检测09 指数函数与对数函数（基础卷）
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2022·海南·模拟预测）与终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·江西九江·开学考试）定义运算：．已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·湖南常德·阶段练习）求值：（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·广东中山·模拟预测）函数在区间上的零点个数为（ ）
A．1个 B．4个 C．2个 D．0个
5．（24-25高三上·河北邢台·开学考试）若，则（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）当时，曲线与交点的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（24-25高二上·辽宁·开学考试）2024年7月，第17届欧洲杯足球赛落下帷幕，西班牙国家队以7战全胜的成绩获得冠军，队中出生于2007年，不满17岁就参加欧洲杯的天才少年拉明·亚马尔获得1个进球，4个助攻的优秀数据，打破了欧洲杯历史上的“最年轻的参赛球员”“最年轻的进球球员”等多项记录．据记者报道，由于他还是个高中生，在欧洲杯期间每天的训练和比赛后，还要完成自己的家庭作业．如图，已知足球比赛的球门宽度AB大约为7米，D在场地的底线上，与点B距离5米，CD与底线垂直，CD长为15米，若在训练中，球员亚马尔从点C开始带球沿直线向点D奔跑并选择一点P处射门，要想获得最大的射门角度（∠APB），则他需要带球的距离CP大约是（参考数据：）（ ）
A．3.6米 B．3.9米 C．7.2米 D．7.8米
8．（2024·江西·一模）若函数在上恰有3个零点，则符合条件的m的个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（23-24高一下·陕西渭南·期中）下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（22-23高一上·河北保定·期末）已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边在直线上，则的值可能是（ ）
A． B． C． D．
11．（2024·湖南邵阳·三模）下列说法正确的有（ ）
A．若角的终边过点，则角的集合是
B．若，则
C．若，则
D．若扇形的周长为，圆心角为，则此扇形的半径是
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）函数且的所有零点的和等于 .
13．（22-23高三上·贵州黔东南·阶段练习）已知，则 .
14．（24-25高三上·天津武清·阶段练习）已知函数.下列结论正确的是 .①的一个对称中心为；②是的最大值；③在上单调递增；④把函数的图象上所有点向右平行移动个单位长度后，再向上平移个单位长度，可得到的图象.
四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (13分) （24-25高一上·全国·课堂例题）已知，，求的值．
16. (15分) （24-25高三上·上海·开学考试）已知
(1)若是第一象限角，求的值；
(2)求的值.
17. (15分) （24-25高二上·四川遂宁·开学考试）函数的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的最大值和最小值；
18. (17分) （24-25高三上·黑龙江牡丹江·开学考试）已知α，β为锐角，且求：
(1)的值；
(2)的值．
19. (17分) （2024·上海·高考真题）已知，
(1)设，求解:的值域;
(2)的最小正周期为，若在上恰有3个零点，求的取值范围.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D A D D D C B CD BD
题号 11
答案 ABC
1．C
【分析】先写出与终边相同的角的表示方法，对A，将代入求出，判断是否属于整数即可；对B，将代入求出，判断是否属于整数即可；对C，将代入求出，判断是否属于整数即可；对D，将代入求出，判断是否属于整数即可.
【详解】解：，
故与终边相同的角可表示为：，
对A， ，
解得：，故A错；
对B，，
解得：，故B错；
对C，，
解得：，故C对；
对D，，
解得：，故D错.
故选：C.
2．D
【分析】根据定义得出，再根据同角三角函数的商数关系即可求解．
【详解】依题意，，则，
故.
故选：D．
3．A
【分析】利用三角函数的周期性和奇偶性化简求值即可.
【详解】
，
故选：A
4．D
【分析】根据函数零点意义得，变形为，并探讨和的最值即可得解.
【详解】当时，由得即，
当时，恒成立，而恒成立，
因此不成立，
所以函数在区间上的零点个数为0.
故选：D.
5．D
【分析】利用诱导公式和二倍角余弦公式直接求解即可.
【详解】.
故选：D.
6．D
【分析】分别画出与在上的函数图象，根据图象判断即可.
【详解】与在上的函数图象如图所示，
由图象可知，两个函数图象交点的个数为6个.
故选：D.
7．C
【分析】设，得出，，由正切函数单调性，两角差的正切公式及基本不等式即可求解．
【详解】设，，，
同理可得，
则，
当且仅当，即时等号成立，此时．
故选：C．
8．B
【分析】就、、分类，每种情况结合正弦函数的性质可得其取值范围.
【详解】令，则或，
由，
当时，在上没有零点，
则在上应有3个零点，
因为，所以，即，
与联立得，因为，所以m的值依次为9，10；
当时，在上有1个零点，
在上有3个零点，不满足题意；
当时，在上有2个零点，
故在上应有1个零点，
因为，所以该零点与的零点不相同，
所以，即，与联立得，
因为，所以的取值依次为2，3，4，综上得符合条件的的个数是5．
故选：B．
9．CD
【分析】根据弧度制与角度值不能混用即可排除AB，根据角度制与弧度制的互化以及终边相同角的概念即可判断CD.
【详解】对A,B在同一个表达式中，角度制与弧度制不能混用，所以A，B错误．
对C，，则与终边相同，而与终边相同，
且化为角度制即为，则与的终边相同，
则是与的终边相同的角的表达式，故C正确；
对D，由C得与终边相同，
则与终边相同的角可以写成的形式，则D正确．
故选：CD．
10．BD
【分析】由三角函数定义得，再由同角三角函数的基本关系建立方程组求解正、余弦，代入式子化简可得.
【详解】由角的终边在直线，则，
联立解得或；
终边落在第一象限时，，此时，
则；
终边落在第三象限时，，此时，
则；
综上所述，的值为或.
故选：BD.
11．ABC
【分析】由三角函数的定义判断A，根据诱导公式判断B，根据“1”的代换和弦切互化求解判断C，根据扇形弧长公式求解判断D.
【详解】因为角的终边过点，为第一象限角，
所以由三角函数的定义知，所以角的终边与终边相同，
所以角的集合是，故A选项正确；
因为，所以B选项正确；
因为，所以C选项正确；
设扇形的半径为，圆心角为，因为扇形所对的弧长为，
所以扇形周长为，故，所以D选项不正确．
故选：ABC
12．0
【分析】利用函数与方程的思想分别画出函数和函数的图象，利用奇函数性质即可得出结果.
【详解】由可得，
易知函数和函数都为奇函数，
在同一坐标系下作出两函数在内的图象，如下图所示：
所以两函数图象交点都关于原点成中心对称，
因此函数且的所有零点的和等于0.
故答案为：0
13．
【分析】利用二倍角公式结合诱导公式求解即可.
【详解】因为，所以，
故，解得，而，
故答案为：
14．②③④
【分析】先利用三角函数恒等变换有关公式，把函数化成的形式，再结合三角函数的性质判断各项内容的准确性.
【详解】因为.
对①：由函数性质，函数的对称中心的纵坐标为，故①错误；
对②：因为，是函数的最大值，故②正确；
对③：由，，得：，.
所以函数在，上为增函数.
令，得函数在上为增函数.故③正确；
对④：将函数的图象上所有点向右平行移动个单位长度，可得函数的图象，再把函数向上平移个单位长度，可得到的图象，即为函数的图象，故④正确.
故答案为：②③④
15．
【分析】法一：由已知可得，结合同角的正余弦平方关系可得，进而可求得的值，可求的值.法二：两边平方可得，进而可得的值，可求的值.
【详解】法一：由，得．
又，
代入得，
整理得，
即，
解得或．
又，所以，故．
所以，
．
法二：因为，所以，
又，两边平方，
整理得，
所以，
所以，
又，
所以．
16．(1)
(2)
【分析】（1）先化简，再利用平方关系和商关系可求的值.
（2）先利用诱导公式化简，再利用齐次式和正切值可得答案.
【详解】（1）因为
.
若是第一象限角，则，，
且，解得，故.
（2）.
17．(1)
(2)最大值为，最小值为
【分析】（1）先由图象和周期公式得，，进而由结合正弦函数性质得，从而得解.
（2）先由平移变换求出函数的解析式，接着由得，再结合正弦函数性质即可得和，从而得解.
【详解】（1）由函数的部分图象可知，，
所以，所以，所以函数，
又，所以，
解得，由可得，
所以.
（2）将向右平移个单位，得到，
再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到，
令，由，可得，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
所以，，
所以在上的最大值为，最小值为.
18．(1)
(2)
【分析】（1） 由余弦的二倍角公式即可求解；
（2）由为锐角，可得，进而可得的值，由可得的值.
【详解】（1）因为为锐角，，则，
所以；
（2）因为为锐角，所以，，
所以，所以.
因为，所以，
所以，
所以
.
19．(1);
(2)
【分析】（1）利用三角函数的性质结合换元法求出单调性，再求解值域即可.
（2）利用三角函数的性质求解参数即可.
【详解】（1）因为，所以，
因为，所以令，
由正弦函数性质得在上单调递增，在上单调递减，
所以，故，
（2）由题意得，所以，可得，
当时，，，即，，
当时，，不符合题意，
当时，，符合题意，
当时，，符合题意，
当时，，符合题意，
所以，
即，故.检测09 指数函数与对数函数（基础卷）
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2022·海南·模拟预测）与终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·江西九江·开学考试）定义运算：．已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·湖南常德·阶段练习）求值：（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·广东中山·模拟预测）函数在区间上的零点个数为（ ）
A．1个 B．4个 C．2个 D．0个
5．（24-25高三上·河北邢台·开学考试）若，则（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）当时，曲线与交点的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（24-25高二上·辽宁·开学考试）2024年7月，第17届欧洲杯足球赛落下帷幕，西班牙国家队以7战全胜的成绩获得冠军，队中出生于2007年，不满17岁就参加欧洲杯的天才少年拉明·亚马尔获得1个进球，4个助攻的优秀数据，打破了欧洲杯历史上的“最年轻的参赛球员”“最年轻的进球球员”等多项记录．据记者报道，由于他还是个高中生，在欧洲杯期间每天的训练和比赛后，还要完成自己的家庭作业．如图，已知足球比赛的球门宽度AB大约为7米，D在场地的底线上，与点B距离5米，CD与底线垂直，CD长为15米，若在训练中，球员亚马尔从点C开始带球沿直线向点D奔跑并选择一点P处射门，要想获得最大的射门角度（∠APB），则他需要带球的距离CP大约是（参考数据：）（ ）
A．3.6米 B．3.9米 C．7.2米 D．7.8米
8．（2024·江西·一模）若函数在上恰有3个零点，则符合条件的m的个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（23-24高一下·陕西渭南·期中）下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（22-23高一上·河北保定·期末）已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边在直线上，则的值可能是（ ）
A． B． C． D．
11．（2024·湖南邵阳·三模）下列说法正确的有（ ）
A．若角的终边过点，则角的集合是
B．若，则
C．若，则
D．若扇形的周长为，圆心角为，则此扇形的半径是
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）函数且的所有零点的和等于 .
13．（22-23高三上·贵州黔东南·阶段练习）已知，则 .
14．（24-25高三上·天津武清·阶段练习）已知函数.下列结论正确的是 .①的一个对称中心为；②是的最大值；③在上单调递增；④把函数的图象上所有点向右平行移动个单位长度后，再向上平移个单位长度，可得到的图象.
四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (13分) （24-25高一上·全国·课堂例题）已知，，求的值．
16. (15分) （24-25高三上·上海·开学考试）已知
(1)若是第一象限角，求的值；
(2)求的值.
17. (15分) （24-25高二上·四川遂宁·开学考试）函数的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的最大值和最小值；
18. (17分) （24-25高三上·黑龙江牡丹江·开学考试）已知α，β为锐角，且求：
(1)的值；
(2)的值．
19. (17分) （2024·上海·高考真题）已知，
(1)设，求解:的值域;
(2)的最小正周期为，若在上恰有3个零点，求的取值范围.
