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14.1.3 积的乘方
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积的乘方
1.积的乘方法则:积的乘方,等于把积的 分别 ,再把所得的幂 .
用字母表示:(ab)n= (n是正整数).
2.拓展应用:
(abc)n= (n是正整数);
anbn= (n是正整数).
每一个因式
乘方
相乘
anbn
anbncn
(ab)n
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知识点1 积的乘方法则
1.计算(-2a)3的结果为( )
A.-2a3 B.-6a3 C.8a3 D.-8a3
2.计算(-a3b)2的结果是( )
A.-a5b3 B.a5b3 C.a6b2 D.-a6b2
D
C
3.计算:
(1)(2ab2c3)3;
(2)(-3xy2)3;
解:(1)(2ab2c3)3
=23a3(b2)3(c3)3
=8a3b6c9.
(2)(-3xy2)3
=(-3)3×x3×(y2)3
=-27x3y6.
(3)a·a3·a4+(-a2)4-(-2a4)2.
解:(3)a·a3·a4+(-a2)4-(-2a4)2
=a8+a8-4a8
=-2a8.
知识点2 积的乘方法则的逆用
4.(1)若an=5,bn=3,则(ab)n= ;
(2)若2m=15,3m=20,则6m= .
5.已知x2m=2,求(2x3m)2-(3xm)2的值.
15
解:(2x3m)2-(3xm)2
=4x6m-9x2m
=4(x2m)3-9x2m
=4×8-9×2
=14.
300
6.计算:
(1)-2100×0.5100×(-1)999;
(2)(-0.25)2 022×(-4)2 023.
解:(1)-2100×0.5100×(-1)999
=-(2×0.5)100×(-1)
=-1×(-1)
=1.
(2)(-0.25)2 022×(-4)2 023
=(-0.25)2 022×(-4)2 022×(-4)
=[(-0.25)×(-4)]2 022×(-4)
=12 022×(-4)
=-4.
C
8.已知x3=m,x5=n,用含有m,n的式子表示x14的结果正确的是( )
A.m3n B.m2n3
C.m3n2 D.mn3
9.若(ambn)3=a9b15,则m+n的值为 .
A
8
10.计算:
(1)[-2(a+b)2]3(a+b);
(2)x2·x4+(x3)2+(-3x2)3;
解:(1)[-2(a+b)2]3(a+b)
=-8(a+b)6(a+b)
=-8(a+b)7.
(2)x2·x4+(x3)2+(-3x2)3
=x2+4+x2×3-27x6
=x6+x6-27x6
=-25x6.
11.已知x2n=2,求(3x3n)2-4(x2)2n的值.
解:∵x2n=2,
∴(3x3n)2-4(x2)2n
=9x6n-4x4n
=9(x2n)3-4(x2n)2
=9×23-4×22
=9×8-4×4
=72-16
=56.
13.(运算能力)基本事实:若am=an(a>0且a≠1,m,n是正整数),则m=n.
试利用上述基本事实分别求下列各方程中x的值:
(1)2·8x=27;
解:(1)2·8x=27可化为2·23x=27.
∴23x+1=27.
∴3x+1=7,
解得x=2.
(2)2x+1·3x+1=36x-2;
(3)2x+2+2x+1=24.
解:(2)2x+1·3x+1=36x-2可化为(2×3)x+1=36x-2.
∴6x+1=62(x-2).∴x+1=2(x-2),
解得x=5.
(3)2x+2+2x+1=24可化为2·2x+1+2x+1=24.
∴2x+1·(2+1)=24.∴2x+1=8=23.
∴x+1=3,解得x=2.
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14.3.2 公式法
第1课时 运用平方差公式因式分解
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平方差公式
1.语言表述:两个数的平方差,等于这两个数的 与这两个数的
的积.
2.公式:a2-b2= .
和
差
(a+b)(a-b)
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知识点1 直接运用平方差公式因式分解
1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( )
A.x2+y2 B.-a2-b2
C.x3-y2 D.a2-b2
D
2.(易错题)对多项式4x2-1进行因式分解,正确的是( )
A.4x2-1=(x+1)(x-1)
B.4x2-1=(2x+1)(2x-1)
C.4x2-1=(4x+1)(4x-1)
D.4x2-1=(1+2x)(1-2x)
3.(2023云南)分解因式:x2-4= .
B
(x+2)(x-2)
4.分解因式:
(1)16-x2;(2)4x2-25y2;(3)(a+b)2-c2.
解:(1)16-x2
=(4+x)(4-x).
(2)4x2-25y2
=(2x+5y)(2x-5y).
(3)(a+b)2-c2
=(a+b+c)(a+b-c).
知识点2 先提公因式后运用平方差公式因式分解
5.把多项式a3-4a分解因式,结果是 .
6.分解因式:
(1)x3y-4xy3;
(2)(a-b)b2-4(a-b);
a(a+2)(a-2)
解:(1)x3y-4xy3=xy(x2-4y2)=xy(x+2y)(x-2y).
(2)(a-b)b2-4(a-b)=(a-b)(b2-4)=(a-b)(b+2)(b-2).
(3)(x+2)(x+3)+(x2-4).
解:(3)(x+2)(x+3)+(x2-4)
=(x+2)(x+3)+(x+2)(x-2)
=(x+2)(x+3+x-2)
=(x+2)(2x+1).
7.将(x+3)2-(x-1)2因式分解正确的是( )
A.8(x-1) B.4(2x+1)
C.4(x+1) D.8(x+1)
8.下列单项式中,使多项式16a2+M能用平方差公式因式分解的M是( )
A.a B.b2
C.-16a D.-b2
D
D
B
10.用简便方法计算,将99×101变形正确的是( )
A.99×101=1002+12
B.99×101=(100-1)2
C.99×101=1002-12
D.99×101=(100+1)2
C
11.若m+n=2,m2-n2=12,则(m-n)2= .
12.分解因式:
(1)(x+2y)2-(x-y)2;
(2)3m(2x-y)2-3mn2.
解:(1)(x+2y)2-(x-y)2
=[(x+2y)+(x-y)][(x+2y)-(x-y)]
=3y(2x+y).
(2)3m(2x-y)2-3mn2
=3m[(2x-y)2-n2]
=3m(2x-y+n)(2x-y-n).
36
13.利用简便方法计算:
(1)652-352;(2)3.14×522-3.14×482.
解:(1)652-352
=(65+35)×(65-35)
=100×30
=3 000.
(2)3.14×522-3.14×482
=3.14×(522-482)
=3.14×(52+48)×(52-48)
=1 256.
14.下面是嘉淇同学把多项式-16my2+4mx2分解因式的具体步骤:
-16my2+4mx2
=4mx2-16my2(利用加法交换律变形)
=m(4x2-16y2)(提取公因式m)
=m[(2x)2-(4y)2](逆用积的乘方公式)
=m(2x+4y)(2x-4y).(运用平方差公式因式分解)
(1)事实上,嘉淇的解法是错误的,造成错误的原因是 ;
解:(1)公因式没有提取完
(2)请给出这个问题的正确解法.
解:(2)-16my2+4mx2
=4m(x2-4y2)
=4m(x+2y)(x-2y).
15.(应用意识)阅读下列材料:
常用的分解因式方法有提公因式、公式法等.但有的多项式只用上述方法无法分解,如x2-4y2+2x-4y,细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式,后两项可提取公因式,分解过程为:
x2-4y2+2x-4y
=(x2-4y2)+(2x-4y) ………………………………分组
=(x-2y)(x+2y)+2(x-2y) ………………组内分解因式
=(x-2y)(x+2y+2).…………………整体思想提公因式
这种分解因式的方法叫分组分解法,利用这种方法回答下列问题:
(1)分解因式:9x2-9x+3y-y2;
解:(1)9x2-9x+3y-y2
=(9x2-y2)-(9x-3y)
=(3x+y)(3x-y)-3(3x-y)
=(3x-y)(3x+y-3).
(2)已知△ABC的三边a,b,c满足a2-b2-ac+bc=0,判断△ABC的形状并说明理由.
解:(2)△ABC为等腰三角形.理由如下:
∵a2-b2-ac+bc=0,
∴(a+b)(a-b)-c(a-b)=0.
∴(a-b)(a+b-c)=0.
∴a-b=0或a+b-c=0.
∵a,b,c为△ABC的三边,
∴a+b-c>0.
∴a-b=0,即a=b.
∴△ABC为等腰三角形.
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专题五 整式的运算
类型一 幂的有关运算
1.(2023云南)下列计算正确的是( )
A.a2·a3=a6 B.(3a)2=6a2
C.a6÷a3=a2 D.3a2-a2=2a2
2.计算:
(1)(2a)3-a·a2+3a6÷a3;
D
解:(1)(2a)3-a·a2+3a6÷a3
=8a3-a3+3a3
=10a3.
类型二 整式的乘除法混合运算
3.计算:
(1)2x(3y-1)-(x+3)(y-2);
(2)(-x+y)(x+2)+3xy(3x-2y)÷3xy.
解:(1)2x(3y-1)-(x+3)(y-2)
=6xy-2x-(xy-2x+3y-6)
=6xy-2x-xy+2x-3y+6
=5xy-3y+6.
(2)(-x+y)(x+2)+3xy(3x-2y)÷3xy
=-x2-2x+xy+2y+(9x2y-6xy2)÷3xy
=-x2-2x+xy+2y+3x-2y
=-x2+x+xy.
4.已知3x-y=1,求代数式[(x2+y2)-(x-y)2+2y(2x-y)]÷4y的值.
类型三 乘法公式综合运用
5.计算:
(1)(2x+y)2-(2x+3y)(2x-3y);
(2)(a-2b)2-(2a+b)(b-2a)-4a(a-b);
解:(1)(2x+y)2-(2x+3y)(2x-3y)
=(4x2+4xy+y2)-(4x2-9y2)
=4x2+4xy+y2-4x2+9y2
=4xy+10y2.
(2)(a-2b)2-(2a+b)(b-2a)-4a(a-b)
=a2-4ab+4b2-b2+4a2-4a2+4ab
=a2+3b2.
(3)2132-214×212.
解:(3)2132-214×212
=2132-(213+1)(213-1)
=2132-2132+1
=1.
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专题六 因式分解
类型一 提公因式法因式分解
1.因式分解:
(1)4a+2;
(2)-3ax3+12ax2-15ax;
解:(1)4a+2=2(2a+1).
(2)-3ax3+12ax2-15ax
=-3ax(x2-4x+5).
(3)2m(m-n)3+6(n-m)2.
解:(3)2m(m-n)3+6(n-m)2
=2m(m-n)3+6(m-n)2
=2(m-n)2[m(m-n)+3]
=2(m-n)2(m2-mn+3).
类型二 公式法因式分解
2.因式分解:
(1)9a2-b2;
(2)-4ab-4a2-b2.
解:(1)9a2-b2=(3a+b)(3a-b).
(2)-4ab-4a2-b2
=-(4ab+4a2+b2)
=-(2a+b)2.
类型三 提公因式法与公式法综合因式分解
3.因式分解:
(1)a2(a-b)-4(a-b);
(2)2x3-4x2+2x;
解:(1)a2(a-b)-4(a-b)
=(a-b)(a2-4)
=(a-b)(a+2)(a-2).
(2)2x3-4x2+2x
=2x(x2-2x+1)
=2x(x-1)2.
(3)a2(x-y)2+2a(x-y)3+(x-y)4.
解:(3)a2(x-y)2+2a(x-y)3+(x-y)4
=(x-y)2[a2+2a(x-y)+(x-y)2]
=(x-y)2(a+x-y)2.
类型四 利用因式分解进行简便运算
4.计算:
(1)752-252;
(2)2 0232-4 046×2 024+2 0242.
解:(1)752-252
=(75+25)×(75-25)
=5 000.
(2)2 0232-4 046×2 024+2 0242
=2 0232-2×2 023×2 024+2 0242
=(2 023-2 024)2
=1.
类型五 因式分解综合运用
5.已知x-y=2,x2+y2=6,
(1)求代数式xy的值;
(2)求代数式x3y-3x2y2+xy3的值.
解:(1)∵x2+y2=(x-y)2+2xy=6,x-y=2,
∴6=4+2xy.∴xy=1.
(2)x3y-3x2y2+xy3=xy(x2-3xy+y2),
∵x2+y2=6,xy=1,
∴原式=1×(6-3)=3.
7.我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法,其实分解因式的方法还有分组分解法、添项拆项法、十字相乘法等.
①分组分解法:将一个多项式适当分组后,可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做分组分解法.
例如:4x2-4x-y2+1=(4x2-4x+1)-y2=(2x-1)2-y2=(2x-y-1)(2x+y-1).
②十字相乘法:十字相乘法能用于二次三项式的分解因式.
分解步骤:
a.分解二次项,所得结果分别写在十字交叉线的左上角和左下角;
b.分解常数项,所得结果分别写在十字交叉线的右上角和右下角;
c.交叉相乘,求代数和,使其等于一次项;
d.观察得出原二次三项式的两个因式,并表示出分解结果,这种分解方法叫做十字相乘法.
例如:x2-3x-40.
分析:x2-3x-40.
观察得出:两个因式分别为(x+5)与(x-8).
解:x2-3x-40=(x+5)(x-8).
③添项拆项法:将一个多项式的某一项拆成两项后,可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做添项拆项法.
例如:y2-10y+21=y2-10y+25-4=(y-5)2-22=(y-5+2)(y-5-2)=(y-3)
(y-7).
(1)仿照以上方法,按照要求分解因式:
①(分组分解法)ab-a-b+1;
②(十字相乘法)y2+3y-10;
解:(1)①ab-a-b+1=(ab-a)-(b-1)=a(b-1)-(b-1)=(a-1)(b-1).
②
y2+3y-10=(y-2)(y+5).
(2)已知a,b,c为△ABC的三条边,a2+b2+c2=ab+ac+bc,判断△ABC的形状.
解:(2)∵a2+b2+c2=ab+ac+bc,
∴2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0.
∴(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0.
∴a=b=c.
∴△ABC是等边三角形.
8.下面是某同学对多项式(x2-4x+2)(x2-4x+6)+4进行因式分解的过程.
解:设x2-4x=y,则
(x2-4x+2)(x2-4x+6)+4
=(y+2)(y+6)+4(第一步)
=y2+8y+16(第二步)
=(y+4)2(第三步)
=(x2-4x+4)2.(第四步)
回答下列问题:
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的 (填序号);
A.提取公因式
B.平方差公式
C.两数和的完全平方公式
D.两数差的完全平方公式
(2)该同学因式分解的结果 (选填“彻底”或“不彻底”);
解:(1)C
(2)不彻底
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2-2x)(x2-2x+2)+1进行因式分解.
解:(3)设x2-2x=y,则
(x2-2x)(x2-2x+2)+1
=y(y+2)+1
=y2+2y+1
=(y+1)2
=(x2-2x+1)2
=(x-1)4.
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14.1.4 整式的乘法
第1课时 单项式与单项式相乘
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单项式与单项式相乘
单项式与单项式相乘,把它们的 、 分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个
.
系数
同底数幂
因式
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知识点 单项式与单项式相乘
1.(昆明盘龙区期中)计算(-2a)(-3a)的结果是( )
A.-5a B.-a C.6a D.6a2
2.下列运算正确的是( )
A.3a2·2a3=6a6 B.3x·3x4=9x4
C.2x3·3x5=6x8 D.5b7·5b7=10b14
D
C
3.计算:
(1)a3·(-2a)= ;
-2a4
-6a3b2
5.若( )·xy=3x2y2,则括号内应该填写的单项式是( )
A.-3y B.3xy
C.-3xy D.3x2y
B
C
-12m4n3
x7y8
10.(运算能力)若1+2+3+…+n=m,求(abn)·(a2bn-1)·…·(an-1b2)· (anb)的值.
解:∵1+2+3+…+n=m,
∴(abn)·(a2bn-1)·…·(an-1b2)·(anb)
=a1+2+…+nbn+n-1+…+1
=ambm.
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14.2 乘法公式
14.2.1 平方差公式
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平方差公式
1.语言叙述:两个数的 与这两个数的 的积,等于这两个数的 .
2.公式:(a+b)(a-b)= .
和
差
平方差
a2-b2
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知识点1 利用面积法证明平方差公式
1.通过计算几何图形的面积可表示代数恒等式,下图可表示的代数恒等式是( )
A.(a-b)2=a2-2ab+b2
B.(a+b)2=a2+2ab+b2
C.2a(a+b)=2a2+2ab
D.(a+b)(a-b)=a2-b2
D
2.如图(1)所示,从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形,再沿着线段AB剪开,把剪成的两张纸片拼成如图(2)所示的等腰
梯形.
(1)设图(1)中阴影部分面积为S1,图(2)中阴影部分面积为S2,请直接用含a,b的代数式表示S1,S2;
(2)请写出上述过程所表示的乘法公式.
(2)(a+b)(a-b)=a2-b2.
知识点2 直接利用平方差公式计算
3.(易错题)下列不能用平方差公式运算的是( )
A.(-x+2)(-x-2)
B.(-2m-n)(-2m-n)
C.(-2a+b)(2a+b)
D.(y-x)(-x-y)
4.(易错题)计算(a+2b)(a-2b)的结果是( )
A.a2-2b2 B.a2+4b2
C.a2-4b2 D.4b2-a2
5.化简x2-(x+2)(x-2)的结果是 .
B
C
4
(2)(-x+4)(-x-4)=(-x)2-42=x2-16.
(3)(3n-2m)(-3n-2m)=(-2m)2-(3n)2=4m2-9n2.
知识点3 运用平方差公式进行简便运算
7.计算:
(1)107×93; (2)2 0232-2 024×2 022.
解:(1)107×93
=(100+7)(100-7)
=1002-72
=9 951.
(2)2 0232-2 024×2 022
=2 0232-(2 023+1)(2 023-1)
=2 0232-2 0232+1
=1.
8.(原创题)下列各式的计算正确的是( )
A.(a+b)(a+b)=a2+b2
B.(x+2y)(x-2y)=x2-2y2
C.(-3x-4)(3x-4)=9x2-16
D.(2a-b)(2a+b)=4a2-b2
9.化简(m2+1)(m+1)(m-1)-(m4+1)的值是( )
A.-2m2 B.0
C.-2 D.-1
D
C
10.引入新数i,新数i满足分配律、结合律、交换律,若i2=-1,则(1+i)(1-i)= .
11.若m2-n2=18,m-n=9,则m+n= .
2
2
(2)已知2a2+3a-6=0,求代数式 3a(2a+1)-(2a+1)(2a-1)的值.
解:(2)3a(2a+1)-(2a+1)(2a-1)
=6a2+3a-4a2+1
=2a2+3a+1.
∵2a2+3a-6=0,
∴2a2+3a=6.
∴原式=6+1=7.
14.观察下列等式:
①32-12=8;②52-32=16;③72-52=24;④92-72=32….
(1)写出第n个等式(n是正整数);
(2)说明你所写的等式的正确性.
解:(1)(2n+1)2-(2n-1)2=8n.
(2)∵左边=(2n+1)2-(2n-1)2
=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)
=8n=右边.
∴等式(2n+1)2-(2n-1)2=8n正确.
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第2课时 添括号法则
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添括号法则
1.文字叙述:添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都
符号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都 符号.
2.符号叙述:a+b+c= ;
a-b+c= .
不变
改变
a+(b+c)
a-(b-c)
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知识点1 添括号法则
1.(易错题)下列添括号正确的是( )
A.a+b-c=a-(b-c)
B.a+b-c=a+(b-c)
C.a-b-c=a-(b-c)
D.a-b+c=a+(b-c)
B
2.在下列各式的括号内填上适当的项.
(1)x3-3x2y+3xy2-y3=x3+( );
(2)4-x2+3xy-2y2=4-( ).
3.已知2a-3b2=5,则10-2a+3b2=10-( )= .
-3x2y+3xy2-y3
x2-3xy+2y2
2a-3b2
5
知识点2 运用添括号法则进行计算
4.为了运用平方差公式计算(m-n+1)(m-n-1),下列变形正确的是( )
A.[(m-n)-1]2
B.[m-(n-1)]2
C.[(m-n)+1][(m-n)-1]
D.[m-(n-1)][m-(n+1)]
5.若x=5-y,则5-x2-2xy-y2的值为 .
C
-20
6.计算:
(1)(2a+3b-1)(2a+3b+1);
(2)(a+b-c)2.
解:(1)(2a+3b-1)(2a+3b+1)
=[(2a+3b)-1][(2a+3b)+1]
=(2a+3b)2-1
=4a2+12ab+9b2-1.
(2)(a+b-c)2
=a2+2a(b-c)+(b-c)2
=a2+2ab-2ac+b2-2bc+c2.
7.当x=1时,ax+b+1的值为-2,则(a+b-1)(1-a-b)的值为( )
A.-16 B.-8 C.8 D.16
8.计算:
(1)(x-2y+1)2;
A
解:(1)(x-2y+1)2=[(x-2y)+1]2
=(x-2y)2+2(x-2y)+1
=x2-4xy+4y2+2x-4y+1.
(2)(a-2b+3c)(a+2b-3c);
(3)(a+b+c)(a-b-c)+(a+b+c)2.
解:(2)(a-2b+3c)(a+2b-3c)
=[a-(2b-3c)][a+(2b-3c)]
=a2-(2b-3c)2
=a2-4b2-9c2+12bc.
(3)(a+b+c)(a-b-c)+(a+b+c)2
=[a+(b+c)][a-(b+c)]+[a+(b+c)]2
=a2-(b+c)2+a2+2a(b+c)+(b+c)2
=2a2+2ab+2ac.
9.(运算能力)已知(2a+2b+3)(2a+2b-3)=55,求a+b的值.
解:(2a+2b+3)(2a+2b-3)
=[(2a+2b)+3][(2a+2b)-3]
=4(a+b)2-9=55,
∴(a+b)2=16.
∴a+b=±4.
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14.2.2 完全平方公式
第1课时 完全平方公式
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自主导学
完全平方公式
1.语言叙述:两个数的和(或差)的平方,等于它们的 ,加上(或减去)它们的 .
2.公式:(a+b)2= ;
(a-b)2= .
平方和
积的2倍
a2+2ab+b2
a2-2ab+b2
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知识点1 完全平方公式的几何意义
1.(2023攀枝花)我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式.给出以下4组图形及相应的代数恒等式:
①(a+b)2=a2+2ab+b2; ②(a-b)2=a2-2ab+b2;
③(a+b)(a-b)=a2-b2; ④(a-b)2=(a+b)2-4ab.
其中图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
D
2.下列四个图形中,图(1)是长方形,图(2),(3),(4)是正方形.把图(1), (2),(3)三个图形拼在一起(不重合),其面积为S,则S= ;图(4)的面积P= .则P S.
2ab+b2+a2
(a+b)2
=
知识点2 利用完全平方公式进行计算
3.计算:
(1)(5+x)2;
(2)(7x-2)2 ;
(3)(-2a-5)2;
(4)(-2x+3y)2.
解:(1)(5+x)2=25+10x+x2.
(2)(7x-2)2=49x2-28x+4.
(3)(-2a-5)2=4a2+20a+25.
(4)(-2x+3y)2=4x2-12xy+9y2.
4.计算:
(1)9982;
(2)1012.
解:(1)9982=(1 000-2)2
=1 0002-2×1 000×2+22
=1 000 000-4 000+4
=996 004.
(2)1012=(100+1)2
=1002+2×100×1+12
=10 201.
C
6.已知a2+b2=30,ab=7,则a-b= .
7.当m=2n-3时,代数式m2-4mn+4n2= .
8.如图所示,正方形ABCD和AEFG的边长分别为x,y,点E,G分别在边AB, AD上,若x2+y2=29,BE=3,则图中阴影部分图形的面积和为 .
±4
9
10.5
9.计算:
(1)1022-97×103;
(2)(x+y)(-x+y)(x2-y2).
解:(1)1022-97×103
=(100+2)2-(100-3)(100+3)
=1002+400+4-1002+9
=413.
(2)(x+y)(-x+y)(x2-y2)
=-(x2-y2)2
=-x4+2x2y2-y4.
10.先化简,再求值:(x-1)2+(x-3)(x+3)-2(x-5),其中x=-2.
解:(x-1)2+(x-3)(x+3)-2(x-5)
=x2-2x+1+x2-9-2x+10
=2x2-4x+2,
当x=-2时,
原式=2×(-2)2-4×(-2)+2=18.
11.张老师在黑板上布置了一道题:
求2(x+1)2-(4x-5)的值.
小亮和小新展开了下面的讨论,你认为他们两人谁说得对 并说明理由.
解:小亮的说法正确.理由如下:
2(x+1)2-(4x-5)=2(x2+2x+1)-4x+5=2x2+4x+2-4x+5=2x2+7.
当x=a或x=-a时,原式=2a2+7.
∴小亮的说法正确.
12.(抽象能力)如图(1)所示,是一个长为4a、宽为b的长方形,沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形,然后用四块小长方形拼成一个如图(2)所示的“回形”正方形.
(1)观察图(2),请直接写出(a+b)2,(a-b)2,ab之间的等量关系;
(2)根据(1)中的结论,若x+y=7,xy=6,求(x-y)2的值;
解:(1)由题图(2),知(a+b)2=(b-a)2+4ab,即(a+b)2=(a-b)2+4ab.
(2)∵x+y=7,xy=6,
∴(x-y)2=(x+y)2-4xy=49-24=25.
(3)拓展应用:若(2 023-m)2+(m-2 022)2=15,求(2 023-m)(m-2 022) +6的值.
解:(3)设x=2 023-m,y=m-2 022,
则x+y=1,x2+y2=15,
∴(x+y)2-2xy=15,即1-2xy=15.
∴xy=-7,
即(2 023-m)(m-2 022)=-7.
∴(2 023-m)(m-2 022)+6=-7+6=-1.
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第2课时 单项式与多项式相乘
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单项式与多项式相乘
单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的 ,再把所得的积 ,即m(a+b+c)= .
每一项
相加
ma+mb+mc
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知识点 单项式与多项式相乘
B
2.已知x2-2x+1=0,则代数式x(x-2)+3的值为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
C
3.计算:
(1)4xy·(-3x2+2xy-1);
(2)(4a-b2)(-2b);
解:(1)4xy·(-3x2+2xy-1)
=4xy·(-3x2)+4xy·2xy+4xy·(-1)
=-12x3y+8x2y2-4xy.
(2)(4a-b2)(-2b)
=4a×(-2b)-b2×(-2b)
=-8ab+2b3.
(3)5x(x2+2x-1)-2x(x-5).
解:(3)5x(x2+2x-1)-2x(x-5)
=5x3+10x2-5x-2x2+10x
=5x3+8x2+5x.
B
5.(易错题)一个长方体的长、宽、高分别为2x、2x-1、x2,它的体积等于( )
A.4x4-4x2 B.4x4-2x3
C.4x4-2x2 D.4x4-1
6.若x(x2+a)+3x-2b=x3+5x+4恒成立,则a,b的值分别为( )
A.-2,-2 B.2,2
C.2,-2 D.-2,2
B
C
7.计算:3x-[2x(x+2y)-2y(2x-y)]+2x2= .
8.先化简,再求值:3a(2a2-4a+3)-2a2(3a-4),其中a=-2.
3x-2y2
解:3a(2a2-4a+3)-2a2(3a-4)
=6a3-12a2+9a-6a3+8a2
=-4a2+9a.
当a=-2时,原式=-4×(-2)2+9×(-2)=-34.
9.(运算能力)请先阅读下列解题过程,再回答后面的问题:
已知x2+x-1=0,求x3+2x2+3的值.
解:∵x2+x-1=0,∴x2=1-x,x2+x=1.
∴x3+2x2+3=x·x2+2x2+3=x(1-x)+2x2+3=x-x2+2x2+3=x2+x+3=1+3=4.
问题:若实数x满足x2-2x-1=0,求2x3-7x2+4x-2 023的值.
解:∵x2-2x-1=0,∴x2=2x+1,x2-2x=1.
∴2x3-7x2+4x-2 023
=2x·x2-7x2+4x-2 023
=2x(2x+1)-7x2+4x-2 023
=4x2+2x-7x2+4x-2 023
=-3x2+6x-2 023
=-3(x2-2x)-2 023
=-3-2 023
=-2 026.
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14.3 因式分解
14.3.1 提公因式法
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一、因式分解的意义
把一个多项式化成几个整式的 的形式,这种式子的变形叫做这个多项式的因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.因式分解与
是方向相反的变形.
二、提公因式法
1.公因式:多项式的 都含有的 的因式.
2.提公因式法:一般地,如果多项式的各项有 ,可以把这个
提取出来,将多项式写成公因式与另一个因式的 的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.
积
整式乘法
各项
公共
公因式
公因式
乘积
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知识点1 因式分解的意义
1.下列由左边到右边的变形,是因式分解的是( )
A.(x+2)(x-2)=x2-4
B.(x-1)2=x2-2x+1
C.2x-2=2(x-1)
D.x2-16+3x=(x+4)(x-4)+3x
C
2.已知多项式ax2+bx+c分解因式得(x-3)(x+2),则a,b,c的值分别为
( )
A.1,-1,6 B.1,1,-6
C.1,-1,-6 D.1,1,6
3.对于(a+b)(a-b)=a2-b2,从左到右的变形是 ,从右到左的变形是 .
C
整式乘法
因式分解
知识点2 公因式
4.(易错题)代数式-6xyz+3xy2-9x2y中各项的公因式是( )
A.-3x B.3xz
C.-18x2y2z D.-3xy
5.多项式3(x-4)+x(x-4)的公因式是( )
A.x+3 B.x-3
C.(x+3)(x-3) D.x-4
D
D
知识点3 用提公因式法分解因式
6.下列多项式中,能用提公因式法因式分解的是( )
A.x2-y B.x2-2x
C.x2+y2 D.x2-xy+y2
7.把(x-y)2-(y-x)分解因式的结果为( )
A.(x-y)(x-y-1)
B.(y-x)(x-y-1)
C.(y-x)(y-x-1)
D.(y-x)(y+x+1)
B
C
8.把5(a-b)+m(b-a)提公因式后一个因式是(a-b),则另一个因式是
( )
A.5-m B.5+m
C.m-5 D.-m-5
9.(2023鞍山)因式分解:3x2-9x= .
A
3x(x-3)
10.将下列各式进行分解因式:
(1)4a3b2-10ab3c;
(2)-3ma3+6ma2-12ma.
解:(1)4a3b2-10ab3c
=2ab2(2a2-5bc).
(2)-3ma3+6ma2-12ma
=-3ma(a2-2a+4).
11.多项式8a3b2+12a3bc-4a2b中,各项的公因式是( )
A.a2b B.4a2b
C.-4a2b2 D.-a2b
12.将多项式(a-1)2-a+1分解因式,结果正确的是( )
A.a-1 B.(a-1)(a-2)
C.(a-1)2 D.(a+1)(a-1)
B
B
13.若mn=-2,m-n=3,则代数式m2n-mn2的值为( )
A.-6 B.-5 C.1 D.6
14.计算32×2 022+42×2 022+72×2 022的结果为( )
A.2 022 B.20 220
C.202 200 D.2 022 000
15.因式分解:2a2-12a= .
16.(2023凤庆县一模)因式分解:a2-5a= .
A
C
2a(a-6)
a(a-5)
17.将下列各式进行分解因式:
(1)x(x-y)+y(y-x);
(2)(a2-ab)+c(a-b);
解:(1)x(x-y)+y(y-x)
=x(x-y)-y(x-y)
=(x-y)(x-y)
=(x-y)2.
(2)(a2-ab)+c(a-b)
=a(a-b)+c(a-b)
=(a-b)(a+c).
(3)4q(1-p)3+2(p-1)2.
解:(3)4q(1-p)3+2(p-1)2
=4q(1-p)3+2(1-p)2
=2(1-p)2(2q-2pq+1).
解:(2)2 023+2 0232-2 0242
=2 023×(1+2 023)-2 0242
=2 023×2 024-2 0242
=2 024×(2 023-2 024)
=-2 024.
(2)2 023+2 0232-2 0242.
19.(推理能力)阅读下列因式分解的过程,再回答所提出的问题:
1+x+x(x+1)+x(x+1)2
=(1+x)[1+x+x(x+1)]
=(1+x)2(1+x)
=(1+x)3.
(1)上述分解因式的方法是 ,共用了 次;
(2)若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2 023,则结果是 ;
解:(1)提公因式法 2
(2)(1+x)2 024
(3)依照上述方法分解因式:1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n(n为正整数).
解:(3)1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n(n为正整数)
=(1+x)[1+x+x(x+1)+…+x(x+1)n-1]
=(1+x)2[1+x+x(x+1)+…+x(x+1)n-2]
…
=(1+x)n+1.
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第2课时 运用完全平方公式因式分解
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一、完全平方式
我们把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫做完全平方式.利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式进行因式分解.
二、完全平方公式
1.语言描述:两个数的平方和加上(或减去)这两个数的 ,等于这两个数的 的平方.
2.公式:a2+2ab+b2= ;
a2-2ab+b2= .
积的2倍
和(或差)
(a+b)2
(a-b)2
三、公式法
如果把乘法公式的等号两边互换位置,就可以得到用于分解因式的公式,用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做公式法.
分层精练
知识点1 完全平方式
1.下列式子为完全平方式的是( )
A.a2+ab+b2 B.a2+2a+2
C.a2-2b+b2 D.a2+2a+1
2.(易错题)如果x2+mx+16是一个完全平方式,则m的值为 .
D
±8
知识点2 运用完全平方公式因式分解
3.(改编题)下列多项式:①x2-4x-4;②a2+ab+b2;③x2-2x+1;④a2-4ab+ 4b2;⑤a2-b2.其中能用完全平方公式进行因式分解的有( )
A.①③ B.②④
C.③④ D.①⑤
4.分解因式:
(1)a2-4a+4;
C
解:(1)a2-4a+4=(a-2)2.
(2)9-12a+4a2;
(3)2a2-4a+2.
解:(2)9-12a+4a2
=32-2×3×2a+(2a)2
=(3-2a)2.
(3)2a2-4a+2
=2(a2-2a+1)
=2(a-1)2.
5.已知a-b=5,ab=3,求多项式a3b-2a2b2+ab3的值.
解:a3b-2a2b2+ab3
=ab(a2-2ab+b2)
=ab(a-b)2.
当a-b=5,ab=3时,原式=3×25=75.
6.(2023昆明呈贡区三模)已知4x2+kx+9可以用完全平方公式进行因式分解,则k的值为( )
A.6 B.±6 C.12 D.±12
7.根据完全平方公式填空:
(1)x2+2xy+ =( )2;
(2)( )2+8xy+y2=( )2.
8.(2023昆明五华区模拟)因式分解:x2-6x+9= .
9.已知a+b=5,ab=3,则(a-b)2的值为 .
10.已知m+n=3,则2m2+4mn+2n2-6的值为 .
D
y2
x+y
4x
4x+y
(x-3)2
13
12
11.分解因式:
(1)-4a2-8ab-4b2;
(2)(x-y)2-4(x-y-1).
解:(1)-4a2-8ab-4b2
=-4(a2+2ab+b2)
=-4(a+b)2.
(2)(x-y)2-4(x-y-1)
=(x-y)2-4(x-y)+4
=(x-y-2)2.
12.长为a、宽为b的长方形,它的周长为14,面积为10,求下列各式的值.
(1)a2b+ab2;
(2)a2+b2+ab.
解:由题意,得ab=10,2(a+b)=14,
∴a+b=7.
(1)a2b+ab2=ab(a+b)=10×7=70.
(2)a2+b2+ab=a2+b2+2ab-ab=(a+b)2-ab=72-10=39.
13.已知|m+4|与n2-2n+1互为相反数,把多项式x2+4y2-mxy-n因式分解.
解:∵|m+4|与n2-2n+1互为相反数,
∴|m+4|+n2-2n+1=0,
即|m+4|+(n-1)2=0.
∴m=-4,n=1.
∴x2+4y2-mxy-n
=x2+4y2+4xy-1
=(x+2y)2-1
=(x+2y+1)(x+2y-1).
14.在三个整式x2+2xy,y2+2xy,x2中,请你任意选出两个进行加(或减)法运算,使所得整式可以因式分解,并进行因式分解.
解:答案不唯一,如:(x2+2xy)+x2=2x2+2xy=2x(x+y);
(y2+2xy)+x2=(x+y)2;
(x2+2xy)-(y2+2xy)=x2-y2=(x+y)(x-y);
(y2+2xy)-(x2+2xy)=y2-x2=(y+x)(y-x).
15.(运算能力)先阅读材料,再回答问题:
分解因式:(a-b)2-2(a-b)+1.
解:设a-b=M,则(a-b)2-2(a-b)+1=M2-2M+1=(M-1)2.
再将a-b=M还原,得原式=(a-b-1)2.
上述解题中用到的是“整体思想”,它是数学中常用的一种思想,请你用整体思想回答下列问题:
(1)分解因式:(x+y)(x+y-4)+4;
解:(1)设M=x+y,
则(x+y)(x+y-4)+4
=M(M-4)+4
=M2-4M+4
=(M-2)2.
将M=x+y代入还原,得
原式=(x+y-2)2.
(2)若a为正整数,试说明(a-1)(a-2)(a-3)(a-4)+1为整数的平方.
解:(2)(a-1)(a-2)(a-3)(a-4)+1
=(a-1)(a-4)(a-2)(a-3)+1
=(a2-5a+4)(a2-5a+6)+1.
令N=a2-5a+4,
∵a为正整数,∴N=(a-1)(a-4)=a2-5a+4是整数.
则原式=N(N+2)+1=N2+2N+1=(N+1)2.
∵N为整数,
∴原式=(N+1)2,即(a-1)(a-2)(a-3)(a-4)+1为整数的平方.
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第4课时 整式的除法
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一、同底数幂的除法法则
1.同底数幂相除,底数 ,指数 .
2.公式:am÷an= (a≠0,m,n都是正整数,且m>n).
二、零指数幂
任何不等于0的数的0次幂都等于 ,即a0= (a≠0).
三、单项式除以单项式
单项式相除,把 与 分别相除作为商的因式,对于只在 里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式.
不变
相减
am-n
1
1
系数
同底数幂
被除式
四、多项式除以单项式
多项式除以单项式,先把这个多项式的 除以这个单项式,再把所得的商 ,即(am+bm+cm)÷m=am÷m+bm÷m+cm÷m=a+b+c.
每一项
相加
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知识点1 同底数幂的除法
1.下列运算正确的是( )
A.a2·a3=a6 B.a3÷a=a2
C.(a3)2=a9 D.a2+a2=a4
2.计算(a3)2÷a2的结果是( )
A.a3 B.a4
C.a7 D.a8
3.计算(-a)3÷(-a2)的结果是 .
B
B
a
知识点2 零指数幂
4.下列各数中,最大的数是( )
A.-(+2) B.|-3|
C.-12 D.(-2)0
5.(1)(π-3)0= ;
(2)如果(x-5)0=1,那么x的取值范围是 .
B
1
x≠5
知识点3 单项式除以单项式
7.下列运算正确的是( )
A.y2÷y2=0
B.10a2b3÷(-5ab)=-2a3b4
C.2(a2b)2÷a2b2=1
D.12a2÷3a=4a
D
(2)(8×105)÷(2×102)=4×103.
知识点4 多项式除以单项式
B
8a-6b+2
5
3
12.下列计算结果错误的是( )
A.-6x2y3÷2xy2=-3xy
B.(-xy2)3÷(-x2y)=xy5
C.(-2x2y2)3÷(-xy)3=-2x3y3
D.-(-a3b)2÷(-a2b2)=a4
13.若am=8,an=2,则a2m-3n的值是 .
C
8
14.计算:
(1)(a2)3·(a2)4÷(-a2)5;
(2)(x-y)7÷(y-x)3·(y-x)4.
解:(1)(a2)3·(a2)4÷(-a2)5
=a6·a8÷(-a10)
=-a14÷a10
=-a4.
(2)(x-y)7÷(y-x)3·(y-x)4
=-(y-x)7÷(y-x)3·(y-x)4
=-(y-x)4·(y-x)4
=-(y-x)8.
15.已知3x-2y-2=0,求8x÷4y÷22的值.
解:8x÷4y÷22
=23x÷22y÷22
=23x-2y-2.
∵3x-2y-2=0,
∴8x÷4y÷22=23x-2y-2=20=1.
16.先化简,再求值:(x+y)(x-y)-(4x3y-8xy3)÷2xy,其中x=1,y=-3.
解:(x+y)(x-y)-(4x3y-8xy3)÷2xy
=x2-y2-2x2+4y2
=-x2+3y2.
当x=1,y=-3时,
原式=-12+3×(-3)2=-1+27=26.
17.(推理能力)观察下列各式:
(x-1)÷(x-1)=1;
(x2-1)÷(x-1)=x+1;
(x3-1)÷(x-1)=x2+x+1;
(x4-1)÷(x-1)=x3+x2+x+1.
(1)根据上面各式的规律可得:(xn-1)÷(x-1)= (n≥1,且n为正整数);
解:(1)xn-1+xn-2+…+x+1
(2)利用(1)的结论,求22 023+22 022+…+2+1的值;
(3)若1+x+x2+…+x2 023=0,求x2 024的值.
解:(2)22 023+22 022+…+2+1
=(22 024-1)÷(2-1)
=22 024-1.
(3)x2 024=(x2 024-1)+1
=(1+x+x2+…+x2 023)·(x-1)+1,
∵1+x+x2+…+x2 023=0,
∴x2 024=1.
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第十四章 整式的乘法与因式分解
14.1 整式的乘法
14.1.1 同底数幂的乘法
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同底数幂的乘法
1.同底数幂的乘法法则:同底数幂相乘,底数 ,指数 .
用字母表示:am·an= (m,n都是正整数).
2.推广运用:am·an·ap= (m,n,p都是正整数);am+n=am· .
(m,n都是正整数).
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不变
相加
am+n
am+n+p
an
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知识点1 同底数幂的乘法法则
1.(2023云南模拟)计算a2·a等于( )
A.a B.3a
C.2a2 D.a3
2.(易错题)下列各式正确的是( )
A.a3+a3=a6 B.a3·a3=a6
C.a3·a3=a9 D.a3+a3=2a6
D
B
3.(易错题)计算-a2·(-a)3的结果是( )
A.-a6 B.a6
C.-a5 D.a5
4.计算:
(1)a3·a4;
(2)xn·x2n-3;
D
解:(1)a3·a4=a3+4=a7.
(2)xn·x2n-3=xn+2n-3=x3n-3.
(4)(a-b)(a-b)2(a-b)3
=(a-b)1+2+3
=(a-b)6.
5.已知4x=16,4y=64,求x+y的值.
解:4x·4y=4x+y=16×64=42×43=45,
∴x+y=5.
知识点2 同底数幂的乘法法则的逆用
6.已知ax=2,ay=8(x,y为整数),求ax+y的值.
解:ax+y=ax·ay=2×8=16.
7.已知xm=3,xm+n=27,求xn的值.
解:∵xm+n=27,
∴xm·xn=27.
∵xm=3,
∴3·xn=27.
∴xn=9.
8.(2023文山期末)如果ax=4,ay=9,那么ax+y的值为( )
A.13 B.5 C.-36 D.36
9.计算:
(1)-x6·(-x)+(-x)4·(-x)3;
D
解:(1)-x6·(-x)+(-x)4·(-x)3
=x7+(-x)7
=x7-x7
=0.
(2)(b-a)2(a-b)3(b-a)5.
解:(2)(b-a)2(a-b)3(b-a)5
=(b-a)2[-(b-a)]3(b-a)5
=-(b-a)5(b-a)5
=-(b-a)10.
10.规定a*b=2a×2b.
(1)求1*3的值;
(2)若2*(2x+1)=64,求x的值.
解:(1)由题意,得
1*3=2×23=16.
11.已知(a+b)a·(b+a)b=(a+b)5,且(a-b)a+4·(a-b)4-b=(a-b)7,求aabb的值.
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第3课时 多项式与多项式相乘
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多项式与多项式相乘
1.法则:多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的 ,再把所得的积 .
2.用字母表示:
(a+b)(p+q)= .
每一项
相加
ap+aq+bp+bq
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知识点 多项式与多项式相乘
1.计算(a-2)(a+3)的结果是( )
A.a2-6 B.a2+a-6
C.a2+6 D.a2-a+6
2.下列计算错误的是( )
A.(x+1)(x+4)=x2+5x+4
B.(m-2)(m+3)=m2+m-6
C.(y+4)(y-5)=y2+9y-20
D.(x-3)(x-6)=x2-9x+18
B
C
3.下列多项式相乘的结果为x2+3x-18的是( )
A.(x-2)(x+9) B.(x+2)(x-9)
C.(x+3)(x-6) D.(x-3)(x+6)
4.(2023昆明呈贡区期中)使(x2+mx)(x2-2x+n)的乘积不含x3和x2,则m,n的值为( )
A.m=0,n=0 B.m=-2,n=-4
C.m=2,n=4 D.m=-2,n=4
5.已知a+b=2,ab=-1,计算(a-2)(b-2)的结果是( )
A.1 B.3 C.-1 D.-5
D
C
C
6.计算:
(1)(3x-2)(x+1);
(2)(5x+2y)(3x-2y);
解:(1)(3x-2)(x+1)
=3x2+3x-2x-2
=3x2+x-2.
(2)(5x+2y)(3x-2y)
=5x×3x-5x×2y+2y×3x-2y×2y
=15x2-10xy+6xy-4y2
=15x2-4xy-4y2.
(3)(-7x2-8y2)(-x2+3y2).
解:(3)(-7x2-8y2)(-x2+3y2)
=7x4+8x2y2-21x2y2-24y4
=7x4-13x2y2-24y4.
8.(2023昆明期中)若M=(x-3)(x-4),N=(x-1)(x-6),则M与N的大小关系为( )
A.M>N B.M=N
C.M9.若等式(x+2)(x-3)=x2+mx+n对于任意x都成立,则m+n的值为( )
A.11 B.-7
C.5 D.-5
A
B
10.随着数学学习的深入,数系不断扩充,引入新数i,规定i2=-1,并且新数i满足交换律、结合律和分配律,则(1+i)·(2-i)的运算结果是
( )
A.3-i B.2+i C.1-i D.3+i
D
12.已知5x2-x-1=0,则代数式(3x+2)·(3x-2)+x(x-2)的值为 .
-2
13.计算:
(1)(x+3)(x-7)-x(x-1);
(2)5y2-(y-2)(3y+1)-2(y+1)(y-5).
解:(1)(x+3)(x-7)-x(x-1)
=x2-7x+3x-21-x2+x
=-3x-21.
(2)5y2-(y-2)(3y+1)-2(y+1)(y-5)
=5y2-(3y2+y-6y-2)-2(y2-5y+y-5)
=5y2-3y2-y+6y+2-2y2+10y-2y+10
=13y+12.
14.(2023昆明呈贡区期中)如图所示,某小区有一块长为(2a+3b)m,宽为(2a-3b)m的长方形地块,角上有四个边长为(a-b)m 的小正方形空
地,开发商计划将阴影部分进行绿化.
(1)用含有a,b的式子表示绿化的总面积(结果写成最简形式).
解:(1)由题意,得
(2a+3b)(2a-3b)-4×(a-b)2
=4a2-9b2-4a2+8ab-4b2
=(-13b2+8ab)m2.
答:绿化面积是(-13b2+8ab)m2.
(2)若a=20,b=10,绿化成本为50元/平方米,则完成绿化共需要多少
元钱
解:(2)当a=20,b=10时,
-13b2+8ab=-13×102+8×20×10
=-1 300+1 600
=300(m2),
300×50=15 000(元),
答:完成绿化共需要15 000元钱.
15.(运算能力)甲、乙两人共同计算一道整式乘法:(2x+a)·(3x+b).由于甲抄错了第一个多项式中a的符号,得到的结果为 6x2+11x-10;由于乙漏抄了第二个多项式中的x的系数,得到的结果为2x2-9x+10.请你计算出a,b的值,并写出这道整式乘法的正确结果.
解:∵甲得到的算式为
(2x-a)(3x+b)
=6x2+(2b-3a)x-ab
=6x2+11x-10,
∴2b-3a=11,ab=10.
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14.1.2 幂的乘方
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不变
相乘
amn
amnp
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知识点1 幂的乘方法则
1.计算(a2)3的结果是( )
A.-a5 B.a5 C.a6 D.-a6
2.(2023昆明官渡区月考)已知xa=2,xb=4,则x2a+b的值是( )
A.2 B.6 C.8 D.16
3.计算:a2·(a2)3= .
C
D
a8
4.计算:
(1)(a2)5+(a5)2;
(2)-(a2)4·(a2)3;
(3)(x2)4·x2-2(x3)3·x;
解:(1)(a2)5+(a5)2=a10+a10=2a10.
(2)-(a2)4·(a2)3=-a8·a6=-a14.
(3)(x2)4·x2-2(x3)3·x
=x8·x2-2x9·x
=x10-2x10
=-x10.
(4)[(x+y)3]6-(x+y)9(x+y)9.
解:(4)[(x+y)3]6-(x+y)9(x+y)9
=(x+y)18-(x+y)18
=0.
知识点2 幂的乘方法则的逆用
5.x4n可以写成( )
A.x4+xn B.xn+x3n
C.(x2n)2 D.x4·xn
6.已知am=4,an=8,求a3m与a2n的值.
C
解:∵am=4,an=8,
∴a3m=(am)3=43=64,
a2n=(an)2=82=64.
7.(2023昆明西山区期中)(1)已知3×9x×81=321,求x的值;
解:(1)∵3×9x×81=321,
∴3×32x×34=321.
∴31+2x+4=321.
∴1+2x+4=21,
解得x=8.
(2)已知am=2,an=5,求a3m+2n的值.
解:(2)当am=2,an=5时,
a3m+2n
=a3m·a2n
=(am)3·(an)2
=23×52
=8×25
=200.
8.下列运算正确的是( )
A.(a3)4=a7 B.a3·a4=a7
C.a4-a3=a D.a3+a4=a7
9.当n为偶数时,(-an)2+(-a2)n等于( )
A.0 B.2a2n
C.-2a2n D.a4n
10.比较(27)4与(34)3的大小,可得( )
A.(27)4=(34)3 B.(27)4>(34)3
C.(27)4<(34)3 D.无法确定
B
B
A
11.若b3n=2,则b9n= .
12.计算:
(1)x4·x5·(-x)7+5(x4)4-(x8)2;
8
解:(1)x4·x5·(-x)7+5(x4)4-(x8)2
=x9·(-x7)+5x16-x16
=-x16+5x16-x16
=3x16.
(2)-2(a3)7+a3·(a4)3·(-a)6.
解:(2)-2(a3)7+a3·(a4)3·(-a)6
=-2a21+a3·a12·a6
=-2a21+a21
=-a21.
13.若|a-2b|+(b-2)2=0,求a5b10的值.
14.尝试解决下列有关幂的问题:
(1)若4×16x=222,求x的值;
(2)M=2×9x-3×3x+5,N=9x-3x-1,请比较M与N的大小.
解:(1)∵4×16x=222,
∴4×16x=22×24x=22+4x=222.
∴2+4x=22.
∴x=5.
(2)设3x=t,则9x=(32)x=(3x)2=t2,
∴M=2t2-3t+5,N=t2-t-1.
∴M-N=t2-2t+6=(t-1)2+5>0,
即M>N.
15.(模型观念)逆用幂的乘方法则比较大小的技巧:
技巧1:底数比较法
(1)阅读下面的题目及解题过程:试比较2100与375的大小.
解:∵2100=(24)25=1625,375=(33)25=2725,16<27,∴2100<375.
请根据上述解答过程解答:比较255,344,433的大小.
技巧2:乘方比较法
(2)阅读下列材料:
若a3=2,b5=3,比较a,b的大小.
解:∵a15=(a3)5=25=32,b15=(b5)3=33=27,32>27,
∴a15>b15.∴a>b.
依照上述方法解答下列问题:
①已知x7=2,y9=3,试比较x与y的大小;
解:(2)①∵x63=(x7)9=29=512,
y63=(y9)7=37=2 187,512<2 187,
∴x63②已知a2=5,b3=12,且a>0,b>0,试比较a,b的大小.
解:②∵a6=(a2)3=53=125,b6=(b3)2=122=144,125<144,
∴a6∵a>0,b>0,
∴a谢谢观赏！
