检测08 指数函数与对数函数（能力卷）
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）已知是奇函数，是偶函数，且，则的最小值是（ ）
A．2 B． C．4 D．
2．（2024·青海西宁·二模）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知函数若关于的方程有且仅有两个实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高一下·湖北·阶段练习）定义在上的函数为奇函数，且为偶函数，当时，，则（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
5．（24-25高三上·陕西西安·开学考试）已知函数（且），若函数的值域为，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（22-23高一上·浙江衢州·期末）函数的图象可能为（ ）
A． B．C． D．
7．（24-25高三上·贵州六盘水·阶段练习）已知定义在上的函数满足：对任意的，，都有，且．满足不等式的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24高一下·湖南·阶段练习）已知的值域为，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（24-25高三上·安徽池州·阶段练习）已知a，，则使“”成立的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
10．（24-25高三上·河北邢台·开学考试）已知，，，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）下列命题错误的是（ ）
A．已知函数，则不等式的解集为
B．函数在单调递减，且为奇函数，，则满足的取值范围是
C．若在单调递减，则
D．已知函数，则
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（24-25高三上·贵州六盘水·阶段练习）若函数为偶函数，则 .
13．（24-25高二上·湖南长沙·开学考试）已知函数对任意两个不相等的实数，都有成立，则实数的取值范围为 .
14．（2023·河北·模拟预测）已知定义域为的函数，且满足，函数，若函数有7个零点，则k的取值范围为 ；若方程（）的解为、、、，则的取值范围为
四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (13分) （23-24高一上·天津·期中）（1）求值： ；
（2）求值：；
（3） 化简：.
16. (15分) （24-25高一上·湖南邵阳·开学考试）已知定义在上的奇函数，其中.
(1)求函数的值域；
(2)解不等式：.
17. (15分) （23-24高一上·四川内江·阶段练习）已知函数是偶函数.
(1)求的值；
(2)设函数，其中.若函数与的图象有且只有一个交点，求的取值范围.
18. (17分) （22-23高一上·福建泉州·期中）已知（且）是上的奇函数，且.设.
(1)求，的值，并求的值域；
(2)把区间等分成份，记等分点的横坐标依次为，，设，记，是否存在正整数，使不等式有解 若存在，求出所有的值，若不存在，说明理由.
19. (17分) （24-25高三上·山西晋中·阶段练习）已知函数（）．
(1)解不等式；
(2)若函数为的反函数，在上单调，求a的取值范围；
(3)若函数，其中为奇函数，为偶函数，若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C C A B A B C BC ACD
题号 11
答案 BCD
1．B
【分析】有题目所给解析式及函数的奇偶性，可以求解出的解析式，再利用基本不等式求最小值即可.
【详解】①,
,
为奇函数，为偶函数
，
②，
①+②得，
①-②得，
，
当且仅当，即时，等号成立，
的最小值为，
故选：B.
2．C
【分析】根据条件，利用基本不等式，即可求解.
【详解】因为，又，
所以，当且仅当，即时取等号，
故选：C
3．C
【分析】利用换元法设，则方程等价为，根据指数函数和对数函数图象和性质求出，利用数形结合进行求解即可．
【详解】令，则．
①当时，若；若，由，得．
所以由可得或．
如图所示，满足的有无数个，方程只有一个解，不满足题意；
②当时，若，则；若，由，得．
所以由可得，当时，由，可得，
因为关于的方程有且仅有两个实数根，则方程在]上有且仅有一个实数根，
若且，故；
若且，不满足题意．
综上所述，实数的取值范围是，
故选：C．
4．A
【分析】结合已知得的周期为4，然后代入自变量求解即可.
【详解】因为函数为奇函数，且为偶函数，
所以，所以的周期为4，
所以.
故选：A.
5．B
【分析】分析可知当时，，由题意可知当时，则的值域包含，分和两种情况，结合指数函数性质分析求解.
【详解】当时，则，
且，所以，
若函数的值域为，可知当时，则的值域包含，
若，则在内单调递减，
可得，不合题意；
若，则在内单调递增，
可得，则，解得；
综上所述：实数a的取值范围是.
故选：B.
6．A
【分析】利用函数的奇偶性、函数值以及幂函数图象的增长速度进行排除.
【详解】因为函数的定义域为，且，
所以函数是奇函数，故C错误；
当时，，故B错误；
当时，，因为的变化速度越来越快,
的变化速度越来越慢，所以的变化速度越来越快，故D错误；
故选：A.
7．B
【分析】根据对数运算法则将不等式变形进行构造函数，再由函数单调性定义可得在上单调递减，原不等式等价于，利用单调性即可解得结果.
【详解】将不等式化简可得；
令，可得，
即对任意的，，都有，
所以函数在上单调递减，
则等价于，
即，可得，
又，所以，
所以等价于，
因此可得，解得,
可得x的取值范围是.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题关键在于将不等式变形通过构造函数并利用所给函数值以及函数单调性解不等式即可得出结果.
8．C
【分析】考虑时，由指数函数的单调性得到取值范围，此时不成立，舍去，再考虑，结合基本不等式求出函数值域，A错误；考虑，求出与时的函数值取值范围，进而得到不等式，求出答案.
【详解】①若，当时，在上单调递增，
此时，则，又不成立，
所以此时不成立，排除选项D；
②若
当时，，
当时，，当且仅当时，等号成立，
则函数的值域，满足；排除选项A；
③若，当时，在上单调递减，此时，
当时，，当且仅当时，等号成立，
又函数的值域满足，
则解得.
综上所述：.
故选：C.
9．BC
【分析】对于A，举例如结合充分条件和必要条件定义即可判断；对于B，举例如结合充分定义即可得是的不充分条件，接着由和得是的必要条件；对于C，举例如得是的不充分条件，接着由结合基本不等式和指数运算法则得是的必要条件；对于D，举例如结合充分条件和必要条件定义即可判断.
【详解】对于A，当时，满足，但不满足，
所以是的不充分条件，是的不必要条件，故A错误；
对于B，当时，满足，但不满足，
所以是的不充分条件；
当时，，
所以，所以，
所以是的充分条件，是的必要条件，故B正确；
对于C，当时，满足，但不满足，
所以是的不充分条件；
当时，，所以，
所以是的充分条件，是的必要条件，故C正确；
对于D，当时，满足时，但即不满足，
所以是的不充分条件，是的不必要条件，故D错误；
故选：BC.
10．ACD
【分析】根据对数运算法则和基本不等式可知A正确；根据，将BC中的不等式转化为关于的函数的形式，结合对勾函数单调性和基本不等式可确定BC正误；根据对数运算性质可知D正确.
【详解】对于A，，A正确；
对于B，，，，
，
在上单调递增，，
，，B错误；
对于C，由B知：，，
，
，，
（当且仅当，即时取等号），
，，即，C正确；
对于D，，，
若，则，即，
，，D正确.
故选：ACD.
11．BCD
【分析】先判断是偶函数，然后结合单调性求解函数不等式判断A，分类讨论法结合单调性法求解函数不等式判断B，举反例判断C，逐次求解函数值判断D即可.
【详解】因为且的定义域为，
所以即为偶函数.
当时,由复合函数单调性得单调递增,且
由可得
即所以即
所以解得故A正确，
由已知得使不等式成立的x满足
或，因为为奇函数.且
所以，将的图象向右平移个单位后，由得
又，即
所以满足的范围为
同理，满足的范围为
综上，的取值范围为 故B错误，
当时，此时，
令内函数为，它开口向上，对称轴为，
显然在上单调递减，
令，解得，定义域符合，
而外函数为此时单调递增，
故复合函数在上单调递减，
得到当时，在上单调递减，
但不在中，故C错误，
而，令则，
故D错误，
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数，解题关键是进行分类讨论，然后表利用单调性求解函数不等式，得到所要求的取值范围即可．
12．1
【分析】根据偶函数的定义求解即可.
【详解】的定义域为，
因为是偶函数，所以对于定义域内任意恒成立，
则对于定义域内任意恒成立，
则对于定义域内任意恒成立，
即对于定义域内任意恒成立，
即，对于定义域内任意恒成立，
解得.
故答案为：.
13．
【分析】由题意可知在上单调递减，令，则由复合函数单调性可知二次函数在上单调递减，由此列不等式组即可求解.
【详解】由题意可知，在上单调递减，
令，则在上单调递减，且在上恒成立，
所以，解得，
故答案为：
14．
【分析】对于第一空，有7个零点等价于函数的图象与的图象有7个交点，数形结合后可求的取值范围；对于第二空，根据图像的局部对称性可得 ，根据对数的运算性质可得，消元后利用单调性可求的范围.
【详解】因为，所以函数为奇函数，函数的图象如图所示，
有7个零点等价于函数的图象与的图象有7个交点，
当直线与相切时，
则的判别式即（负值舍去），
此时切点横坐标为，
当直线过时，，
结合下图可得当于函数与有7个交点，.
若方程（）有四个不同的解，
由题意及图象知，，
由题意，
∴，
∴，即，
∴，∴，
又，∴，
因为在上均为单调递增，
故在上单调递增，
∴，∴.
故答案为：，.
【点睛】思路点睛：函数零点的性质讨论，应根据图象的特征结合运算性质找到不同零点之间的相互关系后将目标代数式转化为单变量函数，再结合函数的单调性或导数可求相应的范围.
15．（1）2；（2）；（3）
【分析】将根式化为分数指数幂，根据分数指数幂的运算法则进行计算；
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）.
16．(1)
(2)
【分析】（1）利用奇函数的定义可得的值，再利用指数函数的性质即可得其值域；
（2）原不等式可化为，借助换元法计算可得的取值范围，再利用指数函数的性质计算即可得解.
【详解】（1）为定义在上的奇函数，
，，
当时，，符合题意，
，
，，
，
的值域为；
（2）由（1）有，
原不等式可化为，
令，则，
，即，
，，
不等式的解集为.
17．(1)
(2)
【分析】（1）利用偶函数的定义求解即可；
（2）设转化为方程在上只有一个解，分类讨论即可.
【详解】（1）函数是偶函数，
故，
即，，故.
（2），故，
若函数与的图象有且只有一个交点，
即在上只有一个解，故，
即，即，
设
故只有一个解，即，
当时，，则，不符合，故舍去；
当时，函数的对称轴为，
故在单调递减，且，故方程在无解；
当时，函数的对称轴为，且，，
故方程 在上有唯一解，符合题意，
综上所述，的取值范围是.
18．(1)答案见解析
(2)存在，1，2或3
【分析】（1）由是上的奇函数，且求出可得及，利用分离常量求出的值域；
（2）得出的图象关于对称，所以，利用对称性求出可得答案.
【详解】（1）因为（且）是上的奇函数，且，
所以，解得，
则，
因为定义域为，，
所以是上的奇函数，故，
，
因为，所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以
又时，，
所以，即的值域为；
（2）把区间等分成份，则等分点的横坐标为，，
，为奇函数，
所以的图象关于对称，所以，，
所以
所以，即.
故存在正整数或3，使不等式有解.
【点睛】关键点点睛：第二问的解题的关键点是判断出，的图象关于对称，所以.
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由题意可得，换元法求解即可；
（2）由题意可得在上单调，则在上恒成立，且在上单调，结合二次函数分析求解；
（3）由函数的奇偶性先求出，的解析式，可得，再由换元法与参变分离运算求解.
【详解】（1）因为，且，则，
设，则不等式可化为，解得，
即，则，
故原不等式的解集为.
（2）若函数为的反函数，则，
因为在上单调，
则在上恒成立，即，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
可得，
且在上单调，则或，解得或；
综上所述：a的取值范围.
（3）由题意得，则，
即，解得，
若不等式对任意恒成立，
即，可得，
令，且在内单调递增，
则在内单调递增，且当时，；当时，；
可知，则不等式可化为对恒成立，
可得，，
且，由对勾函数性质可知在内单调递增，
可知当时，取到最小值，
则，解得，
所以实数a的取值范围是.
【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：
① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；
② 数形结合(图象在 上方即可)；
③ 讨论最值或恒成立；
④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.检测08 指数函数与对数函数（能力卷）
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）已知是奇函数，是偶函数，且，则的最小值是（ ）
A．2 B． C．4 D．
2．（2024·青海西宁·二模）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知函数若关于的方程有且仅有两个实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高一下·湖北·阶段练习）定义在上的函数为奇函数，且为偶函数，当时，，则（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
5．（24-25高三上·陕西西安·开学考试）已知函数（且），若函数的值域为，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（22-23高一上·浙江衢州·期末）函数的图象可能为（ ）
A． B．C． D．
7．（24-25高三上·贵州六盘水·阶段练习）已知定义在上的函数满足：对任意的，，都有，且．满足不等式的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24高一下·湖南·阶段练习）已知的值域为，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（24-25高三上·安徽池州·阶段练习）已知a，，则使“”成立的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
10．（24-25高三上·河北邢台·开学考试）已知，，，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）下列命题错误的是（ ）
A．已知函数，则不等式的解集为
B．函数在单调递减，且为奇函数，，则满足的取值范围是
C．若在单调递减，则
D．已知函数，则
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（24-25高三上·贵州六盘水·阶段练习）若函数为偶函数，则 .
13．（24-25高二上·湖南长沙·开学考试）已知函数对任意两个不相等的实数，都有成立，则实数的取值范围为 .
14．（2023·河北·模拟预测）已知定义域为的函数，且满足，函数，若函数有7个零点，则k的取值范围为 ；若方程（）的解为、、、，则的取值范围为
四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (13分) （23-24高一上·天津·期中）（1）求值： ；
（2）求值：；
（3） 化简：.
16. (15分) （24-25高一上·湖南邵阳·开学考试）已知定义在上的奇函数，其中.
(1)求函数的值域；
(2)解不等式：.
17. (15分) （23-24高一上·四川内江·阶段练习）已知函数是偶函数.
(1)求的值；
(2)设函数，其中.若函数与的图象有且只有一个交点，求的取值范围.
18. (17分) （22-23高一上·福建泉州·期中）已知（且）是上的奇函数，且.设.
(1)求，的值，并求的值域；
(2)把区间等分成份，记等分点的横坐标依次为，，设，记，是否存在正整数，使不等式有解 若存在，求出所有的值，若不存在，说明理由.
19. (17分) （24-25高三上·山西晋中·阶段练习）已知函数（）．
(1)解不等式；
(2)若函数为的反函数，在上单调，求a的取值范围；
(3)若函数，其中为奇函数，为偶函数，若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围．
