检测03 一元二次函数、方程和不等式（基础卷）
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（23-24高一下·安徽芜湖·开学考试）已知实数m，n，p满足，且，则下列说法正确的是（）
A． B． C． D．
2．（22-23高一上·福建泉州·阶段练习）下列结论不正确的有（ ）个
①若，则
②若，则
③若，，则
④若，则
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2023高一·全国·课后作业）已知a、b为正实数，，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）已知实数，则函数的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．（2024·湖北黄冈·一模）若，且，则的最小值为（ ）
A．20 B．12 C．16 D．25
6．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列说法正确的是（ ）
A．“”是“”的必要不充分条件
B．“”是“”的充分不必要条件
C．若不等式的解集为，则必有
D．命题“，使得.”的否定为“，使得.”
7．（14-15高一下·天津蓟州·阶段练习）对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·四川成都·三模）设，若，则实数的最大值为（ ）
A． B．4 C． D．
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（24-25高一上·吉林·阶段练习）已知满足，且，那么下列各式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（24-25高三上·重庆·开学考试）若正实数满足，则下列说法正确的是（ ）
A．有最大值为 B．有最小值为
C．有最小值为 D．有最大值为
11．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（2024高一·全国·专题练习）已知集合．若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 ．
13．（2024高一上·江苏·专题练习）已知，求的最小值
14．（2022高一上·全国·专题练习）已知，，则的取值范围为 .
四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (13分) （23-24高三上·广东梅州·阶段练习）已知关于的不等式的解集为或．
(1)求的值；
(2)求关于的不等式的解集．
16. (15分) （23-24高一上·福建莆田·阶段练习）运货卡车以每小时千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制（单位:千米/时），假设汽油的价格是每升6元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时18元.
(1)求这次行车总费用关于的表达式;
(2)当为何值时，这次行车的总费用最低 最低费用是几元
17. (15分) （24-25高一上·湖北·阶段练习）已知实数满足：
(1)，求的取值范围；
(2)求的取值范围.
18. (17分) （23-24高一上·浙江宁波·开学考试）（1）已知，求的最小值；
（2）已知，求的最小值.
19. (17分) （24-25高一上·浙江宁波·阶段练习）设函数.
(1)若命题：是假命题，求的取值范围；
(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围.检测03 一元二次函数、方程和不等式（基础卷）
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（23-24高一下·安徽芜湖·开学考试）已知实数m，n，p满足，且，则下列说法正确的是（）
A． B． C． D．
2．（22-23高一上·福建泉州·阶段练习）下列结论不正确的有（ ）个
①若，则
②若，则
③若，，则
④若，则
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2023高一·全国·课后作业）已知a、b为正实数，，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）已知实数，则函数的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．（2024·湖北黄冈·一模）若，且，则的最小值为（ ）
A．20 B．12 C．16 D．25
6．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列说法正确的是（ ）
A．“”是“”的必要不充分条件
B．“”是“”的充分不必要条件
C．若不等式的解集为，则必有
D．命题“，使得.”的否定为“，使得.”
7．（14-15高一下·天津蓟州·阶段练习）对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·四川成都·三模）设，若，则实数的最大值为（ ）
A． B．4 C． D．
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（24-25高一上·吉林·阶段练习）已知满足，且，那么下列各式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（24-25高三上·重庆·开学考试）若正实数满足，则下列说法正确的是（ ）
A．有最大值为 B．有最小值为
C．有最小值为 D．有最大值为
11．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（2024高一·全国·专题练习）已知集合．若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 ．
13．（2024高一上·江苏·专题练习）已知，求的最小值
14．（2022高一上·全国·专题练习）已知，，则的取值范围为 .
四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (13分) （23-24高三上·广东梅州·阶段练习）已知关于的不等式的解集为或．
(1)求的值；
(2)求关于的不等式的解集．
16. (15分) （23-24高一上·福建莆田·阶段练习）运货卡车以每小时千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制（单位:千米/时），假设汽油的价格是每升6元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时18元.
(1)求这次行车总费用关于的表达式;
(2)当为何值时，这次行车的总费用最低 最低费用是几元
17. (15分) （24-25高一上·湖北·阶段练习）已知实数满足：
(1)，求的取值范围；
(2)求的取值范围.
18. (17分) （23-24高一上·浙江宁波·开学考试）（1）已知，求的最小值；
（2）已知，求的最小值.
19. (17分) （24-25高一上·浙江宁波·阶段练习）设函数.
(1)若命题：是假命题，求的取值范围；
(2)若存在，使得成立，求实数的取值范围.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C B B D C D A ABD ABC
题号 11
答案 ACD
1．D
【分析】根据题意,将所给等式变形,得到,推导出,然后利用作差法比较大小,结合二次函数的性质证出,从而得出正确结论.
【详解】由,得,
因为,
移项得,
所以,
可得,
由,得,
可得,
可得.
综上所述,不等式成立,
故选:D.
2．C
【分析】依据不等式的性质结合特值验证法，依次判断即可.
【详解】.
①当时，在不等式两边同除以,得，故①错误；
②令，，满足，不成立，故②错误；
③若，不等式两边同乘以负数，不等号方向改变，成立，故③正确；
④由，则，故不成立，故④错误.
故选：C.
3．B
【分析】利用基本不等式计算出.
【详解】因为a、b为正实数，
所以，当且仅当时，等号成立，
，所以，当且仅当时，等号成立，
综上：.
故选：B
4．B
【分析】配凑后，根据基本不等式即可求解.
【详解】实数，
，
当且仅当，即时等号成立，
函数的最小值为6.
故选：B.
5．D
【分析】利用，结合基本不等式可求和的最小值.
【详解】因为，所以，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
故选：D.
6．C
【分析】根据充分、必要条件分析判断A；若，满足，但不满足，可得结论判断B；根据分类讨论的符号，结合一元二次不等式分析判断；根据存在量词命题的否定是全称量词命题可判断D.
【详解】对于选项A：例如，则，
即，满足题意，但不成立，即充分性不成立；
例如，则，
即，满足题意，但不成立，即必要性不成立；
所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故A不正确；
对于选项B：若，满足，但不满足，
故“”是“”的必要不充分条件，故B不正确；
对于选项C：若，则的解集不可能为两数之间，不合题意；
若，则的解集不可能为两数之间，不合题意；
综上所述：若不等式的解集为，则必有，故C正确；
对于选项D：命题“，使得.”的否定为“，使得.”，故D不正确.
故选：C.
7．D
【分析】分类讨论，利用判别式小于0，即可得到结论
【详解】当，即时，，恒成立；
当时，，解之得，
综上可得
故选：D
8．A
【分析】由不等式可得，求出右边的最小值，进而可得的最大值．
【详解】因为，若，可得，
设，只需要小于等于右边的最小值即可，
则，
令，可得，
所以，当且仅当，即时取等号，
所以，
即的最大值为．
故选：A．
9．ABD
【分析】A选项，判断出，由不等式性质得到A正确；B选项，先得到，结合得到B正确；C选项，求出，由不等式性质得到C错误；D选项，作差法比较出.
【详解】A选项，因为，所以，又，故，A正确；
B选项，因为，，所以，
又，故，所以，B正确；
C选项，因为，所以，
两边同乘以，得，C错误；
D选项，因为，所以，故，D正确.
故选：ABD
10．ABC
【分析】直接利用不等式即可求解AC，利用乘“1”法即可求解B，利用不等式成立的条件即可求解D.
【详解】对于A：因为，则，当且仅当，即时取等号，故A正确，
对于B，，当且仅当，即时取等号，故B正确，
对于C：因为，则，当且仅当，即时取等号，故C正确，
对于D：因为，
当且仅当，即，时取等号，这与均为正实数矛盾，故D错误，
故选：ABC．
11．ACD
【分析】首先讨论，三种情况讨论不等式的形式，再讨论对应方程两根大小，得不等式的解集.
【详解】对于一元二次不等式，则
当时，函数开口向上，与轴的交点为，
故不等式的解集为；
当时，函数开口向下，
若，不等式解集为；
若，不等式的解集为，
若，不等式的解集为，
故选：ACD
12．．
【分析】化简集合，由条件可得，根据集合间的关系列不等式可求的取值范围.
【详解】不等式的解集为或，
所以或，
因为是的必要不充分条件，
所以，
所以或或，
所以或或，
所以或，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
13．24
【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】由，
得
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值24.
故答案为：24
14．
【分析】利用待定系数法可得，利用不等式的基本性质可求得的取值范围.
【详解】解：设，
所以，解得，
因为，，
则，
因此，.
故答案为：.
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据一元二次不等式的解集确定对应方程的根，再利用方程的系数与根的关系求参数即可；
（2）代入参数，解一元二次不等式即可.
【详解】（1）关于的不等式的解集为或，
∴，且和4是方程的两实数根，
由根与系数的关系知，，解得；
（2）由（1）知，时，
不等式为，
∴不等式的解集是.
16．(1)
(2)，最低费用为元
【分析】（1）求出运货卡车行驶的时间，然后根据题意求出行车总运费即可；
（2）利用基本不等式即可求出最值.
【详解】（1）运货卡车行驶的时间为，
则有
，，
即.
（2）由（1）得，
由双勾函数的性质可得函数在上为增函数，
即当时，这次行车总费用最低为元.
17．(1)的取值范围为，的取值范围为；
(2)的取值范围为.
【分析】（1）根据同向不等式的可加性和可乘性即可求解范围；
（2）利用，求得，结合同向不等式的可加性即可求解.
【详解】（1）因为，所以，又因为，所以；
因为，所以，又因为，所以；
所以的取值范围为，的取值范围为；
（2）令，，
所以，解得，
因为，
所以，
所以，
所以的取值范围为.
18．（1）6；（2）8.
【分析】（1）将式子进行配凑，然后用基本不等式求解即可；
（2）利用常数代换的方法，结合基本不等式求解即可.
【详解】（1）因为，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为6.
（2）因为，，
所以，
当且仅当且，即时等号成立，
所以的最小值为8.
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据命题为真命题，求出实数的取值范围，从而可求出命题为假命题时，实数的取值范围；
（2）由题意对于，使有解，分离参数得在上能成立，利用基本不等式求得即可求解的取值范围.
【详解】（1）若命题：是真命题，则，不等式成立，
当时，，显然不成立；
当时，函数为二次函数，
若即，则，满足题意；
若即，则，解得，
综上，或.
所以命题：是假命题时，；
（2）存在，使得成立，
即对于，使有解，
即在上能成立，所以，
因为，当且仅当即时等号成立，
所以.
