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15.3 分式方程
第1课时 分式方程及其解法
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一、分式方程的概念
分母中含有 的方程叫做分式方程.
二、分式方程的解法
1.基本思路:将分式方程化为 .
2.基本方法: (一般是方程两边同乘 ).
三、分式方程的“检验”
将整式方程的解代入 ,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解 原分式方程的解;否则,这个解 原分式方程的解.
未知数
整式方程
去分母
最简公分母
最简公分母
是
不是
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知识点1 分式方程的概念
D
②④⑤⑧
知识点2 分式方程的解法
C
D
x=-2
知识点3 分式方程的参数问题
x=4
m≤2 且m≠-6
B
B
94
解:(1)方程两边乘3(x-2),得
3(x-2)+3(5x-4)=4x-4,
解得x=1.
检验:当x=1时,3(x-2)≠0.
∴原分式方程的解为x=1.
解:(2)方程两边乘(x+1)(x-1),得
x2+2x+1-4=x2-1,
解得x=1.
检验:当x=1时,x2-1=0.
∴x=1不是原分式方程的解.
∴原分式方程无解.
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第2课时 约分和通分
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一、分式的约分
1.定义:根据分式的基本性质,把一个分式的分子与分母的 约去,叫做分式的 .
2.最简分式:分子与分母没有 的分式,叫做最简分式.
二、分式的通分
1.定义:根据分式的基本性质,把几个 的分式分别化成与原来的分式相等的 的分式,叫做分式的通分.
2.最简公分母:取各分母的所有因式的最 次幂的积作公分母,它叫做最简公分母.
公因式
约分
公因式
异分母
同分母
高
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知识点1 分式的约分
C
B
知识点2 分式的通分
6x2y3
2x(x+1)
B
A
12.(2023广州)已知a>3,代数式A=2a2-8,B=3a2+6a,C=a3-4a2+4a.
(1)因式分解A;
解:(1)A=2a2-8=2(a2-4)=2(a+2)(a-2).
(2)在A,B,C中任选两个代数式,分别作为分子、分母,组成一个分式,并化简该分式.
13.(运算能力)在对某些多项式进行因式分解时,需要把多项式中的某一项拆成两项或多项,或者在多项式中添上两个仅符号相反的项,这样的分解因式的方法称为拆项添项法,如:
例1 分解因式:x4+4.
解:x4+4=x4+4x2+4-4x2=(x2+2)2-4x2=(x2-2x+2)(x2+2x+2).
例2 分解因式:x3+5x-6.
解:x3+5x-6=x3-x+6x-6
=x(x2-1)+6(x-1)
=(x-1)(x2+x+6).
请根据以上材料中的方法,解决下列问题.
(1)运用拆项添项法分解因式:x4+4y4;
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专题八 分式方程的解法
类型一 分式方程的解法
解:(1)方程两边乘(x+5)(x-2),得
2(x-2)=x+5.
解得x=9.
检验:当x=9时,(x+5)(x-2)≠0.
∴原分式方程的解为x=9.
解:(2)方程两边乘(x-5),得3+2(x-5)=-(x-2),
解得x=3.
检验:当x=3时,x-5≠0.
∴原分式方程的解为x=3.
(3)方程两边乘x(x-3),得(x-3)(x+3)=6x+x(x-3),
∴3x=-9,解得x=-3.
检验:当x=-3时,x(x-3)≠0.
∴原分式方程的解为x=-3.
类型二 与分式方程有关的参数问题
4
m<6且m≠-3
1
(2)当m为何值时,方程的解为负数
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专题七 分式的运算
类型一 零指数与负整数指数幂的运算
类型二 分式的混合运算
类型三 分式的化简与求值
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第2课时 用科学记数法表示绝对值小于1的数
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用科学记数法表示绝对值小于1的数
绝对值小于1的数可以用科学记数法表示为 的形式,其中a的取值范围为1≤︱a︱<10,n是正整数.
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a×10-n
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知识点1 用科学记数法表示绝对值小于1的数
1.(2023昆明二模)在某科幻小说中,制造太空电梯的材料是科学家发明的一种具有超高强度纳米丝的“飞刃”,已知“飞刃”的直径为0.000 000 9 mm,用科学记数法表示为 9×10n mm,其中n为( )
A.-6 B.6 C.-7 D.7
C
2.用科学记数法表示下列各数:
(1)0.000 607 5= ;
(2)-0.309 9= .
3.溶度积是化学中沉淀的溶解平衡常数.常温下CaCO3的溶度积约为0.000 000 002 8,将数据0.000 000 002 8用科学记数法表示为
.
6.075×10-4
-3.099×10-1
2.8×10-9
知识点2 科学记数法的应用
4.计算(3.6×10-5)÷(-9×102),结果用科学记数法表示.
解:(3.6×10-5)÷(-9×102)
=-0.4×10-7
=-4×10-8.
5.一块700 mm2的芯片上能集成10亿个元件,每一个这样的元件约占多少平方毫米 约多少平方米(用科学记数法表示)
6.用科学记数法表示:
(1)0.000 001 07= ;
(2)-0.000 040 5= ;
(3)0.000 000 27= ;
(4)-0.000 000 020 5= .
7.把下列用科学记数法形式表示的数还原:
(1)7.2×10-5= ;
(2)-1.5×10-4= .
1.07×10-6
-4.05×10-5
2.7×10-7
-2.05×10-8
0.000 072
-0.000 15
8.计算:
(1)(3×10-5)×(5×10-3);
(2)(-1.8×10-10)÷(9×10-5).
解:(1)(3×10-5)×(5×10-3)
=3×5×10-5×10-3
=1.5×10-7.
(2)(-1.8×10-10)÷(9×10-5)
=(-1.8÷9)×10-10÷10-5
=-2×10-6.
9.(应用意识、运算能力)神舟十三号飞船搭载实验项目中,共有a粒水稻种子,每粒种子质量大约0.000 032 5 kg;b粒苹果种子,每粒种子质量大约0.000 227 5 kg,参与航天搭载诱变选育.
(1)用科学记数法表示上述两个数;
解:(1)0.000 032 5=3.25×10-5,
0.000 227 5=2.275×10-4.
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15.2.3 整数指数幂
第1课时 整数指数幂
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一、负整数指数幂
一般地,当n是正整数时,a-n= (a≠0),即a-n(a≠0)是an的
.
二、零指数幂
当a≠0时,a0=1.
三、整数指数幂的运算
1.同底数幂的乘法:
am·an= (m,n是整数).
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倒数
am+n
2.幂的乘方:
(am)n= (m,n是整数).
3.积的乘方:
(ab)n= (n是整数).
4.同底数幂的除法:
am÷an= (a≠0,m,n是整数).
5.商的乘方:
amn
anbn
am-n
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知识点1 负整数指数幂及零指数幂
C
知识点2 整数指数幂的运算
D
5.下列计算正确的是( )
A.(-3x)3=-27x3 B.(x-2)2=x4
C.x2÷x-2=x2 D.x-1·x-2=x2
A
②⑤
B
C
10.(2023湖南)已知实数a,b满足(a-2)2+|b+1|=0,则ab= .
11.(易错题)若(a+3)a+1=1,则a的值是 .
-1或-2
16
解:(1)=
解:(3)=
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15.2.2 分式的加减
第1课时 分式的加减
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分母
分子
通分
同分母
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知识点1 同分母分式相加减
A
知识点2 异分母分式相加减
D
B
C
①③
(2)<
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第2课时 分式的混合运算
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分式的混合运算和有理数的混合运算一样,要按运算顺序进行运算,即先算 ,再算 ,最后算 ,遇到括号要先算
的.如果能运用运算律,要尽量运用运算律简化运算,结果必须是 或 .
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乘方
乘除
加减
括号内
最简分式
整式
分层精练
知识点1 分式的混合运算
D
知识点2 分式的化简求值
A
B
C
1
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第2课时 分式方程的实际应用
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一、列分式方程解应用题的一般步骤
1.设:设未知数.
2.列:列分式方程.
3.解:解分式方程.
4.检:既要检验所求的解是否为原分式方程的解,还要检验所求的解是否符合实际情况.
5.答:实际问题的答案.
二、常见的等量关系
1.工作总量=工作效率×工作 .
2.路程=速度× .
3.总价=单价× .
时间
时间
数量
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知识点1 列分式方程解决工程问题
A
2.某工程队准备修建一条长3 000 m的盲道,由于采用新的施工方式,实际每天修建盲道的长度比原计划增加25%,结果提前2天完成这一任务,原计划每天修建盲道多少米
B
知识点2 列分式方程解决行程问题
4.(2023昆明二模)“行人守法,安全过街”不仅体现了对生命的尊重,也体现了公民的文明素质,更反映了城市的文明程度.如图所示,某路口的斑马线A-B-C为横穿双向行驶车道,其中AB=BC=8 m,在绿灯亮时,小明共用13 s通过AC路段,其中通过BC路段的速度是通过AB路段速度的1.6倍,则小明通过AB路段的速度是( )
A.0.5 m/s B.1 m/s
C.1.5 m/s D.2 m/s
B
知识点3 列分式方程解决销售问题
B
6.(2023楚雄期末)中秋佳节期间,某公司将为公司员工每人采购一盒月饼.现有甲、乙两种月饼,甲种月饼每盒的售价比乙种月饼每盒的售价优惠6元,若购买相同数量的甲、乙两种月饼分别花费1 200元和
1 320元,请问甲种月饼每盒的售价是多少元
7.(易错题)有如下问题:一组人平分10元钱,每人分得若干;若再加上6人,平分40元钱,则第二次每人所得与第一次相同,求第一次分钱的人数.设第一次分钱的人数为x人,则可列方程: .
8.科技创新加速中国高铁技术的发展.某建筑集团承担一座高架桥的铺设任务,在合同期内高效完成了任务,下面是记者与该集团工程师的一段对话:
记者:你们是用10天完成4 500 m长的高架桥铺设任务吗
工程师:是的,我们铺设500 m后,采用新的铺设技术,这样每天铺设长度是原来的 2倍.最后按期完成了任务.
通过这段对话,请求出该建筑集团原来每天铺设高架桥的长度.
9.(应用意识)金师傅近期准备换车,看中了价格相同的两款国产车.
(1)用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用.
(2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元.
①分别求出这两款车的每千米行驶费用.
②若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为4 800元和7 500元.问:每年行驶里程为多少千米时,买新能源车的年费用更低(年费用=年行驶费用+年其他费用)
解:②设每年行驶里程为x km时,买新能源车的年费用更低.
由题意,得0.6x+4 800>0.06x+7 500.
解得x>5 000.
答:每年行驶里程超过5 000 km时,买新能源车的年费用更低.
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第2课时 分式的乘方及乘除混合运算
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一、分式的乘除混合运算步骤
1.先把除法统一成 运算.
2.分子、分母中能分解因式的多项式 .
3.确定分式的符号,然后 .
4.结果应是 分式.
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乘法
分解因式
约分
最简
乘方
三、分式的乘除、乘方混合运算
进行分式的乘除、乘方混合运算时,要严格按照运算顺序进行运算.先算 ,再算 .注意结果一定要化成一个整式或
分式的形式.
乘方
乘除
最简
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知识点1 分式的乘除混合运算
C
知识点2 分式的乘方
A
知识点3 分式的混合运算
A
B
B
D
(2)根据你发现的规律,试写出给定的那列分式中的第2 023个分式.
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15.1.2 分式的基本性质
第1课时 分式的基本性质
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分子
分母
同一个不
等于0的整式
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知识点1 分式的基本性质
D
A
知识点2 分式基本性质的应用
C
A
C
D
③④
解:甲同学将分式的分子,分母同时除以 (a+b),而由分式有意义可知a+b≠0,所以甲同学的做法正确;
乙同学将分式的分子,分母同时乘(a-b),但a-b的值是否等于0是不确定的,所以乙同学的做法是错误的.
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第十五章 分 式
15.1 分 式
15.1.1 从分数到分式
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B
=0
≠0
0
0
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知识点1 分式的概念
C
①③⑤
知识点2 分式有无意义的条件
A
-1
解:(1)x≠0.
(2)x≠3.
(3)x≠-2.
(4)x取任意实数.
知识点3 分式的值为0(或正数)的条件
A
B
D
C
1或-1
8
解:(1)分式有意义:x≠2且x≠3;
分式无意义:x=2或x=3.
(2)分式有意义:x≠±2;
分式无意义:x=2或x=-2.
A
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15.2 分式的运算
15.2.1 分式的乘除
第1课时 分式的乘除
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分子的积
分母的积
除式的分子、分母颠倒位置
被除式
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知识点1 分式的乘法
D
x
知识点2 分式的除法
a-1
知识点3 分式乘除法的应用
6.甲、乙两个工程队合修一条公路,已知甲工程队每天修(a2-4) m,乙工程队每天修(a-2)2 m(其中a>2),则甲工程队修 900 m 所用时间是
乙工程队修600 m所用时间的 倍.
C
C
A.④①② B.③①② C.③②① D.④②①
C
12.(运算能力)(1)计算:(a-b)(a2+ab+b2);
解:(1)(a-b)(a2+ab+b2)
=a3+a2b+ab2-a2b-ab2-b3
=a3-b3.
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