检测05 函数的概念与性质（能力卷）
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（23-24高一上·安徽淮北·期中）下列各组函数是同一组函数的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
2．（22-23高三上·福建福州·阶段练习）已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知是幂函数，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
4．（24-25高三上·山西朔州·阶段练习）已知函数是定义域为的奇函数，当时，.若，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
5．（22-23高一上·江苏镇江·期中）已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．函数的减区间
B．函数在上单调递减
C．函数在上单调递增
D．函数的增区间是
6．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知，其中，若，则正实数t取值范围（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
7．（24-25高三上·四川南充·开学考试）已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知且，若函数的值域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（22-23高三上·福建龙岩·期中）设函数f（x）的定义域为R，且函数的图像关于直线对称，函数的图像关于点（3，0）对称，则下列说法正确的是（ ）
A．4是f（x）的周期 B．
C． D．
10．（24-25高三上·新疆省直辖县级单位·开学考试）已知奇函数的定义域为，若，则（ ）
A． B．的图象关于直线对称
C． D．的一个周期为
11．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）已知函数下列命题正确的是（ ）
A．的值域为
B．
C．若函数在上单调递减，则的取值范围为
D．若在上单调递减，则的取值范围为
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知幂函数的图象经过点，求 ．
13．（2024高三·北京·专题练习）已知是二次函数，且，，则 ．
14．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且，若对任意的，当时，有成立，则不等式的解集为 ．
四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (13分) （2023高一·全国·专题练习）求函数的值域．
16. (15分) （2024高一·全国·专题练习）已知，求的解析式．
17. (15分) （2024高一上·江苏·专题练习）函数是上的奇函数，且当时，函数的解析式为.
(1)求的值；
(2)用定义证明在上是减函数；
(3)当时，求函数的解析式.
18. (17分) （23-24高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知函数.
(1)证明:函数在区间上单调递减;
(2)当时，求函数的值域.
19. (17分) （23-24高一上·江西上饶·期末）随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.上饶市医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台.每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.
(1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润=销售收入-成本）；
(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大 最大利润是多少
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C D D C A C A AC ACD
题号 11
答案 BCD
1．C
【分析】根据题意，利用同一函数的判定方法，结合函数的定义域与对应关系，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由函数的定义为，
函数的定义域为 ，
两个函数的定义域不同，所以不是同一组函数，所以A不符合题意；
对于B中，由函数与函数，
其中两个函数的定义域不同，所以不是同一组函数，所以B不符合题意；
对于C中，函数与，两个函数的定义域与对应关系都相同，
所以两个函数是同一组函数，所以C符合题意；
对于D中，函数的定义域为，函数的定义域为，
两个函数的定义域不同，所以不是同一组函数，所以D不符合题意.
故选：C.
2．C
【分析】把带入求值即可.
【详解】由，
则.
又，所以.
故选：C
3．D
【分析】根据函数是幂函数求出参数，再求函数值即可.
【详解】因为是幂函数，所以，解得，则，
所以.
故选：D.
4．D
【分析】根据二次函数的单调性，结合奇函数的性质可得在上单调递增，即可得求解.
【详解】当时，的对称轴为，故在上单调递增.
函数在处连续，又是定义域为的奇函数，故在上单调递增.
因为，由，可得，
又因为在上单调递增，所以，解得.
故选：D
5．C
【分析】利用图象的变换知识作出的图象，可得单调区间，进而可得答案.
【详解】由，作出函数的图象，
利用图象的变换可得，如图所示：
所以函数在和上单调递减，在和上单调递增.
故选：C.
6．A
【分析】根据给定条件，分段求解不等式即可.
【详解】令，解得，
当时，，，即，且，解得；
当时，，，即，且，解得，
当时，， ，而为正实数，则此种情况无解，
所以正实数的取值范围为或.
故选：A
7．C
【分析】由题意求出的定义域，结合函数列出相应不等式组，即可求得答案.
【详解】由题意可知函数的定义域为，即，
故，则的定义域为，
则对于，需满足，
即的定义域为，
故选：C
8．A
【分析】利用对数函数和指数函数的单调性，对进行分类讨论，可得答案.
【详解】的值域为，且，
当时，
则，为增函数，，
而时，为增函数，
此时，，不符题意；
当时，
则，为减函数，，
而时，为减函数，
此时，，
因为的值域为，当且仅当时，满足题意，
此时，，则，整理得，，解得；
综上，时满足题意.
故选：A
9．AC
【分析】首先利用轴对称、中心对称的公式，化简条件，然后利用赋值法即可求解.
【详解】关于对称，则有，令，
可得，令，得①.又的图像关于点对称，可得②，
联立①②，可得，故A正确；，令得，故C正确.
对于BD，例如，该函数符合AC，但是代入BD条件时，均不满足，故BD错误.
故选：AC
10．ACD
【分析】由奇函数可得，再根据函数的周期性与对称性分别判断.
【详解】对于A，由定义域为且函数为奇函数，可得，A选项正确；
对于B，由，可得，则函数关于直线对称，B选项错误；
对于C，由以及奇函数性质可知，
可得，即可得，即C选项正确；
对于D，根据C中的结论可知，
即可得，函数的一个周期为，D选项正确；
故选：ACD.
11．BCD
【分析】由已知结合二次函数及分段函数的值域可判断AB；由二次函数的性质可判断C；由分段函数的单调性可判断D，则可得出结果.
【详解】当时，，
当时，，
所以，B正确，A错误．
若函数在上单调递减，则的取值范围为，C正确．
若在上单调递减，则，解得的取值范围为，D正确．
故选：BCD.
12．
【分析】设幂函数为，根据题意求得，得到，代入即可求解.
【详解】设幂函数为，
因为幂函数的图象经过点，可得，解得，即，
所以.
故答案为：.
13．
【分析】根据题意，利用待定系数，设，准确运算，即可求解.
【详解】设，
因为，可得，
又因为，可得，
即，所以,
解得，所以．
故答案为：.
14．
【分析】根据给定条件，求出函数的单调性、奇偶性，再利用性质解不等式.
【详解】令，由是定义在R上的奇函数，得，则为偶函数，
由对任意的，当时，有成立，
得在上单调递减，
因此函数在上单调递增，由，得，
不等式，因此，解得或，
所以不等式的解集为.
故答案为：
15．
【分析】根据分式函数的特点，因定义域为，可将其化成关于的一元二次方程恒有实根的情况，通过根的判别式即可求得函数的值域.
【详解】因为恒成立，故，
则由可得，，
当时，，适合题意；
当时，由于，故恒有实数根，
故，解得且，
综上可得，的值域为.
16．
【分析】可由配凑法等式右边用表达或换元法令求解；
【详解】法一：把的右边配成的表达式，
即，然后整体换成，
得：，
故的解析式为：．
法二：令，得代入得：
，
然后t换成x即，
故的解析式为：
17．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）先求，然后结合奇函数定义可求；
（2）设，然后利用作差法比较与的大小即可判断；
（3）先设时，，根据已知函数式及奇函数定义可求.
【详解】（1）因为时，函数的式为，
所以，
因为为上的奇函数，
所以；
（2）证明：设，则，
所以，
因为时，，
则，
所以，
所以在上是减函数；
（3）当时，，
则，
所以.
18．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）利用函数单调性定义，推理论证即可.
（2）利用（1）的结论，利用单调性求出函数值域.
【详解】（1）函数，，
则，
当时，，则，即，
所以函数在区间上单调递减.
（2）由（1）知，函数在上单调递减，则，
而，所以函数的值域为.
19．(1)
(2)该产品的年产量为35（台）时所获利润最大，最大利润为2050（万元）
【分析】（1）由已知条件，根据销售收入和成本计算利润；
（2）由利润的函数解析式，结合函数性质和基本不等式，求最大值.
【详解】（1）由题意可得，
所以.
（2）当时，，
当时，取最大值，（万元）；
当时，，
当且仅当，即时，等号成立，即（万元），因为，
故当该产品的年产量为35（台）时所获利润最大，最大利润为2050（万元）.检测05 函数的概念与性质（能力卷）
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（23-24高一上·安徽淮北·期中）下列各组函数是同一组函数的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
2．（22-23高三上·福建福州·阶段练习）已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知是幂函数，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
4．（24-25高三上·山西朔州·阶段练习）已知函数是定义域为的奇函数，当时，.若，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
5．（22-23高一上·江苏镇江·期中）已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．函数的减区间
B．函数在上单调递减
C．函数在上单调递增
D．函数的增区间是
6．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知，其中，若，则正实数t取值范围（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
7．（24-25高三上·四川南充·开学考试）已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知且，若函数的值域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（22-23高三上·福建龙岩·期中）设函数f（x）的定义域为R，且函数的图像关于直线对称，函数的图像关于点（3，0）对称，则下列说法正确的是（ ）
A．4是f（x）的周期 B．
C． D．
10．（24-25高三上·新疆省直辖县级单位·开学考试）已知奇函数的定义域为，若，则（ ）
A． B．的图象关于直线对称
C． D．的一个周期为
11．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）已知函数下列命题正确的是（ ）
A．的值域为
B．
C．若函数在上单调递减，则的取值范围为
D．若在上单调递减，则的取值范围为
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知幂函数的图象经过点，求 ．
13．（2024高三·北京·专题练习）已知是二次函数，且，，则 ．
14．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且，若对任意的，当时，有成立，则不等式的解集为 ．
四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (13分) （2023高一·全国·专题练习）求函数的值域．
16. (15分) （2024高一·全国·专题练习）已知，求的解析式．
17. (15分) （2024高一上·江苏·专题练习）函数是上的奇函数，且当时，函数的解析式为.
(1)求的值；
(2)用定义证明在上是减函数；
(3)当时，求函数的解析式.
18. (17分) （23-24高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知函数.
(1)证明:函数在区间上单调递减;
(2)当时，求函数的值域.
19. (17分) （23-24高一上·江西上饶·期末）随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.上饶市医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台.每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.
(1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润=销售收入-成本）；
(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大 最大利润是多少
