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13.4 课题学习 最短路径问题
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一、两点之间, 最短.
二、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中, 最短.
三、在解决最短路径问题时,我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题,从而得出最短路径.
自主导学
线段
垂线段
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知识点1 最短路径问题
1.(2023昆明西山区期中)如图所示,在等边三角形ABC中,D,E分别是BC,AC的中点,P是线段AD上的一个动点,当△PCE的周长最小时,点P的位置在( )
A.△ABC的重心处
B.AD的中点处
C.点A处
D.点D处
A
2.(2023昆明五华区期中)小王准备在某街道旁建一个送奶站C,向居民区A,B提供牛奶,要使A,B两居民区到送奶站的距离之和最小,则送奶站C的位置应该在( )
C
3.(2023昆明盘龙区月考)如图所示,等腰三角形ABC的底边BC长为6,面积是30,腰AC的垂直平分线EF分别交AC,AB边于点E,F,若点D为BC边的中点,点M为线段EF上一动点,则△CDM周长的最小值为 .
13
知识点2 最短路径问题的应用
4.(昆明中考改编)如图所示,△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1), B(4,2),C(3,4),在x轴上找一点P,使PA+PB的值最小,则点P的坐标为
.
(2,0)
5.如图所示,村庄A,B位于一条小河的两侧,若河岸a,b彼此平行,现要建设一座与河岸垂直的桥CD,桥址应如何选择,才能使A村
到B村的路程最短
解:如图所示.
(1)过点A作AE⊥a.
(2)在直线a的垂线AE上截取AA′=CD,从而确定点A′的位置.
(3)连接A′B交直线b于点C.
(4)过点C作CD⊥b,交直线a于点D.
∴CD就是桥所在的位置.
6.如图所示,∠MON=45°,P为∠MON内一点,A为OM上一点,B为ON上一
点,当△PAB的周长取最小值时,∠APB的度数为( )
A.80° B.90° C.110° D.120°
B
7.(2023昆明五华区期中)如图所示,在正方形网格上有一个△ABC,且每个小正方形的边长为1(其中点A,B,C均在网格的格点上).
(1)画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1;
(2)△ABC的面积为 ;
(3)在直线MN上画出点P,使得PA+PC最小(保留作图痕迹).
解:(1)如图所示,△A1B1C1即为所求.
(2)5.5
(3)如图所示,点P即为所求.
8.(推理能力)如图所示,P,Q两村之间隔着两条河,需要架设两座桥,桥与河岸垂直.设两条河的宽度相同且保持不变,则桥建在何处才能使两村之间的路程最短(保留作图痕迹,不写作法)
解:如图所示,从P村到Q村的最短路径:P→M→N→E→F→Q.
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第2课时 画轴对称图形的对称轴
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作线段AB的垂直平分线的方法
1.分别以点A和点B为圆心, 为半径作弧,两弧相交于C,D两点.
2.作直线CD,即CD就是所求作的直线.
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知识点1 线段垂直平分线的画法
1.如图所示,在△ABC中,∠C=60°,∠A=40°.用尺规作图作AB的垂直平分线,交AC于点D,交AB于点E(保留作图痕迹,不要求写作法和证明).
解:如图所示.
2.(教材P66习题T10变式)如图所示,在某河道l的同侧有两个村庄A,B,现要在河道上建一个水泵站,这个水泵站建在什么位置,能使两个村庄到水泵站的距离相等
解:如图所示,连接AB,作线段AB的垂直平分线,与直线l的交点P即为所求作的点,即这个水泵站建在点P的位置,能使两个村庄到水泵站的距离相等.
知识点2 画轴对称图形的对称轴
3.下列轴对称图形中,对称轴的画法正确的是( )
B
4.如图所示,P为∠AOB内一点,P1,P2分别是点P关于OA,OB的对称点,连接P1P2,交OA于点M,交OB于点N.若P1P2=4 cm,则△PMN的周长为( )
A.6 cm B.5 cm C.4 cm D.3 cm
C
5.以下各图都是轴对称图形,其中对称轴条数最多的是( )
C
6.(几何直观)如图所示,已知∠AOB与点M,N.求作一点P(在∠AOB内),使得点P到OA,OB的距离相等,且到点M与点N的距离也相等(不写作法与证明,保留作图痕迹).
解:如图所示,∠AOB的平分线与线段MN的垂直平分线的交点P即为所求作的点.
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专题四 等腰三角形中的分类讨论思想
类型一 当腰长或底边长不能确定时,必须进行分类讨论
1.已知等腰三角形的两边长分别为8 cm和10 cm,求该三角形的周长.
解:∵8+8>10,10+10>8,则这两种情况下都能构成三角形,
∴当腰长为8 cm时,
周长为8+8+10=26(cm);
当腰长为10 cm时,
周长为10+10+8=28(cm),
∴这个三角形的周长为26 cm或28 cm.
2.等腰三角形底边长为5,一腰上的中线把其周长分成差为3的两部分,求该等腰三角形的腰长.
解:如图所示,
∵BD为AC边上的中线,∴AD=CD.
①当(AB+AD)-(BC+CD)=3,即AB-BC=3时,
∵BC=5,∴AB=BC+3=8.
②当(BC+CD)-(AB+AD)=3,即BC-AB=3时,
∵BC=5,∴AB=BC-3=2.
当AB=2时,三边长为2,2,5,而2+2<5,不合题意,舍去.
∴等腰三角形的腰长为8.
类型二 当顶角或底角不能确定时,必须进行分类讨论
3.已知等腰三角形的一个外角等于150°,求它的各个内角.
解:①当顶角的外角等于150°时,则顶角=180°-150°=30°,
∴每个底角=(180°-30°)÷2=75°.
②当底角的外角等于150°时,则每个底角=180°-150°=30°,
∴顶角=180°-30°×2=120°.
∴三角形各个内角的度数为30°,75°,75°或120°,30°,30°.
4.在三角形ABC中,AB=AC,AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为40°,求∠B的度数.
解:①如图①所示,AB边的垂直平分线与AC边交于点D.
∵∠ADE=40°,
∴∠A=90°-∠ADE=50°.
又∵AB=AC,
∴∠B=(180°-50°)÷2=65°.
图①
②如图②所示,AB边的垂直平分线与直线AC交于点D,
∵∠ADE=40°,
∴∠DAE=50°,
∴∠BAC=130°.
又∵AB=AC,
∴∠B=(180°-130°)÷2=25°.
∴∠B的度数为65°或25°.
图②
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13.1.2 线段的垂直平分线的性质
第1课时 线段的垂直平分线的性质和判定
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一、线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离 .
二、线段垂直平分线的判定
与线段两个端点 的点在这条线段的垂直平分线上.
三、用尺规作图
经过已知直线外一点作这条直线的垂线.
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相等
距离相等
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知识点1 线段的垂直平分线的性质
1.(2023昆明西山区一模)如图所示,在△ABC中,DE是AC的垂直平分线, AE=3 cm,△ABD的周长为12 cm,则△ABC的周长为 cm.
18
2.(昭通模拟)如图所示,在△ABC中,AC=10,BC=6,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,连接BE,则△BCE的周长是 .
16
知识点2 线段的垂直平分线的判定
3.(2023安宁市期中)下列条件中,不能判定直线MN是线段AB(M,N不在AB上)的垂直平分线的是( )
A.MA=MB,NA=NB
B.MA=MB,MN⊥AB
C.MA=NA,MB=NB
D.MA=MB,MN平分AB
4.(易错题)已知直线l与线段AB交于点O,点P在直线l上,且AP=PB,则下列结论:①OA=OB;②PO⊥AB;③∠APO=∠BPO;④点P在线段AB的垂直平分线上.其中正确的有 (填序号).
C
④
5.如图所示,AD为△ABC的角平分线,AE=AF.求证:线段AD所在的直线为线段EF的垂直平分线.
证明:∵AD为∠BAC的平分线,∴∠BAD=∠CAD.
∵AE=AF,∠EAD=∠FAD,AD=AD,
∴△AED≌△AFD(SAS).∴DE=DF.
∴点D在线段EF的垂直平分线上.
∵AE=AF,∴点A在线段EF的垂直平分线上.
∴线段AD所在的直线为线段EF的垂直平分线.
知识点3 经过直线外一点作已知直线的垂线
6.在如图所示的仪器中,OD=OE,CD=CE.小州把这个仪器往直线l上一放,使点D,E落在直线l上,作直线OC,则OC⊥l,他这样判断的理由是( )
A.到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上
B.角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C.到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
D.线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
C
7.(2023昆明五华区期中)某小区的三个出口A,B,C的位置如图所示,物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下,想在小区内修建一个电动车充电桩,以方便业主,要求到三个出口的距离都相等,则充电桩应该在△ABC( )
A.三条高线的交点处
B.三条中线的交点处
C.三个角的平分线的交点处
D.三条边的垂直平分线的交点处
D
8.(教材P65习题T6变式)如图所示,在△ABC中,AC的垂直平分线分别交AC,BC于E,D两点,EC=5 cm,△ABC的周长为25 cm,则△ABD的周长
为 cm.
15
9.(易错题)在△ABC中,BC=12 cm,AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC于点D,E,且DE=4 cm,求AD+AE的长.
解:∵AB,AC的垂直平分线分别交BC于点D,E,
∴AD=BD,AE=CE.
∴AD+AE=BD+CE.
∵BC=12 cm,DE=4 cm,
∴如图①所示,AD+AE=BD+CE=BC-DE=12-4=8(cm),
如图②所示,AD+AE=BD+CE=BC+DE=12+4=16(cm).
综上所述,AD+AE的长为8 cm或16 cm.
图① 图②
10.(模型观念)如图所示,在△ABC中,BC边的垂直平分线DE与∠BAC的平分线交于点E,EF⊥AB交AB的延长线于点F,EG⊥AC交AC于点G.求证:
(1)BF=CG;
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13.2 画轴对称图形
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一、成轴对称的两个图形的性质
1.由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l对称的图形,这个图形与原图形的 、 完全相同.
2.新图形上的每一个点都是原图形上的某一点关于直线l的 .
3.连接任意一对对应点的线段被对称轴 .
二、作一个图形的轴对称图形
几何图形都可以看作由点组成,对于某些图形,只要画出图形中的一些特殊点(如线段端点)的 ,连接这些 ,就可以得到原图形的轴对称图形.
自主导学
形状
大小
对称点
垂直平分
对称点
对称点
三、关于坐标轴对称的点的坐标特征
1.点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为 .
2.点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为 .
(x,-y)
(-x,y)
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知识点1 画轴对称图形
1.下列图形的对称轴,可以用无刻度的直尺直接画的是( )
A.①④ B.②③
C.③④ D.①②
A
2.(跨学科融合)如图所示,有一个英文单词,四个字母都关于直线l对称,则这个英文单词是 .
BOOK
3.如图所示,画出△ABC关于直线l的对称图形.
解:如图所示.
知识点2 用坐标表示轴对称
4.(2023昆明西山区期中)在平面直角坐标系中,点(3,-2)关于y轴对称的点的坐标是( )
A.(3,2) B.(3,-2)
C.(-3,2) D.(-3,-2)
5.(2023昆明五华区期末)点P(a,3)与点P′(2,b)关于x轴对称,则a-b的值为 .
D
5
(3)直线PQ∥x轴;
(4)直线PQ∥y轴.
7.(数学文化)剪纸艺术是中国民间艺术之一,很多剪纸作品体现了数学中的对称美.如图所示,蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形,将其放在平面直角坐标系中,如果图中点E的坐标为(2m,-n),其关于y轴对称的点F的坐标为(3-n,-m+1),则m-n的值为( )
A.-9 B.-1 C.0 D.1
D
8.(易错题)已知点P到x轴、y轴的距离分别是1和2,且点P关于y轴的对称点在第三象限,则P点的坐标是 .
9.如图所示,在4×4的正方形网格中,任选取一个白色的小正方形并涂黑,使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形,符合要求的涂法有
种.
(2,-1)
2
10.(2023昆明五华区期中)如图所示,在平面直角坐标系xOy中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,1),B(4,2),C(2,3).
(1)在图中画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1;
解:(1)如图所示,△A1B1C1为所作.
(2)在图中,若点B2(-4,2)与点B关于一条直线成轴对称,则这条对称轴是 ,此时C点关于这条直线的对称点C2的坐标为 ;
(3)求△A1B1C1的面积.
解:(2)y轴 (-2,3)
11.(几何直观、空间观念)如图所示,在3×3的正方形网格中,格线的交点称为格点,以格点为顶点的三角形称为格点三角形.图中的△ABC为格点三角形,在图中最多能画出几个格点三角形与△ABC成轴对称.
解:6个,如图所示.
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第2课时 等腰三角形的判定
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等腰三角形的判定方法
1.有 相等的三角形是等腰三角形.
2.如果一个三角形有两个角 ,那么这两个角所对的边也
(简写成“ ”).
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两边
相等
相等
等角对等边
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知识点 等腰三角形的判定
1.如图所示,下列条件不能判定△ABC是等腰三角形的是( )
A.∠B=∠C
B.AD⊥BC,∠BAD=∠CAD
C.AD⊥BC,∠BAD=∠ACD
D.AD⊥BC,BD=CD
C
2.如图所示,∠B=∠C=36°,∠ADE=∠AED=72°,则图中的等腰三角形有( )
A.3个 B.4个
C.5个 D.6个
3.如图所示,在△ABC中,BD平分∠ABC,ED∥BC,已知AB=3,AD=1,则△AED的周长为( )
A.2 B.3
C.4 D.5
D
C
4.如图所示,在△ABC中,BD⊥AC,∠A=50°,∠CBD=25°.若AC=5 cm,则AB= cm.
5
5.如图所示,在△ABC中,点D为∠ABC的平分线BD上的一点,过点D作EF∥BC交AB于点E,交AC于点F,连接CD,若BE+CF=EF.求证:△CFD是等腰三角形.
证明:∵BD为∠ABC的平分线,∴∠ABD=∠CBD.
∵EF∥BC,∴∠EDB=∠CBD,∠FDC=∠DCB.
∴∠ABD=∠EDB.∴BE=DE.
∵BE+CF=EF,∴DE+CF=DE+DF.∴CF=DF.
∴△CFD是等腰三角形.
6.如图所示,在平面直角坐标系中,点A在第一象限,OA与x轴正半轴的夹角为60°,点P是x轴上一动点,若以P,O,A为顶点的三角形是等腰三角形,则满足条件的点P共有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.6个
A
7.如图所示,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线MN交AC于点D,若∠C= 72°,求证:△BCD为等腰三角形.
证明:∵AB=AC,∠C=72°,∴∠ABC=∠C=72°.
∵AB的垂直平分线MN交AC于点D,∴可设∠A=∠ABD=x.
∴∠BDC=∠A+∠ABD=2x,∠DBC=72°-x.
∵∠BDC+∠DBC+∠C=180°,
∴2x+72°-x+72°=180°,解得x=36°.
∴∠BDC=72°.∴∠BDC=∠C.∴BD=BC.
∴△BCD为等腰三角形.
8.(2023昆明盘龙区月考)如图所示,将一张长方形的纸条ABCD沿EF折叠,若折叠后∠AGC′=48°,AD交EC′于点G.
(1)求∠CEF的度数;
(2)求证:△EFG是等腰三角形.
(2)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC.∴∠GFE=∠CEF.
由折叠的性质,得∠CEF=∠C′EF.
∴∠GFE=∠C′EF.
∴GE=GF,
即△EFG是等腰三角形.
9.(几何直观、运算能力)如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=6 cm,
BC=8 cm,动点P从点C出发,按C→B→A的路径,以2 cm/s 的速度运动,设运动时间为t s.
(1)当t=1时,求△ACP的面积.
(2)t为何值时,线段AP是∠CAB的平分线
(3)请利用备用图继续探索:当t为何值时,△ACP是以AC为腰的等腰三角形
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第十三章 轴对称
13.1 轴对称
13.1.1 轴对称
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一、轴对称图形
如果一个平面图形沿一条直线折叠,直线 的部分能够互相
,这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就是它的 .
二、轴对称
把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形 ,那么就说这两个图形关于这条直线 .这条直线叫做
,折叠后重合的点是对应点,叫做 .
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两旁
重合
对称轴
重合
(成轴)对称
对称轴
对称点
三、轴对称及轴对称图形的性质
1.线段的垂直平分线
经过线段 并且 于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线.
2.轴对称的性质
如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的 .
3.轴对称图形的性质
轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的 .
中点
垂直
垂直平分线
垂直平分线
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知识点1 轴对称图形
1.(2023昆明西山区期中)下列学校的校徽图案是轴对称图形的是( )
B
2.(2023昆明盘龙区月考)如图所示,在4×4的正方形网格中,已有四个小正方形被涂黑.若将图中其余小正方形任意涂黑一个,使整个图案构成一个轴对称图形,则该小正方形的位置可以是( )
A.(一,2) B.(二,4)
C.(三,2) D.(四,4)
B
知识点2 成轴对称
3.如图所示的4组图形中,成轴对称的有( )
D
① ② ③ ④
A.4组 B.3组 C.2组 D.1组
知识点3 轴对称的性质
4.(2023安宁市期中)如图所示,若△ABC与△A′B′C′关于直线l对
称,则下列结论不一定正确的是( )
A.∠BAC=∠B′A′C′
B.△ABC≌△A′B′C′
C.直线l垂直平分AA′
D.BB′=2AA′
D
5.(易错题)下列说法:①关于一条直线对称的两个图形一定能重合;②两个能重合的图形一定关于某条直线对称;③一个轴对称图形不一定只有一条对称轴;④成轴对称的两个图形的对应点一定在对称轴的两侧.其中不正确的有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
B
6.如图所示,在△ABC中,点D在BC上,将点D分别以AB,AC为对称轴,画出对称点E,F,并连接AE,AF.根据图中标示的角度,则∠EAF的度数为
( )
A.113° B.124°
C.129° D.134°
7.(2023昆明五华区期中)如图所示,点P在∠AOB的内部,点M,N分别是点P关于直线OA,OB的对称点,线段MN交OA,OB于点E,F,若∠EPF=110°,则∠AOB的度数是( )
A.35° B.40°
C.70° D.80°
D
A
8.(教材P65习题T4变式)如图所示,一种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形 ABCD,其中∠BAD=150°,∠B=40°,则∠ACD的度数
是 .
65°
9.如图所示,已知正方形的边长为10 cm,则图中阴影部分的面积
为 .
50 cm2
10.如图所示,将长方形纸片ABCD沿EF折叠,使点A与点C重合,点D落在点G处,EF为折痕.
(1)求证:△FGC≌△EBC;
(2)若AB=8,AD=4,求四边形ECGF(阴影部分)的面积.
11.(抽象能力、几何直观、推理能力)
(1)请找出下图中每个正多边形对称轴的条数,并填入下表;
正多边形的边数 3 4 5 6 8 …
对称轴的条数 3 4 5 …
6
8
(2)请写出正多边形的对称轴的条数y随正多边形的边数n(n≥3)变化的关系式: .
y=n(n≥3)
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13.3.2 等边三角形
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一、等边三角形
1.定义:三边都相等的三角形叫做等边三角形.
2.性质:(1)等边三角形的三条边都 .
(2)等边三角形的三个内角都 ,并且每一个角都等于 .
3.判定:
(1)定义.
(2)三个角都 的三角形是等边三角形.
(3)有一个角是 的等腰三角形是等边三角形.
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相等
相等
60°
相等
60°
二、含有30°角的直角三角形的性质
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的 .
一半
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知识点1 等边三角形的性质
1.关于等边三角形,下列说法中错误的是( )
A.等边三角形的各边都相等
B.等腰三角形是特殊的等边三角形
C.两个角都等于60°的三角形是等边三角形
D.有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形
B
2.如图所示,在等边三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为D,点E在线段AD上, ∠EBC=45°,则∠ACE的度数为( )
A.15° B.30° C.45° D.60°
A
3.(2023昆明官渡区期中)如图所示,在等边三角形ABC中,D是AC的中点, E是BC延长线上的一点,且CE=CD,DM⊥BC,垂足为M,求证:M是BE的中点.
知识点2 等边三角形的判定
4.下列三角形:①有两个角等于60°;②有一个角等于60°的等腰三角形;③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形;④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中是等边三角形的有( )
A.①②③④ B.①②③
C.①②④ D.①③
A
5.(2023昆明盘龙区月考)如图所示,已知OA=a,P是射线ON上一动点, ∠AON=60°,当OP= 时,△AOP为等边三角形.
a
知识点3 含有30°角的直角三角形的性质
6.(2023昆明五华区期中)2023年5月26日,“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕,在“自动化立体库”中有许多几何元素,其中有一个等腰三角形模型(示意图如图所示),它的顶角为120°,腰长为
12 m,则底边上的高是( )
A.4 m B.6 m
C.10 m D.12 m
7.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是高,∠A=30°,BD=2,则CB
= .
B
4
8.如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,DA⊥BA于点A,BD=10,求CD的长.
9.如图所示,在等边三角形ABC的三边上,分别取点D,E,F,使AD=BE= CF.求证:△DEF是等边三角形.
证明:∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠B=60°,AB=AC.
∵AD=CF,∴BD=AF.
∵AD=BE,∠A=∠B,AF=BD,
∴△ADF≌△BED(SAS).∴DF=DE.
同理,知EF=DE.
∴DF=DE=EF.
∴△DEF是等边三角形.
10.(几何直观)如图所示,△ABC是边长为 3 cm 的等边三角形,动点P,Q同时从A,B两点出发,分别沿AB,BC方向匀速移动,它们的速度都是
1 cm/s,当点P到达点B时,P,Q两点同时停止运动.设点P的运动时间为 t s,当t为何值时,△PBQ是直角三角形
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13.3 等腰三角形
13.3.1 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
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自主导学
分层精练
一、等腰三角形的定义
有 相等的三角形叫做等腰三角形.
二、等腰三角形的性质
1.等腰三角形的两个底角相等(简写成“ ”).
2.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合
(简写成“ ”).
三、等腰三角形的轴对称性
等腰三角形是 图形,底边上的高(底边上的中线、顶角的平分线)所在的 是它的对称轴.
自主导学
两边
等边对等角
三线合一
轴对称
直线
分层精练
知识点1 等边对等角
1.等腰三角形的一个底角是70°,则这个等腰三角形顶角的度数为
( )
A.20° B.40° C.70° D.110°
2.等腰三角形的两边分别为3 cm,4 cm,则它的周长是( )
A.10 cm B.11 cm
C.16 cm或9 cm D.10 cm或11 cm
3.(云南中考)已知△ABC是等腰三角形,若∠A=40°,则△ABC的顶角度数是 .
B
D
40°或100°
知识点2 等腰三角形三线合一
4.(2023昆明呈贡区月考)如图所示,在△ABC中,AB=AC,D是BC中点,下列结论中不正确的是( )
A.∠B=∠C
B.AD⊥BC
C.AD平分∠BAC
D.AB=2BD
D
5.如图所示,已知在△ABC中,AB=AC,∠BAC=80°,AD⊥BC,AD=AB,连接BD并延长,交AC的延长线于点E,求∠ADE的度数.
6.某城市几条道路的位置关系如图所示,道路AB∥CD,道路AB与AE的夹角∠BAE=50°.城市规划部门想新修一条道路CE,要求CF=EF,则∠E的度数为( )
A.23° B.25°
C.27° D.30°
B
7.(教材P76例题变式)如图所示,在△ABC中,AB=AC,点D为AC上一点,且满足AD=BD=BC.点F在BC延长线上,连接FD并延长,交AB于点E,连接AF,求∠BAC和∠ACB的度数.
解:设∠BAC=x°,
∵AD=BD,∴∠BAC=∠ABD=x°.∴∠BDC=2x°.
∵BD=BC,∴∠BDC=∠BCD=2x°.
∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=2x°.
由∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°可得x+2x+2x=180,
解得x=36.则∠BAC=36°,∠ACB=72°.
8.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AD平分∠CAB.求证:AB= AC+CD.
9.(推理能力)在△ABC中,AB=AC.
(1)如图(1)所示,若∠BAD=30°,AD是BC上的高,AD=AE,则∠EDC= .
(2)如图(2)所示,若∠BAD=40°,AD是BC上的高,AD=AE,则∠EDC= .
(3)你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系 请用式子表示: .
解:(1)15°
(2)20°
(3)∠BAD=2∠EDC
(4)如图(3)所示,如果AD不是BC上的高,AD=AE,是否仍有(3)中所述关系 若有,请你写出来,并说明理由.
解:(4)仍有∠BAD=2∠EDC.
理由如下:
∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED,
∴∠BAD+∠B=∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠AED+∠EDC=(∠EDC+∠C)+∠EDC
=2∠EDC+∠C.
又∵AB=AC,∴∠B=∠C,
∴∠BAD=2∠EDC.
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