×600＝900﹣2400＝﹣1500＜0，
则原方程无实数解．
则不可能每天盈利2000元．
11．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形的苗圃圆．其中一边靠墙，另外三边用长为的篱笆围成．已知墙长为（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边为，若苗圃园的面积为，求的长度．
【答案】的长度为12米．
【解析】
解：根据题意知，．
∵．
∴的取值范围为：．
设这个苗圃园垂直于墙的一边为，
根据题意得：，
整理，得．
解得：，．
∵．
当时，
∴不合题意，舍去．
∴，即的长度为12米．
答：若苗圃园的面积为192平方米，则的长度为12米．
12．如图所示，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题：
（1）在第n个图形中，每一横行有 块瓷砖，每一竖列有 块瓷砖（均用含n的代数式表示）；
（2）设铺设地面所用瓷砖的总块数为y，请写出与（1）中的的函数表达式（不要求写出自变量n的取值范围）；
（3）按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值；
（4）若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题（3）中，共需花多少元购买瓷砖？
（5）是否存在黑瓷砖与白瓷砖的块数相等的情形？请通过计算说明为什么．
【答案】（1）n+3，n+2；（2）y＝n2+5n+6；（3）20；（4）1604元；（5）不存在黑白瓷砖块数相等的情况，见解析
【解析】
解：（1）观察图形可知，每一横行有 （n+3）块瓷砖，每一竖列有（n+2）块瓷砖．
故答案为：n+3，n+2．
（2）第1个图形有4×3块瓷砖，第2个图形有5×4块瓷砖，第3个图形有6×5块瓷砖，所以可以推出瓷砖的总块数为y=（n+3）（n+2）；
∴y＝（n+2）（n+3）＝n2+5n+6．
（3）当y＝506时，n2+5n+6＝506，即n2+5n﹣500＝0．
解得：n1＝20，n2＝﹣25（舍去）．
∴此时的n值为20．
（4）白瓷砖的块数：n（n+1）＝20×21＝420．
黑瓷砖的块数：506﹣420＝86．
∴共需：86×4+420×3＝1604（元）．
（5）不存在黑白瓷砖块数相等的情况，理由如下：
当黑白瓷砖块数相等时，有：
n（n+1）＝n2+5n+6﹣n（n+1）．
∴n2﹣3n﹣6＝0．
解得：或
∵n是整数．
∴不合题意，故不存在黑白瓷砖块数相等的情形．
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