第十二章 全等三角形
(时间:120分钟 满分:100分)
一、选择题(每小题2分,共30分)
1.如图所示,△ABC≌△A′B′C,∠ACB=90°,∠A′CB=20°,则∠BCB′的度数为(C)
A.20° B.40° C.70° D.90°
2.(2023凉山)如图所示,点E,F在BC上,BE=CF,∠B=∠C,添加下列条件中的某一个,不能证明△ABF≌△DCE的是(D)
A.∠A=∠D B.∠AFB=∠DEC C.AB=DC D.AF=DE
3.(2023楚雄期中)如图所示,若△ABC≌△DEF,四个点B,E,C,F在同一直线上,BC=7,EC=5,则CF的长是(A)
A.2 B.3 C.5 D.7
4.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,BE平分∠ABC,DE⊥AB于点D,如果AE+DE=3 cm,那么AC等于(B)
A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm
5.用尺规作图作一个已知角的平分线如图所示,则下列结论错误的是(C)
A.PQ为∠APB的平分线
B.PA=PB
C.点A,B到PQ的距离不相等
D.PQ上的任意一点到∠APB的两边的距离都相等
6.(2023长春)如图所示,工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳,卡钳交叉点O为AA′,BB′的中点,只要量出A′B′的长度,就可以知道该零件内径AB的长度.依据的数学基本事实是(A)
A.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C.两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例
D.两点之间线段最短
7.一天课间,顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩,不小心将三角板掉到两根柱子之间,如图所示,这一幕恰巧被数学老师看见了,于是有了下面这道题:若每块砖的厚度a=8 cm,则DE的长为(C)
A.40 cm B.48 cm C.56 cm D.64 cm
8.如图所示,下列条件不能求证△ABD≌△ACD的是(D)
A.DB=DC,AB=AC B.∠ADC=∠ADB,DB=DC
C.∠C=∠B,∠ADC=∠ADB D.∠C=∠B,DB=DC
9.要测量河两岸相对的两点A,B的距离,先在AB的垂线BF上取两点C,D,使CD=BC,再定出BF的垂线DE,使A,C,E在同一条直线上,如图所示,可以得到△EDC≌△ABC,所以ED=AB,因此测得ED的长就是AB的长,判定△EDC≌△ABC的理由是(B)
A.SAS B.ASA C.SSS D.HL
10.如图所示,已知BC⊥CA,ED⊥AB,BD=BC,AE=8 cm,DE=6 cm,则AC等于(C)
A.10 cm B.12 cm C.14 cm D.16 cm
11.如图所示,AB⊥CD,且AB=CD,E,F是AD上的两点,CE⊥AD,BF⊥AD.若CE=5,BF=3,EF=2,则AD的长为(C)
A.4 B.5 C.6 D.7
12.如图所示为正方形网格,则∠1+∠2+∠3等于(D)
A.105° B.120° C.115° D.135°
13.如图所示,AB=AC,BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,BE,CF相交于点D,有下列结论:①△ABE≌△ACF;②△BDF≌△CDE;③点D在∠BAC的平分线上.其中正确结论的个数为(D)
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
14.如图所示,在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,D为AB延长线上一点,点E在BC边上,且BE=BD,连接AE,DC.若∠CAE=30°,则∠BDC的度数为(B)
A.40° B.75° C.50° D.60°
15.已知:如图所示,在△ABC,△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD= AE,C,D,E三点在同一条直线上,连接BD,BE.有以下四个结论:①BD=CE;②BD⊥CE;③∠ACE+∠DBC=45°;④∠BAE+∠DAC=180°.其中结论正确的个数是(D)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(每小题2分,共8分)
16.(2023楚雄期中)如图所示,在四边形ABCD中,△ABD≌△CDB,AB=
4 cm,BD=3.5 cm,AD=2 cm,则CD的长为 4 cm.
17.如图所示,若AB=AC,BD=CD,∠B=20°,∠BDC=120°,则∠A= 80° .
18.如图所示,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF,有下列结论:①EM=FN;②AF∥EB;③∠FAN=∠EAM;④△ACN≌△ABM.其中正确的有 ①③④ (填写正确结论的序号).
19.如图所示,在△ABC中,AB=AC=20 cm,BC=16 cm,点D是AB的中点,点P在线段BC上以2 cm/s 的速度由点B向点C运动,同时点Q在线段AC上由点A向点C运动,当△BPD与△CQP全等时,点Q的运动速度为 或 cm/s.
三、解答题(共62分)
20.(6分)(2023乐山)如图所示,AB,CD相交于点O,AO=BO,AC∥DB.求证:AC=BD.
证明:∵AC∥DB,∴∠A=∠B.
在△AOC与△BOD中,
∴△AOC≌△BOD(ASA).∴AC=BD.
21.(6分)(2023福建)如图所示,OA=OC,OB=OD,∠AOD=∠COB.求证:AB=CD.
证明:∵∠AOD=∠COB,
∴∠AOD-∠BOD=∠COB-∠BOD,即∠AOB=∠COD.
在△AOB和△COD中,
∴△AOB≌△COD(SAS).∴AB=CD.
22.(7分)(2023宜宾)已知:如图所示,AB∥DE,AB=DE,AF=DC.求证:∠B=∠E.
证明:∵AB∥DE,∴∠A=∠D.
∵AF=DC,∴AF+CF=DC+CF,即AC=DF.
在△ABC与△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(SAS).∴∠B=∠E.
23.(7分)如图所示,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,点E,F分别在AB,AD上,AE=AF,CE=CF.求证:CB=CD.
证明:如图所示,连接AC.
在△CEA和△CFA中,
∴△CEA≌△CFA(SSS).
∴∠CAE=∠CAF.
又∵∠B=∠D=90°,∴CB=CD.
24.(8分)如图所示,AC平分∠BAD,CB⊥AB,CD⊥AD,垂足分别为B,D.
(1)求证:△ABC≌△ADC;
(2)若AB=4,CD=3,求四边形ABCD的面积.
(1)证明:∵AC平分∠BAD,CB⊥AB,CD⊥AD,
∴∠CAB=∠CAD,∠B=∠D.
在△ABC和△ADC中,
∴△ABC≌△ADC(AAS).
(2)解:∵△ABC≌△ADC,AB=4,CD=3,∴AB=AD=4,BC=CD=3.
∵∠B=∠D=90°,
∴S△ABC=·AB·BC=×4×3=6,S△ACD=·AD·CD=×4×3=6.
∴四边形ABCD的面积为S△ABC+S△ACD=6+6=12.
25.(8分)如图所示,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AC=2AB,点D是AC的中点,将一块锐角为45°的直角三角板如图所示放置(AE=ED,∠EAD=∠EDA=45°),使三角板斜边的两个端点分别与点A,D重合,连接BE, EC.试猜想线段BE和EC的数量及位置关系,并证明你的猜想.
解:BE=EC,BE⊥EC.证明如下:
∵AC=2AB,点D是AC的中点,∴AB=AD=DC.
∵∠EAD=∠EDA=45°,∴∠EAB=∠EDC=135°.
在△EAB和△EDC中,
∴△EAB≌△EDC(SAS).∴∠AEB=∠DEC,EB=EC.
∴∠AEB+∠BED=∠DEC+∠BED.∴∠BEC=∠AED=90°.∴BE⊥EC.
26.(8分)如图所示,AD∥BC,DC⊥AD,AE平分∠BAD,且E是CD的中点,问:AD,BC和AB之间有何数量关系 并说明理由.
解:AD+BC=AB.理由如下:
如图所示,过点E作EF⊥AB于点F.
∵AE平分∠BAD,∴∠FAE=∠DAE.
∵DC⊥AD,EF⊥AB,∴∠ADE=∠AFE=90°.
在△AFE和△ADE中,
∴△AFE≌△ADE(AAS).∴AF=AD,EF=DE.
∵E是DC的中点,∴DE=CE.∴EC=EF.
∵AD∥BC,∠ADE=90°,∴∠C=90°.
在Rt△BFE和Rt△BCE中,
∴Rt△BFE≌Rt△BCE(HL).∴BF=BC.∴AD+BC=AF+BF=AB,即AD+BC=AB.
27.(12分)如图所示,点P,Q分别是等边三角形ABC边AB,BC所在直线上的动点(端点除外),点P,Q以相同的速度同时从点A,B出发.
(1)如图(1)所示,连接AQ,CP,PQ.求证:△ABQ≌△CAP.
(2)如图(1)所示,当点P,Q分别在AB,BC边上运动时,AQ,CP相交于点M,∠QMC的大小是否变化 若变化,请说明理由;若不变,求出它的
度数.
(3)如图(2)所示,当点P,Q分别在AB,BC的延长线上运动时,直线AQ与PC的延长线相交于点M,∠QMC的大小是否变化 若变化,请说明理由;若不变,求出它的度数.
(1)证明:∵△ABC是等边三角形,∴∠ABQ=∠CAP,AB=CA.
又∵点P,Q运动速度相同,∴AP=BQ.
在△ABQ和△CAP中,
∴△ABQ≌△CAP(SAS).
(2)解:当点P,Q分别在AB,BC边上运动时,∠QMC的大小不变.
由(1),知△ABQ≌△CAP.∴∠BAQ=∠ACP.
∵∠QMC是△ACM的外角,
∴∠QMC=∠ACP+∠MAC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC.
∵∠BAC=60°,∴∠QMC=60°.
(3)解:当点P,Q分别在AB,BC的延长线上运动时,∠QMC的大小不变.
同理,得△ABQ≌△CAP.∴∠BAQ=∠ACP.
∵∠QMC是△APM的外角,∴∠QMC=∠BAQ+∠APM.
∴∠QMC=∠ACP+∠APM=180°-∠PAC=180°-60°=120°. 第十二章 全等三角形
(时间:120分钟 满分:100分)
一、选择题(每小题2分,共30分)
1.如图所示,△ABC≌△A′B′C,∠ACB=90°,∠A′CB=20°,则∠BCB′的度数为( )
A.20° B.40° C.70° D.90°
2.(2023凉山)如图所示,点E,F在BC上,BE=CF,∠B=∠C,添加下列条件中的某一个,不能证明△ABF≌△DCE的是( )
A.∠A=∠D B.∠AFB=∠DEC C.AB=DC D.AF=DE
3.(2023楚雄期中)如图所示,若△ABC≌△DEF,四个点B,E,C,F在同一直线上,BC=7,EC=5,则CF的长是( )
A.2 B.3 C.5 D.7
4.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,BE平分∠ABC,DE⊥AB于点D,如果AE+DE=3 cm,那么AC等于( )
A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm
5.用尺规作图作一个已知角的平分线如图所示,则下列结论错误的是( )
A.PQ为∠APB的平分线
B.PA=PB
C.点A,B到PQ的距离不相等
D.PQ上的任意一点到∠APB的两边的距离都相等
6.(2023长春)如图所示,工人师傅设计了一种测零件内径AB的卡钳,卡钳交叉点O为AA′,BB′的中点,只要量出A′B′的长度,就可以知道该零件内径AB的长度.依据的数学基本事实是( )
A.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C.两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例
D.两点之间线段最短
7.一天课间,顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩,不小心将三角板掉到两根柱子之间,如图所示,这一幕恰巧被数学老师看见了,于是有了下面这道题:若每块砖的厚度a=8 cm,则DE的长为( )
A.40 cm B.48 cm C.56 cm D.64 cm
8.如图所示,下列条件不能求证△ABD≌△ACD的是( )
A.DB=DC,AB=AC B.∠ADC=∠ADB,DB=DC
C.∠C=∠B,∠ADC=∠ADB D.∠C=∠B,DB=DC
9.要测量河两岸相对的两点A,B的距离,先在AB的垂线BF上取两点C,D,使CD=BC,再定出BF的垂线DE,使A,C,E在同一条直线上,如图所示,可以得到△EDC≌△ABC,所以ED=AB,因此测得ED的长就是AB的长,判定△EDC≌△ABC的理由是( )
A.SAS B.ASA C.SSS D.HL
10.如图所示,已知BC⊥CA,ED⊥AB,BD=BC,AE=8 cm,DE=6 cm,则AC等于( )
A.10 cm B.12 cm C.14 cm D.16 cm
11.如图所示,AB⊥CD,且AB=CD,E,F是AD上的两点,CE⊥AD,BF⊥AD.若CE=5,BF=3,EF=2,则AD的长为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
12.如图所示为正方形网格,则∠1+∠2+∠3等于( )
A.105° B.120° C.115° D.135°
13.如图所示,AB=AC,BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,BE,CF相交于点D,有下列结论:①△ABE≌△ACF;②△BDF≌△CDE;③点D在∠BAC的平分线上.其中正确结论的个数为( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
14.如图所示,在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,D为AB延长线上一点,点E在BC边上,且BE=BD,连接AE,DC.若∠CAE=30°,则∠BDC的度数为( )
A.40° B.75° C.50° D.60°
15.已知:如图所示,在△ABC,△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD= AE,C,D,E三点在同一条直线上,连接BD,BE.有以下四个结论:①BD=CE;②BD⊥CE;③∠ACE+∠DBC=45°;④∠BAE+∠DAC=180°.其中结论正确的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(每小题2分,共8分)
16.(2023楚雄期中)如图所示,在四边形ABCD中,△ABD≌△CDB,AB=
4 cm,BD=3.5 cm,AD=2 cm,则CD的长为 cm.
17.如图所示,若AB=AC,BD=CD,∠B=20°,∠BDC=120°,则∠A= .
18.如图所示,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF,有下列结论:①EM=FN;②AF∥EB;③∠FAN=∠EAM;④△ACN≌△ABM.其中正确的有 (填写正确结论的序号).
19.如图所示,在△ABC中,AB=AC=20 cm,BC=16 cm,点D是AB的中点,点P在线段BC上以2 cm/s 的速度由点B向点C运动,同时点Q在线段AC上由点A向点C运动,当△BPD与△CQP全等时,点Q的运动速度为 cm/s.
三、解答题(共62分)
20.(6分)(2023乐山)如图所示,AB,CD相交于点O,AO=BO,AC∥DB.求证:AC=BD.
21.(6分)(2023福建)如图所示,OA=OC,OB=OD,∠AOD=∠COB.求证:AB=CD.
22.(7分)(2023宜宾)已知:如图所示,AB∥DE,AB=DE,AF=DC.求证:∠B=∠E.
23.(7分)如图所示,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,点E,F分别在AB,AD上,AE=AF,CE=CF.求证:CB=CD.
24.(8分)如图所示,AC平分∠BAD,CB⊥AB,CD⊥AD,垂足分别为B,D.
(1)求证:△ABC≌△ADC;
(2)若AB=4,CD=3,求四边形ABCD的面积.
25.(8分)如图所示,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AC=2AB,点D是AC的中点,将一块锐角为45°的直角三角板如图所示放置(AE=ED,∠EAD=∠EDA=45°),使三角板斜边的两个端点分别与点A,D重合,连接BE, EC.试猜想线段BE和EC的数量及位置关系,并证明你的猜想.
26.(8分)如图所示,AD∥BC,DC⊥AD,AE平分∠BAD,且E是CD的中点,问:AD,BC和AB之间有何数量关系 并说明理由.
27.(12分)如图所示,点P,Q分别是等边三角形ABC边AB,BC所在直线上的动点(端点除外),点P,Q以相同的速度同时从点A,B出发.
(1)如图(1)所示,连接AQ,CP,PQ.求证:△ABQ≌△CAP.
(2)如图(1)所示,当点P,Q分别在AB,BC边上运动时,AQ,CP相交于点M,∠QMC的大小是否变化 若变化,请说明理由;若不变,求出它的
度数.
(3)如图(2)所示,当点P,Q分别在AB,BC的延长线上运动时,直线AQ与PC的延长线相交于点M,∠QMC的大小是否变化 若变化,请说明理由;若不变,求出它的度数.
