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第九节 函数模型及其应用
课标解读 考向预测
1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义. 2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用. 近三年高考考查函数模型及应用，一般出现在选择题和填空题中，难度中档偏上．预计2025年高考会考查指数函数模型或对数函数模型在生活实际中的应用，以选择题的形式出现.
【知识梳理】
1．几种常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
与指数函数相关的模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
与对数函数相关的模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
与幂函数相关的模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)
2.指数、对数、幂函数模型性质比较
函数 性质 y＝ax (a>1) y＝logax (a>1) y＝xn (n>0)
在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同
值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax
3.解答函数应用题的一般步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；
(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义．
以上过程用框图表示如下：
【常用结论】
“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小．
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．( )
(2)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xn(n>0)和y＝logax(a>1)的增长速度．( )
(3)在选择实际问题的函数模型时，必须使所有的数据完全符合该函数模型．( )
2．小题热身
(1)已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列结论中正确的是( )
A．f(x)>g(x)>h(x)
B．g(x)>f(x)>h(x)
C．g(x)>h(x)>f(x)
D．f(x)>h(x)>g(x)
(2)已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示．假设某商人持有资金120万元，他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计)．如果他在t4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是( )
A．40万元 B．60万元
C．80万元 D．120万元
(3)在数学课外活动中，小明同学进行了糖块溶于水的试验，将一块质量为7克的糖块放入一定量的水中，测量不同时刻未溶解糖块的质量，得到若干组数据，其中在第5分钟末测得的未溶解糖块的质量为3.5克，同时小明发现可以用指数型函数S＝ae－kt(a，k为常数)来描述以上糖块的溶解过程，其中S(单位：克)代表t分钟末未溶解糖块的质量，则k＝( )
A．ln 2 B．ln 3
C. D.
(4)某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝
x∈N*，其中x代表拟录用人数，y代表面试人数，若面试人数为160，则该公司拟录用人数为________．
【考点探究】
考点一 用函数图象刻画实际问题
例1中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用85 ℃的水泡制，再等到茶水温度降至60 ℃时饮用，可以产生最佳口感．为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔1 min测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图．观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律？( )
A．y＝mx2＋n(m>0)
B．y＝max＋n(m>0，0C．y＝max＋n(m>0，a>1)
D．y＝mlogax＋n(m>0，a>0，a≠1)
【通性通法】
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象；当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际情况的答案．
(2)图形、表格能直观刻画两变量间的依存关系，考查了数学直观想象核心素养．
【巩固迁移】
1.(多选)某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y(单位：微克)与时间t(单位：小时)之间的关系近似满足如图所示的曲线．据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则下列说法正确的是( )
A．a＝3
B．注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时
C．注射该药物小时后每毫升血液中的含药量为0.5微克
D．注射一次治疗该病的有效时间长度为5小时
考点二 根据给定的函数模型解决实际问题
例2(1)某社区超市的某种商品的日利润y(单位：元)与该商品的当日售价x(单位：元)之间的关系为y＝－＋12x－210，那么该商品的日利润最大时，当日售价为( )
A．100元 B．150元
C．200元 D．250元
(2)(2024·福建福州高三质量检测)为落实党的二十大提出的“加快建设农业强国，扎实推动乡村振兴”的目标，银行拟在乡村开展小额贷款业务．根据调查的数据，建立了实际还款比例P关于贷款人的年收入x(单位：万元)的Logistic模型：P(x)＝，已知当贷款人的年收入为8万元时，其实际还款比例为50%.若银行希望实际还款比例为40%，则贷款人的年收入为(精确到0.01万元，参考数据：ln 3≈1.0986，ln 2≈0.6931)( )
A．4.65万元 B．5.63万元
C．6.40万元 D．10.00万元
【通性通法】
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．
(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验．
【巩固迁移】
2．(多选)(2023·新课标Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg ，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10 60～90
混合动力汽车 10 50～60
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则( )
A．p1≥p2 B．p2>10p3
C．p3＝100p0 D．p1≤100p2
3．某品牌汽车的月产量y(单位：万辆)与月份x(3考点三 通过构建函数模型解决实际问题(多考向探究)
考向1构建二次函数模型
例3 (2024·湖南永州高三摸底)A，B两城相距100 km，在两城之间距A城x km处建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(单位：km)的平方与供电量(单位：亿度)之积的0.25倍，若A城供电量为每月20亿度，B城供电量为每月10亿度．
(1)求x的取值范围；
(2)把月供电总费用y表示成x的函数；
(3)核电站建在距A城多远，才能使供电总费用y最少？
【通性通法】
二次函数的最值问题一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要注意函数的定义域，否则极易出错．
【巩固迁移】
4．(2023·河北张家口高三期末)江苏某新能源公司某年初购入一批新能源汽车充电桩，每台13500元，到第x年年末(x∈N*)每台设备的累计维修保养费用为(300x2＋3200x)元，每台充电桩每年可给公司收益8000元．(≈4.36)
(1)求每台充电桩第几年年末开始获利；
(2)每台充电桩在第几年年末时，年平均利润最大？
考向2构建指数函数、对数函数模型
例4牛奶中细菌的标准新国标将最低门槛(允许的最大值)调整为200万个/毫升，牛奶中的细菌常温状态下大约20分钟就会繁殖一代，现将一袋细菌含量为3000个/毫升的牛奶常温放置于空气中，经过________分钟就不宜再饮用．(精确到1分钟，参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)
【通性通法】
(1)在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．求解时可利用指数运算与对数运算的关系．
(2)利用指数函数、对数函数模型解题，关键是对模型的判断，先设定模型，将有关数据代入验证，确定参数，求解时要准确进行指、对数运算，灵活进行指数与对数的互化．
【巩固迁移】
5．一种药在病人血液中的量保持1500 mg以上才有疗效；而低于500 mg病人就有危险．现给某病人静脉注射了这种药2500 mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过________小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．(附：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771，精确到0.1 h)
考向3构建分段函数模型
例5响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调研，生产某小型电子产品需投入年固定成本2万元，每生产x万件，需另投入流动成本W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝x2＋2x.在年产量不小于8万件时，W(x)＝7x＋－37.每件产品售价6元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完．
(1)写出年利润P(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)
(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
【通性通法】
(1)在现实生活中，很多问题的两变量之间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数．如出租车票价与路程之间的关系，就是分段函数．
(2)分段函数主要是每一段上自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其作为几个不同问题，将各段的规律找出来，再将其合在一起．要注意各段变量的范围，特别是端点．
(3)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理，不重不漏．
【巩固迁移】
6．某企业自主开发出一款新产品A，计划在2025年正式投入生产，已知A产品的前期研发总花费为50000元，该企业每年最多可生产4万件A产品．通过市场分析知，在2025年该企业每生产x千件A产品，需另投入生产成本R(x)千元，且R(x)＝
(1)求该企业生产一件A产品的平均成本p(单位：元)关于x的函数关系式，并求平均成本p的最小值；(总成本＝研发成本＋生产成本)
(2)该企业欲使生产一件A产品的平均成本p≤66元，求其年生产值x(单位：千件)的取值区间？
课时作业
【A组 基础练习】
一、单项选择题
1．某中学体育课对女生立定跳远项目的考核标准为：立定跳远距离1.33米得5分，每增加0.03米，分值增加5分，直到1.84米得90分后，每增加0.1米，分值增加5分，满分为120分．若某女生训练前的成绩为70分，经过一段时间的训练后，成绩为105分，则该女生训练后，立定跳远距离增加了( )
A．0.33米 B．0.42米
C．0.39米 D．0.43米
2．视力检测结果有两种记录方式，分别是小数记录与五分记录，其部分数据如下表：
小数记录x 0.1 0.12 0.15 … 1 1.2 1.5 2.0
五分记录y 4.0 4.1 4.2 … 5 5.1 5.2 5.3
现有如下函数模型：①y＝5＋lg x，②y＝5＋lg ，x表示小数记录数据，y表示五分记录数据，请选择最合适的模型解决如下问题：小明同学检测视力时，医生告诉他的视力为4.7，则小明同学的小数记录数据为(附：100.3≈2，5－0.22≈0.7，10－0.1≈0.8)( )
A．0.3 B．0.5
C．0.7 D．0.8
3．“百日冲刺”是各个学校针对高三学生进行的高考前的激情教育，它能在短时间内最大限度激发一个人的潜能，使成绩在原来的基础上有不同程度的提高，以便在高考中取得令人满意的成绩，特别对于成绩在中等偏下的学生来讲，其增加分数的空间尤其大．现有某班主任老师根据历年成绩在中等偏下的学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个经过时间t(30≤t≤100)(单位：天)与增加总分数f(t)(单位：分)的函数模型：f(t)＝，k为增分转化系数，P为“百日冲刺”前的最后一次模考总分，且f(60)＝P.已知某学生在高考前100天的最后一次模考总分为400分，依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分约为(lg 61≈1.79)( )
A．440分 B．460分
C．480分 D．500分
4．(2024·云南昆明高三模拟)单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关．假设某条道路一小时通过的车辆数N满足关系N＝，其中d0(单位：m)为安全距离，v(单位：m/s)为车速．当安全距离d0取30 m时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为( )
A．135 B．149
C．165 D．195
5．(2024·江苏沭阳如东中学高三模拟)深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它以神经网络为出发点，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L＝L0D，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，L0表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，G0表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.2以下(不含0.2)所需的训练迭代轮数至少为(参考数据：lg 2≈0.3010)( )
A．72 B．74
C．76 D．78
6．“一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来”描述了封建统治者的骄奢生活，同时也讲述了古代资源流通的不便利．如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合．已知某类果蔬的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝eax＋b(a，b为常数)，若该果蔬在6 ℃的保鲜时间为216小时，在24 ℃的保鲜时间为8小时，那么在12 ℃时，该果蔬的保鲜时间为( )
A．72小时 B．36小时
C．24小时 D．16小时
7．“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等作用，激起水波，形成涌泉，声音越大，涌起的泉水越高．已知听到的声强I与标准声强I0(I0约为10－12，单位：W/m2)之比的常用对数称作声强的声强级，记作L(单位：贝尔)，即L＝lg .取贝尔的10倍作为响度的常用单位，简称为分贝，已知某处“喊泉”的声音强度y(单位：分贝)与喷出的泉水高度x(单位：m)之间满足关系式y＝2x，甲、乙两名同学大喝一声激起的涌泉的最高高度分别为70 m，60 m．若甲同学大喝一声的声强大约相当于n个乙同学同时大喝一声的声强，则n的值约为( )
A．10 B．100
C．200 D．1000
8．(2024·山东德州高三期末)已知某品牌手机电池充满时的电量为4000(单位：毫安时)，且在待机状态下有两种不同的耗电模式可供选择．模式A：电量呈线性衰减，每小时耗电400(单位：毫安时)；模式B：电量呈指数衰减，即从当前时刻算起，t小时后的电量为当前电量的倍．现使该电子产品处于满电量待机状态时开启A模式，并在x小时后，切换为B模式，若使其在待机10小时后有超过2.5%的电量，则x的可能取值为( )
A．4.6 B．5.8
C．7.6 D．9.9
二、多项选择题
9．(2024·江苏常州高三月考)在线直播带货已经成为一种重要销售方式，假设直播在线购买人数y(单位：人)与某产品销售单价x(单位：元)满足关系式y＝－x＋40，其中20A．实数m的值为10000
B．销售单价越低，直播在线购买人数越多
C．当x的值为30时，利润最大
D．利润的最大值为10000
10.甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(单位：km)与时间x(单位：min)的关系，下列结论正确的是( )
A．甲同学从家出发到乙同学家走了60 min
B．甲从家到公园的时间是30 min
C．甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快
D．当0≤x≤30时，y与x的关系式为y＝x
三、填空题
11．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了如下一组实验数据：
x 2 2.99 4 5 6.002
y 4 8.02 15.99 32 64.01
现准备用下列四个函数中的一个近似地描述这些数据的规律：①y＝2x；②y＝(x2－1)；③y＝log2x；④y＝2x，其中最接近的一个是________(只填序号)．
12.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N*)为二次函数的关系(如图)，则每辆客车营运年数为________时，营运的年平均利润最大．
13．双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”．为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇．Peukert于1898年提出蓄电池的容量C(单位：A·h)，放电时间t(单位：h)与放电电流I(单位：A)之间关系的经验公式C＝In·t，其中n＝log2为Peukert常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流I＝10 A时，放电时间t＝57 h，则当放电电流I＝15 A时，放电时间为________ h.
14．为了响应党和国家节能减排的号召，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，经测算，该技术处理总成本y(单位：万元)与处理量x(单位：吨)(x∈[120，500])之间的函数关系可近似表示为
y＝
为使二氧化碳每吨处理成本最低，则处理量x为________吨．
四、解答题
15．(2023·河北保定高三模拟)某科研团队对某一生物生长规律进行研究，发现其生长蔓延的速度越来越快．开始在某水域投放一定面积的该生物，经过2个月其覆盖面积为18平方米，经过3个月其覆盖面积达到27平方米．该生物覆盖面积y(单位：平方米)与经过时间x(x∈N)个月的关系有两个函数模型y＝k·ax(k>0，a>1)与y＝p＋q(p>0)可供选择．
(1)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的函数解析式；
(2)问约经过几个月，该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍？(参考数据：≈1.41，≈1.73，lg 2≈0.30，lg 3≈0.48，精确到1月)
【B组 素养提升】
16．(多选)(2024·广东东莞入学考试)牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体的初始温度是θ0(单位：℃)，环境温度是θ1(单位：℃)，其中θ0>θ1，则经过t分钟后物体的温度θ将满足θ＝f(t)＝θ1＋(θ0－θ1)·e－kt(k∈R且k>0)．现有一杯80 ℃的热红茶置于20 ℃的房间里，根据这一模型研究红茶冷却情况，下列结论正确的是(参考数据：ln 2≈0.7)( )
A．若f(3)＝50 ℃，则f(6)＝35 ℃
B．若k＝，则红茶下降到50 ℃所需的时间大约为7分钟
C．若f′(3)＝－5，则其实际意义是在第3分钟附近，红茶温度大约以每分钟5 ℃的速率下降
D．红茶温度从80 ℃下降到60 ℃所需的时间比从60 ℃下降到40 ℃所需的时间多
17．(多选)(2024·江苏常州一中期初检测)地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，一般采用里氏震级标准．里氏震级的计算公式为M＝lg (其中常数A0是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅，Amax是指我们关注的这次地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅)．地震的能量E(单位：焦耳)是指当地震发生时，以地震波的形式放出的能量．已知E＝104.8×101.5M，其中M为地震震级．下列说法正确的是( )
A．若地震震级M增加1级，则最大振幅Amax增加到原来的10倍
B．若地震震级M增加1级，则放出的能量E增加到原来的10倍
C．若最大振幅Amax增加到原来的10倍，则放出的能量E增加到原来的10倍
D．若最大振幅Amax增加到原来的10倍，则放出的能量E增加到原来的1000倍
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第九节 函数模型及其应用
课标解读 考向预测
1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义. 2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用. 近三年高考考查函数模型及应用，一般出现在选择题和填空题中，难度中档偏上．预计2025年高考会考查指数函数模型或对数函数模型在生活实际中的应用，以选择题的形式出现.
【知识梳理】
1．几种常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
与指数函数相关的模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
与对数函数相关的模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
与幂函数相关的模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)
2.指数、对数、幂函数模型性质比较
函数 性质 y＝ax (a>1) y＝logax (a>1) y＝xn (n>0)
在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同
值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax3.解答函数应用题的一般步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；
(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义．
以上过程用框图表示如下：
【常用结论】
“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小．
【诊断自测】
1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．( )
(2)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xn(n>0)和y＝logax(a>1)的增长速度．( )
(3)在选择实际问题的函数模型时，必须使所有的数据完全符合该函数模型．( )
答案 (1)× (2)√ (3)×
2．小题热身
(1)已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列结论中正确的是( )
A．f(x)>g(x)>h(x)
B．g(x)>f(x)>h(x)
C．g(x)>h(x)>f(x)
D．f(x)>h(x)>g(x)
答案 B
解析 在同一平面直角坐标系内，根据函数图象变化趋势，当x∈(4，＋∞)时，增长速度由大到小依次为g(x)>f(x)>h(x)．故选B.
(2)已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示．假设某商人持有资金120万元，他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计)．如果他在t4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是( )
A．40万元 B．60万元
C．80万元 D．120万元
答案 D
解析 当甲商品的价格为6元时，该商人全部买入甲商品，可以买120÷6＝20(万份)，在t2时刻全部卖出，此时获利20×2＝40(万元)；当
乙商品的价格为4元时，该商人买入乙商品，可以买(120＋40)÷4＝40(万份)，在t4时刻全部卖出，此时获利40×2＝80(万元)．故该商人共获利40＋80＝120(万元)．故选D.
(3)在数学课外活动中，小明同学进行了糖块溶于水的试验，将一块质量为7克的糖块放入一定量的水中，测量不同时刻未溶解糖块的质量，得到若干组数据，其中在第5分钟末测得的未溶解糖块的质量为3.5克，同时小明发现可以用指数型函数S＝ae－kt(a，k为常数)来描述以上糖块的溶解过程，其中S(单位：克)代表t分钟末未溶解糖块的质量，则k＝( )
A．ln 2 B．ln 3
C. D.
答案 C
解析 由题意可得，当t＝0时，S＝a＝7，因为在第5分钟末测得的未溶解糖块的质量为3.5克，所以3.5＝7e－5k，解得k＝.故选C.
(4)某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝
x∈N*，其中x代表拟录用人数，y代表面试人数，若面试人数为160，则该公司拟录用人数为________．
答案 75
解析 令y＝160，若4x＝160，则x＝40＞10，不符合题意；若2x＋10＝160，则x＝75，符合题意；若1.5x＝160，则x＝ N*，不符合题意．故拟录用人数为75.
【考点探究】
考点一 用函数图象刻画实际问题
例1中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用85 ℃的水泡制，再等到茶水温度降至60 ℃时饮用，可以产生最佳口感．为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔1 min测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图．观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律？( )
A．y＝mx2＋n(m>0)
B．y＝max＋n(m>0，0C．y＝max＋n(m>0，a>1)
D．y＝mlogax＋n(m>0，a>0，a≠1)
答案 B
解析 由函数图象可知符合条件的只有指数函数模型，并且m>0，0【通性通法】
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象；当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际情况的答案．
(2)图形、表格能直观刻画两变量间的依存关系，考查了数学直观想象核心素养．
【巩固迁移】
1.(多选)某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y(单位：微克)与时间t(单位：小时)之间的关系近似满足如图所示的曲线．据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则下列说法正确的是( )
A．a＝3
B．注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时
C．注射该药物小时后每毫升血液中的含药量为0.5微克
D．注射一次治疗该病的有效时间长度为5小时
答案 ACD
解析 将点M的坐标代入y＝kt，可得k＝4，将点M的坐标代入y＝可得＝4，解得a＝3，所以y＝A正确；当01时，由y＝≥可得t≤6，此时1考点二 根据给定的函数模型解决实际问题
例2(1)某社区超市的某种商品的日利润y(单位：元)与该商品的当日售价x(单位：元)之间的关系为y＝－＋12x－210，那么该商品的日利润最大时，当日售价为( )
A．100元 B．150元
C．200元 D．250元
答案 B
解析 因为y＝－＋12x－210＝－(x－150)2＋690，所以当x＝150时，y取最大值．故选B.
(2)(2024·福建福州高三质量检测)为落实党的二十大提出的“加快建设农业强国，扎实推动乡村振兴”的目标，银行拟在乡村开展小额贷款业务．根据调查的数据，建立了实际还款比例P关于贷款人的年收入x(单位：万元)的Logistic模型：P(x)＝，已知当贷款人的年收入为8万元时，其实际还款比例为50%.若银行希望实际还款比例为40%，则贷款人的年收入为(精确到0.01万元，参考数据：ln 3≈1.0986，ln 2≈0.6931)( )
A．4.65万元 B．5.63万元
C．6.40万元 D．10.00万元
答案 A
解析 由题意，得P(8)＝＝50%＝，整理，得e－0.9680＋8k＝1，即－0.9680＋8k＝0，解得k＝0.121，所以P(x)＝.令P(x)＝＝40%＝，得5e－0.9680＋0.121x＝2(1＋e－0.9680＋0.121x)，整理，得e－0.9680＋0.121x＝，两边取自然对数，得－0.9680＋0.121x＝ln ，解得x＝≈4.65.故选A.
【通性通法】
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．
(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验．
【巩固迁移】
2．(多选)(2023·新课标Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg ，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10 60～90
混合动力汽车 10 50～60
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则( )
A．p1≥p2 B．p2>10p3
C．p3＝100p0 D．p1≤100p2
答案 ACD
解析 解法一：由题意可知，Lp1∈[60，90]，Lp2∈[50，60]，Lp3＝40，对于A，Lp1－Lp2＝20×lg －20×lg ＝20×lg ，因为Lp1≥Lp2，则Lp1－Lp2＝20×lg ≥0，即lg ≥0，所以≥1且p1，p2>0，可得p1≥p2，故A正确；对于B，Lp2－Lp3＝20×lg －20×lg ＝20×lg ，因为Lp2－Lp3＝Lp2－40≥10，则20×lg ≥10，即lg ≥，所以≥且p2，p3>0，可得p2≥p3，当且仅当Lp2＝50时，等号成立，故B错误；对于C，因为Lp3＝20×lg ＝40，即lg ＝2，可得＝100，即p3＝100p0，故C正确；对于D，由选项A可知，Lp1－Lp2＝20×lg ，且Lp1－Lp2≤90－50＝40，则20×lg ≤40，即lg ≤2，可得≤100且p1，p2>0，所以p1≤100p2，故D正确．故选ACD.
解法二：因为Lp＝20×lg 随着p的增大而增大，且Lp1∈[60，90]，Lp2∈[50，60]，所以Lp1≥Lp2，所以p1≥p2，故A正确；由Lp＝20×lg ，得p＝p010，因为Lp3＝40，所以p3＝p010＝100p0，故C正确；假设p2＞10p3，则p010＞10p010，所以10－＞10，所以Lp2－Lp3＞20，该式不可能成立，故B错误；因为＝＝10－＋2≥1，所以p1≤100p2，故D正确．故选ACD.
3．某品牌汽车的月产量y(单位：万辆)与月份x(3答案 1.875
解析 依题意有解得于是得y＝－2·＋2，当x＝7时，y＝－2×＋2＝1.875，所以该品牌汽车7月的产量为1.875万辆．
考点三 通过构建函数模型解决实际问题(多考向探究)
考向1构建二次函数模型
例3 (2024·湖南永州高三摸底)A，B两城相距100 km，在两城之间距A城x km处建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(单位：km)的平方与供电量(单位：亿度)之积的0.25倍，若A城供电量为每月20亿度，B城供电量为每月10亿度．
(1)求x的取值范围；
(2)把月供电总费用y表示成x的函数；
(3)核电站建在距A城多远，才能使供电总费用y最少？
解 (1)由题意，知x的取值范围为[10，90]．
(2)y＝0.25×20×x2＋0.25×10×(100－x)2
＝5x2＋(100－x)2＝x2－500x＋25000，
∴y＝x2－500x＋25000(10≤x≤90)．
(3)y＝x2－500x＋25000＝＋，
∴当x＝时，ymin＝.
∴核电站建在距A城 km处，供电总费用最少．
【通性通法】
二次函数的最值问题一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要注意函数的定义域，否则极易出错．
【巩固迁移】
4．(2023·河北张家口高三期末)江苏某新能源公司某年初购入一批新能源汽车充电桩，每台13500元，到第x年年末(x∈N*)每台设备的累计维修保养费用为(300x2＋3200x)元，每台充电桩每年可给公司收益8000元．(≈4.36)
(1)求每台充电桩第几年年末开始获利；
(2)每台充电桩在第几年年末时，年平均利润最大？
解 (1)设每台充电桩在第x年年末的利润为f(x)元，
则f(x)＝8000x－(300x2＋3200x)－13500＝－300x2＋4800x－13500，
令f(x)>0，解得8－又≈4.36，
∴3.64∵x∈N*，
∴每台充电桩从第4年年末开始获利．
(2)设g(x)为每台充电桩在第x年年末的年平均利润，
则g(x)＝＝－＋4800.
∵y＝300x＋在(0，3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，
∴g(x)在(0，3)上单调递增，在(3，＋∞)上单调递减，
又x∈N*，3≈6.708，g(6)＝750，g(7)≈771，
∴g(7)>g(6)，
∴每台充电桩在第7年年末时，年平均利润最大．
考向2构建指数函数、对数函数模型
例4牛奶中细菌的标准新国标将最低门槛(允许的最大值)调整为200万个/毫升，牛奶中的细菌常温状态下大约20分钟就会繁殖一代，现将一袋细菌含量为3000个/毫升的牛奶常温放置于空气中，经过________分钟就不宜再饮用．(精确到1分钟，参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)
答案 188
解析 设经过x个周期后细菌含量超标，即3000×2x>2000000，即2x>，所以x>log2＝＝≈9.4，而20×9.4＝188，因此经过188分钟就不宜再饮用．
【通性通法】
(1)在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．求解时可利用指数运算与对数运算的关系．
(2)利用指数函数、对数函数模型解题，关键是对模型的判断，先设定模型，将有关数据代入验证，确定参数，求解时要准确进行指、对数运算，灵活进行指数与对数的互化．
【巩固迁移】
5．一种药在病人血液中的量保持1500 mg以上才有疗效；而低于500 mg病人就有危险．现给某病人静脉注射了这种药2500 mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过________小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．(附：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771，精确到0.1 h)
答案 2.3
解析 设应在病人注射这种药经过x小时后再向病人的血液补充这种药，则2500(1－20%)x＝1500，整理可得＝，所以x＝log，又log＝log＝＝＝≈2.3，所以x≈2.3.故从现在起经过2.3小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．
考向3构建分段函数模型
例5响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调研，生产某小型电子产品需投入年固定成本2万元，每生产x万件，需另投入流动成本W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝x2＋2x.在年产量不小于8万件时，W(x)＝7x＋－37.每件产品售价6元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完．
(1)写出年利润P(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)
(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
解 (1)因为每件商品售价6元，则x万件商品销售收入为6x万元．
依题意得，当0当x≥8时，P(x)＝6x－－2＝35－x－.
故P(x)＝
(2)当0此时，当x＝6时，P(x)取得最大值，为10.
当x≥8时，P(x)＝35－≤35－2＝15.
此时，当x＝10时，P(x)取得最大值，为15.
因为10<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．
【通性通法】
(1)在现实生活中，很多问题的两变量之间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数．如出租车票价与路程之间的关系，就是分段函数．
(2)分段函数主要是每一段上自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其作为几个不同问题，将各段的规律找出来，再将其合在一起．要注意各段变量的范围，特别是端点．
(3)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理，不重不漏．
【巩固迁移】
6．某企业自主开发出一款新产品A，计划在2025年正式投入生产，已知A产品的前期研发总花费为50000元，该企业每年最多可生产4万件A产品．通过市场分析知，在2025年该企业每生产x千件A产品，需另投入生产成本R(x)千元，且R(x)＝
(1)求该企业生产一件A产品的平均成本p(单位：元)关于x的函数关系式，并求平均成本p的最小值；(总成本＝研发成本＋生产成本)
(2)该企业欲使生产一件A产品的平均成本p≤66元，求其年生产值x(单位：千件)的取值区间？
解 (1)由题知生产x千件的总成本为(R(x)＋50)千元，
故生产一件的平均成本为元，
所以p(x)＝
当x∈(0，10]时，p(x)＝x＋60＋单调递减，
故最小值为p(10)＝70，
当x∈(10，40]时，p(x)＝1800＋65.5，
故最小值为p(20)＝65.5，
因为70>65.5，
所以生产一件A产品的平均成本最低为65.5元．
(2)由(1)知，要使p(x)≤66，只需考虑x∈(10，40]，
即70＋－≤66，
结合x>0，整理得x2－45x＋450≤0，
解得15≤x≤30，
所以当x∈[15，30]时，生产一件A产品的平均成本不超过66元．
课时作业
【A组 基础练习】
一、单项选择题
1．某中学体育课对女生立定跳远项目的考核标准为：立定跳远距离1.33米得5分，每增加0.03米，分值增加5分，直到1.84米得90分后，每增加0.1米，分值增加5分，满分为120分．若某女生训练前的成绩为70分，经过一段时间的训练后，成绩为105分，则该女生训练后，立定跳远距离增加了( )
A．0.33米 B．0.42米
C．0.39米 D．0.43米
答案 B
解析 该女生训练前立定跳远距离为1.84－0.03×＝1.72(米)，训练后立定跳远距离为1.84＋0.1×＝2.14(米)，则该女生训练后，立定跳远距离增加了2.14－1.72＝0.42(米)．故选B.
2．视力检测结果有两种记录方式，分别是小数记录与五分记录，其部分数据如下表：
小数记录x 0.1 0.12 0.15 … 1 1.2 1.5 2.0
五分记录y 4.0 4.1 4.2 … 5 5.1 5.2 5.3
现有如下函数模型：①y＝5＋lg x，②y＝5＋lg ，x表示小数记录数据，y表示五分记录数据，请选择最合适的模型解决如下问题：小明同学检测视力时，医生告诉他的视力为4.7，则小明同学的小数记录数据为(附：100.3≈2，5－0.22≈0.7，10－0.1≈0.8)( )
A．0.3 B．0.5
C．0.7 D．0.8
答案 B
解析 由表格中的数据可知，函数单调递增，故合适的函数模型为y＝5＋lg x，令y＝5＋lg x＝4.7，解得x＝10－0.3≈0.5.故选B.
3．“百日冲刺”是各个学校针对高三学生进行的高考前的激情教育，它能在短时间内最大限度激发一个人的潜能，使成绩在原来的基础上有不同程度的提高，以便在高考中取得令人满意的成绩，特别对于成绩在中等偏下的学生来讲，其增加分数的空间尤其大．现有某班主任老师根据历年成绩在中等偏下的学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个经过时间t(30≤t≤100)(单位：天)与增加总分数f(t)(单位：分)的函数模型：f(t)＝，k为增分转化系数，P为“百日冲刺”前的最后一次模考总分，且f(60)＝P.已知某学生在高考前100天的最后一次模考总分为400分，依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分约为(lg 61≈1.79)( )
A．440分 B．460分
C．480分 D．500分
答案 B
解析 由题意得，f(60)＝＝P，∴k＝≈＝0.465，∴f(100)≈＝≈＝62，∴该学生在高考中可能取得的总分约为400＋62＝462≈460(分)．故选B.
4．(2024·云南昆明高三模拟)单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关．假设某条道路一小时通过的车辆数N满足关系N＝，其中d0(单位：m)为安全距离，v(单位：m/s)为车速．当安全距离d0取30 m时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为( )
A．135 B．149
C．165 D．195
答案 B
解析 由题意得，N＝＝≤≈149，当且仅当0.3v＝，即v＝10时取等号，所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149.故选B.
5．(2024·江苏沭阳如东中学高三模拟)深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它以神经网络为出发点，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L＝L0D，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，L0表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，G0表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.2以下(不含0.2)所需的训练迭代轮数至少为(参考数据：lg 2≈0.3010)( )
A．72 B．74
C．76 D．78
答案 B
解析 由题意，得L＝0.5×D，则0.4＝0.5×D，解得D＝，则L＝0.5×，由L＝0.5×<0.2，得G>18 log＝＝≈73.9，所以所需的训练迭代轮数至少为74.故选B.
6．“一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来”描述了封建统治者的骄奢生活，同时也讲述了古代资源流通的不便利．如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合．已知某类果蔬的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝eax＋b(a，b为常数)，若该果蔬在6 ℃的保鲜时间为216小时，在24 ℃的保鲜时间为8小时，那么在12 ℃时，该果蔬的保鲜时间为( )
A．72小时 B．36小时
C．24小时 D．16小时
答案 A
解析 当x＝6时，e6a＋b＝216；当x＝24时，e24a＋b＝8，则＝＝27，整理可得e6a＝，于是eb＝216×3＝648，当x＝12时，y＝e12a＋b＝(e6a)2·eb＝×648＝72.故选A.
7．“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等作用，激起水波，形成涌泉，声音越大，涌起的泉水越高．已知听到的声强I与标准声强I0(I0约为10－12，单位：W/m2)之比的常用对数称作声强的声强级，记作L(单位：贝尔)，即L＝lg .取贝尔的10倍作为响度的常用单位，简称为分贝，已知某处“喊泉”的声音强度y(单位：分贝)与喷出的泉水高度x(单位：m)之间满足关系式y＝2x，甲、乙两名同学大喝一声激起的涌泉的最高高度分别为70 m，60 m．若甲同学大喝一声的声强大约相当于n个乙同学同时大喝一声的声强，则n的值约为( )
A．10 B．100
C．200 D．1000
答案 B
解析 设甲同学的声强为I1，乙同学的声强为I2，则140＝10lg ，120＝10lg ，两式相减即得20＝10lg ，即lg ＝2，从而＝100，所以n的值约为100.故选B.
8．(2024·山东德州高三期末)已知某品牌手机电池充满时的电量为4000(单位：毫安时)，且在待机状态下有两种不同的耗电模式可供选择．模式A：电量呈线性衰减，每小时耗电400(单位：毫安时)；模式B：电量呈指数衰减，即从当前时刻算起，t小时后的电量为当前电量的倍．现使该电子产品处于满电量待机状态时开启A模式，并在x小时后，切换为B模式，若使其在待机10小时后有超过2.5%的电量，则x的可能取值为( )
A．4.6 B．5.8
C．7.6 D．9.9
答案 C
解析 模式A在待机t小时后电池内电量为y＝－400t＋4000，设当前电量为Q，模式B在待机t小时后电池内电量为y＝Q，则该电子产品处于满电量待机状态时开启A模式，并在x小时后，切换为B模式，其在待机10小时后的电量为(－400x＋4000)，由(－400x＋4000)>4000×2.5%＝100，得4(10－x)>210－x，根据选项，当x＝4.6时，4×(10－4.6)＝21.6<210－4.6＝25.4≈42.2；当x＝5.8时，4×(10－5.8)＝16.8<210－5.8＝24.2≈18.4；当x＝7.6时，4×(10－7.6)＝9.6>210－7.6＝22.4≈5.3；当x＝9.9时，4×(10－9.9)＝0.4<210－9.9＝20.1≈1.1.故x的可能取值为7.6.
二、多项选择题
9．(2024·江苏常州高三月考)在线直播带货已经成为一种重要销售方式，假设直播在线购买人数y(单位：人)与某产品销售单价x(单位：元)满足关系式y＝－x＋40，其中20A．实数m的值为10000
B．销售单价越低，直播在线购买人数越多
C．当x的值为30时，利润最大
D．利润的最大值为10000
答案 ABC
解析 将x＝25，y＝2015代入y＝－x＋40，可得2015＝－25＋40，解得m＝10000，故A正确；易知y＝－x＋40(2010.甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(单位：km)与时间x(单位：min)的关系，下列结论正确的是( )
A．甲同学从家出发到乙同学家走了60 min
B．甲从家到公园的时间是30 min
C．甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快
D．当0≤x≤30时，y与x的关系式为y＝x
答案 BD
解析 甲在公园休息的时间是10 min，所以只走了50 min，A错误；由题中图象知，B正确；甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，C错误；当0≤x≤30时，设y＝kx(k≠0)，则2＝30k，解得k＝，D正确．故选BD.
三、填空题
11．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了如下一组实验数据：
x 2 2.99 4 5 6.002
y 4 8.02 15.99 32 64.01
现准备用下列四个函数中的一个近似地描述这些数据的规律：①y＝2x；②y＝(x2－1)；③y＝log2x；④y＝2x，其中最接近的一个是________(只填序号)．
答案 ④
解析
x 2 2.99 4 5 6.002
y 4 8.02 15.99 32 64.01
①y＝2x 4 5.98 8 10 12.004
②y＝(x2－1) 1.5 3.97 7.5 12 17.51
③y＝log2x 1 1.58 2 2.32 2.59
④y＝2x 4 7.94 16 32 64.09
由表格数据可知其中最接近的一个是④y＝2x.
12.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N*)为二次函数的关系(如图)，则每辆客车营运年数为________时，营运的年平均利润最大．
答案 5
解析 根据题意得，抛物线的顶点为(6，11)，过点(4，7)，开口向下，设二次函数的解析式为y＝a(x－6)2＋11(a<0)，所以7＝a(4－6)2＋11，解得a＝－1，即y＝－(x－6)2＋11，则营运的年平均利润＝＝12－≤12－2＝2，当且仅当x＝，即x＝5时取等号．
13．双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”．为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇．Peukert于1898年提出蓄电池的容量C(单位：A·h)，放电时间t(单位：h)与放电电流I(单位：A)之间关系的经验公式C＝In·t，其中n＝log2为Peukert常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流I＝10 A时，放电时间t＝57 h，则当放电电流I＝15 A时，放电时间为________ h.
答案 28.5
解析 根据题意可得C＝57×10n，则当I＝15 A时，57×10n＝15n×t，所以t＝57×＝57× log2＝57× log＝28.5 h，即当放电电流I＝15 A时，放电时间为28.5 h.
14．为了响应党和国家节能减排的号召，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，经测算，该技术处理总成本y(单位：万元)与处理量x(单位：吨)(x∈[120，500])之间的函数关系可近似表示为
y＝
为使二氧化碳每吨处理成本最低，则处理量x为________吨．
答案 400
解析 由题意得二氧化碳每吨的平均处理成本S＝当x∈[120，144)时，S＝x2－80x＋5040，当x＝120时，S取得最小值240；当x∈[144，500]时，S＝x－200＋≥2－200＝200，当且仅当x＝，即x＝400时取等号，此时S取得最小值200.由于200<240，故所求处理量为400吨．
四、解答题
15．(2023·河北保定高三模拟)某科研团队对某一生物生长规律进行研究，发现其生长蔓延的速度越来越快．开始在某水域投放一定面积的该生物，经过2个月其覆盖面积为18平方米，经过3个月其覆盖面积达到27平方米．该生物覆盖面积y(单位：平方米)与经过时间x(x∈N)个月的关系有两个函数模型y＝k·ax(k>0，a>1)与y＝p＋q(p>0)可供选择．
(1)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的函数解析式；
(2)问约经过几个月，该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍？(参考数据：≈1.41，≈1.73，lg 2≈0.30，lg 3≈0.48，精确到1月)
解 (1)∵函数y＝k·ax(k>0，a>1)中，y随x的增长而增长的速度越来越快，
而函数y＝p＋q(p>0)中，y随x的增长而增长的速度越来越慢，
根据已知条件应选y＝k·ax(k>0，a>1)更合适．
由已知得解得
∴该模型的函数解析式为y＝8·(x∈N)．
(2)由(1)知，当x＝0时，y＝8，
∴原先投放的此生物的面积为8平方米．
设经过x个月该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍，
∴8×＝8×1000，
解得x＝≈≈17，
∴约经过17个月，该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍．
【B组 素养提升】
16．(多选)(2024·广东东莞入学考试)牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体的初始温度是θ0(单位：℃)，环境温度是θ1(单位：℃)，其中θ0>θ1，则经过t分钟后物体的温度θ将满足θ＝f(t)＝θ1＋(θ0－θ1)·e－kt(k∈R且k>0)．现有一杯80 ℃的热红茶置于20 ℃的房间里，根据这一模型研究红茶冷却情况，下列结论正确的是(参考数据：ln 2≈0.7)( )
A．若f(3)＝50 ℃，则f(6)＝35 ℃
B．若k＝，则红茶下降到50 ℃所需的时间大约为7分钟
C．若f′(3)＝－5，则其实际意义是在第3分钟附近，红茶温度大约以每分钟5 ℃的速率下降
D．红茶温度从80 ℃下降到60 ℃所需的时间比从60 ℃下降到40 ℃所需的时间多
答案 ABC
解析 由题知θ＝f(t)＝20＋60e－kt，若f(3)＝50 ℃，即50＝20＋60e－3k，所以e－3k＝，则f(6)＝20＋60e－6k＝20＋60(e－3k)2＝20＋60×＝35 ℃，A正确；若k＝，则20＋60e－t＝50，则e－t＝，两边同时取对数得－t＝ln ＝－ln 2，所以t＝10ln 2≈7，所以红茶下降到50 ℃所需的时间大约为7分钟，B正确；f′(3)表示t＝3处的函数值的变化情况，若f′(3)＝－5<0，则其实际意义是在第3分钟附近，红茶温度大约以每分钟5 ℃的速率下降，故C正确；f(t)为指数型函数，如图，可得红茶温度从80 ℃下降到60 ℃所需的时间(t2－t1)比从60 ℃下降到40 ℃所需的时间(t3－t2)少，故D错误．故选ABC.
17．(多选)(2024·江苏常州一中期初检测)地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，一般采用里氏震级标准．里氏震级的计算公式为M＝lg (其中常数A0是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅，Amax是指我们关注的这次地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅)．地震的能量E(单位：焦耳)是指当地震发生时，以地震波的形式放出的能量．已知E＝104.8×101.5M，其中M为地震震级．下列说法正确的是( )
A．若地震震级M增加1级，则最大振幅Amax增加到原来的10倍
B．若地震震级M增加1级，则放出的能量E增加到原来的10倍
C．若最大振幅Amax增加到原来的10倍，则放出的能量E增加到原来的10倍
D．若最大振幅Amax增加到原来的10倍，则放出的能量E增加到原来的1000倍
答案 AC
解析 因为M′＝M＋1＝1＋lg ＝lg ，所以A′max＝10Amax，故A正确；因为E′＝104.8×101.5M′＝104.8×101.5(M＋1)＝104.8×101.5M＋1.5＝101.5E，故B错误；因为lg ＝M＋1＝M′，E′＝104.8×101.5M′＝104.8×101.5(M＋1)＝104.8×101.5M＋1.5＝101.5E＝10E，故C正确，D错误．故选AC.
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