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12.3 角的平分线的性质
第1课时 角的平分线的性质
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一、角的平分线的性质
角的平分线上的点到角的两边的 相等.
[几何语言] 如图所示,
∵OP平分∠AOB,PC⊥OA,PD⊥OB,
∴PC PD.
二、证明几何命题的步骤
1.明确命题中的 和 ;
2.根据题意,画出图形,并用 表示已知和求证;
3.经过分析,找出由已知推出要证的结论的途径,写出 过程.
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距离
=
已知
求证
符号
证明
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知识点1 角的平分线的尺规作图
1.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示,则能说明∠AOC =∠BOC的依据是( )
A.SSS
B.ASA
C.AAS
D.角平分线上的点到角两边的距离相等
A
知识点2 角的平分线的性质
2.(2023昆五中期中)如图所示,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE⊥AB,垂足为E.若DE=1,AC=2,AB=3,则△ABC的面积为( )
A.2.5 B.3
C.5 D.6
A
3.(昆明西山区期中)如图所示,BD是∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BD
上,PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别是M,N.求证PM=PN.
知识点3 命题证明
4.证明命题:全等三角形对应边上的高相等.
已知:如图所示,△ABC≌△A′B′C′,AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的BC和B′C′边上的高.求证:AD=A′D′.
5.如图所示是一块三角形的草坪,现要在草坪上建一凉亭供大家休息,要使凉亭到草坪三条边的距离相等,凉亭的位置应选在( )
A.△ABC的三条中线的交点
B.△ABC三条角平分线的交点
C.△ABC三条高所在直线的交点
D.△ABC三边的中垂线的交点
B
6.如图所示,AD是△ABC中∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,△ABC的面积为12,DE=2,AB=7,则AC的长是( )
A.3 B.4
C.5 D.6
7.如图所示,点E是BC的中点,AB⊥BC,DC⊥BC,AE平分∠BAD,下列结论:①∠AED=90°;②∠ADE=∠CDE;③DE=BE;④AD=AB+CD.四个结论中成立的是( )
A.①②④ B.①②③
C.②③④ D.①③
C
A
15°或45°
9.如图所示,已知∠AOC=∠BOC,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.求证:△OPD≌△OPE.
10.(推理能力)如图(1)所示,在△ABC中,AD是它的角平分线,P是AD上一点,PE∥AB交BC于点E,PF∥AC交BC于点F.
(1)求证:点D到PE的距离与点D到PF的距离相等.
(1)证明:∵PE∥AB,PF∥AC,
∴∠EPD=∠BAD,∠DPF=∠CAD.
∵在△ABC中,AD是它的角平分线,
∴∠BAD=∠CAD.
∴∠EPD=∠DPF,即PD平分∠EPF.
∴点D到PE的距离与点D到PF的距离相等.
(2)如图(2)所示,若点P在AD的延长线上,其他条件不变,试猜想(1)中的结论还成立吗 并证明你的猜想.
(2)解:若点P在AD的延长线上,其他条件不变,(1)中的结论还成立.证明如下:
∵PE∥AB,PF∥AC,∴∠EPD=∠BAD,∠DPF=∠CAD.
∵在△ABC中,AD是它的角平分线,
∴∠BAD=∠CAD.∴∠EPD=∠DPF,即PD平分∠EPF.
∴点D到PE的距离与点D到PF的距离相等.
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专题二 图形变换与全等三角形
类型一 平移模型
1.如图所示,B是线段AC的中点,AD∥BE,BD∥CE,求证:△ABD≌△BCE.
类型二 对称模型
共边AB 共用AE 对顶角
共用∠F 共用∠EAC
2.如图所示,AB=AD,BC=DC,点E在AC上.求证:
(1)AC平分∠BAD;
(2)BE=DE.
3.如图所示,在Rt△ABC和Rt△DEF中,∠C=∠F=90°,点 A,E,B,D在同一直线上,BC,EF交于点M,AC=DF,AB=DE,ME=MB.求证:
(1)∠CBA=∠FED;
(2)AM=DM.
类型三 旋转模型
4.如图所示,∠A=∠B,AE=BE,点D在边AC上,∠1=∠2,AE和BD相交于点O.求证:△AEC≌△BED.
类型四 一线三等角模型
5.如图所示,小明拿着老师的等腰直角三角板进行测量时,不小心掉到两墙之间,AD⊥DE,BE⊥DE.
(1)求证:△ADC≌△CEB;
(2)若DE=35 cm,请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小(每块砖的厚度相等).
(2)解:∵一块砌墙砖块的厚度为a,
∴AD=4a,BE=3a.
由(1),得△ADC≌△CEB,
∴DC=BE=3a,AD=CE=4a.
∴DE=DC+CE=3a+4a=7a=35 cm.
∴a=5 cm.
答:砌墙砖块的厚度a为5 cm.
类型五 综合模型
6.如图所示,E,F分别是正方形ABCD的边BC,CD上一点,且BE+DF=EF,求∠EAF的度数.
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第4课时 HL
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一、“HL”判定法
和一条 分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“ ”).
[几何语言] 如图所示,∠B=∠E= ,
在Rt△ABC和Rt△DEF中,
自主导学
斜边
直角边
HL
90°
∴Rt△ABC≌Rt△DEF( ).
二、直角三角形全等的判定方法
(1)HL;(2)SAS;(3)ASA;(4)AAS;(5)SSS.
HL
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知识点1 用“HL”判定直角三角形全等
1.如图所示,∠C=∠D=90°,添加一个条件,可使用“HL”判定Rt△ABC和Rt△ABD全等.以下给出的条件适合的是( )
A.AC=AD B.AD=BC
C.∠ABC=∠ABD D.∠BAC=∠BAD
A
2.(昆明模拟)如图所示,已知∠A=∠D=90°,E,F在线段BC上,DE与AF交于点O,且AB=CD,BE=CF.求证:∠AFB=∠DEC.
知识点2 直角三角形全等的判定方法
3.下列条件中,不能判定两个直角三角形全等的是( )
A.一个锐角和斜边对应相等
B.两条直角边对应相等
C.两个锐角对应相等
D.斜边和一条直角边对应相等
C
4.如图所示,CD⊥AD,CB⊥AB,AB=AD,求证:CD=CB.
5.如图所示,已知BC⊥CA,ED⊥AB,BD=BC,AE=8 cm,DE=6 cm,则AC等于
( )
A.10 cm B.12 cm
C.14 cm D.16 cm
6.如图所示,AD为△ABC的高,E为AC上一点,BE交AD于点F,且有BF=AC, FD=CD,则下列结论:①∠C=∠BFD;②AD=BD;③BE⊥AC.其中正确的有
( )
A.①② B.①③
C.②③ D.①②③
C
D
7.如图所示,在正方形网格中,点A,B,C,D均在格点上,则∠ACD+∠BDC
= .
8.(易错题)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=10 cm,BC=5 cm,一条线段 PQ=AB,P,Q两点分别在AC和AC的垂线AX上移动,则当AP= .
cm时,才能使△ABC和△APQ全等.
90°
5或
10
9.如图所示,点B,E,C,F在一条直线上,AC与DE交于点G,∠A=∠D=90°, AC=DF,BE=CF.
(1)求证:Rt△ABC≌Rt△DEF;
(2)若AB=3,GE=2,求DG的长.
(2)解:由(1)知Rt△ABC≌Rt△DEF,
∴DE=AB=3,
∴DG=DE-GE=3-2=1.
10.如图所示,AB=AE,∠B=∠E,BC=ED,AF⊥CD.求证:点F是CD的中点.
11.(推理能力)如图所示,P(2,2),点A在x轴正半轴上运动,点B在y轴负半轴上运动,且PA=PB.
(1)求证:PA⊥PB;
(2)若点A(8,0),则点B的坐标为 ;
(2)(0,-4)
(3)求OA-OB的值.
(3)解:∵Rt△APE≌Rt△BPF,
∴AE=BF.
∵AE=OA-OE=OA-2,
BF=OB+OF=OB+2,
∴OA-2=OB+2.
∴OA-OB=4.
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第十二章 全等三角形
12.1 全等三角形
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一、全等形和全等三角形的有关概念
1.能够 的两个图形叫做全等形.两个图形是否全等只与这两个图形的 和 有关.能够 的两个三角形叫做全等三角形.平移、翻折、旋转前后的图形
2.把两个全等的三角形重合到一起, 的顶点叫做对应顶点,
的边叫做对应边, 的角叫做对应角.
3.全等用符号 表示,如△ABC和△DEF全等,记作△ABC △DEF.记两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的 写在对应的位置上.
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完全重合
形状
大小
完全重合
全等
重合
重合
重合
≌
≌
字母
二、全等三角形的性质
1.全等三角形的对应边 ,全等三角形的对应角 .
2.如图所示,△ABC与△DEF全等,可记作△ABC △DEF,其中点A与点 是对应顶点,∠B与 是对应角,AC与 是对应边,AB=
,AC= ,BC= ;∠A= ,∠B= ,∠C= .
相等
相等
≌
D
∠E
DF
DE
DF
EF
∠D
∠E
∠F
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知识点1 全等形
1.下列各组的两个图形属于全等形的是( )
A
A B C D
2.下列叙述中错误的是( )
A.能够完全重合的两个图形称为全等形
B.全等形的形状和大小都相同
C.所有正方形都是全等形
D.平移、翻折、旋转前后的图形全等
3.4个全等的长方形组成如图所示的图形,其中长方形的边长分别为a和b,且a>b,则阴影部分的面积为 .
C
(a-b)2
知识点2 全等三角形及其性质
4.下列说法:①全等三角形的面积相等;②周长相等的两个三角形全
等;③全等三角形的形状相同、大小相等;④全等三角形的对应边相等、对应角相等.其中正确的为( )
A.②③④ B.①②③ C.①②④ D.①③④
5.(2023昆明西山区期末)如图所示,已知△ABC≌△DCB,AC,BD相交于点E,AB=10,∠A=60°,∠ABC=80°,那么下列结论中正确的是( )
A.∠D=60° B.∠DBC=50°
C.∠ACD=60° D.BE=10
D
A
6.(2023成都)如图所示,已知△ABC≌△DEF,点B,E,C,F依次在同一条直线上.若BC=8,CE=5,则CF的长为 .
3
7.如图所示,已知△ABC≌△DEF,点B,E,C,F在同一条直线上.
(1)若∠BED=140°,∠D=75°,求∠ACB的度数;
解:(1)∵∠BED=140°,∠D=75°,
∴∠F=∠BED-∠D=65°.
∵△ABC≌△DEF,
∴∠ACB=∠F=65°.
(2)若BE=2,EC=3,求BF的长.
解:(2)∵BE=2,EC=3,
∴BC=BE+EC=5.
∵△ABC≌△DEF,∴BC=EF=5.
∴BF=BE+EF=2+5=7.
C
9.(易错题)若△ABC≌△DEF,AB=2,AC=4,且△DEF的周长为奇数,则EF的长为( )
A.3 B.4
C.3或5 D.3或4或5
C
10.如图所示,若△OAD≌△OBC,且∠O=65°,∠C=20°,则∠OAD
= °.
95
11.如图所示,△ABC≌△ADE,分别延长BC,ED交于点F,∠BAC=50°, ∠CAD=60°,求∠F的度数.
解:∵△ABC≌△ADE,
∴∠EAD=∠BAC=50°,∠ACB=∠E.
∴∠B+∠E=∠B+∠ACB=180°-∠BAC=180°-50°=130°.
∵∠CAD=60°,∴∠BAE=160°.
∴∠F=360°-∠B-∠E-∠BAE=360°-130°-160°=70°.
12.如图所示,△ABC≌△DEC,点B,C,D在同一直线上,点E在AC上.
(1)若BC=3,CD=5,求AE的长;
解:(1)∵△ABC≌△DEC,
∴BC=EC=3,AC=DC=5.
∵点E在AC上,
∴AE=AC-EC=5-3=2.
(2)判断AB与DE所在直线的位置关系,并说明理由.
13.(推理能力)在△ABC中,点A的坐标为(0,1),点B的坐标为(0,4),点C的坐标为(4,3),点D在平面直角坐标系中且不与C点重合,若△ABD与△ABC全等,则点D的坐标是 .
(4,2)或(-4,2)或(-4,3)
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12.2 三角形全等的判定
第1课时 SSS
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一、“边边边”基本事实
三边 的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS”).
[几何语言] 如图所示,在△ABC和△A′B′C′中,
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分别相等
二、作一个角等于已知角
已知:∠AOB.
求作:∠A′O′B′,使∠A′O′B′=∠AOB.
作法如图所示:
(1)作射线O′A′;
(2)以点O为圆心,以 为半径画弧,交OA于点C,交OB于点D;
任意长
(3)以点O′为圆心,以 长为半径画弧,交O′A′于点C′;
(4)以点C′为圆心,以 长为半径画弧,交前弧于点D′;
(5)过点D′作射线 ,则∠A′O′B′就是所求作的角.
OC
CD
O′B′
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知识点1 用“SSS”判定两个三角形全等
1.如图所示,已知AC=FE,BC=DE,点A,D,B,F在一条直线上,要利用“SSS”证明△ABC≌△FDE,还可以添加的一个条件是( )
A.AD=FB
B.DE=BD
C.BF=DB
D.以上都不对
A
2.(2023云南)如图所示,C是BD的中点,AB=ED,AC=EC.求证:△ABC≌ △EDC.
知识点2 “SSS”判定三角形全等的应用
3.如图所示的是一个平分角的仪器,其中 AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是这个角的平分线.此仪器的原理是( )
A.SSS B.SAS
C.ASA D.AAS
A
4.如图所示,在四边形ABCD中,AD=BC,AC=BD,AC与BD相交于点E.求证: ∠DAC=∠CBD.
5.如图所示,点A,D,C,F在同一条直线上,AD=CF,AB=DE,BC=EF.求证:
AB∥DE.
知识点3 尺规作图——作一个角等于已知角
6.已知:∠AOB.
求作:∠A′O′B′,使得∠A′O′B′=∠AOB.
作法(如图所示):①以O为圆心,任意长为半径画弧,分别交OA,OB于点C,D;②画一条射线O′A′,以点O′为圆心,OC长为半径画弧,交O′A′于点C′;③以点C′为圆心, ,与第②步中所画的弧相交于点D′;④过点D′画射线O′B′,则∠A′O′B′=∠AOB.
根据上面的材料,完成以下问题:
(1)完成作图过程中的第③步:以点C′为圆心, ,与第②步中所画的弧相交于点D′;
(2)证明∠A′O′B′=∠AOB.
(1)CD长为半径画弧
(2)证明:由作法可知O′C′=OC,O′D′=OD,D′C′=DC,
∴△C′O′D′≌△COD(SSS).
∴∠A′O′B′=∠AOB(全等三角形的对应角相等).
C
8.(易错题)如图所示的是5×5的正方形网格,以格点D,E为两个顶点作位置不同的格点三角形,使所作的格点三角形与△ABC全等,这样的格点三角形最多可以作出( )
A.2个 B.4个 C.6个 D.8个
B
9.如图所示,AB=AC,BD=DC,∠BAC=36°,则∠BAD的度数是 .
18°
10.如图所示,以△ABC的顶点A为圆心,BC长为半径作弧;再以顶点C为圆心,AB长为半径作弧,两弧交于点D,连接AD,CD.若∠B=65°,求∠ADC的大小.
11.如图所示,已知AB=AC,AD=AE,BD=CE,且B,D,E三点共线.求证:∠3= ∠1+∠2.
12.如图所示,在△ABC中,AC=BC,点D是AB上的一点,AE⊥CD于点E, BF⊥CD交CD的延长线于点F.若 CE=BF,AE=EF+BF,试判断直线AC与BC的位置关系,并说明理由.
13.(推理能力)如图所示,AD=CB,E,F是AC上两动点,且有DE=BF.
(1)若点E,F运动至如图(1)所示的位置,且有AF=CE,求证:△ADE ≌△CBF.
(2)若点E,F运动至如图(2)所示的位置,仍有AF=CE,则△ADE≌△CBF还成立吗 为什么
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专题三 证明三角形全等的基本思路
类型一 已知两边对应相等
方法1 寻找第三边对应相等,用“SSS”
1.如图所示,AB=CD,BD=AC.求证:∠B=∠C.
方法2 寻找已知两边夹角对应相等,用“SAS”
2.(2023陕西)如图所示,在△ABC中,∠B=50°,∠C=20°.过点A作AE⊥BC,垂足为E,延长EA至点D.使AD=AC.在边AC上截取AF=AB,连接DF.求证:DF=CB.
类型二 已知两角对应相等
方法1 寻找两角夹边对应相等,用“ASA”
3.如图所示,已知点B,C,F,E在同一直线上,∠1=∠2,BF=CE,AB∥DE.
求证:△ABC≌△DEF.
方法2 寻找任一对应角的对边对应相等,用“AAS”
4.(2023无锡改编)如图所示,△ABC中,D为AB上一点,点E为AC的中点,延长DE到点F,连接CF.若AD∥CF,求证:△CEF≌△AED.
类型三 已知一边一角对应相等
方法1 有一边和该边的对角对应相等,寻找另一角对应相等,用“AAS”
5.(2023辽宁)如图所示.点A,B,C,D在同一条直线上,点E,F分别在直线AB的两侧,且AE=BF,∠A=∠B,∠ACE=∠BDF.
(1)求证:△ACE≌△BDF;
(2)若AB=8,AC=2,求CD的长.
(2)解:∵△ACE≌△BDF,AC=2,
∴BD=AC=2.
又∵AB=8,
∴CD=AB-AC-BD=4.
方法2 有一边和该边的邻角对应相等,寻找另一角对应相等,用“ASA”或“AAS”
6.已知:如图所示,点D是AC上一点,AB=DA,DE∥AB,∠B=∠DAE.求证: BC=AE.
方法3 已知一边一直角对应相等,优先考虑“HL”
7.如图所示,已知AD,AF分别是△ABC和△ABE的高,AD=AF,AC=AE.求证: BC=BE.
证明:∵AD,AF分别是△ABC和△ABE的高,且AD=AF,AC=AE,
∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL).∴CD=EF.
∵AB=AB,AD=AF,∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL).∴BD=BF.
∴BD-CD=BF-EF,即BC=BE.
类型四 已知中点(或中线),考虑倍长中线构造全等
8.如图所示,AD是△ABC中BC边上的中线,AB=7,AC=5,求AD的取值范围.
解:如图所示,延长AD至E,使DE=AD,连接CE,
∵AD是△ABC中BC边上的中线,
∴BD=CD.
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第3课时 ASA和AAS
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一、“角边角”判定法
和它们的 分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”).
[几何语言] 如图所示,在△ABC和△A′B′C′中,
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两角
夹边
二、“角角边”判定法
两角分别相等且其中一组等角的 相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”).
[几何语言] 如图所示,在△ABC和△A′B′C′中,
对边
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知识点1 用“ASA”判定两个三角形全等
1.如图所示,∠1=∠2,∠3=∠4,则判定△ABD和△ACD全等的依据是
( )
A.SSS B.ASA C.SAS D.AAS
B
2.如图所示,∠A=∠D,∠1=∠2,要依据“ASA”使△ABC≌△DEF,还应满足的条件是 .
AC=DF(答案不唯一)
3.(昆明中考)如图所示,在△ABC和△ADE中,AB=AD,∠B=∠D,∠1=∠2.求证:BC=DE.
知识点2 用“AAS”判定两个三角形全等
4.如图所示,小明和小红玩跷跷板游戏,如果跷跷板的支点O(即跷跷板的中点)至地面的距离是50 cm,当小红从水平位置CD下降30 cm时,小明离地面的高度是 cm.
80
5.如图所示,点A,D,C,F在同一直线上,AB∥DE,∠B=∠E,BC=EF.求证: AD=CF.
知识点3 全等三角形判定方法的选用
6.如图所示,点B,F,C,E共线,∠B=∠E,BF=EC,添加一个条件,不能判定△ABC≌△DEF的是( )
A.AB=DE B.∠A=∠D
C.AC=DF D.AC∥FD
C
7.如图所示,AB⊥CD,且AB=CD,CE⊥AD于点E,BF⊥AD于点F.若CE=6,BF= 3,EF=2,则AD的长为( )
A.7 B.6
C.5 D.4
8.(2024昆明盘龙区期末)小云不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块(即图中标有①②③④的四块),你认为应该带哪一块去才能配一块与原来一样大小的三角形玻璃 应该带第 块去.
A
②
9.如图所示,点D在BC上,AB=AD,∠C=∠E,∠BAD=∠CAE.若∠1+∠2=
108°,则∠ABC的度数是 .
72°
10.如图所示,点C在BD上,AB⊥BD,ED⊥BD,AC⊥CE,AB=CD.求证:△ABC ≌△CDE.
11.(2023昆八中期中)如图所示,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠1=∠2, AD=EC.
(1)求证:△ABD≌△EDC;
(2)若AB=2,BE=3,求CD的长.
(2)解:由(1),得△ABD≌△EDC,
∴AB=DE=2,BD=CD.
∴CD=BD=DE+BE=2+3=5.
12.(模型观念)如图所示,∠BCA=∠α,CA=CB,C,E,F分别是直线CD上的三点,且∠BEC=∠CFA=∠α,请提出对EF,BE,AF三条线段之间数量关系的合理猜想,并证明.
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第2课时 SAS
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“边角边”判定法
和它们的 分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”).
[几何语言] 如图所示,在△ABC和△A′B′C′中,
自主导学
两边
夹角
满足“两边和其中一边的对角分别相等”的两个三角形 全等.
不一定
[注意] (1)用“SAS”判定两个三角形全等时,对应相等的三对元素中的角必须是两边的夹角,而不是其中一边的对角,书写时,要按照“边角边”的顺序来写;
(2)在两个三角形中,两边和其中一边的对角分别相等时,两个三角形不一定全等.如图所示,在△ABC和△ABD中,AB=AB,AC=AD,∠B=∠B(∠B分别是AC,AD边的对角),显然△ABC和△ABD不全等.
分层精练
知识点1 用“SAS”判定两个三角形全等
1.如图所示,已知AB=DC,∠ABC=∠DCB,能直接判定△ABC≌△DCB的方法是 .
2.如图所示,已知AO=CO,若以“SAS”为依据证明△AOB≌△COD,还要添加的条件是 .
SAS
BO=DO
3.(2023江西)如图所示,AB=AD,AC平分∠BAD.求证:△ABC≌△ADC.
知识点2 利用“SAS”判定三角形全等证明边角关系
4.(2023福建)如图所示,OA=OC,OB=OD,∠AOD=∠COB.求证:AB=CD.
5.(2023五华区校级模拟)如图所示,点A,F,C,D在同一直线上,BC∥EF, AF=DC,BC=EF.求证:AB∥DE.
知识点3 利用“SAS”判定三角形全等解决实际问题
6.要测量圆形工件的外径,工人师傅设计了如图所示的卡钳,点O为卡钳两柄交点,且有OA=OB=OC=OD,如果圆形工件恰好通过卡钳AB,那么此工件的外径必是CD之长,其中的判定依据是( )
A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS
B
7.(2022兰州)如图所示的是小军制作的“燕子”风筝的骨架图,AB= AE,AC=AD,∠BAD=∠EAC,∠C=35°,求∠D的大小.
8.(2023云南师大实验期中)如图所示,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,B, D,E三点共线,∠1=25°,∠2=30°,则∠3等于( )
A.60° B.55°
C.50° D.无法计算
9.如图所示,CA平分∠DCB,CB=CD,DA的延长线交BC于点E,若∠EAC= 49°,则∠BAE的度数为 .
82°
B
10.如图所示,在正方形ABCD中,如果AF=BE,那么∠AOD的度数
是 .
90°
11.(2023宜宾)如图所示,AB∥DE,AB=DE,AF=DC.求证:∠B=∠E.
12.如图所示,铁路上A,B两站(视为直线上两点)相距14 km,C,D为两村庄(可看作两个点),DA⊥AB于点A,CB⊥AB于点B,已知AD=8 km,BC=6 km,现要在铁路上建一个土特产收购站E,使C,D两村庄到E站的距离相等,则E站应建在距A站多远处
13.(推理能力)如图所示,在△ABC中,AB=AC=12 cm,BC=8 cm,点D为AB的中点.如果点P在线段BC上以3 cm/s的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上由C点向A点运动.若点Q的运动速度为 cm/s,则△BPD能够在某一时刻与△CQP全等.
3或4.5
14.(类比探究)已知△ABC和△ADE均为等腰三角形,且∠BAC=∠DAE, AB=AC,AD=AE.
(1)如图(1)所示,点E在BC上,求证:BC=BD+BE.
(1)证明:∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE,
即∠EAC=∠DAB.
又∵AB=AC,AD=AE,
∴△DAB≌△EAC(SAS).
∴BD=CE.
∴BC=BE+CE=BD+BE.
(2)如图(2)所示,点E在CB的延长线上,(1)的结论是否成立 若成立,给出证明;若不成立,写出成立的式子并证明.
(2)解:(1)的结论不成立,成立的式子是BC=BD-BE.
证明:∵∠BAC=∠DAE,
∴∠BAC+∠EAB=∠DAE+∠EAB,
即∠EAC=∠DAB.
又∵AB=AC,AD=AE,
∴△DAB≌△EAC(SAS).
∴BD=CE.
∴BC=CE-BE=BD-BE.
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第2课时 角的平分线的判定
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自主导学
分层精练
角的平分线的判定
1.定义法.
2.角的内部到角的两边的 的点在角的平分线上.
[几何语言] 如图所示,
∵PD⊥OB于点D,PC⊥OA于点C,且PC=PD,
∴OP平分 .
自主导学
距离相等
∠AOB
分层精练
知识点1 角的平分线的判定
1.在正方形网格中,∠AOB的位置如图所示,到∠AOB两边距离相等的点应是( )
A.点M B.点N
C.点P D.点Q
2.如图所示,点P在∠AOB内部,PC⊥OA于点C,PD⊥OB于点D,PC=3 cm,当PD= cm时,点P在∠AOB的平分线上.
A
3
3.如图所示,DE⊥AB,交AB的延长线于点E,DF⊥AC于点F,且 DB=DC,BE= CF.求证:AD是∠BAC的平分线.
知识点2 角的平分线的性质和判定的综合
4.已知,如图所示,在△ABC中,AD是角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.下列说法:①DE=DF,②AE=AF,③DA平分∠EDF;④AD⊥BC,⑤图中共有3对全等三角形.其中正确的有( )
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
B
5.如图所示,已知DE⊥AE,DF⊥AF,垂足分别为E,F,且DE=DF,B,C分别为AE,AF上的点,AB=AC.求证:DB=DC.
知识点3 角的平分线的性质和判定的实际应用
6.如图所示,有三条公路两两相交,要选择一地点建一座加油站,若要使加油站到三条公路的距离相等,则加油站的位置有( )
A.1种选择 B.2种选择
C.3种选择 D.4种选择
D
7.如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,过点D分别作DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别是E,F,则下列结论错误的是( )
A.∠ADC=90° B.DE=DF
C.AD=BC D.BD=CD
8.如图所示,在△ABC中,点O是△ABC内一点,且点O到△ABC三边的距离相等,若∠A=70°,则∠BOC的度数为 .
C
125°
9.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD是Rt△ABC的一条角平分线,点O在BD上,过O点作OE⊥BC于点E,OF⊥AC于点F,OE=OF,连接OA.
(1)求证:点O在∠BAC的平分线上;
(1)证明:过点O作OM⊥AB,如图所示.
∵BD是∠ABC的平分线,OE⊥BC,
∴OE=OM.
∵OE=OF,∴OF=OM.
∴AO是∠BAC的平分线,即点O在∠BAC的平分线上.
(2)若AC=5,BC=12,AB=13,求OE的长.
10.(推理能力)如图所示,P为定角∠AOB平分线上的一个定点,且∠MPN与∠AOB互补,若∠MPN在绕点P转动的过程中,其两边分别与OA,OB相交于M,N两点,求证:PM=PN.
证明:如图所示,作PE⊥OA于E,PF⊥OB于F.
∴∠PEO=∠PFO=90°.
∴∠EPF+∠AOB=180°.
∵∠MPN+∠AOB=180°,
∴∠EPF=∠MPN.
∴∠EPM=∠FPN.
∵OP平分∠AOB,PE⊥OA于E,PF⊥OB于F,∴PE=PF.
在△PEM和△PFN中,∠MPE=∠NPF,PE=PF,∠PEM=∠PFN,
∴△PEM≌△PFN(ASA),
∴PM=PN.
【拓展】OM+ON的值是否为定值 请说明理由.
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