第十四章 整式的乘法与因式分解
(时间:120分钟 满分:100分)
一、选择题(每小题2分,共30分)
1.(2023湖州)计算a3·a的结果是( )
A.a2 B.a3 C.a4 D.a5
2.下列运算正确的是( )
A.(π-3.14)0=1 B.a3÷a2=1
C.(a2)3=a5 D.(-2a2)3=-6a6
3.下列计算正确的是( )
A.(x-3)2=x2-9 B.(-2a2)3=-8a5
C.a3÷a=a3 D.(a2+ab)÷a=a+b
4.下列各选项中,因式分解正确的是( )
A.(a2+b2)=(a+b)2 B.x2-4=(x-2)2
C.m2-4m+4=(m-2)2 D.-2y2+6y=-2y(y+3)
5.已知x-y=3,xy=3,则(x+y)2的值为( )
A.24 B.18 C.21 D.12
6.计算(-1.5)2 024·()2 023的结果正确的是( )
A.1 B.- C. D.-1
7.若4x2+axy+25y2是一个完全平方式,则a等于( )
A.20 B.-20 C.±20 D.±10
8.已知(a+b+1)(a+b-1)=63,a2+b2=34,则ab的值为( )
A.30 B.20 C.15 D.10
9.若3x2-5x+1=0,则5x(3x-2)-(3x+1)(3x-1)的值为( )
A.-1 B.0 C.1 D.-2
10.如果(x-3)(x+2)=x2-px+q,那么p,q的值分别是( )
A.p=5,q=6 B.p=-1,q=-6 C.p=1,q=-6 D.p=-5,q=-6
11.使(x2+px+8)(x2-3x+q)乘积中不含x2与x3项的p,q的值分别是( )
A.p=0,q=0 B.p=3,q=1 C.p=-3,q=-9 D.p=-3,q=1
12.若一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差,则称这个正整数为“好数”.下列正整数中能称为“好数”的是( )
A.205 B.250 C.502 D.520
13.已知a2-2a-1=0,则a4-2a3-2a+1等于( )
A.0 B.1 C.2 D.3
14.如图所示,将与图(1)大小相同的四个小正方形按图(2)所示的方式放置在一个大正方形中,根据图形中阴影部分的面积可以验证( )
图(1) 图(2)
A.(a-b)2=a2-2ab+b2 B.(a+b)2=a2+2ab+b2
C.(a-b)2=(a+b)2-4ab D.(a+b)(a-b)=a2-b2
15.取款、上网等都需要密码,有一种用“因式分解”法产生的密码,方便记忆,原理是:如对于多项式x4-y4,因式分解的结果是(x-y)(x+y) (x2+y2),当x=9,y=9时,各个因式的值是x-y=0,x+y=18,x2+y2=162,于是就可以把“018162”作为六位数的密码,对于多项式4x3-xy2,取x=10,y=10时,用上述方法产生的密码可以是( )
A.101030 B.010103 C.100130 D.301001
二、填空题(每小题2分,共8分)
16.(2023鞍山)因式分解:3x2-9x= .
17.计算:(20x3-8x2+12x)÷4x= .
18.光的速度约为3×105 km/s,除太阳系以外距离地球最近的一颗恒星(比邻星)发出的光,需要4年的时间才能到达地球.若一年以3×107 s计算,则这颗恒星到地球的距离是 km.
19.若(2a+2b-1)(2a+2b+1)=99,则a+b的值为 .
三、解答题(共62分)
20.(7分)计算:
(1)(2x2)3-x2·x4;
(2)(-)1 000×(-10)1 001+()2 023×(-3)2 024.
21.(6分)分解因式:
(1)-3a2+6ab-3b2;
(2)9a2(x-y)+4b2(y-x).
22.(7分)化简:
(1)3a2(a3b2-2ab)-3a(-a2b)2;
(2)[(x-2y)2-x(x-4y)-8xy]÷4y.
23.(6分)若x2+x-2 024=0,求(2x+3)(2x-3)-x(5x+4)-(x-1)2的值.
24.(8分)已知2x+y=10,xy=12.
(1)求4x2+y2的值;
(2)求4x2-y2的值.
25.(8分)如图所示,学校操场主席台前计划修建一块凹字形花坛(单位:m).
(1)用含a,b的整式表示花坛的面积.
(2)若a=6 m,b=3 m,工程费为500元/平方米,建花坛的总工程费为多少元
26.(8分)下面是小华在笔记本上完成课堂练习的解题过程:
(2x-3y)2-(x-2y)(x+2y)
=4x2-6xy+3y2-x2-2y2第一步
=3x2-6xy+y2.第二步
小禹看到小华的做法后,对他说:“你做错了,在第一步运用公式时出现了错误,你好好查一下.”小华仔细检查后发现,小禹说的是正确的.
回答下列问题:
(1)请你用标记符号“”在以上小华解答过程的第一步中圈出所有错误之处;
(2)请重新写出完成此题的解答过程.
27.(12分)阅读下列材料:
因式分解的常用方法有提取公因式法和公式法,但有的多项式仅用上述方法就无法分解,如x2-2xy+y2-16.我们细心观察这个式子就会发现,前三项符合完全平方公式,进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解.
过程如下:
x2-2xy+y2-16
=(x-y)2-16
=(x-y+4)(x-y-4).
这种因式分解的方法叫分组分解法.
利用这种分组的思想方法解决下列问题:
(1)因式分解:a2-6ab+9b2-25;
(2)因式分解:x2-4y2-2x+4y;
(3)△ABC的三边a,b,c满足a2+c2+2b2-2ab-2bc=0,判断△ABC的形状,并说明理由.第十四章 整式的乘法与因式分解
(时间:120分钟 满分:100分)
一、选择题(每小题2分,共30分)
1.(2023湖州)计算a3·a的结果是(C)
A.a2 B.a3 C.a4 D.a5
2.下列运算正确的是(A)
A.(π-3.14)0=1 B.a3÷a2=1
C.(a2)3=a5 D.(-2a2)3=-6a6
3.下列计算正确的是(D)
A.(x-3)2=x2-9 B.(-2a2)3=-8a5
C.a3÷a=a3 D.(a2+ab)÷a=a+b
4.下列各选项中,因式分解正确的是(C)
A.(a2+b2)=(a+b)2 B.x2-4=(x-2)2
C.m2-4m+4=(m-2)2 D.-2y2+6y=-2y(y+3)
5.已知x-y=3,xy=3,则(x+y)2的值为(C)
A.24 B.18 C.21 D.12
6.计算(-1.5)2 024·()2 023的结果正确的是(C)
A.1 B.- C. D.-1
7.若4x2+axy+25y2是一个完全平方式,则a等于(C)
A.20 B.-20 C.±20 D.±10
8.已知(a+b+1)(a+b-1)=63,a2+b2=34,则ab的值为(C)
A.30 B.20 C.15 D.10
9.若3x2-5x+1=0,则5x(3x-2)-(3x+1)(3x-1)的值为(A)
A.-1 B.0 C.1 D.-2
10.如果(x-3)(x+2)=x2-px+q,那么p,q的值分别是(C)
A.p=5,q=6 B.p=-1,q=-6 C.p=1,q=-6 D.p=-5,q=-6
11.使(x2+px+8)(x2-3x+q)乘积中不含x2与x3项的p,q的值分别是(B)
A.p=0,q=0 B.p=3,q=1 C.p=-3,q=-9 D.p=-3,q=1
12.若一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差,则称这个正整数为“好数”.下列正整数中能称为“好数”的是(D)
A.205 B.250 C.502 D.520
13.已知a2-2a-1=0,则a4-2a3-2a+1等于(C)
A.0 B.1 C.2 D.3
14.如图所示,将与图(1)大小相同的四个小正方形按图(2)所示的方式放置在一个大正方形中,根据图形中阴影部分的面积可以验证(A)
图(1) 图(2)
A.(a-b)2=a2-2ab+b2 B.(a+b)2=a2+2ab+b2
C.(a-b)2=(a+b)2-4ab D.(a+b)(a-b)=a2-b2
15.取款、上网等都需要密码,有一种用“因式分解”法产生的密码,方便记忆,原理是:如对于多项式x4-y4,因式分解的结果是(x-y)(x+y) (x2+y2),当x=9,y=9时,各个因式的值是x-y=0,x+y=18,x2+y2=162,于是就可以把“018162”作为六位数的密码,对于多项式4x3-xy2,取x=10,y=10时,用上述方法产生的密码可以是(A)
A.101030 B.010103 C.100130 D.301001
二、填空题(每小题2分,共8分)
16.(2023鞍山)因式分解:3x2-9x= 3x(x-3) .
17.计算:(20x3-8x2+12x)÷4x= 5x2-2x+3 .
18.光的速度约为3×105 km/s,除太阳系以外距离地球最近的一颗恒星(比邻星)发出的光,需要4年的时间才能到达地球.若一年以3×107 s计算,则这颗恒星到地球的距离是 3.6×1013 km.
19.若(2a+2b-1)(2a+2b+1)=99,则a+b的值为 5或-5 .
三、解答题(共62分)
20.(7分)计算:
(1)(2x2)3-x2·x4;
(2)(-)1 000×(-10)1 001+()2 023×(-3)2 024.
解:(1)(2x2)3-x2·x4
=8x6-x6
=7x6.
(2)(-)1 000×(-10)1 001+()2 023×(-3)2 024
=(-)1 000×(-10)1 000×(-10)+()2 023×(-)2 023×(-)
=[-×(-10)]1 000×(-10)+(-×)2 023×(-)
=-10+
=-.
21.(6分)分解因式:
(1)-3a2+6ab-3b2;
(2)9a2(x-y)+4b2(y-x).
解:(1)-3a2+6ab-3b2
=-3(a2-2ab+b2)
=-3(a-b)2.
(2)9a2(x-y)+4b2(y-x)
=9a2(x-y)-4b2(x-y)
=(x-y)(9a2-4b2)
=(x-y)(3a+2b)(3a-2b).
22.(7分)化简:
(1)3a2(a3b2-2ab)-3a(-a2b)2;
(2)[(x-2y)2-x(x-4y)-8xy]÷4y.
解:(1)3a2(a3b2-2ab)-3a(-a2b)2
=3a5b2-6a3b-3a5b2
=-6a3b.
(2)[(x-2y)2-x(x-4y)-8xy]÷4y
=(x2-4xy+4y2-x2+4xy-8xy)÷4y
=(4y2-8xy)÷4y
=y-2x.
23.(6分)若x2+x-2 024=0,求(2x+3)(2x-3)-x(5x+4)-(x-1)2的值.
解:(2x+3)(2x-3)-x(5x+4)-(x-1)2
=4x2-9-5x2-4x-x2+2x-1
=-2x2-2x-10.
∵x2+x-2 024=0,
∴x2+x=2 024.
当x2+x=2 024时,原式=-2(x2+x)-10
=-2×2 024-10
=-4 048-10
=-4 058.
24.(8分)已知2x+y=10,xy=12.
(1)求4x2+y2的值;
(2)求4x2-y2的值.
解:(1)∵2x+y=10,xy=12,
∴4x2+y2
=(2x+y)2-2×2xy
=102-4×12
=100-48
=52.
(2)∵2x+y=10,xy=12,
∴(2x-y)2=(2x+y)2-4×2xy
=102-4×2×12
=4.
∴2x-y=±2.
∵4x2-y2=(2x+y)(2x-y),
∴当2x-y=2时,原式=10×2=20,
当2x-y=-2时,原式=10×(-2)=-20.
25.(8分)如图所示,学校操场主席台前计划修建一块凹字形花坛(单位:m).
(1)用含a,b的整式表示花坛的面积.
(2)若a=6 m,b=3 m,工程费为500元/平方米,建花坛的总工程费为多少元
解:(1)(a+3b+a)(2a+b)-2a·3b
=4a2+8ab+3b2-6ab
=(4a2+2ab+3b2)(m2).
答:花坛的面积是(4a2+2ab+3b2)m2.
(2)当a=6 m,b=3 m时,
4a2+2ab+3b2
=4×62+2×6×3+3×32
=144+36+27
=207(m2);
207×500=103 500(元).
答:建花坛的总工程费为103 500元.
26.(8分)下面是小华在笔记本上完成课堂练习的解题过程:
(2x-3y)2-(x-2y)(x+2y)
=4x2-6xy+3y2-x2-2y2第一步
=3x2-6xy+y2.第二步
小禹看到小华的做法后,对他说:“你做错了,在第一步运用公式时出现了错误,你好好查一下.”小华仔细检查后发现,小禹说的是正确的.
回答下列问题:
(1)请你用标记符号“”在以上小华解答过程的第一步中圈出所有错误之处;
(2)请重新写出完成此题的解答过程.
解:(1)
(2)(2x-3y)2-(x-2y)(x+2y)
=4x2-12xy+9y2-x2+4y2
=3x2-12xy+13y2.
27.(12分)阅读下列材料:
因式分解的常用方法有提取公因式法和公式法,但有的多项式仅用上述方法就无法分解,如x2-2xy+y2-16.我们细心观察这个式子就会发现,前三项符合完全平方公式,进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解.
过程如下:
x2-2xy+y2-16
=(x-y)2-16
=(x-y+4)(x-y-4).
这种因式分解的方法叫分组分解法.
利用这种分组的思想方法解决下列问题:
(1)因式分解:a2-6ab+9b2-25;
(2)因式分解:x2-4y2-2x+4y;
(3)△ABC的三边a,b,c满足a2+c2+2b2-2ab-2bc=0,判断△ABC的形状,并说明理由.
解:(1)a2-6ab+9b2-25
=(a-3b)2-25
=(a-3b-5)(a-3b+5).
(2)x2-4y2-2x+4y
=(x-2y)(x+2y)-2(x-2y)
=(x-2y)(x+2y-2).
(3)△ABC是等边三角形.
理由如下:
∵a2+c2+2b2-2ab-2bc=0,
∴(a2-2ab+b2)+(c2-2bc+b2)=0.
∴(a-b)2+(b-c)2=0.
∵(a-b)2≥0,(b-c)2≥0,
∴a-b=0,且b-c=0.
∴a=b,且b=c.
∴a=b=c.
∴△ABC是等边三角形.
