检测07 指数函数与对数函数（基础卷）
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，且，当时，，则（ ）
A． B． C．2 D．4
2．（24-25高三上·海南·开学考试）设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·重庆·阶段练习）薯条作为一种油炸食品，风味是决定其接受程度的基础.米其林三星餐厅大厨Heston Blumenthal对餐饮门店的不同油炸批次的薯条进行整体品质的感官评价并提出了“油炸质量曲线”（图1），将油炸过程划分为五个阶段：诱导、新鲜、最佳、降解和废弃阶段，以解释食物品质与油炸时间之间的关系.
在特定条件下，薯条品质得分与煎炸时间（单位：min）满足函数关系（a、b、c是常数），图2记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳煎炸时间为（ ）
A．2.25min B．2.75min C．3.25min D．3.75min
4．（24-25高三上·安徽亳州·开学考试）已知函数的定义域为是偶函数，是奇函数，则的值为（ ）
A． B．3 C． D．
5．（24-25高三上·全国·阶段练习）已知函数，，则的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
6．（22-23高二下·浙江温州·期末）围棋是中国传统棋种，蕴含着中华文化丰富内涵，围棋棋盘横竖各有19条线，共有19×19=361个落子点．每个落子点都有落白子、落黑子和空白三种可能，因此围棋空间复杂度的上限．科学家们研究发现，可观测宇宙中普通物质的原子总数．则下列各数中与最接近的是（ ）（参考数据：）
A． B． C． D．
7．（24-25高三上·江西九江·开学考试）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高二上·陕西西安·开学考试）定义在R上的奇函数满足：任意，都有，设，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（24-25高三上·贵州六盘水·阶段练习）已知函数下列命题正确的是（ ）
A．的值域为
B．若，则为奇函数
C．若只有一个零点，则的取值范围为
D．若在上单调递减，则的取值范围为
10．（24-25高三上·福建宁德·开学考试）设函数的定义域都为R，且，，是减函数，是增函数，则下列说法错误的有（ ）
A．是增函数 B．是减函数
C．是增函数 D．是减函数
11．（2024·江苏宿迁·一模）下列命题正确的有（ ）
A．函数定义域为，则的定义域为
B．函数是奇函数
C．已知函数存在两个零点，则
D．函数在上为增函数
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（24-25高三上·江苏·开学考试）设函数，则使得成立的的解集是 ．
13．（24-25高三上·北京·开学考试）函数的定义域为 .
14．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）中国的5G技术领先世界，5G技术中的数学原理之一是香农公式：，它表示在被高斯白噪音干扰的信道中，最大信息传送速率C取决于信道带宽W、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪音功率N的大小，其中叫做信噪比．己知当x比较大时，，按照香农公式，由于技术提升，宽带W在原来的基础上增加20%，信噪比从1000提升至8000，则C大约增加了 （附：）
四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (13分) （24-25高一上·全国·单元测试）已知函数（且）．
(1)求证：若，则；
(2)求的值．
16. (15分) （2023·湖南岳阳·模拟预测）已知函数，且函数的图象经过点.
(1)求实数的值；
(2)求函数的最小值和最大值.
17. (15分) （24-25高一上·四川绵阳·开学考试）我市某水产养殖户进行小龙虾养殖，已知小龙虾养殖成本为8元/千克，在整个销售旺季的80天里，销售单价（元/千克）与时间第（天）之间的函数关系为：，为整数，日销售量（千克）与时间第（天）之间的函数关系如图所示：
(1)求日销售量与时间的函数关系式？并注明的取值范围.
(2)哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？
(3)该养殖户有多少天日销售利润不低于2280元？
18. (17分) （24-25高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数.
(1)求的值，并证明：在上单调递增；
(2)求不等式的解集；
(3)若在区间上的最小值为，求的值.
19. (17分) （23-24高一上·江苏南通·期中）已知函数，函数
(1)试判断函数的单调性，并证明你的结论；
(2)若不等式对恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D C D C A D C BCD AC
题号 11
答案 AB
1．C
【分析】根据题意，结合函数的周期性和函数的奇偶性，即可求解.
【详解】由时，函数，可得，
因为函数是定义在上的偶函数，且，
可得.
故选：C.
2．D
【分析】根据复合函数的单调性，结合二次函数的单调性列式求解即可.
【详解】因为函数在上单调递增，而函数在区间上单调递减，
则有函数在区间上单调递减，
因此，解得，所以实数的取值范围是.
故选：D.
3．C
【分析】将三点坐标代入解析式求出参数，然后根据二次函数对称性可得.
【详解】由图2知，解得，，，
所以，
所以当时，取得最大值.
故选：C.
4．D
【分析】利用奇偶性解方程组求解可得，然后可得.
【详解】因为函数为偶函数，
则，即①，
又因为函数为奇函数，
则，即②，
联立①②可得，所以．
故选：D．
5．C
【分析】计算出时，，可排除A、B、D．
【详解】令，则，所以，
，故可排除A、B、D．
故选：C．
6．A
【分析】设，两边取对数，结合对数的运算性质进行整理，即可求出.
【详解】设，两边取对数，所以，
故选：A.
7．D
【分析】由函数在上单调递减，列出相应的不等式组，即可求解.
【详解】当时，，
因为和都是减函数，所以在上单调递减，
当时，，要使其在上单调递减，则，
所以，解得，故D正确.
故选：D.
8．C
【分析】由题意可得在R上单调递增，，利用对数函数及指数函数的单调性可得，从而即可得答案.
【详解】因为是在R上的奇函数，且任意，都有，
所以在R上单调递增，
又因为，
所以，
又因为，，
所以，
所以
即.
故选：C.
9．BCD
【分析】结合分段函数的单调性，依次判断即可.
【详解】当时， 时，， 时，，所以的值域不为，A错误.
若时，图象如图，
由图可知为奇函数，B正确.
当时， 时，， 时，，有两个零点，
当时， 时，，只有一个零点，
当时， 时，， 时，， 时，， 只有一个零点，
所以，若只有一个零点，则的取值范围为，C正确.
若在上单调递减，则时，在上单调递减，则有，即的取值范围为，D正确.
故选：BCD
10．AC
【分析】根据给定条件，利用单调性的性质即可根据选项逐一求解.
【详解】对于A，如，，
不单调，因此函数不一定为增函数，A错误；
对于B，是增函数，则为减函数，又是减函数，则为减函数，B正确；
对于C，如，，因此函数不一定是增函数，C错误；
对于D，，
由是增函数，且，得，则，
由为减函数，得，于是，是减函数，D正确.
故选：AC
11．AB
【分析】根据抽象函数定义域求解法则判断A，根据奇函数定义判断B，根据零点定义建立方程，数形结合，判断C，根据对勾函数单调性判断D.
【详解】对于A，由函数定义域为，则，
因此在中，，解得，即的定义域为，故A正确；
对于B，函数定义域为R，
且，所以函数为奇函数，故B正确；
对于C，由函数存在两个零点，即为的两根，
则可得，令，，
结合函数图象可设，，则，
所以，所以，而k不一定为1，故C不正确；
对于D，函数为对勾函数，在区间单调递减，在单调递增，故D不正确.
故选：AB.
,
12．
【分析】判断函数的性质，再利用性质求解不等式.
【详解】函数的定义域为R，，则为奇函数，
又函数分别为R上的增函数和减函数，于是是R上的增函数，
不等式化为，
即，解得，
所以原不等式的解集为.
故答案为：
13．
【分析】求使式子有意义的实数的集合即可.
【详解】要使函数解析式有意义，
则有，即，
解得，
故函数的定义域为.
故答案为：.
14．
【分析】利用对数运算性质，由香农公式分别计算信噪比为1000和8000时C的比值即可求得结果.
【详解】根据题意可设技术提升前最大信息传送速率，信道带宽，信噪比；
提升后分别为，信道带宽，信噪比；
且满足，；
易知，
所以；
所以可得C大约增加了.
故答案为：
15．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）直接根据函数的定义、的关系代入运算即可求解；
（2）利用（1）中结论配对运算即可求解.
【详解】（1）由，
得，
则
．
（2）原式
．
16．(1)
(2)函数的最小值为2，最大值为6
【分析】（1）将点代入函数的解析式，求实数的值即可；
（2）将函数的解析式经过变量代换，转化为一元二次函数形式，求最值即可；
【详解】（1）由题意，将点代入函数的解析式，
得：，即，解得.
（2）由换底公式得：，
所以函数，
令，因为，所以.
设，
显然函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以，
即函数的最小值为2，最大值为6.
17．(1)，是整数；
(2)28，2312元；
(3)17
【分析】（1）设解析式为，代入 求解即可；
（2）分、结合二次函数的性质求解即可；
（3）法一：根据（2）的结论可得，求解即可；
法二：根据（2）的结论令，结合二次函数的性质求解即可.
【详解】（1）解：设解析式为，
将 代入，
得：，
解得：，
，其中是整数；
（2）解：日销售利润，则，
①当时，，
当时，；
②当时，，
在时随的增大函数值反而减小
当时，；
第28天的日销售利润最大，最大利润为2312元；
（3）解：法一：由（2）知：
当时，，当时，；
当时，，
由，得，，
又是整数，
.
故该养殖户有17天日销售利润不低于2280元；
法二：由（2）知：
当时，，当时，；
当时，，
由，得.
由函数的图象可知，
当时，日销售利润不低于2280元.
又是整数，.
故该养殖户有17天日销售利润不低于2280元.
18．(1)
(2)或；
(3)或．
【分析】（1）由奇函数性质得，解出；由单调性的定义即可求解，
（2）由函数单调性、奇偶性可把不等式转化为具体不等式，解出即可；
（3），令，可化为关于的二次函数，分情况讨论其最小值，令最小值为，解出即可；
【详解】（1）是定义域为上的奇函数，
，，，，
此时，
经检验，符合题意；
函数的定义域为，在上任取，，且，
函数在上单调递增，
（2）由（1）可知，且在上单调递增的奇函数，
由可得，
，即，
或，
不等式的解集为或；
（3），
．
令，，，
，
当时，当时，，则（舍去）；
当时，当时，，解得，符合要求，
综上可知或．
19．(1)在上单调递增，证明见解析
(2)
【分析】（1）利用函数的单调性的定义以及对数函数的性质进行证明；
（2）遇到恒成立的问题，经常转化为求最值的问题，从而得出关于a的不等式组，求解即可.
【详解】（1）
在其定义域上单调递增.
证明如下：设任意，则有：
，
，
，，，
，，
在上单调递增，，即 .
函数在上单调递增.
（2）由（1）知：当时，，
由不等式对恒成立，
得，
为单调递增函数，
，
，
解得 .
实数a的取值范围检测07 指数函数与对数函数（基础卷）
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，且，当时，，则（ ）
A． B． C．2 D．4
2．（24-25高三上·海南·开学考试）设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·重庆·阶段练习）薯条作为一种油炸食品，风味是决定其接受程度的基础.米其林三星餐厅大厨Heston Blumenthal对餐饮门店的不同油炸批次的薯条进行整体品质的感官评价并提出了“油炸质量曲线”（图1），将油炸过程划分为五个阶段：诱导、新鲜、最佳、降解和废弃阶段，以解释食物品质与油炸时间之间的关系.
在特定条件下，薯条品质得分与煎炸时间（单位：min）满足函数关系（a、b、c是常数），图2记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳煎炸时间为（ ）
A．2.25min B．2.75min C．3.25min D．3.75min
4．（24-25高三上·安徽亳州·开学考试）已知函数的定义域为是偶函数，是奇函数，则的值为（ ）
A． B．3 C． D．
5．（24-25高三上·全国·阶段练习）已知函数，，则的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
6．（22-23高二下·浙江温州·期末）围棋是中国传统棋种，蕴含着中华文化丰富内涵，围棋棋盘横竖各有19条线，共有19×19=361个落子点．每个落子点都有落白子、落黑子和空白三种可能，因此围棋空间复杂度的上限．科学家们研究发现，可观测宇宙中普通物质的原子总数．则下列各数中与最接近的是（ ）（参考数据：）
A． B． C． D．
7．（24-25高三上·江西九江·开学考试）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高二上·陕西西安·开学考试）定义在R上的奇函数满足：任意，都有，设，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（24-25高三上·贵州六盘水·阶段练习）已知函数下列命题正确的是（ ）
A．的值域为
B．若，则为奇函数
C．若只有一个零点，则的取值范围为
D．若在上单调递减，则的取值范围为
10．（24-25高三上·福建宁德·开学考试）设函数的定义域都为R，且，，是减函数，是增函数，则下列说法错误的有（ ）
A．是增函数 B．是减函数
C．是增函数 D．是减函数
11．（2024·江苏宿迁·一模）下列命题正确的有（ ）
A．函数定义域为，则的定义域为
B．函数是奇函数
C．已知函数存在两个零点，则
D．函数在上为增函数
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（24-25高三上·江苏·开学考试）设函数，则使得成立的的解集是 ．
13．（24-25高三上·北京·开学考试）函数的定义域为 .
14．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）中国的5G技术领先世界，5G技术中的数学原理之一是香农公式：，它表示在被高斯白噪音干扰的信道中，最大信息传送速率C取决于信道带宽W、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪音功率N的大小，其中叫做信噪比．己知当x比较大时，，按照香农公式，由于技术提升，宽带W在原来的基础上增加20%，信噪比从1000提升至8000，则C大约增加了 （附：）
四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (13分) （24-25高一上·全国·单元测试）已知函数（且）．
(1)求证：若，则；
(2)求的值．
16. (15分) （2023·湖南岳阳·模拟预测）已知函数，且函数的图象经过点.
(1)求实数的值；
(2)求函数的最小值和最大值.
17. (15分) （24-25高一上·四川绵阳·开学考试）我市某水产养殖户进行小龙虾养殖，已知小龙虾养殖成本为8元/千克，在整个销售旺季的80天里，销售单价（元/千克）与时间第（天）之间的函数关系为：，为整数，日销售量（千克）与时间第（天）之间的函数关系如图所示：
(1)求日销售量与时间的函数关系式？并注明的取值范围.
(2)哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？
(3)该养殖户有多少天日销售利润不低于2280元？
18. (17分) （24-25高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数.
(1)求的值，并证明：在上单调递增；
(2)求不等式的解集；
(3)若在区间上的最小值为，求的值.
19. (17分) （23-24高一上·江苏南通·期中）已知函数，函数
(1)试判断函数的单调性，并证明你的结论；
(2)若不等式对恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D C D C A D C BCD AC
题号 11
答案 AB
1．C
【分析】根据题意，结合函数的周期性和函数的奇偶性，即可求解.
【详解】由时，函数，可得，
因为函数是定义在上的偶函数，且，
可得.
故选：C.
2．D
【分析】根据复合函数的单调性，结合二次函数的单调性列式求解即可.
【详解】因为函数在上单调递增，而函数在区间上单调递减，
则有函数在区间上单调递减，
因此，解得，所以实数的取值范围是.
故选：D.
3．C
【分析】将三点坐标代入解析式求出参数，然后根据二次函数对称性可得.
【详解】由图2知，解得，，，
所以，
所以当时，取得最大值.
故选：C.
4．D
【分析】利用奇偶性解方程组求解可得，然后可得.
【详解】因为函数为偶函数，
则，即①，
又因为函数为奇函数，
则，即②，
联立①②可得，所以．
故选：D．
5．C
【分析】计算出时，，可排除A、B、D．
【详解】令，则，所以，
，故可排除A、B、D．
故选：C．
6．A
【分析】设，两边取对数，结合对数的运算性质进行整理，即可求出.
【详解】设，两边取对数，所以，
故选：A.
7．D
【分析】由函数在上单调递减，列出相应的不等式组，即可求解.
【详解】当时，，
因为和都是减函数，所以在上单调递减，
当时，，要使其在上单调递减，则，
所以，解得，故D正确.
故选：D.
8．C
【分析】由题意可得在R上单调递增，，利用对数函数及指数函数的单调性可得，从而即可得答案.
【详解】因为是在R上的奇函数，且任意，都有，
所以在R上单调递增，
又因为，
所以，
又因为，，
所以，
所以
即.
故选：C.
9．BCD
【分析】结合分段函数的单调性，依次判断即可.
【详解】当时， 时，， 时，，所以的值域不为，A错误.
若时，图象如图，
由图可知为奇函数，B正确.
当时， 时，， 时，，有两个零点，
当时， 时，，只有一个零点，
当时， 时，， 时，， 时，， 只有一个零点，
所以，若只有一个零点，则的取值范围为，C正确.
若在上单调递减，则时，在上单调递减，则有，即的取值范围为，D正确.
故选：BCD
10．AC
【分析】根据给定条件，利用单调性的性质即可根据选项逐一求解.
【详解】对于A，如，，
不单调，因此函数不一定为增函数，A错误；
对于B，是增函数，则为减函数，又是减函数，则为减函数，B正确；
对于C，如，，因此函数不一定是增函数，C错误；
对于D，，
由是增函数，且，得，则，
由为减函数，得，于是，是减函数，D正确.
故选：AC
11．AB
【分析】根据抽象函数定义域求解法则判断A，根据奇函数定义判断B，根据零点定义建立方程，数形结合，判断C，根据对勾函数单调性判断D.
【详解】对于A，由函数定义域为，则，
因此在中，，解得，即的定义域为，故A正确；
对于B，函数定义域为R，
且，所以函数为奇函数，故B正确；
对于C，由函数存在两个零点，即为的两根，
则可得，令，，
结合函数图象可设，，则，
所以，所以，而k不一定为1，故C不正确；
对于D，函数为对勾函数，在区间单调递减，在单调递增，故D不正确.
故选：AB.
,
12．
【分析】判断函数的性质，再利用性质求解不等式.
【详解】函数的定义域为R，，则为奇函数，
又函数分别为R上的增函数和减函数，于是是R上的增函数，
不等式化为，
即，解得，
所以原不等式的解集为.
故答案为：
13．
【分析】求使式子有意义的实数的集合即可.
【详解】要使函数解析式有意义，
则有，即，
解得，
故函数的定义域为.
故答案为：.
14．
【分析】利用对数运算性质，由香农公式分别计算信噪比为1000和8000时C的比值即可求得结果.
【详解】根据题意可设技术提升前最大信息传送速率，信道带宽，信噪比；
提升后分别为，信道带宽，信噪比；
且满足，；
易知，
所以；
所以可得C大约增加了.
故答案为：
15．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）直接根据函数的定义、的关系代入运算即可求解；
（2）利用（1）中结论配对运算即可求解.
【详解】（1）由，
得，
则
．
（2）原式
．
16．(1)
(2)函数的最小值为2，最大值为6
【分析】（1）将点代入函数的解析式，求实数的值即可；
（2）将函数的解析式经过变量代换，转化为一元二次函数形式，求最值即可；
【详解】（1）由题意，将点代入函数的解析式，
得：，即，解得.
（2）由换底公式得：，
所以函数，
令，因为，所以.
设，
显然函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以，
即函数的最小值为2，最大值为6.
17．(1)，是整数；
(2)28，2312元；
(3)17
【分析】（1）设解析式为，代入 求解即可；
（2）分、结合二次函数的性质求解即可；
（3）法一：根据（2）的结论可得，求解即可；
法二：根据（2）的结论令，结合二次函数的性质求解即可.
【详解】（1）解：设解析式为，
将 代入，
得：，
解得：，
，其中是整数；
（2）解：日销售利润，则，
①当时，，
当时，；
②当时，，
在时随的增大函数值反而减小
当时，；
第28天的日销售利润最大，最大利润为2312元；
（3）解：法一：由（2）知：
当时，，当时，；
当时，，
由，得，，
又是整数，
.
故该养殖户有17天日销售利润不低于2280元；
法二：由（2）知：
当时，，当时，；
当时，，
由，得.
由函数的图象可知，
当时，日销售利润不低于2280元.
又是整数，.
故该养殖户有17天日销售利润不低于2280元.
18．(1)
(2)或；
(3)或．
【分析】（1）由奇函数性质得，解出；由单调性的定义即可求解，
（2）由函数单调性、奇偶性可把不等式转化为具体不等式，解出即可；
（3），令，可化为关于的二次函数，分情况讨论其最小值，令最小值为，解出即可；
【详解】（1）是定义域为上的奇函数，
，，，，
此时，
经检验，符合题意；
函数的定义域为，在上任取，，且，
函数在上单调递增，
（2）由（1）可知，且在上单调递增的奇函数，
由可得，
，即，
或，
不等式的解集为或；
（3），
．
令，，，
，
当时，当时，，则（舍去）；
当时，当时，，解得，符合要求，
综上可知或．
19．(1)在上单调递增，证明见解析
(2)
【分析】（1）利用函数的单调性的定义以及对数函数的性质进行证明；
（2）遇到恒成立的问题，经常转化为求最值的问题，从而得出关于a的不等式组，求解即可.
【详解】（1）
在其定义域上单调递增.
证明如下：设任意，则有：
，
，
，，，
，，
在上单调递增，，即 .
函数在上单调递增.
（2）由（1）知：当时，，
由不等式对恒成立，
得，
为单调递增函数，
，
，
解得 .
实数a的取值范围
