第十三章 轴对称
(时间:120分钟 满分:100分)
一、选择题(每小题2分,共30分)
1.某班开展了以“迎接2023年杭州亚运会”为主题的海报评比活动,下列海报设计中,属于轴对称图形的是( )
2.点P(-5,8)关于x轴的对称点是( )
A.(5,8) B.(-5,-8) C.(5,-8) D.(8,5)
3.若等腰三角形的两边长分别为4和8,则这个等腰三角形的周长为( )
A.16 B.18 C.20 D.16或20
4.如图所示,在△ABC中,∠A=87°,∠ABC的平分线BD交AC于点D,E是BC中点,且DE⊥BC,那么∠C的度数为( )
A.16° B.28° C.31° D.62°
5.若点P1(a-1,2)和P2(3,b-1)关于x轴对称,则(a+b)2 024的值为( )
A.-32 024 B.1 C.32 024 D.52 024
6.在等腰三角形中,有一个角是40°,它的一条腰上的高与底边的夹角是( )
A.20° B.50° C.25°或40° D.20°或50°
7.如图所示,在△ABC中,AB的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,连接AE.若BC=6,AC=5,则△ACE的周长为( )
A.8 B.11 C.16 D.17
8.如图所示,在△ABC中,∠C=80°,∠B=30°,分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,MN交BC于点D,连接AD,则∠CAD的度数为( )
A.50° B.45° C.40° D.35°
9.一个等腰三角形顶角的度数是底角度数的2倍,则这个等腰三角形的底角是( )
A.30° B.40° C.45° D.50°
10.如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,DE⊥AB于点E,BF⊥AC于点F,DE=2,则BF的长为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
11.和三角形三个顶点的距离相等的点是( )
A.三条角平分线的交点 B.三边中线的交点
C.三边上高所在直线的交点 D.三边的垂直平分线的交点
12.如图所示,点A,B在6×8网格的格点上,网格中的每个小正方形边长都为1,以A,B,C为顶点的三角形是等腰三角形的格点C的位置有( )
A.8个 B.11个 C.12个 D.14个
13.在△ABC中,AB=AC,有下列结论:①若AB=BC,则△ABC是等边三角形;②若∠A=60°,则△ABC是等边三角形;③若∠B=60°,则△ABC是等边三角形.其中正确的有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
14.如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD,BE是△ABC的两条中线,P是AD上的一个动点,则下列线段的长等于CP+EP最小值的是( )
A.AC B.AD C.BE D.BC
15.如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,E,F为垂足,有下列结论:①DE=DF;②BD=CD;③AD上任意一点到AB,AC的距离相等;④AD上任意一点到点B,C的距离相等.其中正确的是( )
A.①② B.③④ C.①②③ D.①②③④
二、填空题(每小题2分,共8分)
16. 已知点P(a+1,2a-1)关于x轴对称的点在第一象限,则a的取值范围为 .
17.等腰三角形的一个外角为80°,那么这个等腰三角形的一个底角的度数为 .
18.如图所示,在△ABC中,AB的垂直平分线交AB于点E,交AC于点D,连接BD,若AB=AC=8,△BCD的周长为13,则BC= .
19.如图所示,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,BC=5,EF垂直平分BC,点P为直线EF上的一点,则AP+BP的最小值是 .
三、解答题(共62分)
20.(6分)如图所示,已知AC⊥BC,BD⊥AD,AC与BD交于点O,AC=BD.求证:△OAB是等腰三角形.
21.(7分)如图所示,在△ABC中,AB=AC,D为BC边的中点,过点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F.若∠A=60°,BE=1,求△ABC的周长.
22.(6分)如图所示,在△ABC中,AB=AC=5,AB的垂直平分线DE分别交AB,AC于点E,D.连接BD,若△BCD的周长为8,求BC的长.
23.(7分)如图所示,点D,E在△ABC的边BC上,AD=AE,AB=AC,求证:BD=EC.
24.(8分)如图所示,在△ABC中,DE,FG分别为AB,AC的垂直平分线,E,G分别为垂足,连接AD,AF,若△DAF的周长为16,求BC的长.
25.(8分)如图所示,AB=AC,DB=DC,E是AD延长线上一点,求证:BE=CE.
26.(8分)已知:如图所示,在平面直角坐标系中.
(1)作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1,并写出△A1B1C1三个顶点的坐标:A1 ,B1 ,C1 ;
(2)求出△ABC的面积;
(3)在x轴上画点P,使△PAC的周长最小(不写作法,保留作图痕迹).
题图
27.(12分)(1)如图(1)所示,在△ABC中,AB=AC=10,BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,过点D作 EF∥BC,分别交AB,AC于E,F两点,则图中共有 个等腰三角形;EF与BE,CF之间的数量关系是 ,△AEF的周长是 .
(2)如图(2)所示,若将(1)中“在△ABC中,AB=AC=10”改为“若△ABC不是等边三角形,AB=8,AC=10”其余条件不变,则图中共有 个等腰三角形;EF与BE,CF之间的数量关系是什么 证明你的结论,并求出△AEF的周长.
(3)如图(3)所示,若点D在△ABC外,AB>AC,且BD平分∠ABC,CD平分△ABC的外角∠ACG,过点D作DE∥BC,分别交AB,AC于E,F两点,则EF与BE,CF之间又有何数量关系呢 直接写出结论不证明. 第十三章 轴对称
(时间:120分钟 满分:100分)
一、选择题(每小题2分,共30分)
1.某班开展了以“迎接2023年杭州亚运会”为主题的海报评比活动,下列海报设计中,属于轴对称图形的是(C)
2.点P(-5,8)关于x轴的对称点是(B)
A.(5,8) B.(-5,-8) C.(5,-8) D.(8,5)
3.若等腰三角形的两边长分别为4和8,则这个等腰三角形的周长为(C)
A.16 B.18 C.20 D.16或20
4.如图所示,在△ABC中,∠A=87°,∠ABC的平分线BD交AC于点D,E是BC中点,且DE⊥BC,那么∠C的度数为(C)
A.16° B.28° C.31° D.62°
5.若点P1(a-1,2)和P2(3,b-1)关于x轴对称,则(a+b)2 024的值为(C)
A.-32 024 B.1 C.32 024 D.52 024
6.在等腰三角形中,有一个角是40°,它的一条腰上的高与底边的夹角是(D)
A.20° B.50° C.25°或40° D.20°或50°
7.如图所示,在△ABC中,AB的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,连接AE.若BC=6,AC=5,则△ACE的周长为(B)
A.8 B.11 C.16 D.17
8.如图所示,在△ABC中,∠C=80°,∠B=30°,分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,MN交BC于点D,连接AD,则∠CAD的度数为(C)
A.50° B.45° C.40° D.35°
9.一个等腰三角形顶角的度数是底角度数的2倍,则这个等腰三角形的底角是(C)
A.30° B.40° C.45° D.50°
10.如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,DE⊥AB于点E,BF⊥AC于点F,DE=2,则BF的长为(B)
A.3 B.4 C.5 D.6
11.和三角形三个顶点的距离相等的点是(D)
A.三条角平分线的交点 B.三边中线的交点
C.三边上高所在直线的交点 D.三边的垂直平分线的交点
12.如图所示,点A,B在6×8网格的格点上,网格中的每个小正方形边长都为1,以A,B,C为顶点的三角形是等腰三角形的格点C的位置有(C)
A.8个 B.11个 C.12个 D.14个
13.在△ABC中,AB=AC,有下列结论:①若AB=BC,则△ABC是等边三角形;②若∠A=60°,则△ABC是等边三角形;③若∠B=60°,则△ABC是等边三角形.其中正确的有(D)
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
14.如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD,BE是△ABC的两条中线,P是AD上的一个动点,则下列线段的长等于CP+EP最小值的是(C)
A.AC B.AD C.BE D.BC
15.如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,E,F为垂足,有下列结论:①DE=DF;②BD=CD;③AD上任意一点到AB,AC的距离相等;④AD上任意一点到点B,C的距离相等.其中正确的是(D)
A.①② B.③④ C.①②③ D.①②③④
二、填空题(每小题2分,共8分)
16. 已知点P(a+1,2a-1)关于x轴对称的点在第一象限,则a的取值范围为 -1
17.等腰三角形的一个外角为80°,那么这个等腰三角形的一个底角的度数为 40° .
18.如图所示,在△ABC中,AB的垂直平分线交AB于点E,交AC于点D,连接BD,若AB=AC=8,△BCD的周长为13,则BC= 5 .
19.如图所示,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,BC=5,EF垂直平分BC,点P为直线EF上的一点,则AP+BP的最小值是 4 .
三、解答题(共62分)
20.(6分)如图所示,已知AC⊥BC,BD⊥AD,AC与BD交于点O,AC=BD.求证:△OAB是等腰三角形.
证明:∵AC⊥BC,BD⊥AD,∴∠D=∠C=90°.
在Rt△ACB和Rt△BDA中,
∴Rt△ACB≌Rt△BDA(HL).
∴∠CAB=∠DBA.∴OA=OB.∴△OAB是等腰三角形.
21.(7分)如图所示,在△ABC中,AB=AC,D为BC边的中点,过点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F.若∠A=60°,BE=1,求△ABC的周长.
解:∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠BED=∠CFD=90°.
∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵D是BC边的中点,∴BD=CD.
在△BED和△CFD中,
∴△BED≌△CFD(AAS).∴DE=DF.
又∵AB=AC,∠A=60°,∴△ABC为等边三角形.∴∠B=60°.
∵∠BED=90°,∴∠BDE=30°.∴BE=BD.
∵BE=1,∴BD=2.∴BC=2BD=4.
∴AB=BC=AC=4.∴△ABC的周长为AB+BC+AC=4+4+4=12.
22.(6分)如图所示,在△ABC中,AB=AC=5,AB的垂直平分线DE分别交AB,AC于点E,D.连接BD,若△BCD的周长为8,求BC的长.
解:∵点D在AB的垂直平分线上,∴AD=BD.
∵△BCD的周长为8,∴BC+CD+BD=8.∴AD+DC+BC=8,即AC+BC=8.
∵AC=5,∴BC=8-AC=8-5=3.
23.(7分)如图所示,点D,E在△ABC的边BC上,AD=AE,AB=AC,求证:BD=EC.
证明:过点A作AF⊥BC于点F,如图所示.
∵AD=AE,AB=AC,
∴DF=EF,BF=CF.
∴BF-DF=CF-EF.
∴BD=EC.
24.(8分)如图所示,在△ABC中,DE,FG分别为AB,AC的垂直平分线,E,G分别为垂足,连接AD,AF,若△DAF的周长为16,求BC的长.
解:∵△DAF的周长为16,∴DA+FA+DF=16.
∵DE,FG分别为AB,AC的垂直平分线,
∴DA=DB,FA=FC.
∴BC=DB+DF+FC=DA+DF+FA=16.
25.(8分)如图所示,AB=AC,DB=DC,E是AD延长线上一点,求证:BE=CE.
证明:连接BC,如图所示.
∵AB=AC,DB=DC,
∴点A在线段BC的垂直平分线上,点D在线段BC的垂直平分线上,
即AD是线段BC的垂直平分线.
∵E在直线AD上,∴BE=CE.
26.(8分)已知:如图所示,在平面直角坐标系中.
(1)作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1,并写出△A1B1C1三个顶点的坐标:A1 ,B1 ,C1 ;
(2)求出△ABC的面积;
(3)在x轴上画点P,使△PAC的周长最小(不写作法,保留作图痕迹).
题图
解图
解:(1)如图所示,△A1B1C1即为所求.A1(-1,2),B1 (-3,1),C1 (-4,3).
(2)△ABC的面积为2×3-×1×2-×1×2-×1×3=6-1-1-1.5=2.5.
(3)如图所示,点P即为所求.
27.(12分)(1)如图(1)所示,在△ABC中,AB=AC=10,BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,过点D作 EF∥BC,分别交AB,AC于E,F两点,则图中共有 个等腰三角形;EF与BE,CF之间的数量关系是 ,△AEF的周长是 .
(2)如图(2)所示,若将(1)中“在△ABC中,AB=AC=10”改为“若△ABC不是等边三角形,AB=8,AC=10”其余条件不变,则图中共有 个等腰三角形;EF与BE,CF之间的数量关系是什么 证明你的结论,并求出△AEF的周长.
(3)如图(3)所示,若点D在△ABC外,AB>AC,且BD平分∠ABC,CD平分△ABC的外角∠ACG,过点D作DE∥BC,分别交AB,AC于E,F两点,则EF与BE,CF之间又有何数量关系呢 直接写出结论不证明.
解:(1)∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.
∵BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,∴∠EBD=∠CBD,∠FCD=∠BCD.
∴∠DBC=∠DCB.∴DB=DC.
∵EF∥BC,∴∠AEF=∠ABC,∠AFE=∠ACB,∠EDB=∠CBD,∠FDC=∠BCD.
∴∠EBD=∠EDB,∠FDC=∠FCD.
∴BE=DE,CF=DF,AE=AF.
∴等腰三角形有△ABC,△AEF,△DEB,△DFC,△BDC共5个.
∴BE+CF=DE+DF=EF,即BE+CF=EF.
∴△AEF的周长为AE+EF+AF=AE+BE+AF+FC=AB+AC=10+10=20.
故答案为5,BE+CF=EF,20.
(2)BE+CF=EF.证明如下:
∵BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,∴∠EBD=∠CBD,∠FCD=∠BCD.
∵EF∥BC,∴∠EDB=∠CBD,∠FDC=∠BCD.
∴∠EBD=∠EDB,∠FDC=∠FCD.
∴BE=DE,CF=DF.∴等腰三角形有△BDE,△CFD共2个.
∴BE+CF=DE+DF=EF,即BE+CF=EF.
∴△AEF的周长为AE+EF+AF=AE+DE+DF+AF=AE+BE+AF+CF=AB+AC=8+10=18.
(3)BE-CF=EF.