检测06 函数的概念与性质（能力卷）
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（23-24高一上·黑龙江大庆·阶段练习）若函数为幂函数，且在区间上单调递增，则（ ）
A． B．3 C．或3 D．2或
2．（2024高三·北京·专题练习）下列各组中的两个函数是同一函数的是（ ）
①，；②，；③，；④，．
A．①② B．②③ C．③ D．③④
3．（2024·广东惠州·模拟预测）下列函数是奇函数，且在定义域内单调递增是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高三·全国·专题练习）已知，若的解集为，则函数的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高一上·江苏·专题练习）对于中的任意，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
6．（2024·四川德阳·模拟预测）已知函数的定义域为，且，则（ ）
A．0 B．1 C．2024 D．2025
7．（23-24高二下·浙江绍兴·期末）已知函数的定义域为，对定义域内任意的，当时，都有，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．函数和在上有相同的单调性
8．（23-24高三下·江苏镇江·开学考试）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数．令函数若存在唯一的整数，使得不等式成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）下列各组函数是同一个函数的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
10．（2025·吉林长春·一模）定义在的函数满足，且当时，，则（ ）
A．是奇函数 B．在上单调递增
C． D．
11．（23-24高一上·陕西宝鸡·期末）若函数在时，值域也为，则称为的“保值区间”.下列结论正确的是（ ）
A．函数不存在保值区间
B．函数有无数多个保值区间
C．若函数存在保值区间，则
D．若函数存在保值区间，则
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（24-25高二上·浙江杭州·开学考试）已知幂函数的图象关于轴对称，则实数的值是 ．
13．（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）已知函数的图象关于点成中心对称图形，，则实数的取值范围是 .
14．（24-25高三上·湖南常德·开学考试）设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是 .
四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (13分) （23-24高一上·山东聊城·阶段练习）已知，．
(1)求的定义域；
(2)求，的值，的值域
16. (15分) （24-25高一上·广东梅州·开学考试）（1）已知，，求的值域．
（2）已知，求的值域．
17. (15分) （24-25高二上·浙江杭州·阶段练习）已知函数满足，且在上有最大值.
(1)求，的值；
(2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
18. (17分) （23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数.
(1)求函数的定义域和值域：
(2)若为非零实数，设函数的最大值为.
①求；
②确定满足的实数，直接写出所有的值组成的集合.
19. (17分) （24-25高三上·四川眉山·开学考试）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数．
(1)求函数图象的对称中心；
(2)用定义判断在区间上的单调性：
(3)已知函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得求实数的取值范围，检测06 函数的概念与性质（能力卷）
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（23-24高一上·黑龙江大庆·阶段练习）若函数为幂函数，且在区间上单调递增，则（ ）
A． B．3 C．或3 D．2或
2．（2024高三·北京·专题练习）下列各组中的两个函数是同一函数的是（ ）
①，；②，；③，；④，．
A．①② B．②③ C．③ D．③④
3．（2024·广东惠州·模拟预测）下列函数是奇函数，且在定义域内单调递增是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高三·全国·专题练习）已知，若的解集为，则函数的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高一上·江苏·专题练习）对于中的任意，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
6．（2024·四川德阳·模拟预测）已知函数的定义域为，且，则（ ）
A．0 B．1 C．2024 D．2025
7．（23-24高二下·浙江绍兴·期末）已知函数的定义域为，对定义域内任意的，当时，都有，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．函数和在上有相同的单调性
8．（23-24高三下·江苏镇江·开学考试）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数．令函数若存在唯一的整数，使得不等式成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）下列各组函数是同一个函数的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
10．（2025·吉林长春·一模）定义在的函数满足，且当时，，则（ ）
A．是奇函数 B．在上单调递增
C． D．
11．（23-24高一上·陕西宝鸡·期末）若函数在时，值域也为，则称为的“保值区间”.下列结论正确的是（ ）
A．函数不存在保值区间
B．函数有无数多个保值区间
C．若函数存在保值区间，则
D．若函数存在保值区间，则
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（24-25高二上·浙江杭州·开学考试）已知幂函数的图象关于轴对称，则实数的值是 ．
13．（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）已知函数的图象关于点成中心对称图形，，则实数的取值范围是 .
14．（24-25高三上·湖南常德·开学考试）设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是 .
四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (13分) （23-24高一上·山东聊城·阶段练习）已知，．
(1)求的定义域；
(2)求，的值，的值域
16. (15分) （24-25高一上·广东梅州·开学考试）（1）已知，，求的值域．
（2）已知，求的值域．
17. (15分) （24-25高二上·浙江杭州·阶段练习）已知函数满足，且在上有最大值.
(1)求，的值；
(2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
18. (17分) （23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数.
(1)求函数的定义域和值域：
(2)若为非零实数，设函数的最大值为.
①求；
②确定满足的实数，直接写出所有的值组成的集合.
19. (17分) （24-25高三上·四川眉山·开学考试）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数．
(1)求函数图象的对称中心；
(2)用定义判断在区间上的单调性：
(3)已知函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得求实数的取值范围，
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C D C D D C B AC ABC
题号 11
答案 BCD
1．A
【分析】根据幂函数的性质即可求解.
【详解】由题意可得，
对于,解得或，
当时，满足，但时，不满足，
故，
故选：A
2．C
【分析】根据题意，结合同一函数的概念，逐个判定，即可求解.
【详解】对于①中，函数与，
则两个函数的定义域不同，所以不是同一函数；
对于②中，函数，与的对应关系不同，所以不是同一函数；
对于③中，函数，与，
可得两函数的的定义域相同，对应关系也相同，所以是同一函数；
对于④中，函数，与，
可得两函数的的定义域不同，所以不是同一函数．
综上，是同一函数的只有③．
故选：C．
3．D
【分析】利用函数的奇偶性和单调性逐项判断即可.
【详解】对于A，为偶函数，故A错误；
对于B，设，所以
故在定义域上不是单调递增，故B错误；
对于C，，故函数的单调增区间为和，
所以在定义域上不是单调递增，故C错误；
对于D，，由幂函数的性质可知，函数为奇函数，且在定义域上单调递增，故D正确.
故选：D
4．C
【分析】根据已知函数的解集，再结合函数关于y轴对称得出图象.
【详解】由的解集为，
可知函数的大致图象为选项D中的图象，
又函数与的图象关于y轴对称,可得出图象为C选项.
故选:C．
5．D
【分析】法一：由题意，可以采用分离参数法．，分，，，结合进行讨论并求解不等即可得．
法二：构造函数法，构造关于的函数，，即，对于中的任意恒成立，从而求解不等式组即可得．
【详解】法一：由题意，恒成立，
等价于，
当时，即，，则恒成立，
，，解得：，
当时，即时，不等式不成立，
当时，即，，则，
，，解得：，
综上所述：的取值范围是或；
法二：由，即，
令函数，
，即，对于中的任意恒成立，
则有且，即，解得或，
所以的取值范围是或.
故选：D．
6．D
【分析】利用赋值法，先令求出，再令，结合方程组法可求解析式，则答案可得.
【详解】令可得，所以，
再令可得，
即①，
将上式中的全部换成可得②，
联立①②可得,
所以，
故选：D
7．C
【分析】根据函数不等式恒成立分别应用各个选项判断即可.
【详解】对于A：，，
因为，所以，
因为，所以恒成立，
又因为不相等，所以，A选项错误；
对于B：，
所以恒成立，
所以，又因为不相等，，
所以，
又，，
，，
所以，
所以，B选项错误；
对于C: 因为不相等，不妨设，
因为，
所以，
所以，C选项正确，
对于D：不妨设在上单调递增，任取，满足，
则，
因为，
所以，所以，
所以单调递减，D选项错误.
故选：C.
【点睛】方法点睛：结合已知条件及函数单调性定义判断单调性，结合三角不等式判断绝对值不等式范围.
8．B
【分析】先根据函数奇偶性的定义求出函数的解析式，进而得到的解析式，根据，对进行讨论从而求出实数的取值范围.
【详解】为奇函数，为偶函数,
，，
两式相减整理得，
的图象如图所示：
存在唯一的整数，使得不等式成立，
即存在唯一的整数，使得不等式成立，
当时，，显然不成立；
当时，需满足只有一个整数解，
，，则，即；
当时，需满足只有一个整数解，
，，，则，即.
综上，实数的取值范围为.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用方程组法求得，从而得到，再作出的图象，从而得解.
9．AC
【分析】根据函数的“三要素”判断是否为同一个函数.
【详解】对A：只是用不同的字母表示变量，所以是同一个函数，故A正确；
对B：因为函数的定义域为，函数的定义域为，所以与不是同一个函数，故B错误；
对C：函数与的定义域都是，对应关系一样，故它们是同一个函数，故C正确；
对D：函数的定义域是：，函数的定义域是：，定义域不一致，所以它们不是同一个函数，故D错误.
故选：AC
10．ABC
【分析】根据奇偶性的定义分析判断A，根据函数单调性的定义分析判断B，利用赋值法分析判断C，根据选项C及函数单调性判断D.
【详解】对于A，令，可得，再令，可得，且函数定义域为，所以函数为奇函数，故A正确；
对B，令，则，，可得，所以，
由函数性质可得，即，所以在上单调递增，故B正确；
对于C，令，可得，所以，即，故C正确；
对D，因为函数为增函数，所以，由C可知，故D错误.
故选：ABC
11．BCD
【分析】对于A，结合的单调性，令，解方程即可；
对于B，由题可知，当时，函数可能存在保值区间，结合函数的单调性，可得，所以当时，函数的保值区间为，最后由的任意性即可判断；
对于C，分和两种情况，结合函数的单调性即可求解；
对于D，由函数的单调性知，即方程在上有两解，令，换元得在上有两解，进而转化为函数的图象与有两个交点，结合图象即可得解.
【详解】对于A，在和上单调递增，
令，得，
解得或，
故存在保值区间，故A错误；
对于B，由，
可知当时，函数可能存在保值区间，
因为函数在单调递减，
则有，
可得，即，解得，
所以当时，函数的保值区间为，
由的任意性，可知函数有无数多个保值区间，故B正确；
对于C，若存在保值区间，
①当时，在上单调递增，
故，解得；
②当时，在上单调递减，在上单调递增，
因为，所以，
解得（舍去），
综上，，故C正确；
对于D，函数在上单调递增，
若存在保值区间，
则，
可知方程在上有两解，
令，有，
则方程可化为，
所以在上有两解，
令，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，
所以函数的大致图象如图所示，
因为在上有两解，
所以在上有两解，
即函数的图象与有两个交点，
由图可知，，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点睛：本题主要考查了新定义问题与函数的性质，解题的关键是充分理解“保值区间”的概念，根据函数的单调性与值域，结合换元法求解即可.
12．2
【分析】根据函数为幂函数求出的值，再通过的图象关于轴对称来确定的值.
【详解】由为幂函数，则，解得，或，
当时，，其图象关于轴对称，
当时，，其图象关于对称，
因此，
故答案为：2.
13．
【分析】由函数的图象关于点成中心对称，所以，求出函数的解析式，构造函数，所以的图象关于点对称，所以是定义域上的奇函数，且在上单调递减，然后利用奇偶性与单调性解不等式即可.
【详解】因为函数的图象关于点成中心对称，
所以，即，所以，
所以，在定义域上单调递减，
令，因为函数的图象关于点成中心对称，
所以的图象关于点对称，所以是定义域上的奇函数，且在上单调递减，
因为，所以，
即，所以，
所以，解得或，
故实数的取值范围是.
故答案为：.
14．
【分析】求得在区间上的解析式，画出的图象，结合图象列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】时，，而时，
所以，
又，
所以当时，，
当时，，
作出示意图如下图所示：
要使，则需，结合上图，
由，解得，所以.
【点睛】关键点点睛：所给的抽象函数关系式，如本题中的，然后要关注题目所给的已知区间的函数解析式，结合这两个条件来求得其它区间的函数解析式.
15．(1)且
(2)，，值域为
【分析】（1）要使该函数有意义，只需满足，即可求得结果；
（2）直接代入求值即可，求值域时，根据解析式的范围直接求解即可.
【详解】（1）因为，
所以，解得，且，
所以该函数的定义域为：且.
（2）由知，，
，
，
，即的值域为.
16．（1）；（2）
【分析】（1）求出的解析式，结合二次函数的值域即可求解；
（2）利用换元法求出，结合二次函数的值域结合求解.
【详解】（1）因为，，
所以，
则当时，，
所以的值域为；
（2）因为，
令，则，
所以，
所以，
所以当时，，
则的值域为
17．(1)，
(2)
【分析】（1）首先代入，再利用基本不等式求最值，列式求得；
（2）求出的解析式，将不等式进行转化，利用参数分离法进行求解即可.
【详解】（1），，
，即，
，
在上有最大值.
，即，
由得，；
（2）由（1）得的解析式，
由题意得当，则只有当或时，才恒有意义，
当时，，等价为，
等价为的最大值，
易知的对称轴为，在上单调递增，
即，得，（舍去）；
当时，由得，
即，
设，对称轴为，
当时，，得，
当时，，得（舍）；
综上，的取值范围为.
18．(1)定义域为；值域为
(2)①；②
【分析】（1）根据根式的概念可得定义域，再计算，结合二次函数值域求解可得值域；
（2）①令，设函数，，再根据二次函数对称轴与区间的位置关系分类讨论求解即可；②分类讨论的取值范围，结合的解析式即可得解.
【详解】（1）因为，所以，则，
又，
当时，，
所以，又，
所以；
（2）依题意，得，
令，则，
令，，
当时，
此时二次函数对称轴，开口向上，则.
当时，此时对称轴，
当，即时，开口向下，则；
当，即，对称轴，开口向下，
则，
当，即时，开口向下，；
综上，.
②当时，，则，解得或（舍去）；
当时，，则，解得（舍去）；
当时，，则，解得（舍去）；
当时，，则；
当时，，则，解得（舍去）；
当时，，则，解得（舍去）；
综上，或，即.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是熟练掌握分类讨论的方法，利用二次函数的性质，结合轴动区间定即可得解.
19．(1)
(2)函数在上单调递增
(3)．
【分析】（1）设函数的图象的对称中心为，根据函数成中心对称的充要条件建立方程，结合待定系数法计算即可；
（2）利用单调性定义直接作差证明即可；
（3）根据条件先将问题等价变形为函数的值域为值域的子集，由（2）得值域结合二次函数的单调性分类讨论计算的值域计算即可.
【详解】（1）设函数的图象的对称中心为，则，
即，
整理得，
可得，解得，
所以的对称中心为；
（2）函数在上单调递增；
证明如下：任取且，
则，
因为且，可得且
所以即
所以函数在上单调递增；
（3）由对任意，总存在，使得
可得函数的值域为值域的子集，
由（2）知在上单调递增，故的值域为，
所以原问题转化为在上的值域，
①当时，即时，在单调递增，
又由，即函数的图象恒过对称中心，
可知在上亦单调递增，故在上单调递增，
又因为，故，
因为，所以，解得，
②当时，即时，在单调递减，在单调递增，
因为过对称中心，故在递增，在单调递减，
故此时
欲使，只需且
解不等式，可得，又，此时；
③当时，即时，在递减，在上亦递减，
由对称性知在上递减，所以，
因为，所以解得，
综上可得：实数的取值范围是．
