人教九上培优练：第11课 待定系数法求二次函数的解析式（含解析）

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第11课 待定系数法求二次函数的解析式
题组A 基础过关练
1．若二次函数的图象经过原点，则的值为（ ）
A． B． C． D．或
2．若抛物线的顶点是，且经过点，则抛物线的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知二次函数的图象经过点，且当时，随的增大而减小，则点的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
4．已知二次函数的图象经过点（-1，-5），（0，-4）和（1，1），则这二次函数的表达式为（ ）
A．y=-6x2+3x+4 B．y=-2x2+3x-4
C．y=x2+2x-4 D．y=2x2+3x-4
5．过原点的抛物线的解析式是（ ）
A．y=3x2-1 B．y=3x2+1 C．y=3（x+1）2 D．y=3x2+x
6．二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示：若点A（x1，y1），B（x2，y2）在此函数图象上，x1＜x2＜1，y1与y2的大小关系是
A．y1≤y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1＞y2
7．如果抛物线的对称轴是x＝－3，且开口方向与形状与抛物线y=-2x2相同，又过原点，那么a＝_______，b＝ ______，c＝_________．
8．写出一个二次函数，其图象满足：（1）开口向下；（2）与y轴交于点（0，3），这个二次函数的解析式可以是________．
9．在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求二次函数图象的对称轴．
10．如图，抛物线经过，两点，与轴交于另一点，
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点在抛物线上，求的值．
题组B 能力提升练
1．抛物线y=ax2+bx+c经过点(3，0)和(2，﹣3)，且以直线x=1为对称轴，则它的解析式为（ ）
A．y=﹣x2﹣2x﹣3 B．y=x2﹣2x﹣3 C．y=x2﹣2x+3 D．y=﹣x2+2x﹣3
2．某二次函数的图象与函数y＝x2﹣4x＋3的图象形状相同、开口方向一致，且顶点坐标为（﹣2，1），则该二次函数表达式为（ ）
A．y＝（x﹣2）2＋1 B．y＝（x﹣2）2﹣1
C．y＝（x＋2）2＋1 D．y＝﹣（x＋2）2＋1
3．如图所示是二次函数y＝ax2﹣x+a2﹣4的图象，图象过坐标原点，则a的值是（ ）
A．a＝2 B．a＝﹣2 C．a＝﹣4 D．a＝2或a＝﹣2
4．设函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝1；当x＝6时，y＝6，（ ）
A．若h＝2，则a＜0 B．若h＝3，则a＞0
C．若h＝4，则a>0 D．若h＝5，则a＞0
5．抛物线的图象如下，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系p＝at2+bt+c（a、b、c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）
A．3.50分钟 B．3.75分钟 C．4.00分钟 D．4.25分钟
7．平移二次函数的图象，如果有一个点既在平移前的函数图象上，又在平移后的函数图象上，我们把这个点叫做“关联点”．现将二次函数（c为常数）的图象向右平移得到新的抛物线，若“关联点”为，则新抛物线的函数表达式为_______．
8．定义：对于一个函数，当自变量x取a时，函数y的值也等于a，则称a是这个函数的不动值．已知二次函数．
（1）若﹣2是此函数的不动值，则m的值为______；
（2）若此函数有两个不动值a、b，且，则m的取值范围是______．
9．如图，已知抛物线经过点和点．解答下列问题．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的顶点为，对称抽与轴的交点为，求线段的长；
（3）点在抛物线上运动，是否存在点使的面积等于6？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由．
10．下表给出了代数式与x的一些对应值：
x … 0 1 2 3 4 …
… 3 m －1 0 n …
（1）利用表中所给数值求出a，b，c的值；
（2）直接写出：m＝___，n＝___；
（3）设，则当x取何值时，．
题组C 培优拔尖练
1．如图，已知抛物线经过点，且顶点在直线上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，已知抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，下列结论不正确的是（ ）
A．抛物线的对称轴为直线 B．若，则
C．y的最大值为1 D．若轴交抛物线于点D，则
3．如图，若抛物线y＝ax2与四条直线x＝1、x＝2、y＝1、y＝2围成的正方形有公共点，则a的取值范围（ ）
A．≤a≤2 B．≤a≤2 C．≤a≤1 D．≤a≤1
4．二次函数的部分图象如图所示，则下列说法：
①abc>0；②2a+b=0；③a(x+1)(x-3)=0；④2c-3b=0．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，直线与y轴交于点A，与直线交于点B，若抛物线的顶点在直线上移动，且与线段、都有公共点，则h的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．抛物线经过点，且与轴交于点．若，则该抛物线解析式为（ ）
A． B．或
C． D．或
7．若二次函数的图象经过点A（3，0），与y轴交于点B，则a的值是______，若点P是该抛物线对称轴上的一动点，且△APB是以AB为直角边的直角三角形，则点P的坐标为_______．
8．已知抛物线经过点．若点在该抛物线上，且，则n的取值范围为______．
9．如图，抛物线（a＞0）交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），交y轴于点C，作直线BC．
（1）若OB＝OC，求抛物线的表达式；
（2）P是线段BC下方抛物线上一个动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交线段BC于点E．若EB＝EC＝EP，求a的值．
10．如图,在坐标系中△ABC是等腰直角三角形,∠BAC =90°,A(1, 0),B(0, 2),抛物线的图象过点（2，-1）及点C.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求点C的坐标
（3）点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使以P，A，C，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.
题组A 基础过关练
1．若二次函数的图象经过原点，则的值为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【详解】解：把代入
可得：，
解得：，
故选：B．
2．若抛物线的顶点是，且经过点，则抛物线的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：∵抛物线顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），
∴设抛物线的函数关系式是y=a（x-2）2+1，
把B点的坐标代入得：0=a（1-2）2+1，
解得：a=-1，
即抛物线的函数关系式是y=-（x-2）2+1，即y=-x2+4x-3．
故选：B．
3．已知二次函数的图象经过点，且当时，随的增大而减小，则点的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵二次函数，当时，随的增大而减小，，
∴，
A．当时，，解得：，此选项不符合题意；
B．当时，，解得：，此选项符合题意；
C．当时，，解得：，此选项不符合题意；
D．当时，，解得，此选项不符合题意，
故选：B．
4．已知二次函数的图象经过点（-1，-5），（0，-4）和（1，1），则这二次函数的表达式为（　　）
A．y=-6x2+3x+4 B．y=-2x2+3x-4
C．y=x2+2x-4 D．y=2x2+3x-4
【答案】D
【详解】解：设所求函数的解析式为y=ax2+bx+c，
把（-1，-5），（0，-4），（1，1）分别代入，
得：解得
所求的函数的解析式为y=2x2+3x-4．
故选D
5．过原点的抛物线的解析式是（ 　 ）
A．y=3x2-1 B．y=3x2+1 C．y=3（x+1）2 D．y=3x2+x
【答案】D
【详解】A、当时，，不符合题意；
B、当时，，不符合题意；
C、当时，，不符合题意；
D、当时，，符合题意；
故选：D．
6．二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示：若点A（x1，y1），B（x2，y2）在此函数图象上，x1＜x2＜1，y1与y2的大小关系是
A．y1≤y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1＞y2
【答案】B
【详解】∵二次函数y=﹣x2+bx+c的a=－1＜0，对称轴x=1，
∴当x＜1时，y随x的增大而增大.
∵x1＜x2＜1，∴y1＜y2.
故选B.
7．如果抛物线的对称轴是x＝－3，且开口方向与形状与抛物线y= -2 x2相同，又过原点，那么a＝_______，b＝ ______，c＝_________．
【答案】 -2 -12 0
【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+c的开口方向，形状与抛物线y=-2x2相同，
∴a=-2，
∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=-3，
∴-=-3，即-=-3，解得b=-12；
∵抛物线过原点，
∴c=0．
故答案为：-2，-12；0．
8．写出一个二次函数，其图象满足：（1）开口向下；（2）与y轴交于点（0，3），这个二次函数的解析式可以是________．
【答案】
【详解】解： ∵二次函数图象开口向下，
∴二次项系数，
∵与y轴交于点（0，3），
∴常数项，
∴这个二次函数的解析式可以是．
故答案为：．
9．在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求二次函数图象的对称轴．
【答案】（1）；（2）直线
【详解】解：（1）∵二次函数y＝x2－2mx＋5m的图象经过点(1，－2)，
∴－2＝1－2m＋5m，
解得；
∴二次函数的表达式为y＝x2＋2x－5．
（2）二次函数图象的对称轴为直线；
故二次函数的对称轴为：直线；
10．如图，抛物线经过，两点，与轴交于另一点，
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点在抛物线上，求的值．
【答案】（1）；（2）或．
【详解】解：（1）把，代入，
得：，
解得：，
抛物线的解析式为：．
（2）把代入，
得：，
解得：，．
的值为或．
题组B 能力提升练
1．抛物线y=ax2+bx+c经过点(3，0)和(2，﹣3)，且以直线x=1为对称轴，则它的解析式为（ ）
A．y=﹣x2﹣2x﹣3 B．y=x2﹣2x﹣3 C．y=x2﹣2x+3 D．y=﹣x2+2x﹣3
【答案】B
【详解】解：把(3，0)与(2， 3)代入抛物线解析式得：
，
由直线x=1为对称轴，得到=1，即b= 2a，
代入方程组得：，
解得：a=1，b= 2，c= 3，
则抛物线解析式为y=x2 2x 3，
故选：B．
2．某二次函数的图象与函数y＝x2﹣4x＋3的图象形状相同、开口方向一致，且顶点坐标为（﹣2，1），则该二次函数表达式为（ ）
A．y＝（x﹣2）2＋1 B．y＝（x﹣2）2﹣1
C．y＝（x＋2）2＋1 D．y＝﹣（x＋2）2＋1
【答案】C
【详解】解：设二次函数的解析式为，
∵二次函数的图像顶点坐标为（﹣2，1），
∴二次函数的解析式为，
∵二次函数的图象与函数y＝x2﹣4x＋3的图象形状相同、开口方向一致，
∴二次函数的解析式为：，
故选：C．
3．如图所示是二次函数y＝ax2﹣x+a2﹣4的图象，图象过坐标原点，则a的值是（　　）
A．a＝2 B．a＝﹣2 C．a＝﹣4 D．a＝2或a＝﹣2
【答案】A
【详解】解：根据图象可得：
抛物线的开口方向向上， ，
把点（0，0）代入，
得，
解得或（舍去），
∴．
故选：A．
4．设函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝1；当x＝6时，y＝6，（　　）
A．若h＝2，则a＜0 B．若h＝3，则a＞0
C．若h＝4，则a>0 D．若h＝5，则a＞0
【答案】B
【详解】解：当x＝1时，y＝1；当x＝6时，y＝6；代入函数式得：，
∴a（6﹣h）2﹣a（1﹣h）2＝5，
整理得：a（7﹣2h）＝1，
A、若h＝2，则，选项说法错误，不符合题意；
B、若h＝3，则a＝1>0，选项说法正确，符合题意；
C、若h＝4，则，选项说法错误，不符合题意；
D、若h＝5，则，选项说法错误，不符合题意；
故选B．
5．抛物线的图象如下，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题图可知抛物线开口向下，且与x轴的交点为，由交点式设抛物线的解析式为，对比选项可知，选项A、B、C无法提取公因式后得到的形式，而D选项中．故选D．
6．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系p＝at2+bt+c（a、b、c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（　　）
A．3.50分钟 B．3.75分钟 C．4.00分钟 D．4.25分钟
【答案】B
【详解】解：根据题意，将（3，0.7）、（4，0.8）、（5，0.5）代入p＝at2+bt+c，
得：，
解得：，
即p＝﹣0.2t2+1.5t﹣2，
当t＝﹣＝3.75时，p取得最大值，
故选：B．
7．平移二次函数的图象，如果有一个点既在平移前的函数图象上，又在平移后的函数图象上，我们把这个点叫做“关联点”．现将二次函数（c为常数）的图象向右平移得到新的抛物线，若“关联点”为，则新抛物线的函数表达式为_______．
【答案】
【详解】解：将（1，2）代入y=x2+2x+c，得12+2×1+c=2，
解得c=-1．
设将抛物线y=x2+2x-1=（x+1）2-2，向右平移m个单位，则平移后的抛物线解析式是y=（x+1-m）2-2，
将（1，2）代入，得（1+1-m）2-2=2．
整理，得2-m=±2．
解得m1=0（舍去），m2=4．
故新抛物线的表达式为y=（x-3）2-2．
故答案是：．
8．定义：对于一个函数，当自变量x取a时，函数y的值也等于a，则称a是这个函数的不动值．已知二次函数．
（1）若﹣2是此函数的不动值，则m的值为______；
（2）若此函数有两个不动值a、b，且，则m的取值范围是______．
【答案】
【详解】解：（1）由定义得，，
故答案为：；
（2）∵函数有两个不动值a、b，且，
∴a、b是方程的两根，即是方程两根，
∴，，
由得，
，
整理得，，
即，
所以．
故答案为：．
9．如图，已知抛物线经过点和点．解答下列问题．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的顶点为，对称抽与轴的交点为，求线段的长；
(3)点在抛物线上运动，是否存在点使的面积等于6？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点的坐标为：或或或
【详解】(1)解：∵抛物线经过点，，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式是．
(2)∵，
∴抛物线的对称轴为：，顶点，
∵，
∴，
∴，，
∴．
(3)存在，理由如下：
设，则点的纵坐标为，
∵，，
∴，
∵的面积等于6，
∴，
∴，
①当时，解得，；
②当时，解得，．
∴存在点使的面积等于6．点的坐标为：或或或．
10．下表给出了代数式与x的一些对应值：
x … 0 1 2 3 4 …
… 3 m －1 0 n …
(1)利用表中所给数值求出a，b，c的值；
(2)直接写出：m＝___，n＝___；
(3)设，则当x取何值时，．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】(1)解：设，根据图表，将分别代入
得
解得
(2)解：由（1）可知，将代入得，则；
将代入得，则，
故，
(3)解：由（1）、（2）可知抛物线与轴交点分别为(1，0)，(3，0)，抛物线开口向上，所以当时，．
题组C 培优拔尖练
1．如图，已知抛物线经过点，且顶点在直线上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】∵抛物线经过点，且顶点在直线
∴a-b+c=0①
- =1②
解得：b=-2a，c=-3a，
∴
故选：B
2．如图，已知抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，下列结论不正确的是（ ）
A．抛物线的对称轴为直线 B．若，则
C．y的最大值为1 D．若轴交抛物线于点D，则
【答案】B
【详解】解：A、根据抛物线与x轴交于点、，可得出对称轴，该选项不符合题意；
B、根据抛物线的对称轴为，开口向下可知：
当时，随增大而增大；当时，随增大而减小，
所以当，无法判断与的大小，该选项符合题意；
C、根据抛物线与x轴交于点、，
可设交点式，再根据抛物线与y轴交于点，
代值求解得，
即抛物线表达式为，
当时，的最大值为1，该选项不符合题意；
D、若轴交抛物线于点D，则、关于对称轴对称，从而得到，则，该选项不符合题意；
故选：B．
3．如图，若抛物线y＝ax2与四条直线x＝1、x＝2、y＝1、y＝2围成的正方形有公共点，则a的取值范围（ ）
A．≤a≤2 B．≤a≤2 C．≤a≤1 D．≤a≤1
【答案】A
【详解】解：把(1,2)代入y=ax2得a=2，
把点(2,1)代入y=ax2得，
则a的范围介于这两点之间，故，
故选：A．
4．二次函数的部分图象如图所示，则下列说法：①abc>0；②　2a+b=0；③　a(x+1)(x-3)=0；④　2c-3b=0．其中正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】解：如图，由抛物线过，对称轴为 根据对称性得到抛物线的图像经过
①图象开口向下， ∴a＜0，
与y轴交于正半轴， ∴c＞0，
对称轴在y轴右侧， ∴b＞0，
则abc＜0，故①错误；
②对称轴 解得，2a+b=0，故②正确；
③由抛物线与轴的交点坐标为：，
所以函数解析式为：y=a（x+1）（x-3），
所以y的值是不断变化的，故③错误；
④∵抛物线与x轴交于（-1，0）和（3，0），
∴a-b+c=0，9a+3b+c=0，
两式相加得，10a+2b+2c=0，
又b=-2a，
，
∴2c-3b=0，故④正确．
故选：．
5．如图，直线与y轴交于点A，与直线交于点B，若抛物线的顶点在直线上移动，且与线段、都有公共点，则h的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵将与联立得：，
解得：．
∴点B的坐标为（ 2，1），
由抛物线的解析式可知抛物线的顶点坐标为（h，k），
∵将x＝h，y＝k，代入得y＝ x得： h＝k，解得k＝ h，
∴抛物线的解析式为y＝（x h）2 h，
如图1所示：当抛物线经过点C时，
将C（0，0）代入y＝（x h）2 h得：h2 h＝0，解得：h1＝0（舍去），h2＝；
如图2所示：当抛物线经过点B时，
将B（ 2，1）代入y＝（x h）2 h得：（ 2 h）2 h＝1，整理得：2h2＋7h＋6＝0，解得：h1＝ 2，h2＝ （舍去）．
综上所述，h的范围是 2≤h≤，即 2≤h≤
故选：B．
6．抛物线经过点，且与轴交于点．若，则该抛物线解析式为（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】D
【详解】设抛物线的解析式为
∵
∴抛物线和y轴交点的为（0,2）或（0，-2）
①当抛物线和y轴交点的为（0,2）时，得
解得
∴抛物线解析式为，即
②当抛物线和y轴交点的为（0，-2）时，
解得
∴抛物线解析式为，即
故选D．
7．若二次函数的图象经过点A（3，0），与y轴交于点B，则a的值是______，若点P是该抛物线对称轴上的一动点，且△APB是以AB为直角边的直角三角形，则点P的坐标为_______．
【答案】 2 （2，）或（2，）
【详解】解：∵二次函数经过点A（3，0），
∴，
∴
对，当x=0时，y=-9，
∴点B坐标为（0，-9），
抛物线的对称轴是直线：，
设点P的坐标为（2，m），
∴，，，
当∠ABP=90°时，则，
∴，
解得，
∴点P的坐标为（2，）；
当∠BAP=90°时，则，
∴，
解得，
∴点P的坐标为（2，）；
综上所述，点P的坐标为（2，）或（2，）；
故答案为：2；（2，）或（2，）；
8．已知抛物线经过点．若点在该抛物线上，且，则n的取值范围为______．
【答案】
【详解】解：将代入中得到：，
解得，
∴抛物线的对称轴为直线，且开口向上，
根据“自变量离对称轴越远，其对应的因变量越大”可知，
当时，对应的最大为：，
当时，对应的最小为：，
故n的取值范围为：，
故答案为：．
9．如图，抛物线（a＞0）交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），交y轴于点C，作直线BC．
(1)若OB＝OC，求抛物线的表达式；
(2)P是线段BC下方抛物线上一个动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交线段BC于点E．若EB＝EC＝EP，求a的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：∵OB＝OC，
∴C（0，﹣3），
把A，B，C代入中，
得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图，连接BC，
∵EB＝EC，
∴E是BC的中点，
∴E的坐标为（，），
∴P的横坐标为，
把A，B代入中，
得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
把x＝代入，得y＝，
∴P（，），
∴EP＝＝，
解得a＝，
∴a的值为．
10．如图,在坐标系中△ABC是等腰直角三角形,∠BAC =90°,A(1, 0),B(0, 2),抛物线的图象过点（2，-1）及点C.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)求点C的坐标
(3)点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使以P，A，C，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)（3，1）
(3)满足条件的P点只有一个，为(-2，1)
【详解】（1）把点（2，-1）代入得=
∴该抛物线的解析式为
（2）过点C作CD垂直轴于点D
∵△ABC是等腰直角三角形,∠BAC =90°
∴BA=AC，∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，
∴∠1=∠3
∴△BOA≌△ADC
∴OA=DC，BO=AD
∵A(1,0),B(0,2),
∴OA=DC=1，BO=AD=2
∴点C的坐标为（3,1）
（3）
分别过A, B, C三点作对边的平行线，交于P1 、P2 、P3
①当AP//BC,且AP = BC时，如图:
将点C向下平移1个单位向左平移2个单位与点A重合，点B也向下平移1个单位向左平移2个单位与点P1重合，则P1(-2,1)，
经检验:点P1在抛物线上，
故P1满足条件，
②当BP//AC,且BP=AC时:由平移可得则P2(2,3)，
经检验，P2不在抛物线上；
③当CP//AB,且CP=AB时，由平移可得则P3(4,-1)，
经分析，点P3不在抛物线上，不合题意.
综上所述，满足条件的P点只有一个，为(-2,1).
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