7.4.2互斥事件及其发生的概型
第39课时
学习要求
1、进一步巩固两个互斥事件的概率加法公式．
2、提高两个互斥事件的概率加法公式的综合应用能力。
【课堂互动】
自学评价
1、在一个盒子内放有10个大小相同的小球，其中有7个红球、2个绿球、一个黄球．现从中摸出1个球：
事件A：“从盒中摸出1个球，得到红球”；
事件B：“从盒中摸出1个球，得到绿球”；
事件C：“从盒中摸出1个球，得到黄球”，
上述事件中，哪些是互斥事件？
答：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件．上述事件中，事件A和B、B和C、A和C是互斥事件．
2、互斥事件与对立事件的区别与联系：互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：（1）事件A发生且事件B不发生；（2）事件A不发生且事件B发生；（3）事件A与事件B同时不发生，而对立事件是指事件A 与事件B有且仅有一个发生，其包括两种情形；（1）事件A发生B不发生；（2）事件B发生事件A不发生，对立事件是互斥事件的特殊情形．
【经典范例】
例1 抛掷一骰子,观察掷出的点数,设事件A为“出现奇数点”，B为“出现偶数点”，已知P(A)=，P(B)=，求 “出现奇数点或偶数点”的概率．
【分析】抛掷骰子,事件“出现奇数点”和“出现偶数点”是彼此互斥的，可用运用概率的加法公式求解．
【解】
例2 盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取两次，每次取一只，试求下列事件的概率：
(1)取到的2只都是次品；
(2)取到的2只中正品、次品各一只；
(3)取到的2只中至少有一只正品．
【解】
例3 如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心（事件A）的概率是，取到方块（事件B）的概率是，问：
（1）取到红色牌（事件C）的概率是多少？
（2）取到黑色牌（事件D）的概率是多少？
【分析】事件C是事件A与事件B的并，且A与B互斥，因此可用互斥事件的概率和公式求解，事件C与事件D是对立事件，因此P(D)=1—P(C)．
【解】
例4 袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？
【分析】利用方程的思想及互斥事件、对立事件的概率公式求解．
【解】
追踪训练
1、下列说法中正确的是（ ）
A．事件A、B中至少有一个发生的概率一定比A、B中恰有一个发生的概率大
B．事件A、B同时发生的概率一定比事件A、B恰有一个发生的概率小
C．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件
D．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件
2、一辆班车接送职工上下班，规定有10个车站，车上有30人，如果某站无人下车，则班车在此站不停，求下列事件的概率．
（1）班车在某一站停车的概率；
（2）班车停车不少于2次的概率．
3、从一副52张（不含大小王）扑克牌中抽出一张，放回后重新洗牌，再抽出一张，
（1）前后两张为同花色的概率是多少？
（2）是同一张的概率是多少？第6课时7.3.1 几何概型(1)
分层训练
1、在500ml的水中有一个草履虫，现从中随机取出2ml水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是（ ）
A．0.5 B．0.4 C．0.004 D．不能确定
2、 在长为10的线段AB上任取一点M,并以线段AM为边作正方形,则正方形的面积介于与之间的概率是 ( )
A． B. C． D．
3、 水面直径为0.5米的金鱼缸的水面上飘着一块面积为的浮萍,则向缸里随机洒鱼食时,鱼食掉在浮萍上的概率约为 ( )
A. B.
C. D.
4、以假设△ABC为圆的内接三角形,AC=BC,AB为圆的直径,向该圆内随机投一点,则该点落在△ABC内的概率是 ( )
A. B. C. D.
5、设标靶的半径为10cm，则中弹点与靶心的位置小于5cm的概率为 ．
拓展延伸
6、一海豚在水池中自由游弋,水池为长30,宽20的长方体.求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2的概率.
7、如果在一个5万平方公里的海域里有表面积达40平方公里的大陆架贮藏着石油,假如在这海领域里随意选定一点钻探,问钻到石油的概率是多少
8、平面上画了一些彼此相距2a的平行线，把一枚半径r
本节学习疑点：
学生质疑
教师答复第40课时7.4.3 复习课2
学习要求
1、复习几何概型的概率公式并能综合应用；
2、复习两个互斥事件的概率加法公式并能综合应用．
【课堂互动】
自学评价
1、. 电脑”扫雷”游戏的操作面被平均分成480块,其中有99块埋有地雷,现在操作面上任意点击一下,碰到地雷的概率为( )
A. B. C. D.
2、 向面积为S的△内任投一点P,则△的面积小于的概率为________.
3、回答下列问题：
(1)甲、乙两射手同时射击一目标，甲的命中率为0．65，乙的命中率为0．60，那么能否得出结论：目标被命中的概率等于0．65＋0．60＝1．25，为什么
(2)一射手命中靶的内圈的概率是0．25，命中靶的其余部分的概率是0．50，那么能否得出结论：目标被命中的概率等于0．25＋0．50＝0．75，为什么
(3)两人各掷一枚硬币，“同时出现正面”的概率可以算得为．由于“不出现正面”是上述事件的对立事件，所以它的概率等于这样做对吗 说明道理．
【解】
【经典范例】
例1 在(0,1)区间内任意取两实数,求它们的和大于而小于的概率.
【解】
例2 假设一直角三角形的两直角边长都是0,1间的随机数,试求斜边长小于事件的概率.
【解】
例3 从男女学生共有36名的班级中，任意选出2名委员，任何人都有同样的当选机会．如果选得同性委员的概率等于，男女生相差几名
【解】
例4 有三个人,每个人都以相同的概率被分配到四个房间中的每一间.试求(1)三个人都分配到同一房间的概率;(2)至少有两个人分配到同一房间的概率.
（点拨:∵三个人以同样的概率分配到每个房间,而三个人中每个人都可以分配到四个房间中的每一间,∴共有4×4×4=种方法.）
【解】
追踪训练
1、 某市派出甲、乙两支球队参加全省足球冠军赛．甲乙两队夺取冠军的概率分别是和．试求该市足球队夺得全省足球冠军的概率．
2、从4双不同的鞋子中任取4只,则至少有2只配对的概率为 。
3、在一条单行道上行进着一辆汽车,车长为4米,车宽为2米,汽车速度为36千米/小时,汽车车距为20米,有人突然从道旁某店内冲出,以2米/秒的速度垂直穿过街道,没有注意这辆汽车,试问:此人穿过街道未撞上汽车的概率为 。第34课时7.2.3复习课1
学习要求
1.复习随机事件及其概率
2.复习古典概型及其概率公式,并进行综合应用.
【课堂互动】
自学评价
1. 下列事件中不可能事件是（ C ）
A.三角形的内角和为180°
B.三角形中大边对的角大，小边对的角小
C.锐角三角形中两个内角的和小于90°
D.三角形中任意两边的和大于第三边
2. 在12件同类产品中，有10件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件的必然事件是（ D ）
A.3件都是正品 B.至少有1件是次品
C.3件都是次品 D.至少有一件是正品
3. 有4条线段，长度分别为1，3，5，7，从这四条线段中任取三条，则所取三条线段能构成一个三角形的概率是___________.
【精典范例】
例1 事件”某人掷骰子5次,两次点数为2”是随机事件吗 条件和结果是什么 一次试验是指什么 一共做了几次试验
解:是随机事件.条件:某人掷骰子5次,结果:两次点数为2,掷骰子一次就是一次试验,一共做了5次试验.
例2 从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表，求：
（１）甲被选中的概率;（２）丁没被选中的概率.
解：从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表包含6个基本事件: 甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁.
（1）记甲被选中为事件，则;
（2）记丁没被选中为事件，则.
例3 袋中有大小相同的红、黄两种颜色的球各个，从中任取只，有放回地抽取次. ( http: / / wxc. / ) 求：
1 只全是红球的概率；
2 只颜色全相同的概率；
③ 只颜色不全相同的概率. ( http: / / wxc. / )
解：①每次抽到红球的概率为
②每次抽到红球或黄球
③颜色不全相同是全相同的对立，
例4 现有一批产品共有件，其中件为正品，件为次品：
（1）如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续次取出的都是正品的概率；
（2）如果从中一次取件，求件都是正品的概率. ( http: / / wxc. / )
解：1）有放回地抽取次，按抽取顺序记录结果，则都有种可能，所以试验结果有种；设事件为“连续次都取正品”，则包含的基本事件共有种，因此，
（2）可以看作不放回抽样次，顺序不同，基本事件不同，按抽取顺序记录，则有种可能，有种可能，有种可能，所以试验的所有结果为种 ( http: / / wxc. / ) 设事件为“件都是正品”，则事件包含的基本事件总数为, 所以
追踪训练
1. ①已经发生的事件一定是必然事件;
②随机事件的发生能够人为控制其发生或不发生;
③不可能事件反映的是确定性现象;
④随机现象的结果是可以预知的.
以上说法正确的是 (C )
A. ①③ B．①② C．③ D.②④
2 . 先后抛掷两颗骰子，设出现的点数之和是10，8，6的概率依次是，则（C ）
A. B.
C. D.
3. 正六边形的顶点共有6个,以其中2个点为端点连成的线段中,正好是正六边形的边的概率为____________.
4. 有三个人,每个人都以相同的概率被分配到四个房间中的每一间.试求(1)三个人都分配到同一房间的概率;(2)至少有两个人分配到同一房间的概率.
解：(1)三个人分配到同一房间有4种分法,故由等可能事件的概率可知,所求的概率为.
(2)设事件B为”至少有两人分配到同一房间”,则考虑事件B的剩余情况为”三个人分配到三个不同的房间”.∵三个人分配到三个不同房间共有种方法,
∴.第41课时7.5复习课3(全章复习)
自学评价
本章内容是概率论的初步知识，它主要包括：随机事件的概率；等可能性事件的概率，包括古典概型和几何概型；互斥事件有一个发生的概率．
本章的重点是等可能性事件的概率；互斥事件有一个发生的概率．难点是概率问题处理的思想与方法.
1、下列事件中，属于随机事件的是 ( D )
A． 掷一枚硬币一次，出现两个正面；
B、同性电荷互相排斥；
C、当a为实数时，|a|<0；
D、2009年10月1日天津下雨
2、从一堆产品（其中正品和次品都多于2个）中任取2个，其中：①恰有1件次品和恰有2件次品；②至少有1件次品和全是次品；③至少有1件正品和至少有1 件次品；④至少有1件次品和全是正品；上述事件中，是互斥事件的是（ A ）
A ①④ B ②③ C ①②③ D ①②③④
3、袋中装有大小相同且分别写有1、2、3、4、5五个号码的小球各一个，现从中有放回地任取三球，三个号码全不相同的概率为（ C ）
A、 B、 C、 D、
【精典范例】
例1 某射手在同一条件下进行射击结果如下表所示
射击次数 击中靶心的次数 击中靶心的频率
10 8
50 20
100 48
200 90
500 225
800 360
（1）计算表中各个击中靶心的频率；
（2）这个射手击中靶心的概率是多少？
（3）这个射手射击2000次估计击中靶心的次数为多少？
【解】 (1)0,4,0.4,0.48,0.45,0.45,0.45 (2) 0.45 (3)300
例2 袋中装有大小均匀分别写有1,2,3,4,5五个号码的小球各一个,现从中有放回地任取三个球,求下列事件的概率:
(1)所取的三个球号码完全不同;
(2)所取的三个球号码中不含4和5.
【解】从五个不同的小球中,有放回地取出三个球,每一个基本事件可视为通过有顺序的三步完成:①先取1个球,记下号码再放回,有5种情况;②再从5球中任取一个球,记下号码再放回,仍然有5种情况;③再从5个球中任取1个球,记下号码再放回,还是有5种情况.因此从5个球中有放回地取3个球,共有基本事件5×5×5=125个,(1)记三球号码不同为事件A,这三球的选取仍然为有顺序的三次,第一次取球有5种情况,第二,三次依次有4,3种情况,∴事件A含有基本事件的个数5×4×3=60个,∴(2)记三球号码不含4和5为事件B,这时三球的选取还是为有顺序的三次,由于这时前面选的球后面仍然可以选,因此三次选取的方法种数都是3,∴B中所含基本事件的个数为3×3×3=27个,∴
例3 一个各面都涂有色彩的正方体，被锯成个同样大小的小正方体，将这些正方体混合后，从中任取一个小正方体，求：⑴有一面涂有色彩的概率；⑵有两面涂有色彩的概率；⑶有三面涂有色彩的概率.
【解】在个小正方体中，一面涂有色彩的有个，两面涂有色彩的有个，三面涂有色彩的有个，∴⑴一面涂有色彩的概率为；
⑵两面涂有色彩的概率为；
⑶有三面涂有色彩的概率.
答：⑴一面图有色彩的概率；⑵两面涂有色彩的概率为；⑶有三面涂有色彩的概率.
例4 9粒种子分种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．
（Ⅰ）求甲坑不需要补种的概率；
（Ⅱ）求3个坑中恰有1个坑不需要补种的概率；
（Ⅲ）求有坑需要补种的概率．
（精确到）
【解】(1)0.875 (2)0.041 (3)0.330
例5 一个盒中装有8只球，其中4红.3黑.1白，现从中取出2只球（无放回），
求：（1）全是红球或全是黑球的概率； （2）至少有一个红球的概率。
【解】（1）记事件A.B分别表示取出的全是红球.全是黑球，A.B彼此互斥，则
P（A）=，P（B）= P（A+B）=
（2）P（C）=
例6 甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6．本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束．设各局比赛相互间没有影响，求：
(Ⅰ) 前三局比赛甲队领先的概率；
(Ⅱ) 本场比赛乙队以取胜的概率．
(精确到0.001)
【解】(Ⅰ) 0.648 (Ⅱ)0.138
追踪训练
1、四面体的顶点和各棱的中点共10个点，
在其中取4个点，则这四个点不共面的概率
（ D ）
A . B. C. D.
2、甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为30%，，两人下成和棋的概率为50%，那么甲不输棋的概率是 80%
3、从4名男生和n名女生中任选2名学生参加数学竞赛，已知“2人中至少有1名女生”的概率为5/6，则n等于____5______.第3章 概率 同步练习参考答案
7.1.1 随机现象
1、B 2、D 3、③；⑤；①②④
4、必然事件有（4）（6）；不可能事件有（5）；随机事件有（1）（2）（3）（7）（8）；
5、 D 6、C
7、“点数之和大于2”为必然事件,则;
“点数之和大于30”为不可能事件,则,∴;
“点数之和等于20”为随机事件,
∵20=6×3+2,∴;
综上知: 且,故或.
7.1.2随机事件的概率
1、B 2、 19 3、可以说这批电视机的次品的概率是0.1；
4、（1）表中依次填入的数据为：0.520，0.517，0.517，0.517. （2）由表中的已知数据及公式fn（A）=即可求出相应的频率，而各个频率均稳定在常数0.518上，所以这一地区男婴出生的概率约是0.518；
5、这种说法不正确
6、根据公式可以计算出选修李老师的高等数学课的人数考试成绩在各个段上的频率依次为(总人数为43+182+260+90+62+8=645)
.
用已有的信息可以估计出小王下学期选修李老师的高等数学课得分的概率如下:
(1)得”90分以上”记为事件A,则P(A)=0.067;
(2)得”60分～69分”记为事件B,则P(B)=0.140;
(3)得”60分以上”记为事件C,则P(C)=0.067+0.282+0.403+0.140=0.892.
7、(1)表中依次填入的数据为:0.80,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91.
(2)由于频率稳定在常数0.89, 所以
这个射手射击一次,击中靶心的概率约是0.89.
7.2.1 古典概率(1)
1、C 2、C 3、B 4、B 5、B 6、 7、 8、
9、（1）（2）。 10、 , , .
7.2.2 古典概率(2)
1、B 2、 3、 4、
5、(1)满足,的点M的个数有109=90,不在轴上的点的个数为99=81个,∴点M不在轴上的概率为: ;
(2)点M在第二象限的个数有54=20个,所以要求的概率为.
6、 (1)∵抛掷壹分,贰分,伍分硬币时,各自都会出现正面和反面2种情况,∴一共可能出现的结果有8种.即(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反).
(2)出现”2枚正面,1枚反面”的结果有3种,即(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正).
(3)∵每种结果出现的可能性相等,∴事件A:出现“2枚正面,1枚反面”的概率P(A)= .
7、 (1) （2）
8、⑴设5个工厂均选择星期日停电的事件为A,
则.⑵设5个工厂选择的停电时间各不相同的事件为B,
则因为至少有两个工厂选择同一天停电的事件是,所以
7.2.3 复习课1
1、 ③,④; ②; ① 2、 C 3、D 4、C 5、“抛一次硬币”；57次
6、D 7、
8、(1)从写有a,b,c,d,e的五张卡片中任取两张,所有的基本事件有:ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de;
(2)由(1)知所有基本事件数为,所取两张卡片的字母恰好是按字母的顺序相邻排列的基本事件有:ab,bc,cd,de,共有个;∴所取两张卡片的字母恰好是按字母的顺序相邻排列的概率.
9、 设三名男同学为A,B,C,两名女同学为D,E,则从A,B,C,D,E五人中选2人的基本事件共有10个.(1)记两名参赛的同学都是男生为事件M,则M中含有基本事件:AB,AC,BC共有3个,∴两名参赛者都是男生的概率为P(M)=;(2) 记两名参赛的同学中至少有一名女生为事件N,则N中含有基本事件有7个,∴P(N)=.
10、 (1)不大于100的自然数共有n=101个,其中偶数有,∴所取的数是偶数的概率;(2)在不大于100的自然数中,3的倍数分别为0,3,6,9,…,99,共有个,∴所取的数为3的倍数的概率;(3)在不大于100的自然数中,被3除余1的数有:1,4,7,10,…,100,共有个,∴所取的数是被3除余1的概率为.
7.3.1 几何概型(1)
1、C（提示：由于取水样的随机性，所求事件A：“在取出2ml的水样中有草履虫”的概率等于水样的体积与总体积之比=0.004）
2、A 3、A 4、A 5、
6、整个区域面积为30×20=600(),
事件A发生的区域面积为30×20-26×16=184(),
所以.
7、如果在一个5万平方公里的海域里有表面积
7、由于选点的随机性,可以认为该海域中各点被选中的可能性是一样的,因而所求概率自然认为等于贮油海域的面积与整个海域面积之比,即等于40/50000=0.0008.
8、解：把“硬币不与任一条平行线相碰”的事件记为事件A，为了确定硬币的位置，由硬币中心O向靠得最近的平行线引
垂线OM，垂足为M，如图所示，这样线段OM长度（记作
OM）的取值范围就是[o,a]，只有当r＜OM≤a时硬币不与平
行线相碰，所以所求事件A的概率就是P（A）==
7.3.2 几何概型(2)
1、C 2、
3、 可以认为人在任一时刻到站是等可能的． 设上一班车离站时刻为a，则某人到站的一切可能时刻为 Ω= (a, a+5)，记A={等车时间少于3分钟}，则他到站的时刻只能为g = (a+2, a+5)中的任一时刻，故
4、以A为起点,逆时针方向为正,B至A的弧长为,C到A的弧长为,则对应的几何区域是边长为的正方形,△ABC为锐角三角形,则还要满足或,∴
5、设两数分别为,则,
∴两数之和小于1.2的点的概率.
6、设甲、乙两船到达码头的时刻分别是及。则及均可能取区间[0, 24]内任一值，即。而要求它们中的任何一船都不需要等待码头空出，那么必须甲比乙早到一小时以上，也即要求，我们记为事件，或者乙比甲早到2小时以上，即要求，我们记为事件。我们可以利用几何概型来计算。把看成平面上一点的直角坐标，则样本空间为坐标系中第一象限的边长为24的正方形中的所有点，而事件是由正方形中在直线的左上方的三角形，事件为正方形中直线的右下方的三角形。（如图）于是概率为：
7、总的时间长度为秒，设红灯为事件，黄灯为事件，
（1）出现红灯的概率,
（2）出现黄灯的概率,
（3）不是红灯的概率.
7.3.3 几何概型(3)
1、A 2、D 3、1/12 4、B 5、1/3
6、 7、 1/2 ( http: / / wxc. / )
8、设两数分别为,则
,
7.4.1随机事件及其概率(1)
1、C 2、 D 3、C 4、B 5、0.1
6、表示四件产品中没有废品的事件；表示四件产品中没有废品或只有一件废品的事件．
7、从盒子中任意取出2粒恰好是同一色的概率恰为取2粒白子的概率与2粒黑子的概率
的和，即为+=
8、 9、(1)0.46 (2)0.74
7.4.2随机事件及其概率(2)
1、B 2、 3、
4、“出现奇数点”的概率是事件A，“出现2点”的概率是事件B，“出现奇数点或2点”的概率之和为P（C）=P（A）+P（B）=+=
5、 6、 (1) （2） (3) (4)
7、
8、要使甲队获胜，甲队至少投中2个3分球，或3个2分球，甲队全投3分球至少投中2个球的概率为.，甲队全投2分球至少投中3个的概率为.，所以选择全投3分球甲队获胜的概率较大。
7.4.3复习课2
1、C 2、C 3、A 4、0.05 5、1/35
6、 1/6 7、 8、 9、（1） （2）
7.5复习课3(全章复习)
1、B 2、 C 3、 4、 5、 6、
7、 8、4760
9、一次试验的所有基本事件数为
（1）记事件A为无空盒， 所包含的基本事件数为，则
（2）记事件B为恰有一个空盒，所包含
的基本事件数，
第7章 概率单元测试题
1、D 2、D 3、B 4、D 5、 6、 7、 8、 9、0.55 10、
11、（1） （2） 12、（1）P(A)= =0.512 （2）P(B)= ≈0.467 13、、、 14、（1） （2） （3） 15、参见课本
M
2a
o
r第1课时7.1.1 随机现象
分层训练
1.下列事件中随机事件的个数为（ ）
（1）音叉在小锤敲击下发出声音。
（2）不等式恒成立。
（3）明天某交叉路口堵车。
（4）今天某棵树上飞来5只鸟。
A、1 B、2 C、3 D、4
2.下列试验能构成事件的是（ ）
A、从袋中摸2个球
B、射击十次
C、标准大气压下，水温降至0 0C
D、某人买体彩中头奖
3.给出下列事件：
①明天举行的某场足球赛的比分为3比1；
②下周一华东地区某地的温差为100C；
③同时掷两枚骰子，向上一面的两个点数之和不小于2；
④射击一次，命中10环；
⑤当为实数时，；
其中必然事件有 ；
不可能事件有 ；
随机事件有
4.指出下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？
（1）任取三条线段，这三条线段恰能组成一个直角三角形；
（2）任取一个正方体中的三个顶点，这三个顶点不共面；
（3）任取一个四边形，过这个四边形的四个顶点作一个圆；
（4）若，则整数中必有一个大于或等于5；
（5）实数不都为零，但；
（6）汽车排放尾气，污染环境；
（7）明天早晨有雾；
（8）明年的8月上海股市将有8％的涨幅；
其中必然事件有 ；
不可能事件有 ；
随机事件有
拓展延伸
5. 10件产品中有8件正品，两件次品，从中随机地取出3件，则下列事件中是必然事件的为 （ ）
A 3件都是正品 B 至少有一件次品
C 3件都是次品 D 至少有一件正品
6. 100件产品中，95件正品，5件次品，从中抽取6件：至少有1件正品；至少有3件是次品；6件都是次品；有2件次品、4件正品.以上四个事件中，随机事件的个数是 ( )
A.3 B.4 C.2 D. 1
7.同时抛掷骰子个,已知事件:“点数之和大于2”为必然事件,事件:“点数之和大于30”为不可能事件,事件“点数之和等于20”为随机事件,求的值.
学生质疑
教师答复
本节学习疑点：第10课时7.4.2 互斥事件及其发生的概率(2)
分层训练
1、先后抛掷两颗骰子，设出现的点数之和是12，11，10的概率依次是，则（ ）
A. B.
C. D.
2、已知直线与,现将一个骰子连掷两次,设第一次得的点数为,第二次得的点数为,则点(,)在已知直线下方的概率为 _____________.
3、 某工厂为节约用电,规定每天的用电量指标为1000千瓦时,按照上个月的用电记录,30天中有12天的用电量超过指标,若第二个月仍没有具体的节电措施,则该月的第一天用电量超过指标的概率为_______________.
4、抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数，事件B为出现2点，已知P（A）=，P（B）=，求出现奇数点或2点的概率之和．
5、在房间里有4个人．问至少有两个人的生日是同一个月的概率是多少
拓展延伸
6、在一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球．从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个．试求：
(1)取得两个红球的概率；
(2)取得两个绿球的概率；
(3)取得两个同颜色的球的概率；
(4)至少取得一个红球的概率．
7、．某单位36人的血型类别是：A型12人，B型10人，AB型8人，O型6人．现从这36人中任选2人，求此2人血型不同的概率．
8、一场篮球比赛到了最后5分钟，甲队比乙队少得5分．若甲队全投3分球，则有8次投篮机会．若甲队全投2分球，则有3次投篮机会．假设甲队队员投3分球的命中率均为0.6，投2分球的命中率均为0 .8，并且甲队加强防守，不给乙队投篮机会．问全投3分球与全投2分球这两种方案中选择哪一种甲队获胜的概率较大？
学生质疑
教师答复
本节学习疑点：7.3.2几何概型
第37课时
学习要求
1、增强几何概型在解决实际问题中的应用意识．
2、将实际问题转化为几何概型，并正确应用几何概型的概率计算公式解决问题．
【课堂互动】
自学评价
1.几何概型的概率：
一般地，在几何区域中随机地取一点，记事件＂该点落在其内部一个区域内＂为事件，则事件发生的概率．
2.与几何概型有关的实际问题：长度问题、面积问题、体积问题、等候问题、约会问题、点集问题等等。
【经典范例】
例1 在1升高产小麦种子中混入了一种带麦诱病的种子，从中随机取出10毫升，则取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是多少？
【分析】病种子在这1升中的分布可以看作是随机的，取得的10毫克种子可视作构成事件的区域，1升种子可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算其概率．
【解】
例2 如图，，，，在线段上任取一点，
试求：（１）为钝角三角形的概率；
（２）为锐角三角形的概率．
例3 一只蚂蚁在一边长为6的正方形区域内随机地爬行,求其恰在离四个顶点距离都大于3的地方的概率.
【解】
例4 利用随机模拟方法计算曲线，，和所围成的图形的面积．
【分析】在直角坐标系中画出正方形（，，，所围成的部分），用随机模拟的方法可以得到它的面积的近似值．
【解】
【说明】模拟计算的步骤：
（１）构造图形（作图）；
（２）模拟投点，计算落在阴影部分的点的频率；
（３）利用算出相应的量．
追踪训练
1、如图，有一圆盘其中的阴影部分的圆心角为，若向圆内投镖，如果某人每次都投入圆内，那么他投中阴影部分的概率为 （ ）
． ．
． ．
2、在区间中任意取一个数，则它与2之和大于的概率是________________
3、两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，求灯与两端距离都大于2m的概率．第3课时7.2.1 古典概型(1)
分层训练
1、在100张奖券中，有4张中奖，从中任取两张，两张都中奖的概率是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、据调查，10000名驾驶员在开车时约有5000名系安全带，如果从中随意的抽查一名驾驶员有无系安全带的情况，系安全带的概率是 （ ）
A. B. C. D.
3、掷两颗骰子，所得点数和为4的概率是（ ）
A、 B、 C、 D、
4、把三枚硬币一起抛出，出现2枚正面向上，一枚反面向上的概率是（ ）
A、 B、 C、 D、
5、在20瓶饮料中，有两瓶是过了保质期的，从中任取１瓶，恰为过保质期的概率为 （ ）
A. B. C. D.
6、200名青年工人，250名大学生，300名青年农民在一起联欢，如果任意找其中一名青年谈话，这个青年是大学生的概率是 ．
7、袋中有10个球，其中7个是红球，3个是白球，从中任意取出3个，则取出的3个都是红球的概率是 ．
8、某厂的三个车间的职工代表在会议室开会,第一,二,三车间的与会人数分别是10,12,9,一个门外经过的工人听到代表在发言,那么发言人是第二或第三车间职工代表的概率是_____________.
拓展延伸
9、某人的密码箱上的密码是一种五位数的号码，每位数字可在0到9中任意选取，
（1）开箱时按下一个五位数学号码，正好打开的概率是多少？
（2）某人未记准首位上的数字，他随意按下首位密码正好按对的概率是多少？
学生质疑
教师答复
10、甲、乙两人做出拳游戏（锤子、剪刀、布）.求:(1)平局的概率;(2)甲赢的概率;(3)乙赢的概率.
本节学习疑点：第9课时7.4.1 互斥事件及其发生的概率(1)
分层训练
1、某人在打阿靶中，连续射击2次，至少有1次中靶的对立事件是（ ）
A、两次都中靶 B、到多有一次中靶
C、两次都不中靶 D、只有一次中靶
2、某产品分甲、乙、丙三个等级，其中乙、丙两等级均属次品，若生产中出现乙级产品的概率为0.03，丙级产品的概率为0.01，则对成品抽查一件，恰好是正品的概率为（ ）
A、0.99 B、0.98 C、0.97 D、0.96
3、甲乙两人下棋，甲获胜的概率为0.2，两人下成和棋的概率为0.35，那么甲不输的概率为（ ）
A、0.2 B、0.35 C、0.55 D、0.65
4、一个盒内放有大小相同的10个小球，其中有5个红球、3个绿球、2个白球，从中任取2个球，至少有一个绿球的概率是（ ）
A、 B、 C、 D、
5、某人进行射击表演，已知其击中10环的概率0.35，击中9环的概率为0.30，中8环的概率是0.25，现准备射击一次，问击中8环以下（不含8环）的概率是多少？
6、若A表示四件产品中至少有一件是废品的事件，B表示废品不少于两件的事件，试问对立事件、各表示什么
拓展延伸
7、已知盒子中有散落的棋子15粒，其中6粒是黑子，9粒是白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率是，从中取出2粒都是白子的概率是，现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是多少？
8、四位同学各人写好一张贺卡，集中起来每人从中抽取一张，试求都抽不到自己所写卡片的概率。
9、某医院一天内派出医生下乡医疗,派出医生人数及其概率如下:
医生人数 0 1 2 3 4 5人以上
概率 0.1 0.16 0.2 0.3 0.2 0.04
求:(1)派出医生至多2人的概率;
（2）派出医生至少2人的概率.
本节学习疑点：
学生质疑
教师答复第七章 概率
一、知识结构
二、重点难点
重点：随机事件、概率的含义；等可能事件、互斥事件、对立事件的性质；古典概型、几何概型的计算
难点：等可能事件、互斥事件、对立事件的性质；古典概型、几何概型的计算
第30课时7.1.1 随机现象
【学习导航】
知识网络
学习要求
1.通过实例理解确定性现象与随机现象的含义和随机事件、必然事件、不可能事件的概念及其意义;
2.根据定义判断给定事件的类型，明确事件发生的条件是判断事件的类型的关键；
【课堂互动】
自学评价
1、在一定条件下，事先就能断定发生或不发生某种结果，这种现象叫做确定性现象
2、在一定条件下，某种现象可能发生，也可能不发生，事先不能断定出现哪种结果，这种现象叫做随机现象
3、必然会发生的事件叫做必然事件；肯定不会发生的事件叫做不可能事件；在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件，叫做随机事件
【精典范例】
例1 观察下列现象：
（1）在标准大气压下水加热到1000C，沸腾；
（2）导体通电，发热；
（3）同性电荷，相互吸引；
（4）实心铁块丢人水中，铁块浮起；
（5）买一张福利彩票，中奖；
（6）掷一枚硬币，正面朝上；
其中是随机现象的有
【解】显然（5）、（6）是随机现象。
注：显然（1）、（2）是必定发生的，、（3）、（4）是不可能发生的，从而它们都是确定性现象。
例2 判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？
（1）抛掷一块石子，下落；.
（2）在标准大气压下且温度低于0℃时，冰
融化；
（3）某人射击一次，中靶；
（4）如果，那么；
（5）掷两枚硬币，均出现反面；
（6）抛掷两枚骰子，点数之和为15；
（7）从分别标有号数1，2，3，4，5的5张
标签中任取一张，得到4号签；
（8）某电话机在1分钟内收到2次呼叫；
（9）绿叶植物，不会光合作用；
（10）在常温下，焊锡熔化；
（11）若为实数，则；
（12）某人开车通过十个路口，都遇到绿灯；
其中必然事件有 ；不可能事件有 ；随机事件有
【解】根据定义，其中必然事件有（1）、（4）、（11），不可能事件有（2）、（9）、（10），随机事件有（3）、（5）、（6）、（7）、（8）、（12）
例3 在10个学生中,男生有个,现从10个学生中任选6人去参加某项活动.①至少有一个女生;②5个男生,1个女生;③3个男生,3个女生.当为何值时,使得①为必然事件,②为不可能事件,③为随机事件
【解】 “至少有1个女生”为必然事件，则有;
“5个男生,1个女生”为不可能事件，则有或;
“3个男生,3个女生”为随机事件，则有;
综上所述,又由，可知或.
例4 已知,给出事件.
(1)当A为必然事件时,求的取值范围;
(2)当A为不可能事件时,求的取值范围.
【解】
此时,
又
(1)当A为必然事件时,即恒成立,所以有,
则的取值范围是
(2)当A为不可能事件时,即一定不成立,
所以有,则的取值范围是
追踪训练
1.下列事件中随机事件的个数为 （ B ）
(1) 物体在重力作用下自由下落。
(2) 方程有两个不相等的实根
(3) 下周日下雨
(4) 某剧院明天的上座率不低于60%
A、1 B、2 C、3 D、4
2.下列试验中可以构成事件的是 （ D ）
A、掷一次硬币
B、射击一次
C、标准大气压下，水烧至100 0C
D、摸彩标中头奖
3.传说古时候有一个农夫正在田间干活,忽然发现一只兔子撞死在地头的木桩上,他喜出望外,于是拾起兔子回家了,第二天他就蹲在木桩旁守侯,就这样日复一日,年复一年,但再也没有等着被木桩碰死的兔子,这是为什么
解:兔子碰死在木桩上是随机事件,可能不发生
4.事件”某人掷骰子5次,两次点数为2”是随机事件吗 条件和结果是什么 一次试验是指什么 一共做了几次试验
解: 是随机事件.条件:某人掷骰子5次,结果:两次点数为2,掷骰子一次就是一次试验,一共做了5次试验.
等可能事件
频 率
随机事件
不可能事件
必然事件
随机现象
概 率
应 用
互斥事件
对立事件
几何概型
古典概型7.2.2古典概型
第33课时
知识网络
基本事件等可能事件古典概型
计算公式
学习要求
1、进一步掌握古典概型的计算公式；
2、能运用古典概型的知识解决一些实际问题。
【课堂互动】
【经典范例】
例1 将一颗骰子先后抛掷两次，观察向上的点数，问：
（1）共有多少种不同的结果？
（2）两数的和是3的倍数的结果有多少种？
（3）两数和是3的倍数的概率是多少？
【解】（１）将骰子抛掷１次，它出现的点数有这6中结果。先后抛掷两次骰子，第一次骰子向上的点数有6种结果，第2次又都有6种可能的结果，于是一共有种不同的结果；
(2)第1次抛掷，向上的点数为这6个数中的某一个，第2次抛掷时都可以有两种结果，使向上的点数和为3的倍数（例如：第一次向上的点数为4，则当第2次向上的点数为2或5时，两次的点数的和都为3的倍数），于是共有种不同的结果．
(3)记“向上点数和为3的倍数”为事件，则事件的结果有种，因为抛两次得到的36中结果是等可能出现的，所以所求的概率为
答：先后抛掷2次，共有36种不同的结果；点数的和是3的倍数的结果有种；点数和是的倍数的概率为；
说明：也可以利用图表来数基本事件的个数：
例2 用不同的颜色给下图中的3个矩形随机的涂色，每个矩形只涂一种颜色，求
(1)3个矩形颜色都相同的概率；
(2)3个矩形颜色都不同的概率．
【分析】本题中基本事件比较多，为了更清楚地枚举出所有的基本事件，可以画图枚举如下：（树形图）
【解】基本事件共有个；
(1)记事件＝“3个矩形涂同一种颜色”，由上图可以知道事件包含的基本事件有个，故
(2)记事件＝“3个矩形颜色都不同”，由上图可以知道事件包含的基本事件有个，故
答：3个矩形颜色都相同的概率为；3个矩形颜色都不同的概率为．
【小结】
古典概型解题步骤：
⑴阅读题目，搜集信息；
⑵判断是否是等可能事件，并用字母表示事件；
⑶求出基本事件总数和事件所包含的结果数；
⑷用公式求出概率并下结论.
例3 现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品：
（1）如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续3次取出的都是正品的概率；
（2）如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率．
【解】
【小结】关于不放回抽样，计算基本事件个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其结果是一样的，但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会导致错误．
例4 一次投掷两颗骰子，求出现的点数之和为奇数的概率．
【解】
追踪训练
1、据人口普查统计，育龄妇女生男生女是近似等可能的，如果允许生育二胎，则某一育龄妇女两胎均是女孩的概率约是（ ）
A． B. C． D．
2、在大小相同的5个球中，2个是红球，3个是白球，若从中任取2个，则所取的2个球中至少有一个红球的概率是 ．
3、从数字1，2，3，4，5，中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为 ．
4、已知集合
A=,在平面直角坐标系中,点M的坐标为,其中,且,计算:(1)点M不在轴上的概率;(2)点M在第二象限的概率.第5课时7.2.3复习课1
分层训练
1、 在件产品中，有件一级品，件二级品，则下列事件：
①在这件产品中任意选出件，全部是一级品；
②在这件产品中任意选出件，全部是二级品；
③在这件产品中任意选出件，不全是一级品；
④在这件产品中任意选出件，其中不是一级品的件数小于，
其中 是必然事件； 是不可能事件； 是随机事件. ( http: / / wxc. / )
2、从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8g的概率为0.3，质量小于4.85g的概率为0.32，那么质量在[4.8，4.85]（ g ）范围内的概率是（ ）
A. 0.62 B. 0.38 C. 0.02 D. 0.68
3、. ( http: / / wxc. / ) 先后抛掷骰子三次，则至少一次正面朝上的概率是（ ）
A. ( http: / / wxc. / ) B. ( http: / / wxc. / ) C. ( http: / / wxc. / ) D. ( http: / / wxc. / )
4、将一枚质地均匀的硬币连掷4次，出现“2次正面朝上，2次反面朝上”的概率是（ ）
A. B. C. D.
5、 给出下列两个随机事件:(1)抛10次同一枚的质地均匀的硬币,有10次正面向上;(2)姚明在本赛季中共罚球57次,有53次投球命中.其中事件(1)的一次试验是_____________,事件(2)一共进行了___________次试验.
6、某产品分为甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为,出现丙级品的概率为,则对产品抽查一次抽得正品的概率是( )
A. B. ( http: / / wxc. / ) C. ( http: / / wxc. / ) D. ( http: / / wxc. / )
.
拓展延伸
7、甲袋中有3个白球,5个红球,10个黑球,乙袋中有4个白球,3个红球,5个黑球,现从两袋中各取一球,求两球颜色相同的概率.
8、 从分别写有a,b,c,d,e的五张卡片中任取两张,(1)列出所有的基本事件;(2)两张卡片的字母恰好是按字母的顺序相邻排列的概率为多少
9、 5名同学中有3名男生,今选2人参加比赛,(1)求两名参赛者都是男生的概率;(2)求两名参赛者中至少有一名女生的概率.
10、在不大于100的自然数中任取一个数,(1)求所取的数为偶数的概率;(2)求所取的数是3的倍数的概率;(3)求所取的数是被3除余1的数的概率.
本节学习疑点：
学生质疑
教师答复第33课时7.2.2古典概型
知识网络
基本事件等可能事件古典概型
计算公式
学习要求
1、进一步掌握古典概型的计算公式；
2、能运用古典概型的知识解决一些实际问题。
【课堂互动】
自学评价
例1 将一颗骰子先后抛掷两次，观察向上的点数，问：
（1）共有多少种不同的结果？
（2）两数的和是3的倍数的结果有多少种？
（3）两数和是3的倍数的概率是多少？
【解】（１）将骰子抛掷１次，它出现的点数有这6中结果。
先后抛掷两次骰子，第一次骰子向上的点数有6种结果，第2次又都有6种可能的结果，于是一共有种不同的结果；
(2)第1次抛掷，向上的点数为这6个数中的某一个，第2次抛掷时都可以有两种结果，使向上的点数和为3的倍数（例如：第一次向上的点数为4，则当第2次向上的点数为2或5时，两次的点数的和都为3的倍数），于是共有种不同的结果．
(3)记“向上点数和为3的倍数”为事件，则事件的结果有种，因为抛两次得到的36中结果是等可能出现的，所以所求的概率为
答：先后抛掷2次，共有36种不同的结果；点数的和是3的倍数的结果有种；点数和是的倍数的概率为；
说明：也可以利用图表来数基本事件的个数：
例2 用不同的颜色给下图中的3个矩形随机的涂色，每个矩形只涂一种颜色，求
(1)3个矩形颜色都相同的概率；
(2)3个矩形颜色都不同的概率．
【分析】本题中基本事件比较多，为了更清楚地枚举出所有的基本事件，可以画图枚举如下：（树形图）
【解】基本事件共有个；
(1)记事件＝“3个矩形涂同一种颜色”，由上图可以知道事件包含的基本事件有个，故
(2)记事件＝“3个矩形颜色都不同”，由上图可以知道事件包含的基本事件有个，故
答：3个矩形颜色都相同的概率为；3个矩形颜色都不同的概率为．
【小结】
古典概型解题步骤：
⑴阅读题目，搜集信息；
⑵判断是否是等可能事件，并用字母表示事件；
⑶求出基本事件总数和事件所包含的结果数；
⑷用公式求出概率并下结论.
【精典范例】
例3 现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品：
（1）如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续3次取出的都是正品的概率；
（2）如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率．
【分析】（1）为返回抽样；（2）为不返回抽样．
【解】（1）有放回地抽取3次，按抽取顺序（x，y，z）记录结果，则x，y，z都有10种可能，所以试验结果有10×10×10=103种；设事件A为“连续3次都取正品”，则包含的基本事件共有8×8×8=83种，因此，P(A)= =0.512．
（2）解法1：可以看作不放回抽样3次，顺序不同，基本事件不同，按抽取顺序记录（x，y，z），则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，所以试验的所有结果为10×9×8=720种．设事件B为“3件都是正品”，则事件B包含的基本事件总数为8×7×6=336, 所以P(B)= ≈0.467．
解法2：可以看作不放回3次无顺序抽样，先按抽取顺序（x，y，z）记录结果，则x有10种可能，y有9种可能，z有8种可能，但（x，y，z），（x，z，y），（y，x，z），（y，z，x），（z，x，y），（z，y，x），是相同的，所以试验的所有结果有10×9×8÷6=120，按同样的方法，事件B包含的基本事件个数为8×7×6÷6=56，因此P(B)= ≈0.467．
【小结】关于不放回抽样，计算基本事件个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其结果是一样的，但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会导致错误．
例4 一次投掷两颗骰子，求出现的点数之和为奇数的概率．
解法1 设表示“出现点数之和为奇数”，用记“第一颗骰子出现点，第二颗骰子出现点”，．显然有36个等可能基本事件．其中 包含的基本事件个数为18个，故．
解法2 若把一次试验的所有可能结果取为：（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶），则它们也是等可能的．基本事件总数，包含的基本事件个数，故
解法3 若把一次试验的所有可能结果取为：{点数和为奇数}，{点数和为偶数}，则基本事件总数，所含基本事件数为，故．
追踪训练
1、据人口普查统计，育龄妇女生男生女是近似等可能的，如果允许生育二胎，则某一育龄妇女两胎均是女孩的概率约是（ C ）
A． B. C． D．
2、在大小相同的5个球中，2个是红球，3个是白球，若从中任取2个，则所取的2个球中至少有一个红球的概率是．
3、从数字1，2，3，4，5，中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为．
4、已知集合
A=,在平面直角坐标系中,点M的坐标为,其中,且,计算:(1)点M不在轴上的概率;(2)点M在第二象限的概率.
解：(1)满足,的点M的个数有109=90,不在轴上的点的个数为99=81个,∴点M不在轴上的概率为: ;
(2)点M在第二象限的个数有54=20个,所以要求的概率为.第32课时7.2.1古典概型
知识网络
基本事件等可能事件古典概型
计算公式．
学习要求
1、 理解基本事件、等可能事件等概念；正确理解古典概型的特点；
2、会用枚举法求解简单的古典概型问题；掌握古典概型的概率计算公式。
【课堂互动】
自学评价
1、基本事件： 一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件．
2、等可能基本事件：若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件。
3、如果一个随机试验满足：
（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
（2）每个基本事件的发生都是等可能的；
那么，我们称这个随机试验的概率模型为古典概型．
4、古典概型的概率：
如果一次试验的等可能事件有个，那么，每个等可能基本事件发生的概率都是；如果某个事件包含了其中个等可能基本事件，那么事件发生的概率为．
【精典范例】
例1 一个口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，２只黑球，从中一次摸出两个球，
(1)共有多少个基本事件？
(2)摸出的两个都是白球的概率是多少？
【分析】可用枚举法找出所有的等可能基本事件．
【解】(1)分别记白球为号，黑球号，从中摸出只球，有如下基本事件（摸到1,2号球用表示）：
因此，共有10个基本事件．
（2）上述10个基本事件法上的可能性是相同的，且只有3个基本事件是摸到两个白球（记为事件），即，故
∴共有10个基本事件，摸到两个白球的概率为；
例2 豌豆的高矮性状的遗传由其一对基因决定，其中决定高的基因记为，决定矮的基因记为，则杂交所得第一子代的一对基因为，若第二子代的基因的遗传是等可能的，求第二子代为高茎的概率（只要有基因则其就是高茎，只有两个基因全是时，才显现矮茎）．
分析：由于第二子代的基因的遗传是等可能的，可以将各种可能的遗传情形都枚举出来．
【解】与的搭配方式共有４中：，其中只有第四种表现为矮茎，故第二子代为高茎的概率为
答：第二子代为高茎的概率为．
思考：第三代高茎的概率呢？
例3 一次抛掷两枚均匀硬币．
（1）写出所有的等可能基本事件；
（2）求出现两个正面的概率；
【解】（1）所有的等可能基本事件为：甲正乙正，甲正乙反，甲反乙正，甲反乙反共四个．
（2）由于这里四个基本事件是等可能发生的，故属古典概型．．
例4 掷一颗骰子，观察掷出的点数，求掷得奇数点的概率．
【分析】掷骰子有6个基本事件，具有有限性和等可能性，因此是古典概型．
【解】这个试验的基本事件共有6个，即（出现1点）、（出现2点）……、（出现6点）
所以基本事件数n=6，
事件A=（掷得奇数点）=（出现1点，出现3点，出现5点），
其包含的基本事件数m=3，
所以，P（A）====0.5．
【小结】利用古典概型的计算公式时应注意两点：
（1）所有的基本事件必须是互斥的；
（2）m为事件A所包含的基本事件数，求m值时，要做到不重不漏．
例5 从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．
【解】每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即（a1，a2）和（a1，b1），（a2，a1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）．其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品，用A表示“取出的两种中，恰好有一件次品”这一事件，则A=[（a1，b1），（a2，b1），（b1，a1），（b1，a2）]，事件A由4个基本事件组成，因而，P（A）==．
追踪训练
1、在40根纤维中，有12根的长度超过30mm，从中任取一根，取到长度超过30mm的纤维的概率是（ B ）
A． B．
C． D．以上都不对
2、盒中有10个铁钉，其中8个是合格的，2个是不合格的，从中任取一个恰为合格铁钉的概率是（ C ）
A． B． C． D．
3. 判断下列命题正确与否.
(1)掷两枚硬币,可能出现“两个正面”,“两个反面”,“一正一反”3种结果;
(2)某袋中装有大小均匀的三个红球,两个黑球,一个白球,那么每种颜色的球被摸到的可能性相同;
(3)从-4,-3,-2,-1,0,1,2中任取一数,取到的数小于0与不小于0的可能性相同;
(4)分别从3名男同学,4名女同学中各选一名作代表,那么每个同学当选的可能性相同.
解：四个命题均不正确.(1)应为4种结果,还有一种是”一反一正”;(2)摸到红球的概率为,摸到黑球的概率为,摸到白球的概率为;(3)取到小于0的数字的概率为,取到不小于0的数字的概率为;(4)男同学当选的概率为,女同学当选的概率为.
4、有甲,乙,丙三位同学分别写了一张新年贺卡然后放在一起,现在三人均从中抽取一张.
（1）求这三位同学恰好都抽到别人的贺卡的概率.
（2）求这三位同学恰好都抽到自己写的贺卡的概率.
解：(1)其中恰好都抽到别人的贺卡有②③①,③①②两种情况,
故其概率为.
(2)恰好都抽到自己的贺卡的概率是.第40课时7.4.3 复习课2
学习要求
1、复习几何概型的概率公式并能综合应用；
2、复习两个互斥事件的概率加法公式并能综合应用．
【课堂互动】
自学评价
1、. 电脑”扫雷”游戏的操作面被平均分成480块,其中有99块埋有地雷,现在操作面上任意点击一下,碰到地雷的概率为( D )
A. B. C. D.
2、 向面积为S的△内任投一点P,则△的面积小于的概率为_________.
3、回答下列问题：
(1)甲、乙两射手同时射击一目标，甲的命中率为0．65，乙的命中率为0．60，那么能否得出结论：目标被命中的概率等于0．65＋0．60＝1．25，为什么
(2)一射手命中靶的内圈的概率是0．25，命中靶的其余部分的概率是0．50，那么能否得出结论：目标被命中的概率等于0．25＋0．50＝0．75，为什么
(3)两人各掷一枚硬币，“同时出现正面”的概率可以算得为．由于“不出现正面”是上述事件的对立事件，所以它的概率等于这样做对吗 说明道理．
【解】
(1)不能．因为甲命中目标与乙命中目标两事件不互斥．?
(2)能．因为命中靶的内圈和命中靶的其余部分是互斥事件．?
(3)不对．因为“不出现正面”与“同时出现正面”不是对立事件，故其概率和不为1．
【精典范例】
例1 在(0,1)区间内任意取两实数,求它们的和大于而小于的概率.
【解】设两实数分别为,则,则样本空间对应的几何区域是边长为1的正方形,两数的和大于而小于,即,则事件发生的几何区域是两直线和之间而又在正方形内的区域A,符合几何概率,
∴.
例2 假设一直角三角形的两直角边长都是0,1间的随机数,试求斜边长小于事件的概率.
【解】设两直角边长分别为,则斜边长=,
样本空间为边长为1的正方形区域,而满足条件的事件所在的区域的面积为
,因此,所求事件的概率为.
例3 从男女学生共有36名的班级中，任意选出2名委员，任何人都有同样的当选机会．如果选得同性委员的概率等于，求男女生相差几名
【解】设男生有名，则女生有名．选得2名委员都是男性的概率为．
选得2名委员都是女性的概率为 ．
上两种选法是互斥的，又选得同性委员的概率等于，
得 ．
解得或
即男生有15名，女生有36-15=21名，或男生有21名，女生有36-21=15名．
总之，男女生相差6名．
例4 有三个人,每个人都以相同的概率被分配到四个房间中的每一间.试求(1)三个人都分配到同一房间的概率;(2)至少有两个人分配到同一房间的概率.
（点拨:∵三个人以同样的概率分配到每个房间,而三个人中每个人都可以分配到四个房间中的每一间,∴共有4×4×4=种方法.）
【解】 (1)三个人分配到同一房间有4中分法,故由等可能事件的概率可知,所求的概率为.
(2)设事件A为”至少有两人分配到同一房间”,则事件A的对立事件为”三个人分配到三个不同的房间”.∵三个人分配到三个不同房间共有种方法,
∴,
∴.
追踪训练
1、 某市派出甲、乙两支球队参加全省足球冠军赛．甲乙两队夺取冠军的概率分别是和．试求该市足球队夺得全省足球冠军的概率．()
2、从4双不同的鞋子中任取4只,则至少有2只配对的概率为 。
3、在一条单行道上行进着一辆汽车,车长为4米,车宽为2米,汽车速度为36千米/小时,汽车车距为20米,有人突然从道旁某店内冲出,以2米/秒的速度垂直穿过街道,没有注意这辆汽车,试问:此人穿过街道未撞上汽车的概率为 。第34课时7.2.3复习课1
学习要求
1.复习随机事件及其概率
2.复习古典概型及其概率公式,并进行综合应用.
【课堂互动】
自学评价
1. 下列事件中不可能事件是（ ）
A.三角形的内角和为180°
B.三角形中大边对的角大，小边对的角小
C.锐角三角形中两个内角的和小于90°
D.三角形中任意两边的和大于第三边
2. 在12件同类产品中，有10件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件的必然事件是（ ）
A.3件都是正品 B.至少有1件是次品
C.3件都是次品 D.至少有一件是正品
3. 有4条线段，长度分别为1，3，5，7，从这四条线段中任取三条，则所取三条线段能构成一个三角形的概率是___________.
【经典范例】
例1 事件“某人掷骰子5次,两次点数为2”是随机事件吗 条件和结果是什么 一次试验是指什么 一共做了几次试验
【解】
例2 从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表，求：（１）甲被选中的概率;（２）丁没被选中的概率.
【解】
例3 袋中有大小相同的红、黄两种颜色的球各个，从中任取只，有放回地抽取次. ( http: / / wxc. / ) 求：
1 只全是红球的概率；
2 只颜色全相同的概率；
③ 只颜色不全相同的概率. ( http: / / wxc. / )
【解】
例4 现有一批产品共有件，其中件为正品，件为次品：
（1）如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续次取出的都是正品的概率；
（2）如果从中一次取件，求件都是正品的概率. ( http: / / wxc. / )
【解】
追踪训练
1、①已经发生的事件一定是必然事件;
②随机事件的发生能够人为控制其发生或不发生;
③不可能事件反映的是确定性现象;
④随机现象的结果是可以预知的.
以上说法正确的是 ( )
A. ①③ B．①②
C．③ D.②④
2、先后抛掷两颗骰子，设出现的点数之和是10，8，6的概率依次是，则（ ）
A. B.
C. D.
3、 正六边形的顶点共有6个,以其中2个点为端点连成的线段中,正好是正六边形的边的概率为____________.
4、 有三个人,每个人都以相同的概率被分配到四个房间中的每一间.试求(1)三个人都分配到同一房间的概率;(2)至少有两个人分配到同一房间的概率.第41课时7.5复习课3(全章复习)
自学评价
本章内容是概率论的初步知识，它主要包括：随机事件的概率；等可能性事件的概率，包括古典概型和几何概型；互斥事件有一个发生的概率．
本章的重点是等可能性事件的概率；互斥事件有一个发生的概率．难点是概率问题处理的思想与方法.
1、下列事件中，属于随机事件的是 ( )
A． 掷一枚硬币一次，出现两个正面；
B、同性电荷互相排斥；
C、当a为实数时，|a|<0；
D、2009年10月1日天津下雨
2、从一堆产品（其中正品和次品都多于2个）中任取2个，其中：①恰有1件次品和恰有2件次品；②至少有1件次品和全是次品；③至少有1件正品和至少有1 件次品；④至少有1件次品和全是正品；上述事件中，是互斥事件的是（ ）
A ①④ B ②③ C ①②③ D ①②③④
3、袋中装有大小相同且分别写有1、2、3、4、5五个号码的小球各一个，现从中有放回地任取三球，三个号码全不相同的概率为（ ）
A、 B、 C、 D、
【经典范例】
例1 某射手在同一条件下进行射击结果如下表所示
射击次数 击中靶心的次数 击中靶心的频率
10 8
50 20
100 48
200 90
500 225
800 360
（1）计算表中各个击中靶心的频率；
（2）这个射手击中靶心的概率是多少？
（3）这个射手射击2000次估计击中靶心的次数为多少？
【解】
例2 袋中装有大小均匀分别写有1,2,3,4,5五个号码的小球各一个,现从中有放回地任取三个球,求下列事件的概率:
(1)所取的三个球号码完全不同;
(2)所取的三个球号码中不含4和5.
【解】
例3 一个各面都涂有色彩的正方体，被锯成个同样大小的小正方体，将这些正方体混合后，从中任取一个小正方体，求：⑴有一面涂有色彩的概率；⑵有两面涂有色彩的概率；⑶有三面涂有色彩的概率.
【解】
例4 9粒种子分种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．
（Ⅰ）求甲坑不需要补种的概率；
（Ⅱ）求3个坑中恰有1个坑不需要补种的概率；
（Ⅲ）求有坑需要补种的概率．
（精确到）
【解】
例5 一个盒中装有8只球，其中4红.3黑.1白，现从中取出2只球（无放回），
求：（1）全是红球或全是黑球的概率； （2）至少有一个红球的概率。
【解】
例6 甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6．本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束．设各局比赛相互间没有影响，求：
(Ⅰ) 前三局比赛甲队领先的概率；
(Ⅱ) 本场比赛乙队以取胜的概率．
(精确到0.001)
【解】
追踪训练
1、四面体的顶点和各棱的中点共10个点，
在其中取4个点，则这四个点不共面的概率
（ ）
A . B. C. D.
2、甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为30%，，两人下成和棋的概率为50%，那么甲不输棋的概率是
3、从4名男生和n名女生中任选2名学生参加数学竞赛，已知“2人中至少有1名女生”的概率为5/6，则n等于_________.第七章 概率测试题
一、选择题
1、坛子里放有3个白球，2个黑球，从中进行不放回摸球，A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则A1与A2是 （ ）
A．互斥事件 B．独立事件
C．对立事件 D．不独立事件
2、将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上和概率是（ ）
A． B． C． D． D． D． D． C． D．
3、袋中有红球、黄球、白球各1个，每次任取一个，有放回地抽取3次，则下列事件中概率是的是（ ）
A．颜色全相同 B．颜色不全相同
C．颜色全不同 D．颜色无红色
4、某工厂生产的100件产品中，有95件正品，5件次品，从中任意取一件是次品的概率为（ ）
A、0.95 B、95 C、0.5 D、0.05
二、填空题
5、 从编号为1～100的100张卡片中任取一张是7的倍数的概率是 ；
6、从数字1，2，3，4，5，中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为 ；
7、已知地铁列车每10min一班，在车站停1min，则乘客到达站台立即乘上车的概率是
；
8、设标靶的半径为10cm，则中弹点与靶心的位置小于5cm的概率为 ；
9、甲乙两人下棋，甲获胜的概率为0.2，两人下成和棋的概率为0.35，那么甲不输的概率为
；
10、从长度分别为1，3，5，7，9个单位的5条线段中，任取3条线段作边能组成三角形的概率是
；
三、解答题
11、将一枚均匀硬币抛掷5次，
（1）求第一次、第四次出现正面，而另外三次都出现反面的概率；
（2）求两次出现正面,三次出现反面的概率．
12、现有一批产品共有10件，其中8件正品，2件次品：
（1）如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续3次取出的都是正品的概率；
（2）如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率．
13、袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？
14、某人有5把钥匙，1把是房门钥匙，但忘记了开房门的是哪一把，于是，他逐把不重复地试开，问：
（1）恰好第三次打开房门锁的概率是多少？
（2）三次内打开的概率是多少？
（3）如果5把内有2把房门钥匙，那么三次内打开的概率是多少？
15、请设计一个计算圆周率近似值的几何概型的模型。
本章学习疑点：
学生质疑
教师答复第7课时7.3.2 几何概型(2)
分层训练
1、函数,那么任意使的概率为( )
A． B. C． D．
2、 一条河上有一个渡口,每隔一小时有一趟渡船,河的上游还有一座桥.某人到这个渡口等候渡船,他准备等候20分钟,如果20分钟渡船不到,他就要绕到上游从桥上过河,他乘船过河的概率为
3、某路公共汽车5分钟一班准时到达某车站，求某一人在该车站等车时间少于3分钟的概率．（假定车到来后每人都能上）．
4、 一个圆的所有内接三角形中,问是锐角三角形的概率是多少
拓展延伸
5、从(0,1)中随机地取两个数,求两数之和小于1.2的概率.
6、甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头．它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的．如果甲船的停泊时间是一小时，乙船是二小时，求它们中的任何一艘都不需要等待码头空出的概率？
7、 一个路口有一红绿灯,红灯的时间为秒,黄灯的时间为秒,绿灯的时间为秒,当你到达路口时看见下列三种情况的概率各是多少
(1) 红灯 (2) 黄灯 (3) 不是红灯
本节学习疑点：
学生质疑
教师答复第11课时7.4.3复习课2
分层训练
1、在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为（ ）
A． B． C． D．
2、一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个同样大小的小正方体,若将这些小正方体均匀地混在一起,则任意取出的1个小正方体其两面涂有油漆的概率为（ ）
A. B. C. D.
3、 在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同。从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于( )
（A） （B） （C） （D）
4、从含有500个个体的总体中一次性地抽取25个个体,假定其中每个个体被抽到的概率相等,那么总体中的每个个体被抽取到的概率等于____________.
5、 两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是 （结果用分数表示）．
拓展延伸
6、某学校上午8:00～11:50上四节课，每节课50分钟，课间休息10分钟，家长看望学生只能在课外时间，某学生家长上午8:00～12:00之间随机来校.则这位家长一来就可以去见其子女的概率是__________.
7、 过半径为1的圆内一条直径上任意一点作垂直于直径的弦,求弦长超过圆内接等边三角形BCD边长的概率.
8、分别求下列事件的概率：（1）在[0，4]上产生随机数，以为半径的圆的面积大于；
（2）关于一元二次方程 有实数根。
本节学习疑点：
学生质疑
教师答复7.3.2几何概型
第36课时
学习要求
1、能运用模拟的方法估计概率，掌握模拟估计面积的思想；
2、熟练运用几何概型解决关于时间类型问题.
【课堂互动】
【经典范例】
例1 在等腰直角三角形中，在斜边上任取一点，求小于的概率．（＂测度＂为长度）
【分析】点随机地落在线段上，故线段为区域．当点位于图中线段内时，，故线段即为区域．
【解】在上截取．于是
．
答：小于的概率为．
例2 某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求此人等车时间不多于10分钟的概率．
【分析】假设他在0～60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的,但在0到60分钟之间有无穷多个时刻,不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率.因为客车每小时一班,他在0到60分钟之间任何一个时刻到站等车是等可能的,所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件.
【解】设A={等待的时间不多于10分钟},我们所关心的事件A恰好是到站等车的时刻位于[50,60]这一时间段内,因此由几何概型的概率公式,得P(A)= =，即此人等车时间不多于10分钟的概率为．
【说明】在本例中，到站等车的时刻X是随机的，可以是0到60之间的任何一刻，并且是等可能的，我们称X服从[0,60]上的均匀分布，X为[0,60]上的均匀随机数．
【小结】在许多实际问题中，其几何概型特征并不明显，要能将它们转化为几何概型，并正确应用几何概型的概率计算公式解决问题．如与时间有关的等候问题、约会问题，与数域有关的点集问题等等。
例3 有一个半径为的圆，现在将一枚半径为硬币向圆投去，如果不考虑硬币完全落在圆外的情况，试求硬币完全落入圆内的概率．
【解】
例4 约会问题
两人相约8点到9点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时就可离去，试求这两人能会面的概率．
【解】
追踪训练
1、已知地铁列车每10min一班，在车站停1min，求乘客到达站台立即乘上车的概率．
2、在区间内的所有实数中,随机取一个实数,则这个实数的概率是_____.
3、某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台的整点报时,求他等待的时间不多于15分钟的概率.第37课时7.3.3几何概型
学习要求
1、增强几何概型在解决实际问题中的应用意识．
2、将实际问题转化为几何概型，并正确应用几何概型的概率计算公式解决问题．
【课堂互动】
自学评价
1.几何概型的概率：
一般地，在几何区域中随机地取一点，记事件＂该点落在其内部一个区域内＂为事件，则事件发生的概率．
2.与几何概型有关的实际问题：长度问题、面积问题、体积问题、等候问题、约会问题、点集问题等等。
【精典范例】
例1 在1升高产小麦种子中混入了一种带麦诱病的种子，从中随机取出10毫升，则取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是多少？
【分析】病种子在这1升中的分布可以看作是随机的，取得的10毫克种子可视作构成事件的区域，1升种子可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算其概率．
【解】取出10毫升种子，其中“含有病种子”这一事件记为A，则
答：所求概率为．
例2 如图，，，，在线段上任取一点，
试求：（１）为钝角三角形的概率；
（２）为锐角三角形的概率．
【解】如图，由平面几何知识：
当时，；
当时，，．
（１）当且仅当点在线段或上时，为钝角三角形
记＂为钝角三角形＂为事件，则
即为钝角三角形的概率为．
（２）当且仅当点在线段上时，为锐角三角，
记＂为锐角三角＂为事件，则
即为锐角三角形的概率为．
例3 一只蚂蚁在一边长为6的正方形区域内随机地爬行,求其恰在离四个顶点距离都大于3的地方的概率.
【解】
例4 利用随机模拟方法计算曲线，，和所围成的图形的面积．
【分析】在直角坐标系中画出正方形（，，，所围成的部分），用随机模拟的方法可以得到它的面积的近似值．
【解】（１）利用计算器或计算机产生两组到区间上的随机数，，；
（２）进行平移变换：；（其中分别为随机点的横坐标和纵坐标）
（３）数出落在阴影内的点数，用几何概型公式计算阴影部分的面积．
例如，做次试验，即，模拟得到，
所以，即．
【说明】模拟计算的步骤：
（１）构造图形（作图）；
（２）模拟投点，计算落在阴影部分的点的频率；
（３）利用算出相应的量．
追踪训练
1、如图，有一圆盘其中的阴影部分的圆心角为，若向圆内投镖，如果某人每次都投入圆内，那么他投中阴影部分的概率为 （ A ）
． ．
． ．
2、在区间中任意取一个数，则它与2之和大于的概率是_____1/5___________
3、两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，求灯与两端距离都大于2m的概率．
解：记“灯与两端距离都大于2m”为事件A，则．7.4.1 互斥事件及其发生的概型
第38课时
学习要求
1、了解互斥事件及对立事件的概念，能判断某两个事件是否是互斥事件，进而判断它们是否是对立事件．
2、正确理解两个互斥事件的概率加法公式,会用相关公式进行简单概率计算．
【课堂互动】
自学评价
案例：体育考试的成绩分为四个等级：优、良、中、不及格，某班50名学生参加了体育考试，结果如下：
优 85分及以上 9人
良 75----84分 15人
中 60----74分 21人
不及格 60分以下 5人
问题：在同一次考试中，某一位同学能否既得优又得良？从这个班任意抽取一位同学，那么这位同学的体育成绩为“优良”（优或良）的概率是多少？
【解】体育考试的成绩的等级为优、良、中、不及格的事件分别记为．在同一次体育考试中，同一人不能同时既得优又得良，即事件是不可能同时发生的．
在上述关于体育考试成绩的问题中，用事件表示事件“优”和“良”，那么从50人中任意抽取1个人，有50种等可能的方法，而抽到优良的同学的方法有
9+15种，从而事件发生的概率．
另一方面，，因此有．
【小结】
1．互斥事件：
不能同时发生的两个事件称为互斥事件．
2．互斥事件的概率 ：
如果事件，互斥，那么事件发生的概率，等于事件，分别发生的概率的和，即．
一般地，如果事件两两互斥，则
．
3．对立事件：
两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件．事件的对立事件记为．
对立事件和必有一个发生，故是必然事件，从而
．
因此，我们可以得到一个重要公式．
【经典范例】
例1 一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件 哪些是对立事件
事件A：命中环数大于7环；
事件B：命中环数为10环；
事件C：命中环数小于6环；
事件D：命中环数为6、7、8、9、10环．
【解】
例2 一只口袋内装有大小一样的4只白球与4只黑球，从中一次任意摸出2只球．记摸出2只白球为事件，摸出1只白球和1只黑球为事件．问事件和是否为互斥事件？是否为对立事件？
【解】
例3 某人射击1次，命中7---10环的概率如下表所示：
命中环数 10环 9环 8环 7环
概率 0．12 0．18 0．28 0．32
（1） 求射击一次，至少命中7环的概率；
（2） 求射击1次，命中不足7环的概率．
【解】
例4 黄种人群中各种血型的人所占的比如下表所示：
血型 A B AB O
该血型的人所占比/% 28 29 8 35
已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任一种血型的人，任何人的血都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B型血，若小明因病需要输血，问：
（1）任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？
（2）任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？
【解】
追踪训练
1、连续掷3次硬币，那么互为对立的事件是 （ ）
A、至少一次是正面和最多有一次正面；
B、最多有一次正面和恰有两次正面；
C、不多于一次正面和至少有两次正面；
D、至少有两次正面和恰有一次正面．
2、一射手进行一次射击，给出4个事件：①命中的环数大于8，②命中的环数大于5，③命中的环数小于4，④命中的环数小于6，其中互斥事件的有（ ）
A、1组 B、2组 C、3组 D、4组
3、在一批产品中，有多于4件的次品和正品，从这批产品中任意抽取4件，事件A为抽取4件产品中至少有一件次品，那么为（ ）
A、抽取的4件产品中至多有1件次品；
B、抽取的4件产品中恰有1件次品；
C、抽取的4件产品中没有次品；
D、抽取的4件产品中有多于4件的次品．
4、某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21、0.23、0.25、0.28，计算这个射手在一次射击中：（1）射中10环或7环的概率；
（2）不够7环的概率．7.2.1古典概型
第32课时
知识网络
基本事件等可能事件古典概型
计算公式．
学习要求
1、 理解基本事件、等可能事件等概念；正确理解古典概型的特点；
2、会用枚举法求解简单的古典概型问题；掌握古典概型的概率计算公式。
【课堂互动】
自学评价
1、基本事件：
．
2、等可能基本事件：
。
3、如果一个随机试验满足：
（1） ；
（2） ；
那么，我们称这个随机试验的概率模型为古典概型．
4、古典概型的概率：
如果一次试验的等可能事件有个，那么，每个等可能基本事件发生的概率都是；如果某个事件包含了其中个等可能基本事件，那么事件发生的概率为 ．
【经典范例】
例1 一个口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，２只黑球，从中一次摸出两个球，
(1)共有多少个基本事件？
(2)摸出的两个都是白球的概率是多少？
【分析】可用枚举法找出所有的等可能基本事件．
【解】
例2 豌豆的高矮性状的遗传由其一对基因决定，其中决定高的基因记为，决定矮的基因记为，则杂交所得第一子代的一对基因为，若第二子代的基因的遗传是等可能的，求第二子代为高茎的概率（只要有基因则其就是高茎，只有两个基因全是时，才显现矮茎）．
【分析】由于第二子代的基因的遗传是等可能的，可以将各种可能的遗传情形都枚举出来．
【解】
思考：第三代高茎的概率呢？
例3 一次抛掷两枚均匀硬币．
（1）写出所有的等可能基本事件；
（2）求出现两个正面的概率；
【解】
例4 掷一颗骰子，观察掷出的点数，求掷得奇数点的概率．
【分析】掷骰子有6个基本事件，具有有限性和等可能性，因此是古典概型．
【解】
【小结】利用古典概型的计算公式时应注意两点：
（1）所有的基本事件必须是互斥的；
（2）m为事件A所包含的基本事件数，求m值时，要做到不重不漏．
例5 从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．
【解】
追踪训练
1、在40根纤维中，有12根的长度超过30mm，从中任取一根，取到长度超过30mm的纤维的概率是（ ）
A． B．
C． D．以上都不对
2、盒中有10个铁钉，其中8个是合格的，2个是不合格的，从中任取一个恰为合格铁钉的概率是（ ）
A． B． C． D．
3、 判断下列命题正确与否.
(1)掷两枚硬币,可能出现“两个正面”,“两个反面”,“一正一反”3种结果;
(2)某袋中装有大小均匀的三个红球,两个黑球,一个白球,那么每种颜色的球被摸到的可能性相同;
(3)从-4,-3,-2,-1,0,1,2中任取一数,取到的数小于0与不小于0的可能性相同;
(4)分别从3名男同学,4名女同学中各选一名作代表,那么每个同学当选的可能性相同.
4、有甲,乙,丙三位同学分别写了一张新年贺卡然后放在一起,现在三人均从中抽取一张.
（1）求这三位同学恰好都抽到别人的贺卡的概率.
（2）求这三位同学恰好都抽到自己写的贺卡的概率.第8课时7.3.3 几何概型(3)
分层训练
1、如图，某人向圆内投镖，如果他每次都投入圆内，那么他投中正方形区域的概率为（ ）
． ．
． ．
2、现有的蒸馏水，假定里面有一个细菌，现从中抽取的蒸馏水，则抽到细菌的概率为（ ）
． ． ． ．
3、一艘轮船只有在涨潮的时候才能驶入港口，已知该港口每天涨潮的时间为早晨至6：00和下午4：30至5：30，则该船在一昼夜内可以进港的概率是__________
4、一只蚂蚁在三边长分别为3，4，5的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为（ ）
A. B. C. D.
5、若过正三角形的顶点任作一条直线，则与线段相交的概率为_______
拓展延伸
6、往一边长为6厘米的正方形桌面上随机地扔一半径为1厘米的质地均匀的小圆片,求圆片在桌面上与桌面四周无交点的概率.
7、从(0,1)中随机地取两个数,求两数平方和小于的概率.
本节学习疑点：
学生质疑
教师答复第31课时7.1.2 随机事件的概率
【学习导航】
知识网络
事件随机事件的概率
学习要求
1.理解随机事件的频率定义及概率的统计定义，知道根据概率的统计定义计算概率的方法, 理解频率和概率的区别和联系；
2．通过对概率的学习，使学生对对立统一的辨证规律有进一步的认识.
【课堂互动】
自学评价
1.随机事件的概率：
我们已经学习用概率表示一个事件在一次试验或观测中发生的可能性的大小，它是在～之间的一个数，将这个事件记为，用表示事件发生的概率.怎样确定某一事件发生的概率呢？
实验1
奥地利遗传学家（G.Mendel）用豌豆进行杂交试验，下表为试验结果（其中为第一子代，为第二子代）：
性状 的表现 的表现
种子的形状 全部圆粒 圆粒5474 皱粒1850 圆粒︰皱粒≈2.96︰1
茎的高度 全部高茎 高茎787 矮茎277 高茎︰矮茎≈2.84︰1
子叶的颜色 全部黄色 黄色6022 绿色2001 黄色︰绿色≈3.01︰1
豆荚的形状 全部饱满 饱满882 不饱满299 饱满︰不饱满≈2.95︰1
孟德尔发现第一子代对于一种性状为必然事件，其可能性为100％,另一种性状的可能性为0，而第二子代对于前一种性状的可能性约为75％,后一种性状的可能性约为25％，通过进一步研究，他发现了生物遗传的基本规律.
实际上，孟德尔是从某种性状发生的频率作出估计的.
实验2
在《算法初步》一章中，我们曾设计了一个抛掷硬币的模拟试验.下表是连续8次模拟试验的结果：
A B
1 模拟次数10 正面向上的频率0.3
2 模拟次数100 正面向上的频率0.53
3 模拟次数1000 正面向上的频率0.52
4 模拟次数5000 正面向上的频率0.4996
5 模拟次数10000 正面向上的频率0.506
6 模拟次数50000 正面向上的频率0.50118
7 模拟次数100000 正面向上的频率0.49904
8 模拟次数500000 正面向上的频率0.50019
我们看到，当模拟次数很大时，正面向上的频率值接近于常数0.5，并在其附近摆动.
实验3
的前位小数中数字6出现的频率
数字6出现的次数 数字6出现的频率
100 9 0.090000
200 16 0.080000
500 48 0.096000
1000 94 0.094000
2000 200 0.100000
5000 512 0.102400
10000 1004 0.100400
50000 5017 0.100340
1000000 99548 0.099548
从表3-1-2可以看出：数字6在的各位小数数字中出现的频率接近常数0.1，并在其附近摆动。如果统计0至9这10个数字在的各位小数数字中出现的频率值，可以发现它们都是接近常数0.1，并在其附近摆动.
【总结】在相同条件下，随着试验次数的增多，随机事件发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画该随机事件发生的可能性大小，而将频率作为其近似值。
1.概率： 一般地，如果随机事件在次试验中发生了次，当试验的次数很大时，我们可以将发生的频率作为事件发生的概率的近似值，即
2．概率的性质：
①随机事件的概率为，
②必然事件和不可能事件看作随机事件的两个特例，分别用和表示，必然事件的概率为，不可能事件的概率为，即，;
3.（1）频率的稳定性 即大量重复试验时，任何结果（事件）出现的频率尽管是随机的，却“稳定”在某一个常数附近，试验的次数越多，频率与这个常数的偏差大的可能性越小，这一常数就成为该事件的概率;
（2）“频率”和“概率”这两个概念的区别是：频率具有随机性，它反映的是某一随机事件出现的频繁程度，它反映的是随机事件出现的可能性；概率是一个客观常数，它反映了随机事件的属性.
【精典范例】
例1 某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：
射击次数 击中靶心的次数 击中靶心的频率
10 8
20 19
50 44
100 92
200 178
500 455
（1）填写表中击中靶心的频率；
（2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是什么？
【分析】事件A出现的频数与试验次数n的比值即为事件A的频率，当事件A发生的频率fn（A）稳定在某个常数上时，这个常数即为事件A的概率。
【解】（1）表中依次填入的数据为：0.80，0.95，0.88，0.92，0.89，0.91.
（2）由于频率稳定在常数0.89，所以这个射手击一次，击中靶心的概率约是0.89。
【小结】概率实际上是频率的科学抽象，求某事件的概率可以通过求该事件的频率而得之。
例2 某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，有3次环中9环，有4次中8环，有1次未中靶，试计算此人中靶的概率，假设此人射击1次，试问中靶的概率约为多大？中10环的概率约为多大？
【分析】中靶的频数为9，试验次数为10，所以靶的频率为=0.9，所以中靶的概率约为0.9．
【解】此人中靶的概率约为0.9；此人射击1次，中靶的概率为0.9；中10环的概率约为0.2．
例3 在一场乒乓球比赛前，裁判员利用抽签器来决定由谁先发球，请用概率的知识解释其公平性。
【分析】这个规则是公平的，因为每个运动员先发球的概率为0.5，即每个运动员取得先发球权的概率是0.5。
【解】这个规则是公平的，因为抽签上抛后，红圈朝上与绿圈朝上的概率均是0.5，因此任何一名运动员猜中的概率都是0.5，也就是每个运动员取得先发球权的概率都是0.5。
【小结】事实上，只能使两个运动员取得先发球权的概率都是0.5的规则都是公平的。
追踪训练
1、下列说法正确的是（ C ）
A．任一事件的概率总在（0.1）内
B．不可能事件的概率不一定为0
C．必然事件的概率一定为1
D．以上均不对
2、下表是某种油菜子在相同条件下的发芽试验结果表，请完成表格并回答题。
每批粒数 发芽的粒数 发芽的频率
2 2
5 4
10 9
70 60
130 116
700 282
1500 639
2000 1339
（1）完成上面表格：
（2）该油菜子发芽的概率约是多少？
解：（1）填入表中的数据依次为0.75,0.8,0.8,0.85,0.83,0.8,0.76.（2）由于上述频率接近0.80，因此，进球的概率约为0.80。
3、如果某种彩票中奖的概率为，那么买1000张彩票一定能中奖吗？请用概率的意义解释。
解：不一定能中奖，因为，买1000张彩票相当于做1000次试验，因为每次试验的结果都是随机的，即每张彩票可能中奖也可能不中奖，因此，1000张彩票中可能没有一张中奖，也可能有一张、两张乃至多张中奖。7.4.2互斥事件及其发生的概型
第39课时
学习要求
1、进一步巩固两个互斥事件的概率加法公式．
2、提高两个互斥事件的概率加法公式的综合应用能力。
【课堂互动】
自学评价
1、在一个盒子内放有10个大小相同的小球，其中有7个红球、2个绿球、一个黄球．现从中摸出1个球：
事件A：“从盒中摸出1个球，得到红球”；
事件B：“从盒中摸出1个球，得到绿球”；
事件C：“从盒中摸出1个球，得到黄球”，
上述事件中，哪些是互斥事件？
答：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件．上述事件中，事件A和B、B和C、A和C是互斥事件．
2、互斥事件与对立事件的区别与联系：互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：（1）事件A发生且事件B不发生；（2）事件A不发生且事件B发生；（3）事件A与事件B同时不发生，而对立事件是指事件A 与事件B有且仅有一个发生，其包括两种情形；（1）事件A发生B不发生；（2）事件B发生事件A不发生，对立事件是互斥事件的特殊情形．
【精典范例】
例1 抛掷一骰子,观察掷出的点数,设事件A为“出现奇数点”，B为“出现偶数点”，已知P(A)=，P(B)=，求 “出现奇数点或偶数点”的概率．
【分析】抛掷骰子,事件“出现奇数点”和“出现偶数点”是彼此互斥的，可用运用概率的加法公式求解．
【解】记“出现奇数点或偶数点”为事件C,则C=A∪B,因为A、B是互斥事件，所以P(C)=P(A)+ P(B)=+=1．
答：出现奇数点或偶数点的概率为1．
例2 盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取两次，每次取一只，试求下列事件的概率：
(1)取到的2只都是次品；
(2)取到的2只中正品、次品各一只；
(3)取到的2只中至少有一只正品．
【解】从6只灯泡中有放回地任取两只，共有36种不同取法．
(1)取到的2只都是次品情况为种．因而所求概率为．
(2)由于取到的2只中正品、次品各一只有两种可能：第一次取到正品，第二次取到次品；及第一次取到次品，第二次取到正品．因而所求概率为．
(3)由于“取到的两只中至少有一只正品”是事件“取到的两只都是次品”的对立事件．因而所求概率为．
例3 如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心（事件A）的概率是，取到方块（事件B）的概率是，问：
（1）取到红色牌（事件C）的概率是多少？
（2）取到黑色牌（事件D）的概率是多少？
【分析】事件C是事件A与事件B的并，且A与B互斥，因此可用互斥事件的概率和公式求解，事件C与事件D是对立事件，因此P(D)=1—P(C)．
【解】（1）P(C)=P(A)+ P(B)=；
（2）P(D)=1—P(C)=．
例4 袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，试求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？
【分析】利用方程的思想及互斥事件、对立事件的概率公式求解．
【解】从袋中任取一球，记事件“摸到红球”、“摸到黑球”、“摸到黄球”、“摸到绿球”为A、B、C、D，则有P(B＋C)=P(B)＋P(C)=；P(C＋D)=P(C)＋P(D)=；P(B＋C＋D)=1－P(A)=1－=,解得
P(B)=,P(C)=,P(D)=
答：得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是、、．
追踪训练
1、下列说法中正确的是（ D ）
A．事件A、B中至少有一个发生的概率一定比A、B中恰有一个发生的概率大
B．事件A、B同时发生的概率一定比事件A、B恰有一个发生的概率小
C．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件
D．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件
2、一辆班车接送职工上下班，规定有10个车站，车上有30人，如果某站无人下车，则班车在此站不停，求下列事件的概率．
（1）班车在某一站停车的概率；
（2）班车停车不少于2次的概率．
答：(1) ；(2)．
3、从一副52张（不含大小王）扑克牌中抽出一张，放回后重新洗牌，再抽出一张，
（1）前后两张为同花色的概率是多少？
（2）是同一张的概率是多少？
答：（1）, （2）．第七章 概率
一、知识结构
二、重点难点
重点：随机事件、概率的含义；等可能事件、互斥事件、对立事件的性质；古典概型、几何概型的计算
难点：等可能事件、互斥事件、对立事件的性质；古典概型、几何概型的计算
第30课时7.1.1 随机现象
【学习导航】
知识网络
学习要求
1.通过实例理解确定性现象与随机现象的含义和随机事件、必然事件、不可能事件的概念及其意义;
2.根据定义判断给定事件的类型，明确事件发生的条件是判断事件的类型的关键；
【课堂互动】
自学评价
1、
，这种现象叫做确定性现象
2、
,
这种现象叫做随机现象
3、 叫做必然事件；
叫做不可能事件；
叫做随机事件
【经典范例】
例1 观察下列现象：
（1）在标准大气压下水加热到1000C，沸腾；
（2）导体通电，发热；
（3）同性电荷，相互吸引；
（4）实心铁块丢人水中，铁块浮起；
（5）买一张福利彩票，中奖；
（6）掷一枚硬币，正面朝上；
其中是随机现象的有
【解】
例2 判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？
（1）抛掷一块石子，下落；.
（2）在标准大气压下且温度低于0℃时，冰
融化；
（3）某人射击一次，中靶；
（4）如果，那么；
（5）掷两枚硬币，均出现反面；
（6）抛掷两枚骰子，点数之和为15；
（7）从分别标有号数1，2，3，4，5的5张
标签中任取一张，得到4号签；
（8）某电话机在1分钟内收到2次呼叫；
（9）绿叶植物，不会光合作用；
（10）在常温下，焊锡熔化；
（11）若为实数，则；
（12）某人开车通过十个路口，都遇到绿灯；
其中必然事件有 ；不可能事件有 ；随机事件有
【解】
例3 在10个学生中,男生有个,现从10个学生中任选6人去参加某项活动.①至少有一个女生;②5个男生,1个女生;③3个男生,3个女生.当为何值时,使得①为必然事件,②为不可能事件,③为随机事件
【解】
例4 已知,给出事件.
(1)当A为必然事件时,求的取值范围;
(2)当A为不可能事件时,求的取值范围.
【解】
追踪训练
1.下列事件中随机事件的个数为 （ ）
(1) 物体在重力作用下自由下落。
(2) 方程有两个不相等的实根
(3) 下周日下雨
(4) 某剧院明天的上座率不低于60%
A、1 B、2 C、3 D、4
2.下列试验中可以构成事件的是 （ ）
A、掷一次硬币
B、射击一次
C、标准大气压下，水烧至100 0C
D、摸彩票中头奖
3.传说古时候有一个农夫正在田间干活,忽然发现一只兔子撞死在地头的木桩上,他喜出望外,于是拾起兔子回家了,第二天他就蹲在木桩旁守侯,就这样日复一日,年复一年,但再也没有等着被木桩碰死的兔子,这是为什么
4.事件”某人掷骰子5次,两次点数为2”是随机事件吗 条件和结果是什么 一次试验是指什么 一共做了几次试验
等可能事件
频 率
随机事件
不可能事件
必然事件
随机现象
概 率
应 用
互斥事件
对立事件
几何概型
古典概型第2课时7.1.2 随机事件的概率
分层训练
1.将一枚硬币连掷了10次,正面朝上的出现了6次,若用A表示正面朝上这一事件,则A的 ( )
A. 概率为 B.频率为
C.频率为6 D．概率接近0.6
2.盒中有100个铁钉，其中90个是合格的，10个是不合格的，从中任意抽取21个，其中合格的铁钉估计有 个.
3.从一批出厂的电视机中，随机抽取10台进行质量检查，其中有1台次品，能否说这批电视机的次品的概率是0.1？
解:
4.一个地区从某年起几年之内的新生儿数及其中男婴数如下：
时间范围 新生婴儿数 男婴出生数 男婴出生频率
1年内 5544 2883
2年内 9607 4970
3年内 13520 6994
4年内 17190 8892
（1）填写表中男婴出生的频率（结果保留到小数点后第3位）；
（2）这一地区男婴出生的概率约是多少？
解:
5.如果某产品的合格率为90%，问“从该厂产品中任意抽取10件，其中一定有9件合格品”这种说法正确吗？
解:
拓展延伸
6．李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学,下表是李老师这门课3年来的考试成绩分布:
成绩 人数
90分以上 43
80分～89分 182
70分～79分 260
60分～69分 90
50分～59分 62
50分以下 8
经济学院一年级的学生小王下学期将选修李老师的高等数学课,用已有的信息估计她得以下分数的概率(结果保留到小数点后三位):(1)90分以上;(2)60分～69分;(3)60分以上.
解：
7．某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：
射击次数n 10 20 50 100 200 500
击中靶心次数 8 19 44 92 178 455
击中靶心的频率
（1）填写表中击中靶心的频率；
（2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？
解：
学生质疑
教师答复
本节学习疑点：7.3.1 几何概型
第35课时
学习要求
1、了解几何概型的概念及基本特点；
2、熟练掌握几何概型的概率公式；
3、正确判别古典概型与几何概型,会进行简单的几何概率计算．
【课堂互动】
自学评价
试验１ 取一根长度为的绳子，拉直后在任意位置剪断．剪得两段的长都不小于的概率有多大？
试验２ 射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环．从外向内为白色，黑色，蓝色，红色，靶心是金色．金色靶心叫＂黄心＂．奥运会的比赛靶面直径为，靶心直径为．运动员在外射箭．假设射箭都能射中靶面内任何一点都是等可能的．射中黄心的概率为多少？
【分析】第一个试验，从每一个位置剪断都是一个基本事件，剪断位置可以是长度为的绳子上的任意一点．
第二个试验中，射中靶面上每一点都是一个基本事件，这一点可以是靶面直径为的大圆内的任意一点．
在这两个问题中，基本事件有无限多个，虽然类似于古典概型的＂等可能性＂，但是显然不能用古典概型的方法求解．
【解】实验1中，如下图，记＂剪得两段的长都不小于＂为事件．把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件发生．由于中间一段的长度等于绳长的，于是事件发生的概率．
实验2中，如下图，记＂射中黄心＂为事件，由于中靶心随机地落在面积为的大圆内，而当中靶点落在面积为
的黄心内时，事件发生，
于是事件发生的概率为
．
【小结】
１．几何概型的概念：
对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点．这里的区域可以是线段，平面图形，立体图形等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型．
２．几何概型的基本特点：
（１）试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；
（２）每个基本事件出现的可能性相等．
３．几何概型的概率：
一般地，在几何区域中随机地取一点，记事件＂该点落在其内部一个区域内＂为事件，则事件发生的概率．
说明：（１）的测度不为；
（２）其中＂测度＂的意义依确定，当分别是线段，平面图形，立体图形时，相应的＂测度＂分别是长度，面积和体积．
（３）区域为＂开区域＂；
（４）区域内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其形状位置无关．
【经典范例】
例1 判断下列试验中事件A发生的概率是古典概型，还是几何概型．
（1）抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率；
（2）如图所示，图中有一个12等分的圆盘，甲乙两人玩游戏，向圆盘投掷可视为质点的骰子，规定当骰子落在阴影区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率．
【分析】本题考查的几何概型与古典概型的特点，古典概型具有有限性和等可能性．而几何概型则是在试验中出现无限多个结果，且与事件的区域长度有关．
【解】
例2取一个边长为的正方形及其内切圆（如右图），随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率．（＂测度＂为面积）
【分析】由于是随机丢豆子，故可认为豆子落入正方形内任一点的机会都是均等的，于是豆子落入圆中的概率应等于圆面积与正方形面积的比．
【解】
思维点拔：
1、几何概型的意义也可以这样理解： 向区域G中任意投掷一个点M，点M落在G内的部分区域g”的概率P定义为：g的度量与G的度量之比，即：
．
2、我们可以通过实验计算圆周率的近似值．实验如下：向如图所示的圆内投掷个质点，计算圆的内接正方形中的质点数为，由几何概型公式可知：，
即 ．
追踪训练
1、求例1中（2）的概率．
2、若,则点在圆面内的概率是多少
3、靶子由三个半径分别为R,2R,3R的同心圆组成,如果你向靶子随机地掷一个飞镖,命中半径分别为R区域,2R区域,3R区域的概率分别为,则=_____.7.4.1 互斥事件及其发生的概型
第38课时
学习要求
1、了解互斥事件及对立事件的概念，能判断某两个事件是否是互斥事件，进而判断它们是否是对立事件．
2、正确理解两个互斥事件的概率加法公式,会用相关公式进行简单概率计算．
【课堂互动】
自学评价
案例：体育考试的成绩分为四个等级：优、良、中、不及格，某班50名学生参加了体育考试，结果如下：
优 85分及以上 9人
良 75----84分 15人
中 60----74分 21人
不及格 60分以下 5人
问题：在同一次考试中，某一位同学能否既得优又得良？从这个班任意抽取一位同学，那么这位同学的体育成绩为“优良”（优或良）的概率是多少？
【解】体育考试的成绩的等级为优、良、中、不及格的事件分别记为．在同一次体育考试中，同一人不能同时既得优又得良，即事件是不可能同时发生的．
在上述关于体育考试成绩的问题中，用事件表示事件“优”和“良”，那么从50人中任意抽取1个人，有50种等可能的方法，而抽到优良的同学的方法有
9+15种，从而事件发生的概率．
另一方面，，因此有．
【小结】
1．互斥事件：
不能同时发生的两个事件称为互斥事件．
2．互斥事件的概率 ：
如果事件，互斥，那么事件发生的概率，等于事件，分别发生的概率的和，即．
一般地，如果事件两两互斥，则
．
3．对立事件：
两个互斥事件必有一个发生，则称这两个事件为对立事件．事件的对立事件记为．
对立事件和必有一个发生，故是必然事件，从而
．
因此，我们可以得到一个重要公式．
【精典范例】
例1 一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些是互斥事件 哪些是对立事件
事件A：命中环数大于7环；
事件B：命中环数为10环；
事件C：命中环数小于6环；
事件D：命中环数为6、7、8、9、10环．
【分析】要判断所给事件是对立还是互斥，首先将两个概念的联系与区别弄清楚，互斥事件是指不可能同时发生的两事件，而对立事件是建立在互斥事件的基础上，两个事件中一个不发生，另一个必发生．
【解】A与C互斥（不可能同时发生），B与C互斥，C与D互斥，C与D是对立事件（至少一个发生）．
例2 一只口袋内装有大小一样的4只白球与4只黑球，从中一次任意摸出2只球．记摸出2只白球为事件，摸出1只白球和1只黑球为事件．问事件和是否为互斥事件？是否为对立事件？
【解】 事件和互斥
因为从中一次可以摸出2只黑球，所以事件和不是对立事件．
例3 某人射击1次，命中7---10环的概率如下表所示：
命中环数 10环 9环 8环 7环
概率 0．12 0．18 0．28 0．32
（1） 求射击一次，至少命中7环的概率；
（2） 求射击1次，命中不足7环的概率．
【解】 记事件“射击1次，命中环”为则事件两两相斥．
（1）记“射击一次，至少命中7环”的事件为，那么当，，或之一发生时，事件发生．由互斥事件的概率加法公式，得
=
=．
（2）事件“射击一次，命中不足7环”是事件“射击一次，命中至少7环”的对立事件，即表示事件“射击一次，命中不足7环”．根据对立事件的概率公式，得
．
答 此人射击1次，至少命中7环的概率为0.9；命中不足7环的概率为0.1．
例4 黄种人群中各种血型的人所占的比如下表所示：
血型 A B AB O
该血型的人所占比/% 28 29 8 35
已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任一种血型的人，任何人的血都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B型血，若小明因病需要输血，问：
（1）任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？
（2）任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？
【解】 （1）对任一人，其血型为A，B，AB，O型血的事件分别记为它们是互斥的．由已知，有
．
因为B，O型血可以输给B型血的人，故“可以输给B型血的人”为事件．根据互斥事件的加法公式，有
．
（2）由于A，AB型血不能输给B型血的人，故“不能输给B型血的人”为事件
，且
．
答 任找一人，其血可以输给小明的概率为0.64，其血不能输给小明的概率为0.36．
注 ：第（2）问也可以这样解：因为事件“其血可以输给B型血的人”与事件“其血不能输给B型血的人”是对立事件，故由对立事件的概率公式，有
追踪训练
1、连续掷3次硬币，那么互为对立的事件是 （ C ）
A、至少一次是正面和最多有一次正面；
B、最多有一次正面和恰有两次正面；
C、不多于一次正面和至少有两次正面；
D、至少有两次正面和恰有一次正面．
2、一射手进行一次射击，给出4个事件：①命中的环数大于8，②命中的环数大于5，③命中的环数小于4，④命中的环数小于6，其中互斥事件的有（ C ）
A、1组 B、2组 C、3组 D、4组
3、在一批产品中，有多于4件的次品和正品，从这批产品中任意抽取4件，事件A为抽取4件产品中至少有一件次品，那么为 （ C ）
A、抽取的4件产品中至多有1件次品；
B、抽取的4件产品中恰有1件次品；
C、抽取的4件产品中没有次品；
D、抽取的4件产品中有多于4件的次品．
4、某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21、0.23、0.25、0.28，计算这个射手在一次射击中：（1）射中10环或7环的概率；
（2）不够7环的概率．
答：（1）＝0.21＋0.28＝0．49；
（2）＝1－0.21－0.23－0.25－0.28＝0．03．第35课时7.3.1 几何概型
学习要求
1、了解几何概型的概念及基本特点；
2、熟练掌握几何概型的概率公式；
3、正确判别古典概型与几何概型,会进行简单的几何概率计算．
【课堂互动】
自学评价
试验１ 取一根长度为的绳子，拉直后在任意位置剪断．剪得两段的长都不小于的概率有多大？
试验２ 射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环．从外向内为白色，黑色，蓝色，红色，靶心是金色．金色靶心叫＂黄心＂．奥运会的比赛靶面直径为，靶心直径为．运动员在外射箭．假设射箭都能射中靶面内任何一点都是等可能的．射中黄心的概率为多少？
【分析】第一个试验，从每一个位置剪断都是一个基本事件，剪断位置可以是长度为的绳子上的任意一点．
第二个试验中，射中靶面上每一点都是一个基本事件，这一点可以是靶面直径为的大圆内的任意一点．
在这两个问题中，基本事件有无限多个，虽然类似于古典概型的＂等可能性＂，但是显然不能用古典概型的方法求解．
【解】实验1中，如下图，记＂剪得两段的长都不小于＂为事件．把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件发生．由于中间一段的长度等于绳长的，于是事件发生的概率．
实验2中，如下图，记＂射中黄心＂为事件，由于中靶心随机地落在面积为的大圆内，而当中靶点落在面积为
的黄心内时，事件发生，
于是事件发生的概率为
．
【小结】
１．几何概型的概念：
对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点．这里的区域可以是线段，平面图形，立体图形等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型．
２．几何概型的基本特点：
（１）试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；
（２）每个基本事件出现的可能性相等．
３．几何概型的概率：
一般地，在几何区域中随机地取一点，记事件＂该点落在其内部一个区域内＂为事件，则事件发生的概率．
说明：（１）的测度不为；
（２）其中＂测度＂的意义依确定，当分别是线段，平面图形，立体图形时，相应的＂测度＂分别是长度，面积和体积．
（３）区域为＂开区域＂；
（４）区域内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其形状位置无关．
【精典范例】
例1 判断下列试验中事件A发生的概率是古典概型，还是几何概型．
（1）抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率；
（2）如图所示，图中有一个12等分的圆盘，甲乙两人玩游戏，向圆盘投掷可视为质点的骰子，规定当骰子落在阴影区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率．
【分析】本题考查的几何概型与古典概型的特点，古典概型具有有限性和等可能性．而几何概型则是在试验中出现无限多个结果，且与事件的区域长度有关．
【解】（1）抛掷两颗骰子，出现的可能结果有6×6=36种，且它们都是等可能的，因此属于古典概型；
（2）游戏中骰子落在阴影区域时有无限多个结果，而且不难发现“骰子落在阴影部分”，概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域长度有关，因此属于几何概型．
例2取一个边长为的正方形及其内切圆（如右图），随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率．（＂测度＂为面积）
【分析】由于是随机丢豆子，故可认为豆子落入正方形内任一点的机会都是均等的，于是豆子落入圆中的概率应等于圆面积与正方形面积的比．
【解】记＂豆子落入圆内＂为事件，则
．
答：豆子落入圆内的概率为．
思维点拔：
1、几何概型的意义也可以这样理解： 向区域G中任意投掷一个点M，点M落在G内的部分区域g”的概率P定义为：g的度量与G的度量之比，即：
．
2、我们可以通过实验计算圆周率的近似值．实验如下：向如图所示的圆内投掷个质点，计算圆的内接正方形中的质点数为，由几何概型公式可知：，
即 ．
追踪训练
1、求例1中（2）的概率．
解：由例1（2）分析可知：
．
2、若,则点在圆面内的概率是多少
解：
3、靶子由三个半径分别为R,2R,3R的同心圆组成,如果你向靶子随机地掷一个飞镖,命中半径分别为R区域,2R区域,3R区域的概率分别为,则=______.第4课时7.2.2 古典概型(2)
分层训练
1、在七位数的电话号码中后三个数全不相同的概率是（ ）
A. B. C. D.
2、6位同学参加百米赛跑初赛，赛场共有6条跑道，其中甲同学恰好被排在第一道，乙同学恰好被排在第二道的概率为 ．
3、第1小组有足球票2张，，篮球票1张，第2小组有足球票1张，篮球票2张.甲从第1小组3张票中任取一张,乙从第2小组3张票中任取一张,两人都抽到足球票的概率为_____.
4、从0，1，2，…，9这十个数字中任取不同的三个数字，求三个数字之和等于10的概率．
5、已知集合A=,在平面直角坐标系中,点M的坐标为,其中,且,计算:(1)点M不在轴上的概率;(2)点M在第二象限的概率.
解：
拓展延伸
6、先后抛掷3枚均匀的壹分,贰分,伍分硬币.
(1) 一共可能出现多少种不同结果
(2) 出现”2枚正面,1枚反面”的结果有多少种
(3) 出现”2枚正面,1枚反面”的概率是多少
7、从1，2，3，4，5五个数字中，任意有放回地连续抽取三个数字，求下列事件的概率
（1）三个数字完全不同；
（2）三个数字中不含1和5；
（3）三个数字中5恰好出现两次．
8、某地区有5个工厂，由于用电紧缺，规定每个工厂在一周内必须选择某一天停电(选哪一天是等可能的)．假定工厂之间的选择互不影响．
⑴求5个工厂均选择星期日停电的概率；
⑵求至少有两个工厂选择同一天停电的概率．
本节学习疑点：
学生质疑
教师答复第12课时7.5复习课3(全章复习)
分层训练
1、下列事件：①某地1月1日刮西北风，②没有水分，种子发芽，③同性电荷互相排斥，④一个电影院某天的上座率超过50%，其中为不可能的事件是（ ）
A①④ B② C① D④
2、一个口袋内装有大小相同的1 个白球和已编有不同号码的3个红球，从中摸出两个红球的概率是（ ）
A B C D
3、从分别写有A,B,C,D,E的5张卡片中,任取2张,这2张上的字母恰好按字母顺序相邻的概率为________________.
4、 在张卡片上分别写有数字然后将它们混合,再任意排列成一行,则得到的数能被或整除的概率是
5、连续掷两次骰子分别得到点数m、n，则（m、n）落在内的概率是
6、某班有50名学生，其中 15人选修A课程，另外35人选修B课程．从班级中任选两名学生,他们是选修不同课程的学生的概率是 ．(结果用分数表示)
拓展延伸
7、甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头．它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的．如果甲船的停泊时间是2小时，乙船也是2小时，求它们中的任何一艘都不需要等待码头空出的概率？
8、某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是过去200例类似项目开发的实施结果：
投资成功 投资失败
192次 8次
则该公司一年后估计可获多少元的收益？
9、把3个不同的球投入3个不同的盒子中（每个盒子中球数不限），计算：
（1）无空盒的概率； （2）恰有一个空盒的概率。
本节学习疑点：
学生质疑
教师答复第36课时7.3.2几何概型
学习要求
1、能运用模拟的方法估计概率，掌握模拟估计面积的思想；
2、熟练运用几何概型解决关于时间类型问题.
【课堂互动】
自学评价
例1 在等腰直角三角形中，在斜边上任取一点，求小于的概率．（＂测度＂为长度）
【分析】点随机地落在线段上，故线段为区域．当点位于图中线段内时，，故线段即为区域．
【解】在上截取．于是
．
答：小于的概率为．
例2 某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求此人等车时间不多于10分钟的概率．
【分析】假设他在0～60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的,但在0到60分钟之间有无穷多个时刻,不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率.可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率.因为客车每小时一班,他在0到60分钟之间任何一个时刻到站等车是等可能的,所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关,而与该时间段的位置无关,这符合几何概型的条件.
【解】设A={等待的时间不多于10分钟},我们所关心的事件A恰好是到站等车的时刻位于[50,60]这一时间段内,因此由几何概型的概率公式,得P(A)= =，即此人等车时间不多于10分钟的概率为．
【说明】在本例中，到站等车的时刻X是随机的，可以是0到60之间的任何一刻，并且是等可能的，我们称X服从[0,60]上的均匀分布，X为[0,60]上的均匀随机数．
【小结】在许多实际问题中，其几何概型特征并不明显，要能将它们转化为几何概型，并正确应用几何概型的概率计算公式解决问题．如与时间有关的等候问题、约会问题，与数域有关的点集问题等等。
【精典范例】
例3 有一个半径为的圆，现在将一枚半径为硬币向圆投去，如果不考虑硬币完全落在圆外的情况，试求硬币完全落入圆内的概率．
【解】由题意，如图，因为硬币完全落在圆外的情况是不考虑的，所以硬币的中心均匀地分布在半径为的圆内，且只有中心落入与圆同心且半径为的圆内时，硬币才完全落如圆内．记＂硬币完全落入圆内＂为事件，则．
答：硬币完全落入圆内的概率为．
例4 约会问题
两人相约8点到9点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时就可离去，试求这两人能会面的概率．
【解】以分别表示两人的到达时刻，则两人能会面的充要条件为，这是一个几何概率问题，可能的结果全体是边长为60的正方形里的点，能会面的点的区域用阴影标出（如上图）．所求概率为
．
答：两人会面的概率为．
追踪训练
1、已知地铁列车每10min一班，在车站停1min，求乘客到达站台立即乘上车的概率．
解：由几何概型知，所求事件A的概率为：
．
2、在区间内的所有实数中,随机取一个实数,则这个实数的概率是_____.
3、某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台的整点报时,求他等待的时间不多于15分钟的概率.
解：由几何概型的求概率的公式得,即“等待整点报时的时间不超过15分钟”的概率为.第31课时7.1.2 随机事件的概率
【学习导航】
知识网络
事件随机事件的概率
学习要求
1.理解随机事件的频率定义及概率的统计定义，知道根据概率的统计定义计算概率的方法, 理解频率和概率的区别和联系；
2．通过对概率的学习，使学生对对立统一的辨证规律有进一步的认识.
【课堂互动】
自学评价
1.随机事件的概率：
我们已经学习用概率表示一个事件在一次试验或观测中发生的可能性的大小，它是在～之间的一个数，将这个事件记为，用表示事件发生的概率.怎样确定某一事件发生的概率呢？
实验1
奥地利遗传学家（G.Mendel）用豌豆进行杂交试验，下表为试验结果（其中为第一子代，为第二子代）：
性状 的表现 的表现
种子的形状 全部圆粒 圆粒5474 皱粒1850 圆粒︰皱粒≈2.96︰1
茎的高度 全部高茎 高茎787 矮茎277 高茎︰矮茎≈2.84︰1
子叶的颜色 全部黄色 黄色6022 绿色2001 黄色︰绿色≈3.01︰1
豆荚的形状 全部饱满 饱满882 不饱满299 饱满︰不饱满≈2.95︰1
孟德尔发现第一子代对于一种性状为必然事件，其可能性为100％,另一种性状的可能性为0，而第二子代对于前一种性状的可能性约为75％,后一种性状的可能性约为25％，通过进一步研究，他发现了生物遗传的基本规律.
实际上，孟德尔是从某种性状发生的频率作出估计的.
实验2
在《算法初步》一章中，我们曾设计了一个抛掷硬币的模拟试验.下表是连续8次模拟试验的结果：
A B
1 模拟次数10 正面向上的频率0.3
2 模拟次数100 正面向上的频率0.53
3 模拟次数1000 正面向上的频率0.52
4 模拟次数5000 正面向上的频率0.4996
5 模拟次数10000 正面向上的频率0.506
6 模拟次数50000 正面向上的频率0.50118
7 模拟次数100000 正面向上的频率0.49904
8 模拟次数500000 正面向上的频率0.50019
我们看到，当模拟次数很大时，正面向上的频率值接近于常数0.5，并在其附近摆动.
实验3
的前位小数中数字6出现的频率
数字6出现的次数 数字6出现的频率
100 9 0.090000
200 16 0.080000
500 48 0.096000
1000 94 0.094000
2000 200 0.100000
5000 512 0.102400
10000 1004 0.100400
50000 5017 0.100340
1000000 99548 0.099548
从上表可以看出：数字6在的各位小数数字中出现的频率接近常数0.1，并在其附近摆动。如果统计0至9这10个数字在的各位小数数字中出现的频率值，可以发现它们都是接近常数0.1，并在其附近摆动.
【总结】在相同条件下，随着试验次数的增多，随机事件发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画该随机事件发生的可能性大小，而将频率作为其近似值。
1.概率： 一般地，如果随机事件在次试验中发生了次，当试验的次数很大时，我们可以将发生的频率作为事件发生的概率的近似值，即 .
2．概率的性质：
①随机事件的概率为，
②必然事件和不可能事件看作随机事件的两个特例，分别用和表示，必然事件的概率为，不可能事件的概率为，即，;
3.（1）频率的稳定性 即大量重复试验时，任何结果（事件）出现的频率尽管是随机的，却“稳定”在某一个常数附近，试验的次数越多，频率与这个常数的偏差大的可能性越小，这一常数就成为该事件的概率;
（2）“频率”和“概率”这两个概念的区别是：频率具有随机性，它反映的是某一随机事件出现的频繁程度，它反映的是随机事件出现的可能性；概率是一个客观常数，它反映了随机事件的属性.
【经典范例】
例1 某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：
射击次数 击中靶心的次数 击中靶心的频率
10 8
20 19
50 44
100 92
200 178
500 455
（1）填写表中击中靶心的频率；
（2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是什么？
例2 某人进行打靶练习，共射击10次，其中有2次中10环，有3次环中9环，有4次中8环，有1次未中靶，试计算此人中靶的概率，假设此人射击1次，试问中靶的概率约为多大？中10环的概率约为多大？
例3 在一场乒乓球比赛前，裁判员利用抽签器来决定由谁先发球，请用概率的知识解释其公平性。
追踪训练
1、下列说法正确的是（ ）
A．任一事件的概率总在（0，1）内
B．不可能事件的概率不一定为0
C．必然事件的概率一定为1
D．以上均不对
2、下表是某种油菜子在相同条件下的发芽试验结果表，请完成表格并回答题。
每批粒数 发芽的粒数 发芽的频率
2 2
5 4
10 9
70 60
130 116
700 282
1500 639
2000 1339
（1）完成上面表格：
（2）该油菜子发芽的概率约是多少？
3、如果某种彩票中奖的概率为，那么买1000张彩票一定能中奖吗？请用概率的意义解释。