检测10 指数函数与对数函数（能力卷）
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2025高三·全国·专题练习）如图当时，圆内接正六边形的周长为，故，即.运用“割圆术”的思想，下列估算正确的是（ ）
A．时，
B．时，
C．时，
D．时，
2．（24-25高二上·云南昭通·开学考试）若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·海南·模拟预测）函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．（24-25高三上·山东菏泽·开学考试）已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高三上·云南·阶段练习）已知函数，将的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，若的图象与的图象关于轴对称，则的最小值等于（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高一下·广东广州·期末）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，.小球从最低点出发，经过2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．秒与秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为2
C．当时，若小球有且只有三次到达最高点，则
D．当时，若时刻小球偏离于平衡位置的距离相同，则
8．（24-25高二上·上海·开学考试）如图所示，角的终边与单位圆交于点，，轴，轴，在轴上，在角的终边上．由正弦函数、正切函数定义可知，的值分别等于线段的长，且，则下列结论不正确的是（ ）
A．函数在内有1个零点
B．函数在内有2个零点
C．函数有3个零点
D．函数在内有1个零点
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）下列选项正确的是（ ）
A．是第二象限角
B．
C．经过4小时，时针转了
D．若一扇形的弧长为2，圆心角为，则该扇形的面积为
10．（24-25高三上·河北衡水·开学考试）下列选项正确的是（ ）
A．若，则的最小值为
B．若，则的最小值为
C．若，，且，则的最小值为2
D．若，则的最小值为2
11．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）若函数的定义域为，且偶函数，关于点成中心对称.则下列说法正确的是（ ）
A．的一个周期为2 B．
C．的一条对称轴为 D．
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）已知是方程的两个实数根， ．
13．（2024·辽宁·模拟预测）将函数的图像向右平移个单位长度后，所得图像对应的函数是偶函数，则的最小值为 ．
14．（23-24高二下·广西南宁·期末）已知函数，其中表示不超过的最大整数.如：，以下三个结论：
①；
②集合的元素个数为9；
③对任意都成立，则实数的取值范围是.
其中所有正确结论的序号是 .
四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (13分) （23-24高一上·天津·阶段练习）计算下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)化简：
16. (15分) （23-24高一下·浙江湖州·阶段练习）（1）化简：；
（2）已知，求的值.
17. (15分) （24-25高三上·辽宁沈阳·开学考试）已知函数．
(1)求曲线的对称轴；
(2)已知，，求的值．
18. (17分) （23-24高一上·吉林长春·期末）已知；
(1)若函数的定义域为，求函数的最值；
(2)，，不等式恒成立，求实数m的取值范围.
19. (17分) （22-23高一下·吉林长春·阶段练习）设函数（A，，为常数，且，，）的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围.检测10 指数函数与对数函数（能力卷）
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2025高三·全国·专题练习）如图当时，圆内接正六边形的周长为，故，即.运用“割圆术”的思想，下列估算正确的是（ ）
A．时，
B．时，
C．时，
D．时，
2．（24-25高二上·云南昭通·开学考试）若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·海南·模拟预测）函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．（24-25高三上·山东菏泽·开学考试）已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高三上·云南·阶段练习）已知函数，将的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，若的图象与的图象关于轴对称，则的最小值等于（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高一下·广东广州·期末）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度厘米由关系式确定，其中，，.小球从最低点出发，经过2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．秒与秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为2
C．当时，若小球有且只有三次到达最高点，则
D．当时，若时刻小球偏离于平衡位置的距离相同，则
8．（24-25高二上·上海·开学考试）如图所示，角的终边与单位圆交于点，，轴，轴，在轴上，在角的终边上．由正弦函数、正切函数定义可知，的值分别等于线段的长，且，则下列结论不正确的是（ ）
A．函数在内有1个零点
B．函数在内有2个零点
C．函数有3个零点
D．函数在内有1个零点
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）下列选项正确的是（ ）
A．是第二象限角
B．
C．经过4小时，时针转了
D．若一扇形的弧长为2，圆心角为，则该扇形的面积为
10．（24-25高三上·河北衡水·开学考试）下列选项正确的是（ ）
A．若，则的最小值为
B．若，则的最小值为
C．若，，且，则的最小值为2
D．若，则的最小值为2
11．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）若函数的定义域为，且偶函数，关于点成中心对称.则下列说法正确的是（ ）
A．的一个周期为2 B．
C．的一条对称轴为 D．
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）已知是方程的两个实数根， ．
13．（2024·辽宁·模拟预测）将函数的图像向右平移个单位长度后，所得图像对应的函数是偶函数，则的最小值为 ．
14．（23-24高二下·广西南宁·期末）已知函数，其中表示不超过的最大整数.如：，以下三个结论：
①；
②集合的元素个数为9；
③对任意都成立，则实数的取值范围是.
其中所有正确结论的序号是 .
四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (13分) （23-24高一上·天津·阶段练习）计算下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)化简：
16. (15分) （23-24高一下·浙江湖州·阶段练习）（1）化简：；
（2）已知，求的值.
17. (15分) （24-25高三上·辽宁沈阳·开学考试）已知函数．
(1)求曲线的对称轴；
(2)已知，，求的值．
18. (17分) （23-24高一上·吉林长春·期末）已知；
(1)若函数的定义域为，求函数的最值；
(2)，，不等式恒成立，求实数m的取值范围.
19. (17分) （22-23高一下·吉林长春·阶段练习）设函数（A，，为常数，且，，）的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C D A A B B C BCD BC
题号 11
答案 BCD
1．A
【分析】求出正十二边形的周长，可得出，即可得解.
【详解】设圆的内接正十二边形被分成个如图所示的等腰三角形，其顶角为，即，
作于点，则为的中点，且，
因为，在中，，即，
所以，，则，
所以，正十二边形的周长为，
所以，.
故选：A.
2．C
【分析】先由条件得到，化弦为切，代入求出答案.
【详解】因为，所以，
所以.
故选：C
3．D
【分析】利用同角三角函数之间的基本关系和诱导公式计算可得结果.
【详解】易知.
故选：D
4．A
【分析】分别利用函数的定义域、奇偶性与特殊值的正负排除不符合要求的选项即可得.
【详解】由定义域为，故可排除C；
又，
故为奇函数，故可排除D；
由，故可排除B；
故选：A.
5．A
【分析】利用和差公式、二倍角公式及平方关系化简，再把正弦余弦转化为正切即可求解.
【详解】
.
故选：.
6．B
【分析】根据函数平移可得，进而根据即可代入化简得求解.
【详解】解：，要的图象与的图象关于轴对称，则，
所以，故，
又，故，
故选：B.
7．B
【分析】根据周期求出，代入得到，从而得到函数解析式，即可判断A，代入求值判断B，根据正弦函数的性质判断C，利用特殊值判断D.
【详解】由题可知小球运动的周期，又，所以，解得，
当时，，即，，所以，
则，故A错误；
因为，，
所以秒与秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为，故B正确；
若，则，又当时，小球有且只有三次到达最高点，
所以，解得，即，故C错误；
因为，令，，
则，，
满足且时刻小球偏离于平衡位置的距离相同，
此时，故D错误.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题关键是准确求出函数解析式，D选项容易理解为函数值相同，实际只需函数值的绝对值相同即可.
8．C
【分析】利用当时，，可得各个函数在上零点的个数，再根据奇函数的对称性得到函数在上零点的个数，且各个函数都有零点，由此可判断A CD；再结合函数和的图象，可判断B.
【详解】由已知条件，当时，，
所以当时，，
对于A，当时，，，
又为奇函数，所以时，，
当时，，
所以函数在内有且仅有1个零点，故A正确；
对于B，当时，
因为，即，
由为奇函数，所以时，，
当时，，
所以函数在内有且仅有1个零点，
作出函数的图象，如图所示，
由图可知，当时，函数和的图象只有一个交点，
所以函数在内有且仅有1个零点，
所以函数在内有2个零点，故B正确；
对于C，当时，，所以，此时函数没有零点，
当时，由，即，此时函数没有零点，
当时，，此时函数的零点为，
又为奇函数，其图象关于原点对称，所以时函数无零点，
综上所述，函数有且仅有1个零点，故C错误；
对于D，当时，因为，
所以，
又为奇函数，所以时，，
所以，
当时，，
所以函数在内有1个零点，故D正确.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查了三角函数的图像及性质，解题的关键是由得，并结合三角函数图象求解.
9．BCD
【分析】根据象限角的定义，以及角度与弧度的转化关系，扇形面积公式，即可判断选项.
【详解】选项A，在第三象限，故A错误；
选项B，，故B正确；
选项C，时针按顺时针方向转，所以转过的角是负角，每经过1小时转，所以经过4小时，时针转了，故C正确；
选项D，若一扇形的弧长为2，圆心角为，则该扇形的半径，该扇形的面积，故D正确．
故选：BCD
10．BC
【分析】选项A，通过取，即可判断选项A的正误；选项B，利用平方关系得到，再结合条件，利用基本不等式，即可求解；选项C，根据条件，通过变形得到，再利用基本不等式，即可求解；选项D，利用基本不等式取等号的条件，即可判断选项D的正误.
【详解】对于选项A，取，显然满足，此时，所以选项A错误，
对于选项B，因为，
又，所以，所以，
当且仅当，即时取等号，所以，故选项B正确，
对于选项C，因为，得到，所以，
又，所以，得到，
当且仅当，即时取等号，所以选项C正确，
对于选项D，，当且仅当时取等号，
注意到无解，所以，即选项D错误，
故选：BC.
11．BCD
【分析】根据题设条件可得为周期函数且周期为，再结合对称性逐项判断后可得正确的选项.
【详解】因为偶函数，故，故，
所以的图像有一条对称轴为直线，且，
又关于点成中心对称，故，
故，故且，
所以，所以，
所以，故为周期函数且周期为，
故有对称轴为，故C正确.
而，故B正确.
由可得，
故，由可得，
故，故，故D成立，
取， 则，
，
故为偶函数，关于点成中心对称，满足题设要求，
但的周期为4，故A错误.
故选：BCD.
【点睛】思路点睛：抽象函数的性质讨论，注意根据变换的思想探究抽象函数的周期性等，注意否定函数的周期性应该结合三角函数给出反例.
12．
【分析】由韦达定理有，利用两角和的正切公式计算，再由倍角公式计算.
【详解】是方程的两个实数根，
则有，
因此，．
故答案为：.
13．/
【分析】根据题意可得，并图像向右平移个单位长度后，所得图像对应的函数是偶函数，可得，从而结合题意可得的最小值.
【详解】，
图像向右平移个单位长度后得到是偶函数，
，的最小值为.
故答案为：.
14．①③
【分析】利用给定定义直接判断①，由周期性可知，的周期为，故讨论即可，求出每个元素判断②，利用题意分离参数，得到，再结合给定定义求解，最后得到参数范围即可.
【详解】对于①，由知，
，故①正确.
对于②，由周期性可知，的周期为，故讨论即可，
易得当时，，当时，，
当时，，当时，，
当时，，当时，，
当时，，当时，，
当时，，故该集合元素个数为6，故②错误.
对于③，当时，
当时，，当时，，
当时，，当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
而对任意都成立，故恒成立，
令，即，而显然，可得恒成立，
即.，
故答案为：①③.
【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数新定义，解题关键是找合理分离参数，然后利用给定定义求解函数最值，最后得到所要求的参数范围即可．
15．(1)
(2)7
(3)
【分析】（1）由指数幂的运算化简求值；
（2）由对数式的运算化简求值；
（3）利用诱导公式化简.
【详解】（1）.
（2）.
（3）
16．（1）；（2）
【分析】（1）利用诱导公式化简求解即可.
（2）利用给定条件结合完全平方公式得到，再结合判断出的正负，求解方程即可.
【详解】（1）原式，
，
（2）因为，
所以，
故，解得，
所以，
因为，所以，
故，解得（正根舍去），
所以的值为.
17．(1)
(2)
【分析】(1)先化简的解析式，再根据对称轴公式即可求解；
(2)先代入函数求出，再根据同角三角函数的关系求出，再根据即可求解.
【详解】（1），
，
，
由，
得曲线的对称轴为；
（2）由题意可得，
即，
又，
则，
即，
所以，
故
.
18．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）由对数函数的性质可得的值域，通过换元法及二次函数的性质可得结果；
（2）由对数函数的单调性转化为对恒成立，利用基本不等式求出的最大值，转化为对恒成立，求出的最大值，根据一元二次不等式求解即可.
【详解】（1）由题意，，由解得，
当时，；
所以，
当时，，
所以，
令则，
设，该函数在时单调递减，
所以，；
（2）因为，且
所以，
依题意恒成立，
根据函数在上为增函数，所以对恒成立，
设，因为，
又，当且仅当，
即，所以时取等号，
所以，即对恒成立，
所以对恒成立，
又当时，在时有最大值6，
所以，即或，
故实数的取值范围.
【点睛】关键点点睛：本题关键第二问：由对数函数的单调性转化为对恒成立，利用基本不等式求出的最大值，转化为对恒成立，求出的最大值，根据一元二次不等式求解即可.
19．(1)
(2)
【分析】（1）由图得和，结合周期公式求出，再将代入结合正弦函数的性质和即可求出，从而得解.
（2）先求出在的值域，接着令，将不等式在上恒成立等价变形为在上恒成立，从而将问题转化为求函数在上的最小值，求出该最小值即可得解.
【详解】（1）由图得，，
所以，故，
所以，
将代入得，
所以，
又，所以，所以.
（2）因为，所以，所以，
所以，令，
因为不等式在上恒成立，
所以在上恒成立，
所以，又，
所以函数在上单调递增，
所以当时，有，
所以，即.
【点睛】方法点睛：分离参数最值化是解决恒成立求参问题的常用方法，在给出的不等式中，通过恒等变形分离出参数，使不等式变形为或恒成立，则或，从而只需求出函数最值即可得解.
