检测04 一元二次函数、方程和不等式（能力卷）
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（24-25高一上·吉林·阶段练习）已知对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一上·云南文山·阶段练习）若，，，则ab的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·江苏南通·模拟预测）设为实数，满足，则的最大值为（ ）
A．27 B．24 C．12 D．32
4．（24-25高一上·河南驻马店·开学考试）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
5．（23-24高二下·天津红桥·期末）已知，且，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
6．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知，则下列命题正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（24-25高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知，，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·辽宁·二模）已知正实数，记，则的最小值为（ ）
A． B．2 C．1 D．
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（24-25高一上·广西·开学考试）已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（24-25高一上·新疆·阶段练习）已知为正实数，，则（ ）
A．的最大值为 B．的最小值
C．的最小值为2 D．的最小值为
11．（23-24高二下·重庆·期末）已知实数，满足，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（24-25高一上·全国·随堂练习）若命题“，”为真命题，则实数m的取值范围是 .
13．（2024高一上·江苏·专题练习）已知正实数，满足，则的最小值是 ．
14．（2024·河北邯郸·三模）记表示x，y，z中最小的数．设，，则的最大值为 ．
四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (13分)（2024高一·全国·专题练习）
已知实数x，y满足，，求的取值范围．
16. (15分) （24-25高一上·吉林·阶段练习）已知.
(1)解关于的不等式；
(2)若不等式的解集为，求实数的值.
17. (15分) （23-24高一上·贵州·阶段练习）解答下列各题.
(1)若，求的最大值.
(2)若正数，满足，求的最小值.
18. (17分) （23-24高一上·上海浦东新·期中）问题：正实数a，b满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题：
(1)若正实数x，y满足，求的最小值；
(2)若实数a，b，x，y满足，求证：；
(3)求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值.
19. (17分) （23-24高一上·江苏南通·开学考试）设二次函数.
(1)若对任意实数恒成立，求实数的取值范围；
(2)若存在，使得函数值成立，求实数的取值范围.检测04 一元二次函数、方程和不等式（能力卷）
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（24-25高一上·吉林·阶段练习）已知对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一上·云南文山·阶段练习）若，，，则ab的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·江苏南通·模拟预测）设为实数，满足，则的最大值为（ ）
A．27 B．24 C．12 D．32
4．（24-25高一上·河南驻马店·开学考试）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
5．（23-24高二下·天津红桥·期末）已知，且，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
6．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知，则下列命题正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（24-25高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知，，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·辽宁·二模）已知正实数，记，则的最小值为（ ）
A． B．2 C．1 D．
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（24-25高一上·广西·开学考试）已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（24-25高一上·新疆·阶段练习）已知为正实数，，则（ ）
A．的最大值为 B．的最小值
C．的最小值为2 D．的最小值为
11．（23-24高二下·重庆·期末）已知实数，满足，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（24-25高一上·全国·随堂练习）若命题“，”为真命题，则实数m的取值范围是 .
13．（2024高一上·江苏·专题练习）已知正实数，满足，则的最小值是 ．
14．（2024·河北邯郸·三模）记表示x，y，z中最小的数．设，，则的最大值为 ．
四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (13分)（2024高一·全国·专题练习）
已知实数x，y满足，，求的取值范围．
16. (15分) （24-25高一上·吉林·阶段练习）已知.
(1)解关于的不等式；
(2)若不等式的解集为，求实数的值.
17. (15分) （23-24高一上·贵州·阶段练习）解答下列各题.
(1)若，求的最大值.
(2)若正数，满足，求的最小值.
18. (17分) （23-24高一上·上海浦东新·期中）问题：正实数a，b满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题：
(1)若正实数x，y满足，求的最小值；
(2)若实数a，b，x，y满足，求证：；
(3)求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值.
19. (17分) （23-24高一上·江苏南通·开学考试）设二次函数.
(1)若对任意实数恒成立，求实数的取值范围；
(2)若存在，使得函数值成立，求实数的取值范围.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D A D A A C A AC ABC
题号 11
答案 ABD
1．A
【分析】由根的判别式得到不等式，求出实数的取值范围.
【详解】，解得，
故实数的取值范围为.
故选：A
2．D
【分析】根据题意利用基本不等式可得，以为整体，解一元二次不等式即可.
【详解】因为，，由基本不等式可得，
即，解得或（舍去），即，
当且仅当，即时，等号成立，
故ab的取值范围是．
故选：D．
3．A
【分析】根据不等式的基本性质计算即可求解.
【详解】由，得，
又，所以，
所以，即，
所以的最大值为27.
故选：A
4．D
【分析】分和两种情况，结合不等式恒成立求参数的取值范围.
【详解】当时，不等式为对一切实数都成立，符合题意，
当时，要使得不等式对一切实数都成立，
则，解得，
综上所述，的取值范围为.
故选：D．
5．A
【分析】由得，得到，进而，所以，由均值不等式求得最小值.
【详解】因为且，所以，所以，所以，
所以，所以，
所以，
当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为，
故选：A.
6．A
【分析】由，结合不等式性质，即可判断A；结合不等式性质利用反例当时，可得选项B错误；利用作差法比大小来判断C、D的正误，即得结果.
【详解】选项A，因为，则，所以，故A正确；
选项B，当时，由，则，故B错误；
选项C，若，则，所以，故C错误；
选项D，若，则，故，故D错误.
故选：A.
7．C
【分析】由题意可得，利用换元法可将原式变形再利用基本不等式即可求得结果.
【详解】由可得，且
因此，
令，则；
又；
当且仅当时，即时，等号成立；
此时的最小值为.
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题关键在于将未知数个数减少，并合理变形利用基本不等式求解.
8．A
【分析】由已知得出，结合得出，根据基本不等式即可求解．
【详解】由得，，
所以，即，
因为，所以，
因为，当且仅当时等号成立，
所以，，当且仅当，即时，等号成立，
故选：A．
【点睛】关键点睛：当时，有；即且，两式相乘，进而得出最小值．
9．AC
【分析】由不等式的性质逐个判断即可.
【详解】对于A，由，得，所以，所以，则A正确；
对于B，当时，，则B错误；
对于C，由，得，所以，则C正确；
对于D，当时，，此时，则D错误.
故选：AC
10．ABC
【分析】运用可判断A项；由结合基本不等式可判断B项；运用可判断C项；由，结合二次函数在区间上的最小值可判断D.
【详解】，当且仅当时取“=”，故A正确；
，当且仅当时取“=”，故B正确；
由，当且仅当时取“=”，故C正确；
，
当且仅当时取“=”，故D错误；
故选：ABC
11．ABD
【分析】先设，然后代入，最后根据判别式即可判断A，对直接使用基本不等式即可判断B，通过特殊值，即可判断C，通过对变形，即，然后使用基本不等式即可判断D.
【详解】设，代入得，
化简得，所以，解得，
，选项A正确；
当时，由，得，
, 解得，当且仅当时成立，选项B正确；
由，得时，，
，解得，选项C错误；
由，得，
,
解得，当且仅当时取等号， 选项D正确；
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：解决A的关键是通过换元结合判别式法计算，解决BD关键是通过基本不等式放缩，解决C的关键是通过特殊值证明不成立.
12．或
【分析】根据题意可知，运算求解即可.
【详解】若命题“，”为真命题，
则，解得或，
所以实数m的取值范围是或.
故答案为：或.
13．
【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式“1”的妙用求解即得.
【详解】正实数，满足，
则
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是.
故答案为：
14．2
【分析】分是否大于进行讨论，由此即可简化表达式，若，则可以得到，并且存在，，使得，，同理时，我们可以证明，由此即可得解.
【详解】若，则，此时，
因为，所以和中至少有一个小于等于2，
所以，又当，时，，
所以的最大值为2．
若，则，此时，
因为，所以和中至少有一个小于2，
所以．
综上，的最大值为2．
故答案为：2.
【点睛】关键点点睛：关键是分是否大于进行讨论，结合不等式的性质即可顺利得解.
15．．
【分析】设，求得的值，进而求得正确答案.
【详解】设，即，
于是解得，所以．
因为，，所以，，
所以，所以的取值范围是．
16．(1)
(2)
【分析】（1）化简为，求出的两根，得到不等式解集；
（2）得到的两根为，由韦达定理得到方程，求出的值.
【详解】（1），即，
其中，的两根为，
故的解集为
（2），即的解集为，
故的两根为，
则，，
解得.
17．(1)
(2)16
【分析】（1）将变形为，利用基本不等式计算可得结果；
（2）根据基本不等式中“1”的应用代入计算可得结果.
【详解】（1）因为，所以，
所以，
当且仅当时，即时取等号.
故的最大值为.
（2），且，
所以，
即的最小值为，
当且仅当，即，时取等号
18．(1)
(2)证明见解析
(3)时，取得最小值．
【分析】（1）利用“1”的代换凑配出积为定值，从而求得和的最小值；
（2）利用已知，，然后由基本不等式进行放缩：，再利用不等式的性质得出大小．并得出等号成立的条件．
（3）令，，构造，即以，即，然后利用（2）的结论可得．
【详解】（1）因为,，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是．
（2），
又，当且仅当时等号成立，
所以，
所以，当且仅当且同号时等号成立．此时满足.
（3）令，，由得，
，
又，所以，
构造，
由，可得，因此，
由（2）知，
取等号时，且同正，
结合，解得，即，．
所以时，取得最小值．
【点睛】本题考查用基本不等式求最小值，考查方法的类比：“1”的代换．解题关键是“1”的代换，即利用，从而借助基本不等式得出大小关系，同时考查新知识（新结论）的应用，考查了学生的灵活运用数学知识的能力．对学生的创新性思维要求较高，本题属于难题．
19．(1)
(2)
【分析】(1)转化自变量，为参数，根据已知条件列方程式即可求解；
(2)若存在，使得成立，经变形后，只需要其最小值满足条件即可，根据不等式性质求出最小值，即可求出的取值范围.
【详解】（1）对任意实数恒成立，
即对任意实数恒成立，
因为是关于的一次函数，
所以
所以实数的取值范围是；
（2）存在，使得成立，即，
只需成立，即需成立，
因为
所以（当且仅当时等号成立），
则，
所以，
综上得实数的取值范围是：.
